Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 288·2-s + 2.18e3·3-s + 3.68e4·4-s + 1.04e4·5-s + 6.29e5·6-s + 3.35e4·7-s + 2.45e6·8-s + 2.12e6·9-s + 3.02e6·10-s − 1.59e6·11-s + 8.06e7·12-s − 1.62e6·13-s + 9.67e6·14-s + 2.29e7·15-s + 4.71e7·16-s + 8.65e6·17-s + 6.12e8·18-s + 1.50e7·19-s + 3.86e8·20-s + 7.34e7·21-s − 4.58e8·22-s − 6.01e5·23-s + 5.37e9·24-s + 1.93e8·25-s − 4.69e8·26-s + 1.07e9·27-s + 1.23e9·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 6.36·2-s + 5.19·3-s + 18·4-s + 1.50·5-s + 33.0·6-s + 0.755·7-s + 26.5·8-s + 12·9-s + 9.56·10-s − 2.97·11-s + 93.5·12-s − 1.21·13-s + 4.80·14-s + 7.80·15-s + 45/4·16-s + 1.47·17-s + 76.3·18-s + 1.39·19-s + 27.0·20-s + 3.92·21-s − 18.9·22-s − 0.0194·23-s + 137.·24-s + 3.96·25-s − 7.74·26-s + 14.4·27-s + 13.5·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(12-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+11/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(9.21046\times 10^{34}\) |
| Root analytic conductor: | \(9.35901\) |
| Motivic weight: | \(11\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 19^{18} ,\ ( \ : [11/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(6)\) | \(\approx\) | \(11798.19053\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(11798.19053\) |
| \(L(\frac{13}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - p^{5} T + p^{10} T^{2} )^{9} \) |
| 3 | \( ( 1 - p^{5} T + p^{10} T^{2} )^{9} \) | |
| 19 | \( 1 - 794252 p T + 954653908343 p^{2} T^{2} - 291639816360010624 p^{3} T^{3} + \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{5} T^{4} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( p^{7} T^{5} - \)\(37\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{6} + \)\(81\!\cdots\!84\)\( p^{13} T^{7} - \)\(41\!\cdots\!92\)\( p^{18} T^{8} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( p^{23} T^{9} - \)\(41\!\cdots\!92\)\( p^{29} T^{10} + \)\(81\!\cdots\!84\)\( p^{35} T^{11} - \)\(37\!\cdots\!52\)\( p^{43} T^{12} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( p^{51} T^{13} + \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{60} T^{14} - 291639816360010624 p^{69} T^{15} + 954653908343 p^{79} T^{16} - 794252 p^{89} T^{17} + p^{99} T^{18} \) | |
| good | 5 | \( 1 - 10498 T - 83345771 T^{2} + 2122904295754 T^{3} - 8639494363857801 T^{4} - 24817150248603631084 p T^{5} + \)\(14\!\cdots\!54\)\( T^{6} - \)\(82\!\cdots\!52\)\( p T^{7} - \)\(28\!\cdots\!02\)\( p^{2} T^{8} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( p^{4} T^{9} + \)\(31\!\cdots\!52\)\( p^{4} T^{10} - \)\(60\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{11} - \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{6} T^{12} + \)\(19\!\cdots\!44\)\( p^{8} T^{13} - \)\(60\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{14} - \)\(44\!\cdots\!92\)\( p^{9} T^{15} + \)\(69\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{16} - \)\(11\!\cdots\!98\)\( p^{12} T^{17} + \)\(43\!\cdots\!81\)\( p^{14} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!98\)\( p^{23} T^{19} + \)\(69\!\cdots\!89\)\( p^{32} T^{20} - \)\(44\!\cdots\!92\)\( p^{42} T^{21} - \)\(60\!\cdots\!92\)\( p^{52} T^{22} + \)\(19\!\cdots\!44\)\( p^{63} T^{23} - \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{72} T^{24} - \)\(60\!\cdots\!52\)\( p^{82} T^{25} + \)\(31\!\cdots\!52\)\( p^{92} T^{26} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( p^{103} T^{27} - \)\(28\!\cdots\!02\)\( p^{112} T^{28} - \)\(82\!\cdots\!52\)\( p^{122} T^{29} + \)\(14\!\cdots\!54\)\( p^{132} T^{30} - 24817150248603631084 p^{144} T^{31} - 8639494363857801 p^{154} T^{32} + 2122904295754 p^{165} T^{33} - 83345771 p^{176} T^{34} - 10498 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) |
| 7 | \( ( 1 - 16797 T + 8215586765 T^{2} - 74889255396218 T^{3} + 37632119076242888762 T^{4} - \)\(31\!\cdots\!72\)\( p T^{5} + \)\(25\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{6} - \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( p^{4} T^{8} - \)\(97\!\cdots\!29\)\( p^{6} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( p^{15} T^{10} - \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{26} T^{11} + \)\(25\!\cdots\!88\)\( p^{35} T^{12} - \)\(31\!\cdots\!72\)\( p^{45} T^{13} + 37632119076242888762 p^{55} T^{14} - 74889255396218 p^{66} T^{15} + 8215586765 p^{77} T^{16} - 16797 p^{88} T^{17} + p^{99} T^{18} )^{2} \) | |
