↑

Properties

Label 8-312e4-1.1-c5e4-0-4
Degree $8$
Conductor $9475854336$
Sign $1$
Analytic cond. $6.26989\times 10^{6}$
Root an. cond. $7.07387$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $4$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 36·3-s − 56·5-s + 48·7-s + 810·9-s − 368·11-s − 676·13-s − 2.01e3·15-s − 1.97e3·17-s − 1.80e3·19-s + 1.72e3·21-s − 240·23-s − 3.35e3·25-s + 1.45e4·27-s − 4.79e3·29-s − 9.29e3·31-s − 1.32e4·33-s − 2.68e3·35-s − 7.80e3·37-s − 2.43e4·39-s − 8.79e3·41-s − 1.91e4·43-s − 4.53e4·45-s − 3.79e4·47-s − 3.13e4·49-s − 7.11e4·51-s − 1.51e4·53-s + 2.06e4·55-s + ⋯
L(s)  = 1  + 2.30·3-s − 1.00·5-s + 0.370·7-s + 10/3·9-s − 0.916·11-s − 1.10·13-s − 2.31·15-s − 1.65·17-s − 1.14·19-s + 0.855·21-s − 0.0946·23-s − 1.07·25-s + 3.84·27-s − 1.05·29-s − 1.73·31-s − 2.11·33-s − 0.370·35-s − 0.936·37-s − 2.56·39-s − 0.816·41-s − 1.57·43-s − 3.33·45-s − 2.50·47-s − 1.86·49-s − 3.82·51-s − 0.742·53-s + 0.918·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 13^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 13^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(8\)
Conductor: \(2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 13^{4}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.26989\times 10^{6}\)
Root analytic conductor: \(7.07387\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(4\)
Selberg data: \((8,\ 2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 13^{4} ,\ ( \ : 5/2, 5/2, 5/2, 5/2 ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
3$C_1$ \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \)
13$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \)
good5$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 56 T + 6492 T^{2} + 496104 T^{3} + 22208422 T^{4} + 496104 p^{5} T^{5} + 6492 p^{10} T^{6} + 56 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
7$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 48 T + 33700 T^{2} - 1926992 T^{3} + 796649622 T^{4} - 1926992 p^{5} T^{5} + 33700 p^{10} T^{6} - 48 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
11$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 368 T + 456244 T^{2} + 159982192 T^{3} + 97275213206 T^{4} + 159982192 p^{5} T^{5} + 456244 p^{10} T^{6} + 368 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
17$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 1976 T + 3701756 T^{2} + 5143753992 T^{3} + 8025018263238 T^{4} + 5143753992 p^{5} T^{5} + 3701756 p^{10} T^{6} + 1976 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
19$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 1808 T + 6040980 T^{2} + 9238195696 T^{3} + 23084170311910 T^{4} + 9238195696 p^{5} T^{5} + 6040980 p^{10} T^{6} + 1808 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
23$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 240 T + 3252348 T^{2} + 5553025968 T^{3} - 6724379597914 T^{4} + 5553025968 p^{5} T^{5} + 3252348 p^{10} T^{6} + 240 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
29$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 4792 T + 62934284 T^{2} + 263728028904 T^{3} + 1729503790557558 T^{4} + 263728028904 p^{5} T^{5} + 62934284 p^{10} T^{6} + 4792 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
31$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 9296 T + 118794340 T^{2} + 656433020272 T^{3} + 4863984326250806 T^{4} + 656433020272 p^{5} T^{5} + 118794340 p^{10} T^{6} + 9296 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
37$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 7800 T + 224362796 T^{2} + 37833263688 p T^{3} + 22430392015289046 T^{4} + 37833263688 p^{6} T^{5} + 224362796 p^{10} T^{6} + 7800 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
41$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 8792 T + 437676684 T^{2} + 2811983012328 T^{3} + 74413394255176630 T^{4} + 2811983012328 p^{5} T^{5} + 437676684 p^{10} T^{6} + 8792 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
43$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 19136 T + 649230508 T^{2} + 8162198259904 T^{3} + 147872391753007382 T^{4} + 8162198259904 p^{5} T^{5} + 649230508 p^{10} T^{6} + 19136 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
47$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 37968 T + 696205540 T^{2} + 5559400881552 T^{3} + 32827013748517190 T^{4} + 5559400881552 p^{5} T^{5} + 696205540 p^{10} T^{6} + 37968 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
