# Properties

 Label 8-1805e4-1.1-c1e4-0-7 Degree $8$ Conductor $1.061\times 10^{13}$ Sign $1$ Analytic cond. $43153.6$ Root an. cond. $3.79644$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $4$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 2-s + 3-s − 2·4-s + 4·5-s + 6-s − 11·7-s − 8-s − 3·9-s + 4·10-s − 2·12-s − 2·13-s − 11·14-s + 4·15-s + 16-s − 7·17-s − 3·18-s − 8·20-s − 11·21-s − 11·23-s − 24-s + 10·25-s − 2·26-s − 9·27-s + 22·28-s − 15·29-s + 4·30-s − 31-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 0.707·2-s + 0.577·3-s − 4-s + 1.78·5-s + 0.408·6-s − 4.15·7-s − 0.353·8-s − 9-s + 1.26·10-s − 0.577·12-s − 0.554·13-s − 2.93·14-s + 1.03·15-s + 1/4·16-s − 1.69·17-s − 0.707·18-s − 1.78·20-s − 2.40·21-s − 2.29·23-s − 0.204·24-s + 2·25-s − 0.392·26-s − 1.73·27-s + 4.15·28-s − 2.78·29-s + 0.730·30-s − 0.179·31-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{4} \cdot 19^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{4} \cdot 19^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$5^{4} \cdot 19^{8}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$43153.6$$ Root analytic conductor: $$3.79644$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$4$$ Selberg data: $$(8,\ 5^{4} \cdot 19^{8} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad5$C_1$ $$( 1 - T )^{4}$$
19 $$1$$
good2$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - T + 3 T^{2} - p^{2} T^{3} + p^{3} T^{4} - p^{3} T^{5} + 3 p^{2} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
3$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - T + 4 T^{2} + 2 T^{3} + 7 T^{4} + 2 p T^{5} + 4 p^{2} T^{6} - p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 11 T + 68 T^{2} + 284 T^{3} + 873 T^{4} + 284 p T^{5} + 68 p^{2} T^{6} + 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
11$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 35 T^{2} - 10 T^{3} + 527 T^{4} - 10 p T^{5} + 35 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 2 T + 20 T^{2} + 100 T^{3} + 253 T^{4} + 100 p T^{5} + 20 p^{2} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 7 T + 43 T^{2} + 101 T^{3} + 448 T^{4} + 101 p T^{5} + 43 p^{2} T^{6} + 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 11 T + 94 T^{2} + 478 T^{3} + 2557 T^{4} + 478 p T^{5} + 94 p^{2} T^{6} + 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 15 T + 165 T^{2} + 1255 T^{3} + 268 p T^{4} + 1255 p T^{5} + 165 p^{2} T^{6} + 15 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + T + 64 T^{2} + 96 T^{3} + 2705 T^{4} + 96 p T^{5} + 64 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 11 T + 178 T^{2} + 1204 T^{3} + 10333 T^{4} + 1204 p T^{5} + 178 p^{2} T^{6} + 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 22 T + 264 T^{2} - 2100 T^{3} + 14225 T^{4} - 2100 p T^{5} + 264 p^{2} T^{6} - 22 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 26 T + 397 T^{2} + 94 p T^{3} + 30823 T^{4} + 94 p^{2} T^{5} + 397 p^{2} T^{6} + 26 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 26 T + 388 T^{2} + 3904 T^{3} + 30373 T^{4} + 3904 p T^{5} + 388 p^{2} T^{6} + 26 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 16 T + 237 T^{2} + 2012 T^{3} + 17613 T^{4} + 2012 p T^{5} + 237 p^{2} T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 10 T + 195 T^{2} + 1420 T^{3} + 16877 T^{4} + 1420 p T^{5} + 195 p^{2} T^{6} + 10 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 2 T + 113 T^{2} + 566 T^{3} + 4600 T^{4} + 566 p T^{5} + 113 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 3 T + 158 T^{2} - 524 T^{3} + 14583 T^{4} - 524 p T^{5} + 158 p^{2} T^{6} - 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 18 T + 384 T^{2} - 4000 T^{3} + 44465 T^{4} - 4000 p T^{5} + 384 p^{2} T^{6} - 18 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 24 T + 442 T^{2} + 5168 T^{3} + 51803 T^{4} + 5168 p T^{5} + 442 p^{2} T^{6} + 24 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 30 T + 637 T^{2} - 8570 T^{3} + 90548 T^{4} - 8570 p T^{5} + 637 p^{2} T^{6} - 30 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 + 12 T + 327 T^{2} + 2692 T^{3} + 40508 T^{4} + 2692 p T^{5} + 327 p^{2} T^{6} + 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 9 T + 4 p T^{2} - 2390 T^{3} + 47525 T^{4} - 2390 p T^{5} + 4 p^{3} T^{6} - 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr C_2\wr C_2$ $$1 - 19 T + 340 T^{2} - 4300 T^{3} + 46303 T^{4} - 4300 p T^{5} + 340 p^{2} T^{6} - 19 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$