| 11 | \( ( 1 + 795320 T + 1808392253785 T^{2} + 1381083160330718688 T^{3} + \)\(16\!\cdots\!62\)\( T^{4} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{5} + \)\(97\!\cdots\!46\)\( T^{6} + \)\(56\!\cdots\!16\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!64\)\( T^{8} + \)\(19\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(39\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{10} + \)\(56\!\cdots\!16\)\( p^{22} T^{11} + \)\(97\!\cdots\!46\)\( p^{33} T^{12} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{44} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!62\)\( p^{55} T^{14} + 1381083160330718688 p^{66} T^{15} + 1808392253785 p^{77} T^{16} + 795320 p^{88} T^{17} + p^{99} T^{18} )^{2} \) | |
| 13 | \( 1 + 1629109 T - 4120937664684 T^{2} - 1010373102600820547 p T^{3} - \)\(31\!\cdots\!93\)\( T^{4} + \)\(30\!\cdots\!02\)\( T^{5} + \)\(56\!\cdots\!84\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( T^{7} - \)\(10\!\cdots\!53\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!63\)\( T^{9} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{10} + \)\(30\!\cdots\!85\)\( p T^{11} + \)\(96\!\cdots\!11\)\( T^{12} + \)\(53\!\cdots\!62\)\( T^{13} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(27\!\cdots\!86\)\( T^{15} - \)\(17\!\cdots\!46\)\( T^{16} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( T^{17} + \)\(72\!\cdots\!88\)\( T^{18} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{19} - \)\(17\!\cdots\!46\)\( p^{22} T^{20} - \)\(27\!\cdots\!86\)\( p^{33} T^{21} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{44} T^{22} + \)\(53\!\cdots\!62\)\( p^{55} T^{23} + \)\(96\!\cdots\!11\)\( p^{66} T^{24} + \)\(30\!\cdots\!85\)\( p^{78} T^{25} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{88} T^{26} - \)\(26\!\cdots\!63\)\( p^{99} T^{27} - \)\(10\!\cdots\!53\)\( p^{110} T^{28} + \)\(24\!\cdots\!82\)\( p^{121} T^{29} + \)\(56\!\cdots\!84\)\( p^{132} T^{30} + \)\(30\!\cdots\!02\)\( p^{143} T^{31} - \)\(31\!\cdots\!93\)\( p^{154} T^{32} - 1010373102600820547 p^{166} T^{33} - 4120937664684 p^{176} T^{34} + 1629109 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 - 8652808 T - 74126059694993 T^{2} + \)\(71\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( T^{4} - \)\(11\!\cdots\!96\)\( p T^{5} - \)\(13\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(58\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(74\!\cdots\!70\)\( T^{8} + \)\(66\!\cdots\!32\)\( T^{9} - \)\(27\!\cdots\!10\)\( T^{10} - \)\(30\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(17\!\cdots\!26\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{13} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( T^{14} - \)\(29\!\cdots\!88\)\( T^{15} - \)\(23\!\cdots\!01\)\( T^{16} + \)\(42\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(92\!\cdots\!77\)\( T^{18} + \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{11} T^{19} - \)\(23\!\cdots\!01\)\( p^{22} T^{20} - \)\(29\!\cdots\!88\)\( p^{33} T^{21} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( p^{44} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{55} T^{23} + \)\(17\!\cdots\!26\)\( p^{66} T^{24} - \)\(30\!\cdots\!12\)\( p^{77} T^{25} - \)\(27\!\cdots\!10\)\( p^{88} T^{26} + \)\(66\!\cdots\!32\)\( p^{99} T^{27} + \)\(74\!\cdots\!70\)\( p^{110} T^{28} - \)\(58\!\cdots\!64\)\( p^{121} T^{29} - \)\(13\!\cdots\!32\)\( p^{132} T^{30} - \)\(11\!\cdots\!96\)\( p^{144} T^{31} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( p^{154} T^{32} + \)\(71\!\cdots\!40\)\( p^{165} T^{33} - 74126059694993 p^{176} T^{34} - 8652808 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 + 601786 T - 6020154837111537 T^{2} - \)\(59\!\cdots\!90\)\( T^{3} + \)\(19\!