| L(s) = 1 | − 36·3-s + 14·5-s + 402·7-s + 810·9-s + 268·11-s + 676·13-s − 504·15-s + 296·17-s + 30·19-s − 1.44e4·21-s − 3.51e3·23-s − 5.22e3·25-s − 1.45e4·27-s − 4.71e3·29-s − 1.59e3·31-s − 9.64e3·33-s + 5.62e3·35-s − 1.60e3·37-s − 2.43e4·39-s − 1.09e4·41-s + 1.82e4·43-s + 1.13e4·45-s + 2.33e4·47-s + 6.44e4·49-s − 1.06e4·51-s − 6.05e3·53-s + 3.75e3·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.30·3-s + 0.250·5-s + 3.10·7-s + 10/3·9-s + 0.667·11-s + 1.10·13-s − 0.578·15-s + 0.248·17-s + 0.0190·19-s − 7.16·21-s − 1.38·23-s − 1.67·25-s − 3.84·27-s − 1.04·29-s − 0.297·31-s − 1.54·33-s + 0.776·35-s − 0.192·37-s − 2.56·39-s − 1.01·41-s + 1.50·43-s + 0.834·45-s + 1.53·47-s + 3.83·49-s − 0.573·51-s − 0.296·53-s + 0.167·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 13^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 13^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(8.227817379\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(8.227817379\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| 13 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| good | 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 14 T + 5416 T^{2} - 3194 T^{3} + 15695166 T^{4} - 3194 p^{5} T^{5} + 5416 p^{10} T^{6} - 14 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 402 T + 97124 T^{2} - 18108122 T^{3} + 2702457878 T^{4} - 18108122 p^{5} T^{5} + 97124 p^{10} T^{6} - 402 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 268 T + 127516 T^{2} - 70094988 T^{3} + 32862394934 T^{4} - 70094988 p^{5} T^{5} + 127516 p^{10} T^{6} - 268 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 296 T + 2369564 T^{2} - 2502080152 T^{3} + 3460633010054 T^{4} - 2502080152 p^{5} T^{5} + 2369564 p^{10} T^{6} - 296 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 30 T + 1172364 T^{2} - 4812061390 T^{3} + 3080862062646 T^{4} - 4812061390 p^{5} T^{5} + 1172364 p^{10} T^{6} - 30 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 3512 T + 23563228 T^{2} + 50621547928 T^{3} + 207087445643750 T^{4} + 50621547928 p^{5} T^{5} + 23563228 p^{10} T^{6} + 3512 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 4716 T + 59569124 T^{2} + 198604765124 T^{3} + 1667019231416454 T^{4} + 198604765124 p^{5} T^{5} + 59569124 p^{10} T^{6} + 4716 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 1590 T + 39884836 T^{2} - 42504760450 T^{3} + 1062277337442486 T^{4} - 42504760450 p^{5} T^{5} + 39884836 p^{10} T^{6} + 1590 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 1604 T + 160759732 T^{2} + 10735119292 p T^{3} + 13795484546282630 T^{4} + 10735119292 p^{6} T^{5} + 160759732 p^{10} T^{6} + 1604 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 10970 T + 371136272 T^{2} + 3161064633110 T^{3} + 61977334052903358 T^{4} + 3161064633110 p^{5} T^{5} + 371136272 p^{10} T^{6} + 10970 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 18296 T + 679986860 T^{2} - 8127666223736 T^{3} + 156476856697832726 T^{4} - 8127666223736 p^{5} T^{5} + 679986860 p^{10} T^{6} - 18296 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 23304 T + 1022558636 T^{2} - 15573634155112 T^{3} + 362428566947975910 T^{4} - 15573634155112 p^{5} T^{5} + 1022558636 p^{10} T^{6} - 23304 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 6056 T + 967490668 T^{2} + 14846811997560 T^{3} + 442624843483156886 T^{4} + 14846811997560 p^{5} T^{5} + 967490668 p^{10} T^{6} + 6056 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 92632 T + 4833971228 T^{2} - 176763381305560 T^{3} + 5213471227036875126 T^{4} - 176763381305560 p^{5} T^{5} + 4833971228 p^{10} T^{6} - 92632 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 7276 T + 1141945940 T^{2} + 3789265545276 T^{3} + 714624433993667494 T^{4} + 3789265545276 p^{5} T^{5} + 1141945940 p^{10} T^{6} - 7276 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 92338 T + 6435113324 T^{2} - 294997773741218 T^{3} + 12409808545629377718 T^{4} - 294997773741218 p^{5} T^{5} + 6435113324 p^{10} T^{6} - 92338 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 184716 T + 19431505148 T^{2} - 1338898388605308 T^{3} + 66886619588644421094 T^{4} - 1338898388605308 p^{5} T^{5} + 19431505148 p^{10} T^{6} - 184716 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3044 T + 2143476740 T^{2} + 138891391029636 T^{3} - 558440060145908074 T^{4} + 138891391029636 p^{5} T^{5} + 2143476740 p^{10} T^{6} - 3044 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 156344 T + 15046541820 T^{2} - 1019670688512088 T^{3} + 61755614194810305478 T^{4} - 1019670688512088 p^{5} T^{5} + 15046541820 p^{10} T^{6} - 156344 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 158176 T + 12188490876 T^{2} - 784580492662624 T^{3} + 52966312519937916118 T^{4} - 784580492662624 p^{5} T^{5} + 12188490876 p^{10} T^{6} - 158176 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 6054 T + 106954600 p T^{2} - 656121703750582 T^{3} + 32088118068098914638 T^{4} - 656121703750582 p^{5} T^{5} + 106954600 p^{11} T^{6} + 6054 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 101204 T + 19195516772 T^{2} - 2488979367594284 T^{3} + \)\(18\!\cdots\!90\)\( T^{4} - 2488979367594284 p^{5} T^{5} + 19195516772 p^{10} T^{6} - 101204 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.82743033977580964197870991875, −7.29880581145213900701830485047, −6.93764808553167438697050678497, −6.77215371996621323714039752484, −6.59359815106563738398701269038, −6.22245596222600470169259472259, −5.74726372722741953364113827974, −5.73463870268576045488307392782, −5.67224107643920157753541685818, −5.11463210861210516387438043978, −5.08435681889255826308604790960, −4.71735399750834679155787396371, −4.68754387499586295986245029103, −3.94860526728189245398433031202, −3.81395238381011892234218853041, −3.73570546077077346558267183261, −3.61991855499688126750348703453, −2.17027356414160281225851593697, −2.16378318190249164560978718701, −2.14160384458892754783482963349, −1.68305799409800952215736517065, −1.32706675889963117379630681042, −0.75032672849735638367236478844, −0.66461937470810440670347700442, −0.58245434931348731160896141621,
0.58245434931348731160896141621, 0.66461937470810440670347700442, 0.75032672849735638367236478844, 1.32706675889963117379630681042, 1.68305799409800952215736517065, 2.14160384458892754783482963349, 2.16378318190249164560978718701, 2.17027356414160281225851593697, 3.61991855499688126750348703453, 3.73570546077077346558267183261, 3.81395238381011892234218853041, 3.94860526728189245398433031202, 4.68754387499586295986245029103, 4.71735399750834679155787396371, 5.08435681889255826308604790960, 5.11463210861210516387438043978, 5.67224107643920157753541685818, 5.73463870268576045488307392782, 5.74726372722741953364113827974, 6.22245596222600470169259472259, 6.59359815106563738398701269038, 6.77215371996621323714039752484, 6.93764808553167438697050678497, 7.29880581145213900701830485047, 7.82743033977580964197870991875