53$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 15192 T + 369153484 T^{2} - 14028072369144 T^{3} - 225934055026992682 T^{4} - 14028072369144 p^{5} T^{5} + 369153484 p^{10} T^{6} + 15192 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
59$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 69424 T + 3768167828 T^{2} + 137972709426480 T^{3} + 4187279969733822102 T^{4} + 137972709426480 p^{5} T^{5} + 3768167828 p^{10} T^{6} + 69424 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
61$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 22568 T + 2189325676 T^{2} + 27617419893048 T^{3} + 2197004509279770678 T^{4} + 27617419893048 p^{5} T^{5} + 2189325676 p^{10} T^{6} + 22568 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
67$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 1136 T + 5004138100 T^{2} - 4101594689040 T^{3} + 9899346477877804902 T^{4} - 4101594689040 p^{5} T^{5} + 5004138100 p^{10} T^{6} - 1136 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
71$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 26672 T + 3095740964 T^{2} + 86268755967344 T^{3} + 4887472671035142502 T^{4} + 86268755967344 p^{5} T^{5} + 3095740964 p^{10} T^{6} + 26672 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
73$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 19736 T + 5614546236 T^{2} + 108757743996136 T^{3} + 14932098113341898278 T^{4} + 108757743996136 p^{5} T^{5} + 5614546236 p^{10} T^{6} + 19736 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
79$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 51328 T + 3071147708 T^{2} + 314409883564416 T^{3} - 16100969192646927802 T^{4} + 314409883564416 p^{5} T^{5} + 3071147708 p^{10} T^{6} - 51328 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
83$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 22544 T + 12018834804 T^{2} + 273181447935888 T^{3} + 64803671956061092726 T^{4} + 273181447935888 p^{5} T^{5} + 12018834804 p^{10} T^{6} + 22544 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
89$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 216600 T + 19188917132 T^{2} + 457022213990824 T^{3} - 187561200001201818 p T^{4} + 457022213990824 p^{5} T^{5} + 19188917132 p^{10} T^{6} + 216600 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
97$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 53512 T + 14926464988 T^{2} - 12461533033016 p T^{3} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( T^{4} - 12461533033016 p^{6} T^{5} + 14926464988 p^{10} T^{6} - 53512 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−8.131809722219777412324109421919, −7.899963658198308464432322199139, −7.87363494317485245098060623506, −7.47590024674104764328179777869, −7.34688061782871490997416465819, −6.80861994461305487761790023821, −6.59403212407357007143493254855, −6.51415269369396097025250279785, −6.47891433334012273126906038328, −5.43324602864504959974192257256, −5.39421173272105091476389215510, −5.21781745784061596204773257363, −4.89790271578598781997093301568, −4.28255825001484486385552110609, −4.22676558258917277353191795799, −4.12196940108090831636904369831, −3.84698089781559323422052974256, −3.18593367102684765245724139901, −3.14614460614719912713170099776, −2.74560277563515369767292907551, −2.73031016502331317841029648370, −1.86947943804558283516743627800, −1.84136939028622028541989333891, −1.61919385953897395031969076975, −1.53675203697615763901952424575, 0, 0, 0, 0, 1.53675203697615763901952424575, 1.61919385953897395031969076975, 1.84136939028622028541989333891, 1.86947943804558283516743627800, 2.73031016502331317841029648370, 2.74560277563515369767292907551, 3.14614460614719912713170099776, 3.18593367102684765245724139901, 3.84698089781559323422052974256, 4.12196940108090831636904369831, 4.22676558258917277353191795799, 4.28255825001484486385552110609, 4.89790271578598781997093301568, 5.21781745784061596204773257363, 5.39421173272105091476389215510, 5.43324602864504959974192257256, 6.47891433334012273126906038328, 6.51415269369396097025250279785, 6.59403212407357007143493254855, 6.80861994461305487761790023821, 7.34688061782871490997416465819, 7.47590024674104764328179777869, 7.87363494317485245098060623506, 7.899963658198308464432322199139, 8.131809722219777412324109421919

Graph of the $Z$-function along the critical line