\cdots\!27\)\( T^{4} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( T^{5} - \)\(40\!\cdots\!86\)\( T^{6} - \)\(87\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(62\!\cdots\!98\)\( T^{8} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{9} - \)\(76\!\cdots\!40\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( T^{11} + \)\(80\!\cdots\!92\)\( T^{12} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{13} - \)\(81\!\cdots\!56\)\( T^{14} - \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{15} + \)\(81\!\cdots\!61\)\( T^{16} + \)\(47\!\cdots\!62\)\( T^{17} - \)\(79\!\cdots\!21\)\( T^{18} + \)\(47\!\cdots\!62\)\( p^{11} T^{19} + \)\(81\!\cdots\!61\)\( p^{22} T^{20} - \)\(14\!\cdots\!84\)\( p^{33} T^{21} - \)\(81\!\cdots\!56\)\( p^{44} T^{22} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( p^{55} T^{23} + \)\(80\!\cdots\!92\)\( p^{66} T^{24} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( p^{77} T^{25} - \)\(76\!\cdots\!40\)\( p^{88} T^{26} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( p^{99} T^{27} + \)\(62\!\cdots\!98\)\( p^{110} T^{28} - \)\(87\!\cdots\!96\)\( p^{121} T^{29} - \)\(40\!\cdots\!86\)\( p^{132} T^{30} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( p^{143} T^{31} + \)\(19\!\cdots\!27\)\( p^{154} T^{32} - \)\(59\!\cdots\!90\)\( p^{165} T^{33} - 6020154837111537 p^{176} T^{34} + 601786 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 + 43747792 T - 59594432118337781 T^{2} - \)\(41\!\cdots\!28\)\( T^{3} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{4} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{5} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(39\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(43\!\cdots\!66\)\( T^{8} + \)\(72\!\cdots\!96\)\( T^{9} - \)\(41\!\cdots\!90\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( T^{12} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{13} + \)\(46\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{15} - \)\(11\!\cdots\!09\)\( T^{16} + \)\(48\!\cdots\!08\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!73\)\( T^{18} + \)\(48\!\cdots\!08\)\( p^{11} T^{19} - \)\(11\!\cdots\!09\)\( p^{22} T^{20} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{33} T^{21} + \)\(46\!\cdots\!00\)\( p^{44} T^{22} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{55} T^{23} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{66} T^{24} - \)\(10\!\cdots\!72\)\( p^{77} T^{25} - \)\(41\!\cdots\!90\)\( p^{88} T^{26} + \)\(72\!\cdots\!96\)\( p^{99} T^{27} + \)\(43\!\cdots\!66\)\( p^{110} T^{28} - \)\(39\!\cdots\!44\)\( p^{121} T^{29} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{132} T^{30} + \)\(16\!\cdots\!92\)\( p^{143} T^{31} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( p^{154} T^{32} - \)\(41\!\cdots\!28\)\( p^{165} T^{33} - 59594432118337781 p^{176} T^{34} + 43747792 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 31 | \( ( 1 - 263352261 T + 141384266949502745 T^{2} - \)\(29\!\cdots\!62\)\( T^{3} + \)\(90\!\cdots\!30\)\( T^{4} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{5} + \)\(37\!\cdots\!84\)\( T^{6} - \)\(64\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!69\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!21\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!69\)\( p^{11} T^{10} - \)\(64\!\cdots\!20\)\( p^{22} T^{11} + \)\(37\!\cdots\!84\)\( p^{33} T^{12} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{44} T^{13} + \)\(90\!\cdots\!30\)\( p^{55} T^{14} - \)\(29\!\cdots\!62\)\( p^{66} T^{15} + 141384266949502745 p^{77} T^{16} - 263352261 p^{88} T^{17} + p^{99} T^{18} )^{2} \) | |
| 37 | \( ( 1 - 866036995 T + 1510271066664312089 T^{2} - \)\(10\!\cdots\!64\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{4} - \)\(60\!\cdots\!02\)\( T^{5} + \)\(41\!\cdots\!98\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( T^{8} - \)\(44\!\cdots\!05\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( p^{11} T^{10} - \)\(20\!\cdots\!80\)\( p^{22} T^{11} + \)\(41\!\cdots\!98\)\( p^{33} T^{12} - \)\(60\!\cdots\!02\)\( p^{44} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( p^{55} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!64\)\( p^{66} T^{15} + 1510271066664312089 p^{77} T^{16} - 866036995 p^{88} T^{17} + p^{99} T^{18} )^{2} \) | |
