| L(s) = 1 | + 2·3-s + 80·5-s + 262·7-s − 452·9-s + 350·11-s − 516·13-s + 160·15-s + 1.15e3·17-s + 3.78e3·19-s + 524·21-s + 70·23-s − 5.54e3·25-s + 538·27-s − 2.88e3·29-s + 8.26e3·31-s + 700·33-s + 2.09e4·35-s − 1.27e4·37-s − 1.03e3·39-s − 1.43e4·41-s + 3.57e4·43-s − 3.61e4·45-s + 3.80e4·47-s + 492·49-s + 2.31e3·51-s + 2.55e4·53-s + 2.80e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.128·3-s + 1.43·5-s + 2.02·7-s − 1.86·9-s + 0.872·11-s − 0.846·13-s + 0.183·15-s + 0.970·17-s + 2.40·19-s + 0.259·21-s + 0.0275·23-s − 1.77·25-s + 0.142·27-s − 0.635·29-s + 1.54·31-s + 0.111·33-s + 2.89·35-s − 1.52·37-s − 0.108·39-s − 1.33·41-s + 2.95·43-s − 2.66·45-s + 2.51·47-s + 0.0292·49-s + 0.124·51-s + 1.24·53-s + 1.24·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 17^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 17^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(15.43651329\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(15.43651329\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 17 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 2 T + 152 p T^{2} - 2354 T^{3} + 103486 T^{4} - 2354 p^{5} T^{5} + 152 p^{11} T^{6} - 2 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 16 p T + 11948 T^{2} - 129584 p T^{3} + 55117526 T^{4} - 129584 p^{6} T^{5} + 11948 p^{10} T^{6} - 16 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 262 T + 9736 p T^{2} - 9650558 T^{3} + 1540091918 T^{4} - 9650558 p^{5} T^{5} + 9736 p^{11} T^{6} - 262 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 350 T + 237608 T^{2} - 102867582 T^{3} + 67158688158 T^{4} - 102867582 p^{5} T^{5} + 237608 p^{10} T^{6} - 350 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 516 T + 851620 T^{2} + 484071436 T^{3} + 425665210950 T^{4} + 484071436 p^{5} T^{5} + 851620 p^{10} T^{6} + 516 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3788 T + 10356844 T^{2} - 16564576236 T^{3} + 78561222150 p^{2} T^{4} - 16564576236 p^{5} T^{5} + 10356844 p^{10} T^{6} - 3788 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 70 T + 6135608 T^{2} - 1853489694 T^{3} + 41499077208654 T^{4} - 1853489694 p^{5} T^{5} + 6135608 p^{10} T^{6} - 70 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 2880 T + 65872556 T^{2} + 105784560448 T^{3} + 1789339663044534 T^{4} + 105784560448 p^{5} T^{5} + 65872556 p^{10} T^{6} + 2880 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 8266 T + 35633080 T^{2} + 163230310622 T^{3} - 1406437808572562 T^{4} + 163230310622 p^{5} T^{5} + 35633080 p^{10} T^{6} - 8266 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 344 p T + 259562620 T^{2} + 2460318445032 T^{3} + 26244833732445750 T^{4} + 2460318445032 p^{5} T^{5} + 259562620 p^{10} T^{6} + 344 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 14376 T + 11921404 p T^{2} + 4833465394008 T^{3} + 86545919977322598 T^{4} + 4833465394008 p^{5} T^{5} + 11921404 p^{11} T^{6} + 14376 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 35780 T + 827675116 T^{2} - 13670128535492 T^{3} + 183607881371671702 T^{4} - 13670128535492 p^{5} T^{5} + 827675116 p^{10} T^{6} - 35780 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 38072 T + 1244710268 T^{2} - 24184238112600 T^{3} + 439848707502360390 T^{4} - 24184238112600 p^{5} T^{5} + 1244710268 p^{10} T^{6} - 38072 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 25512 T + 631965644 T^{2} - 6162895866104 T^{3} + 199161193054189014 T^{4} - 6162895866104 p^{5} T^{5} + 631965644 p^{10} T^{6} - 25512 