| 41 | \( 1 + 581264904 T - 2323989521852168513 T^{2} - \)\(19\!\cdots\!84\)\( T^{3} + \)\(30\!\cdots\!77\)\( T^{4} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( T^{5} - \)\(25\!\cdots\!04\)\( T^{6} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{9} - \)\(57\!\cdots\!86\)\( T^{10} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(39\!\cdots\!54\)\( T^{12} - \)\(25\!\cdots\!12\)\( T^{13} - \)\(23\!\cdots\!20\)\( T^{14} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{15} + \)\(68\!\cdots\!07\)\( T^{16} - \)\(45\!\cdots\!24\)\( T^{17} - \)\(10\!\cdots\!91\)\( T^{18} - \)\(45\!\cdots\!24\)\( p^{11} T^{19} + \)\(68\!\cdots\!07\)\( p^{22} T^{20} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( p^{33} T^{21} - \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{44} T^{22} - \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{55} T^{23} + \)\(39\!\cdots\!54\)\( p^{66} T^{24} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( p^{77} T^{25} - \)\(57\!\cdots\!86\)\( p^{88} T^{26} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{99} T^{27} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( p^{110} T^{28} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( p^{121} T^{29} - \)\(25\!\cdots\!04\)\( p^{132} T^{30} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{143} T^{31} + \)\(30\!\cdots\!77\)\( p^{154} T^{32} - \)\(19\!\cdots\!84\)\( p^{165} T^{33} - 2323989521852168513 p^{176} T^{34} + 581264904 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 - 1231123053 T + 462183731505937900 T^{2} - \)\(21\!\cdots\!33\)\( T^{3} + \)\(14\!\cdots\!25\)\( T^{4} + \)\(38\!\cdots\!86\)\( T^{5} + \)\(41\!\cdots\!90\)\( T^{6} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(34\!\cdots\!47\)\( T^{8} - \)\(63\!\cdots\!35\)\( T^{9} + \)\(27\!\cdots\!82\)\( T^{10} - \)\(71\!\cdots\!45\)\( T^{11} + \)\(85\!\cdots\!35\)\( T^{12} - \)\(27\!\cdots\!04\)\( T^{13} + \)\(81\!\cdots\!70\)\( T^{14} - \)\(89\!\cdots\!34\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!88\)\( T^{16} - \)\(15\!\cdots\!50\)\( T^{17} + \)\(91\!\cdots\!76\)\( T^{18} - \)\(15\!\cdots\!50\)\( p^{11} T^{19} + \)\(19\!\cdots\!88\)\( p^{22} T^{20} - \)\(89\!\cdots\!34\)\( p^{33} T^{21} + \)\(81\!\cdots\!70\)\( p^{44} T^{22} - \)\(27\!\cdots\!04\)\( p^{55} T^{23} + \)\(85\!\cdots\!35\)\( p^{66} T^{24} - \)\(71\!\cdots\!45\)\( p^{77} T^{25} + \)\(27\!\cdots\!82\)\( p^{88} T^{26} - \)\(63\!\cdots\!35\)\( p^{99} T^{27} + \)\(34\!\cdots\!47\)\( p^{110} T^{28} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{121} T^{29} + \)\(41\!\cdots\!90\)\( p^{132} T^{30} + \)\(38\!\cdots\!86\)\( p^{143} T^{31} + \)\(14\!\cdots\!25\)\( p^{154} T^{32} - \)\(21\!\cdots\!33\)\( p^{165} T^{33} + 462183731505937900 p^{176} T^{34} - 1231123053 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + 2452492126 T - 5699783744614577787 T^{2} - \)\(25\!\cdots\!74\)\( T^{3} + \)\(69\!\cdots\!37\)\( T^{4} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( p T^{6} - \)\(28\!\cdots\!24\)\( T^{7} - \)\(57\!\cdots\!38\)\( T^{8} + \)\(27\!\cdots\!96\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{10} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{11} - \)\(17\!\cdots\!14\)\( T^{12} - \)\(98\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( T^{14} - \)\(29\!\cdots\!84\)\( T^{15} - \)\(90\!\cdots\!05\)\( T^{16} + \)\(48\!\cdots\!26\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!31\)\( T^{18} + \)\(48\!\cdots\!26\)\( p^{11} T^{19} - \)\(90\!\cdots\!05\)\( p^{22} T^{20} - \)\(29\!\cdots\!84\)\( p^{33} T^{21} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( p^{44} T^{22} - \)\(98\!\cdots\!68\)\( p^{55} T^{23} - \)\(17\!\cdots\!14\)\( p^{66} T^{24} + \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{77} T^{25} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{88} T^{26} + \)\(27\!\cdots\!96\)\( p^{99} T^{27} - \)\(57\!\cdots\!38\)\( p^{110} T^{28} - \)\(28\!\cdots\!24\)\( p^{121} T^{29} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( p^{133} T^{30} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{143} T^{31} + \)\(69\!\cdots\!37\)\( p^{154} T^{32} - \)\(25\!\cdots\!74\)\( p^{165} T^{33} - 5699783744614577787 p^{176} T^{34} + 2452492126 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 - 2454345210 T - 35510567671444085699 T^{2} - \)\(13\!\cdots\!54\)\( T^{3} + \)\(84\!\cdots\!91\)\( T^{4} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( T^{5} - \)\(12\!\cdots\!34\)\( T^{6} - \)\(53\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( T^{8} + \)\(93\!\cdots\!36\)\( T^{9} - \)\(56\!\cdots\!68\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{11} - \)\(28\!\cdots\!44\)\( p T^{12} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( T^{13} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( T^{14} - \)\(89\!\cdots\!76\)\( T^{15} - \)\(47\!\cdots\!11\)\( T^{16} + \)\(31\!\cdots\!14\)\( T^{17} + \)\(48\!\cdots\!21\)\( T^{18} + \)\(31\!\cdots\!14\)\( p^{11} T^{19} - \)\(47\!\cdots\!11\)\( p^{22} T^{20} - \)\(89\!\cdots\!76\)\( p^{33} T^{21} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{44} T^{22} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{55} T^{23} - \)\(28\!\cdots\!44\)\( p^{67} T^{24} - \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{77} T^{25} - \)\(56\!\cdots\!68\)\( p^{88} T^{26} + \)\(93\!\cdots\!36\)\( p^{99} T^{27} + \)\(10\!\cdots\!50\)\( p^{110} T^{28} - \)\(53\!\cdots\!84\)\( p^{121} T^{29} - \)\(12\!\cdots\!34\)\( p^{132} T^{30} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( p^{143} T^{31} + \)\(84\!\cdots\!91\)\( p^{154} T^{32} - \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{165} T^{33} - 35510567671444085699 p^{176} T^{34} - 2454345210 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 + 5356106228 T - \)\(15\!\cdots\!93\)\( T^{2} - \)\(24\!\cdots\!56\)\( T^{3} + \)\(15\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{5} - \)\(10\!\cdots\!54\)\( T^{6} + \)\(35\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(46\!\cdots\!30\)\( T^{8} - \)\(29\!\cdots\!96\)\( T^{9} - \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{10} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( T^{12} - \)\(60\!\cdots\!92\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{14} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( T^{15} - \)\(10\!\cdots\!55\)\( T^{16} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( T^{17} + \)\(39\!\cdots\!31\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( p^{11} T^{19} - \)\(10\!\cdots\!55\)\( p^{22} T^{20} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( p^{33} T^{21} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{44} T^{22} - \)\(60\!\cdots\!92\)\( p^{55} T^{23} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( p^{66} T^{24} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{77} T^{25} - \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{88} T^{26} - \)\(29\!\cdots\!96\)\( p^{99} T^{27} + \)\(46\!\cdots\!30\)\( p^{110} T^{28} + \)\(35\!\cdots\!64\)\( p^{121} T^{29} - \)\(10\!\cdots\!54\)\( p^{132} T^{30} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{143} T^{31} + \)\(15\!\cdots\!95\)\( p^{154} T^{32} - \)\(24\!\cdots\!56\)\( p^{165} T^{33} - \)\(15\!\cdots\!93\)\( p^{176} T^{34} + 5356106228 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 + 10202609247 T - 53169153681657923436 T^{2} - \)\(17\!\cdots\!41\)\( T^{3} - \)\(10\!\cdots\!77\)\( T^{4} + \)\(53\!\cdots\!46\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( T^{6} + \)\(68\!\cdots\!30\)\( T^{7} - \)\(24\!\cdots\!81\)\( T^{8} - \)\(59\!\cdots\!29\)\( T^{9} - \)\(31\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!03\)\( p T^{11} + \)\(21\!\cdots\!43\)\( T^{12} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{13} - \)\(23\!\cdots\!08\)\( T^{14} - \)\(62\!\cdots\!02\)\( T^{15} - \)\(26\!