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 12292 T + 842552684 T^{2} - 14866929433028 T^{3} + 190151710602322262 T^{4} - 14866929433028 p^{5} T^{5} + 842552684 p^{10} T^{6} - 12292 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 6328 T + 931665148 T^{2} - 23703453445544 T^{3} + 1061946445212305174 T^{4} - 23703453445544 p^{5} T^{5} + 931665148 p^{10} T^{6} - 6328 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 74640 T + 4556453548 T^{2} - 210487822091792 T^{3} + 9073154198196135222 T^{4} - 210487822091792 p^{5} T^{5} + 4556453548 p^{10} T^{6} - 74640 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 29994 T + 3647377064 T^{2} - 143166713051122 T^{3} + 8383021978046106798 T^{4} - 143166713051122 p^{5} T^{5} + 3647377064 p^{10} T^{6} - 29994 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 66016 T + 3814317388 T^{2} - 28844647765216 T^{3} + 1115406351078706438 T^{4} - 28844647765216 p^{5} T^{5} + 3814317388 p^{10} T^{6} - 66016 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 76750 T + 8221137064 T^{2} - 665576349372790 T^{3} + 32683176488422108366 T^{4} - 665576349372790 p^{5} T^{5} + 8221137064 p^{10} T^{6} - 76750 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 24956 T + 11353709324 T^{2} - 209266608915484 T^{3} + 58194891877488303926 T^{4} - 209266608915484 p^{5} T^{5} + 11353709324 p^{10} T^{6} - 24956 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 216060 T + 33760922276 T^{2} - 3347773533469604 T^{3} + \)\(28\!\cdots\!14\)\( T^{4} - 3347773533469604 p^{5} T^{5} + 33760922276 p^{10} T^{6} - 216060 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 247752 T + 55025498140 T^{2} - 7035226228130168 T^{3} + \)\(80\!\cdots\!90\)\( T^{4} - 7035226228130168 p^{5} T^{5} + 55025498140 p^{10} T^{6} - 247752 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.912245622347870145720429782551, −7.64897139997600528156944582552, −7.23940358000062219547711303931, −7.10706577442449832112452611240, −6.85044723108431976760091335603, −6.08488709073267356692667646848, −5.99013258299646076317597339021, −5.97298367874797130134927047118, −5.80304598449957881919404782811, −5.10909575912509940450041917463, −5.08221866494865595086795762880, −5.03126730782520151033953717303, −4.82791444152862947332371998969, −4.08202156164136484302111011310, −3.65463391028277756812103458831, −3.51813500136449306490790436448, −3.41719059128663743089149701291, −2.59964483976478829372600101655, −2.34153847691081855432634962349, −2.19310912947892275968166984979, −2.00741712512797158890461118873, −1.39610848435997430497833175641, −1.06248453954013274868258129686, −0.72374158907027849745133162819, −0.49312534887434815889234838717,
0.49312534887434815889234838717, 0.72374158907027849745133162819, 1.06248453954013274868258129686, 1.39610848435997430497833175641, 2.00741712512797158890461118873, 2.19310912947892275968166984979, 2.34153847691081855432634962349, 2.59964483976478829372600101655, 3.41719059128663743089149701291, 3.51813500136449306490790436448, 3.65463391028277756812103458831, 4.08202156164136484302111011310, 4.82791444152862947332371998969, 5.03126730782520151033953717303, 5.08221866494865595086795762880, 5.10909575912509940450041917463, 5.80304598449957881919404782811, 5.97298367874797130134927047118, 5.99013258299646076317597339021, 6.08488709073267356692667646848, 6.85044723108431976760091335603, 7.10706577442449832112452611240, 7.23940358000062219547711303931, 7.64897139997600528156944582552, 7.912245622347870145720429782551