\cdots\!10\)\( T^{16} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{17} + \)\(17\!\cdots\!20\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{19} - \)\(26\!\cdots\!10\)\( p^{22} T^{20} - \)\(62\!\cdots\!02\)\( p^{33} T^{21} - \)\(23\!\cdots\!08\)\( p^{44} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( p^{55} T^{23} + \)\(21\!\cdots\!43\)\( p^{66} T^{24} + \)\(11\!\cdots\!03\)\( p^{78} T^{25} - \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{88} T^{26} - \)\(59\!\cdots\!29\)\( p^{99} T^{27} - \)\(24\!\cdots\!81\)\( p^{110} T^{28} + \)\(68\!\cdots\!30\)\( p^{121} T^{29} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( p^{132} T^{30} + \)\(53\!\cdots\!46\)\( p^{143} T^{31} - \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{154} T^{32} - \)\(17\!\cdots\!41\)\( p^{165} T^{33} - 53169153681657923436 p^{176} T^{34} + 10202609247 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 2114873497 T - \)\(49\!\cdots\!36\)\( T^{2} - \)\(40\!\cdots\!61\)\( T^{3} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{4} + \)\(22\!\cdots\!78\)\( T^{5} - \)\(17\!\cdots\!94\)\( T^{6} - \)\(60\!\cdots\!64\)\( T^{7} - \)\(75\!\cdots\!13\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!37\)\( T^{9} + \)\(55\!\cdots\!18\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!93\)\( T^{11} - \)\(15\!\cdots\!93\)\( T^{12} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(30\!\cdots\!78\)\( T^{14} - \)\(16\!\cdots\!54\)\( T^{15} - \)\(45\!\cdots\!88\)\( T^{16} + \)\(70\!\cdots\!02\)\( T^{17} + \)\(58\!\cdots\!68\)\( T^{18} + \)\(70\!\cdots\!02\)\( p^{11} T^{19} - \)\(45\!\cdots\!88\)\( p^{22} T^{20} - \)\(16\!\cdots\!54\)\( p^{33} T^{21} + \)\(30\!\cdots\!78\)\( p^{44} T^{22} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{55} T^{23} - \)\(15\!\cdots\!93\)\( p^{66} T^{24} - \)\(16\!\cdots\!93\)\( p^{77} T^{25} + \)\(55\!\cdots\!18\)\( p^{88} T^{26} + \)\(11\!\cdots\!37\)\( p^{99} T^{27} - \)\(75\!\cdots\!13\)\( p^{110} T^{28} - \)\(60\!\cdots\!64\)\( p^{121} T^{29} - \)\(17\!\cdots\!94\)\( p^{132} T^{30} + \)\(22\!\cdots\!78\)\( p^{143} T^{31} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{154} T^{32} - \)\(40\!\cdots\!61\)\( p^{165} T^{33} - \)\(49\!\cdots\!36\)\( p^{176} T^{34} - 2114873497 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 + 30585512466 T + 91053074276710484341 T^{2} - \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{3} - \)\(34\!\cdots\!23\)\( T^{4} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(86\!\cdots\!96\)\( T^{6} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( T^{8} - \)\(41\!\cdots\!24\)\( T^{9} - \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{10} - \)\(56\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(16\!\cdots\!14\)\( T^{12} + \)\(35\!\cdots\!76\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{14} - \)\(55\!\cdots\!72\)\( T^{15} - \)\(84\!\cdots\!37\)\( T^{16} + \)\(31\!\cdots\!02\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!75\)\( T^{18} + \)\(31\!\cdots\!02\)\( p^{11} T^{19} - \)\(84\!\cdots\!37\)\( p^{22} T^{20} - \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{33} T^{21} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( p^{44} T^{22} + \)\(35\!\cdots\!76\)\( p^{55} T^{23} + \)\(16\!\cdots\!14\)\( p^{66} T^{24} - \)\(56\!\cdots\!52\)\( p^{77} T^{25} - \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{88} T^{26} - \)\(41\!\cdots\!24\)\( p^{99} T^{27} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( p^{110} T^{28} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( p^{121} T^{29} + \)\(86\!\cdots\!96\)\( p^{132} T^{30} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( p^{143} T^{31} - \)\(34\!\cdots\!23\)\( p^{154} T^{32} - \)\(14\!\cdots\!10\)\( p^{165} T^{33} + 91053074276710484341 p^{176} T^{34} + 30585512466 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 + 27334067553 T - \)\(16\!\cdots\!40\)\( T^{2} - \)\(40\!\cdots\!95\)\( T^{3} + \)\(17\!\cdots\!31\)\( T^{4} + \)\(34\!\cdots\!98\)\( T^{5} - \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(19\!\cdots\!06\)\( T^{7} + \)\(83\!\cdots\!27\)\( T^{8} + \)\(80\!\cdots\!29\)\( T^{9} - \)\(41\!\cdots\!04\)\( T^{10} - \)\(25\!\cdots\!83\)\( T^{11} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( T^{12} + \)\(59\!\cdots\!90\)\( T^{13} - \)\(66\!\cdots\!48\)\( T^{14} - \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{15} + \)\(22\!\cdots\!06\)\( T^{16} + \)\(95\!\cdots\!84\)\( T^{17} - \)\(73\!\cdots\!68\)\( T^{18} + \)\(95\!\cdots\!84\)\( p^{11} T^{19} + \)\(22\!\cdots\!06\)\( p^{22} T^{20} - \)\(10\!\cdots\!42\)\( p^{33} T^{21} - \)\(66\!\cdots\!48\)\( p^{44} T^{22} + \)\(59\!\cdots\!90\)\( p^{55} T^{23} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( p^{66} T^{24} - \)\(25\!\cdots\!83\)\( p^{77} T^{25} - \)\(41\!\cdots\!04\)\( p^{88} T^{26} + \)\(80\!\cdots\!29\)\( p^{99} T^{27} + \)\(83\!\cdots\!27\)\( p^{110} T^{28} - \)\(19\!\cdots\!06\)\( p^{121} T^{29} - \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{132} T^{30} + \)\(34\!\cdots\!98\)\( p^{143} T^{31} + \)\(17\!\cdots\!31\)\( p^{154} T^{32} - \)\(40\!\cdots\!95\)\( p^{165} T^{33} - \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{176} T^{34} + 27334067553 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 - 7599860935 T - \)\(51\!\cdots\!80\)\( T^{2} + \)\(45\!\cdots\!33\)\( T^{3} + \)\(13\!\cdots\!89\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!30\)\( T^{5} - \)\(26\!\cdots\!82\)\( T^{6} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!87\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!77\)\( T^{9} - \)\(50\!\cdots\!86\)\( T^{10} + \)\(32\!\cdots\!05\)\( T^{11} + \)\(56\!\cdots\!35\)\( T^{12} - \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{13} - \)\(54\!\cdots\!34\)\( T^{14} + \)\(15\!\cdots\!50\)\( T^{15} + \)\(47\!\cdots\!96\)\( T^{16} - \)\(42\!\cdots\!50\)\( T^{17} - \)\(37\!\cdots\!96\)\( T^{18} - \)\(42\!\cdots\!50\)\( p^{11} T^{19} + \)\(47\!\cdots\!96\)\( p^{22} T^{20} + \)\(15\!\cdots\!50\)\( p^{33} T^{21} - \)\(54\!\cdots\!34\)\( p^{44} T^{22} - \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{55} T^{23} + \)\(56\!\cdots\!35\)\( p^{66} T^{24} + \)\(32\!\cdots\!05\)\( p^{77} T^{25} - \)\(50\!\cdots\!86\)\( p^{88} T^{26} - \)\(31\!\cdots\!77\)\( p^{99} T^{27} + \)\(40\!\cdots\!87\)\( p^{110} T^{28} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{121} T^{29} - \)\(26\!\cdots\!82\)\( p^{132} T^{30} - \)\(13\!\cdots\!30\)\( p^{143} T^{31} + \)\(13\!\cdots\!89\)\( p^{154} T^{32} + \)\(45\!\cdots\!33\)\( p^{165} T^{33} - \)\(51\!\cdots\!80\)\( p^{176} T^{34} - 7599860935 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 83 | \( ( 1 + 9267120764 T + \)\(68\!\cdots\!59\)\( T^{2} + \)\(92\!\cdots\!92\)\( T^{3} + \)\(22\!\cdots\!44\)\( T^{4} + \)\(35\!\cdots\!04\)\( T^{5} + \)\(49\!\cdots\!28\)\( T^{6} + \)\(77\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(84\!\cdots\!22\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!48\)\( T^{9} + \)\(84\!\cdots\!22\)\( p^{11} T^{10} + \)\(77\!\cdots\!44\)\( p^{22} T^{11} + \)\(49\!\cdots\!28\)\( p^{33} T^{12} + \)\(35\!\cdots\!04\)\( p^{44} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!44\)\( p^{55} T^{14} + \)\(92\!\cdots\!92\)\( p^{66} T^{15} + \)\(68\!\cdots\!59\)\( p^{77} T^{16} + 9267120764 p^{88} T^{17} + p^{99} T^{18} )^{2} \) | |
| 89 | \( 1 + 1098822748 p T - \)\(10\!\cdots\!31\)\( T^{2} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{3} + \)\(87\!\cdots\!07\)\( T^{4} + \)\(66\!\cdots\!12\)\( T^{5} - \)\(52\!\cdots\!58\)\( T^{6} - \)\(28\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!82\)\( T^{8} + \)\(85\!\cdots\!80\)\( T^{9} - \)\(94\!\cdots\!48\)\( T^{10} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{11} + \)\(28\!\cdots\!52\)\( T^{12} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( T^{13} - \)\(69\!\cdots\!24\)\( T^{14} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( T^{15} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( T^{16} - \)\(23\!\cdots\!64\)\( T^{17} - \)\(36\!\cdots\!27\)\( T^{18} - \)\(23\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{19} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( p^{22} T^{20} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( p^{33} T^{21} - \)\(69\!\cdots\!24\)\( p^{44} T^{22} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( p^{55} T^{23} + \)\(28\!\cdots\!52\)\( p^{66} T^{24} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( p^{77} T^{25} - \)\(94\!\cdots\!48\)\( p^{88} T^{26} + \)\(85\!\cdots\!80\)\( p^{99} T^{27} + \)\(25\!\cdots\!82\)\( p^{110} T^{28} - \)\(28\!\cdots\!56\)\( p^{121} T^{29} - \)\(52\!\cdots\!58\)\( p^{132} T^{30} + \)\(66\!\cdots\!12\)\( p^{143} T^{31} + \)\(87\!\cdots\!07\)\( p^{154} T^{32} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{165} T^{33} - \)\(10\!\cdots\!31\)\( p^{176} T^{34} + 1098822748 p^{188} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 149834378270 T - \)\(23\!\cdots\!13\)\( T^{2} - \)\(25\!\cdots\!34\)\( T^{3} + \)\(52\!\cdots\!93\)\( T^{4} + \)\(27\!\cdots\!04\)\( T^{5} - \)\(68\!\cdots\!92\)\( T^{6} - \)\(29\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(61\!\cdots\!78\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{9} - \)\(29\!\cdots\!58\)\( T^{10} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( T^{11} + \)\(62\!\cdots\!98\)\( T^{12} - \)\(32\!\cdots\!24\)\( T^{13} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( T^{14} - \)\(62\!\cdots\!12\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( T^{16} + \)\(32\!\cdots\!90\)\( T^{17} - \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{18} + \)\(32\!\cdots\!90\)\( p^{11} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( p^{22} T^{20} - \)\(62\!\cdots\!12\)\( p^{33} T^{21} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{44} T^{22} - \)\(32\!\cdots\!24\)\( p^{55} T^{23} + \)\(62\!\cdots\!98\)\( p^{66} T^{24} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( p^{77} T^{25} - \)\(29\!\cdots\!58\)\( p^{88} T^{26} - \)\(17\!\cdots\!44\)\( p^{99} T^{27} + \)\(61\!\cdots\!78\)\( p^{110} T^{28} - \)\(29\!\cdots\!32\)\( p^{121} T^{29} - \)\(68\!\cdots\!92\)\( p^{132} T^{30} + \)\(27\!\cdots\!04\)\( p^{143} T^{31} + \)\(52\!\cdots\!93\)\( p^{154} T^{32} - \)\(25\!\cdots\!34\)\( p^{165} T^{33} - \)\(23\!\cdots\!13\)\( p^{176} T^{34} + 149834378270 p^{187} T^{35} + p^{198} T^{36} \) | |
| show more | ||
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.09791874579092752697833372296, −1.92725842585181145154170722568, −1.87182118575074680076139563502, −1.84062871312829287696792714948, −1.83371926223211766522087020954, −1.58075189423648565928982237162, −1.55818140517301614884563621061, −1.46765430786149094777245250773, −1.33082538127485126556510400283, −1.28970941390046488221449618148, −1.27605719206815124258170131218, −1.15851248489508380019867361551, −1.11984211052502281465300711342, −1.11579873639985801692697566847, −1.05728193899987128165381891987, −0.971484591866997280321061058777, −0.58968918271574200143495528272, −0.46651727133153734644397781909, −0.46162355042625930576984934995, −0.45819667603067304480354510046, −0.42299029904573296682609696356, −0.28243874117785685839112216197, −0.24195572875107044003384529635, −0.17662959220949415469808703610, −0.16870463946541500447309229231, 0.16870463946541500447309229231, 0.17662959220949415469808703610, 0.24195572875107044003384529635, 0.28243874117785685839112216197, 0.42299029904573296682609696356, 0.45819667603067304480354510046, 0.46162355042625930576984934995, 0.46651727133153734644397781909, 0.58968918271574200143495528272, 0.971484591866997280321061058777, 1.05728193899987128165381891987, 1.11579873639985801692697566847, 1.11984211052502281465300711342, 1.15851248489508380019867361551, 1.27605719206815124258170131218, 1.28970941390046488221449618148, 1.33082538127485126556510400283, 1.46765430786149094777245250773, 1.55818140517301614884563621061, 1.58075189423648565928982237162, 1.83371926223211766522087020954, 1.84062871312829287696792714948, 1.87182118575074680076139563502, 1.92725842585181145154170722568, 2.09791874579092752697833372296
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.