Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 8·2-s + 15·3-s + 23·4-s − 15·5-s − 120·6-s + 13·7-s − 16·8-s + 120·9-s + 120·10-s + 3·11-s + 345·12-s − 14·13-s − 104·14-s − 225·15-s − 57·16-s − 4·17-s − 960·18-s + 3·19-s − 345·20-s + 195·21-s − 24·22-s − 240·24-s + 120·25-s + 112·26-s + 680·27-s + 299·28-s − 31·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 5.65·2-s + 8.66·3-s + 23/2·4-s − 6.70·5-s − 48.9·6-s + 4.91·7-s − 5.65·8-s + 40·9-s + 37.9·10-s + 0.904·11-s + 99.5·12-s − 3.88·13-s − 27.7·14-s − 58.0·15-s − 14.2·16-s − 0.970·17-s − 226.·18-s + 0.688·19-s − 77.1·20-s + 42.5·21-s − 5.11·22-s − 48.9·24-s + 24·25-s + 21.9·26-s + 130.·27-s + 56.5·28-s − 5.75·29-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(30\) |
| Conductor: | \(3^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(1.06502\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(7.95998\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(15\) |
| Selberg data: | \((30,\ 3^{15} \cdot 5^{15} \cdot 23^{30} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 - T )^{15} \) |
| 5 | \( ( 1 + T )^{15} \) | |
| 23 | \( 1 \) | |
| good | 2 | \( 1 + p^{3} T + 41 T^{2} + 5 p^{5} T^{3} + 261 p T^{4} + 743 p T^{5} + 949 p^{2} T^{6} + 1107 p^{3} T^{7} + 9555 p T^{8} + 19237 p T^{9} + 72743 T^{10} + 64877 p T^{11} + 219109 T^{12} + 351131 T^{13} + 534909 T^{14} + 775379 T^{15} + 534909 p T^{16} + 351131 p^{2} T^{17} + 219109 p^{3} T^{18} + 64877 p^{5} T^{19} + 72743 p^{5} T^{20} + 19237 p^{7} T^{21} + 9555 p^{8} T^{22} + 1107 p^{11} T^{23} + 949 p^{11} T^{24} + 743 p^{11} T^{25} + 261 p^{12} T^{26} + 5 p^{17} T^{27} + 41 p^{13} T^{28} + p^{17} T^{29} + p^{15} T^{30} \) |
| 7 | \( 1 - 13 T + 156 T^{2} - 1264 T^{3} + 1329 p T^{4} - 56489 T^{5} + 315258 T^{6} - 1548948 T^{7} + 7068795 T^{8} - 29239163 T^{9} + 2309632 p^{2} T^{10} - 403028203 T^{11} + 1349442603 T^{12} - 4190036549 T^{13} + 12264600900 T^{14} - 33406582005 T^{15} + 12264600900 p T^{16} - 4190036549 p^{2} T^{17} + 1349442603 p^{3} T^{18} - 403028203 p^{4} T^{19} + 2309632 p^{7} T^{20} - 29239163 p^{6} T^{21} + 7068795 p^{7} T^{22} - 1548948 p^{8} T^{23} + 315258 p^{9} T^{24} - 56489 p^{10} T^{25} + 1329 p^{12} T^{26} - 1264 p^{12} T^{27} + 156 p^{13} T^{28} - 13 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 11 | \( 1 - 3 T + 89 T^{2} - 255 T^{3} + 3875 T^{4} - 10910 T^{5} + 110172 T^{6} - 315147 T^{7} + 2314091 T^{8} - 6905434 T^{9} + 3516435 p T^{10} - 1002792 p^{2} T^{11} + 543071582 T^{12} - 1755076160 T^{13} + 6669850608 T^{14} - 21129618885 T^{15} + 6669850608 p T^{16} - 1755076160 p^{2} T^{17} + 543071582 p^{3} T^{18} - 1002792 p^{6} T^{19} + 3516435 p^{6} T^{20} - 6905434 p^{6} T^{21} + 2314091 p^{7} T^{22} - 315147 p^{8} T^{23} + 110172 p^{9} T^{24} - 10910 p^{10} T^{25} + 3875 p^{11} T^{26} - 255 p^{12} T^{27} + 89 p^{13} T^{28} - 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 13 | \( 1 + 14 T + 214 T^{2} + 152 p T^{3} + 17946 T^{4} + 126543 T^{5} + 860231 T^{6} + 4977389 T^{7} + 27683404 T^{8} + 137447198 T^{9} + 657366417 T^{10} + 2891099000 T^{11} + 12292354435 T^{12} + 48991576862 T^{13} + 189357265221 T^{14} + 692864576591 T^{15} + 189357265221 p T^{16} + 48991576862 p^{2} T^{17} + 12292354435 p^{3} T^{18} + 2891099000 p^{4} T^{19} + 657366417 p^{5} T^{20} + 137447198 p^{6} T^{21} + 27683404 p^{7} T^{22} + 4977389 p^{8} T^{23} + 860231 p^{9} T^{24} + 126543 p^{10} T^{25} + 17946 p^{11} T^{26} + 152 p^{13} T^{27} + 214 p^{13} T^{28} + 14 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 17 | \( 1 + 4 T + 116 T^{2} + 523 T^{3} + 7067 T^{4} + 34587 T^{5} + 17563 p T^{6} + 1515549 T^{7} + 9844049 T^{8} + 49269829 T^{9} + 268613493 T^{10} + 74652844 p T^{11} + 6226448366 T^{12} + 27123436847 T^{13} + 123555334964 T^{14} + 495795462935 T^{15} + 123555334964 p T^{16} + 27123436847 p^{2} T^{17} + 6226448366 p^{3} T^{18} + 74652844 p^{5} T^{19} + 268613493 p^{5} T^{20} + 49269829 p^{6} T^{21} + 9844049 p^{7} T^{22} + 1515549 p^{8} T^{23} + 17563 p^{10} T^{24} + 34587 p^{10} T^{25} + 7067 p^{11} T^{26} + 523 p^{12} T^{27} + 116 p^{13} T^{28} + 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 19 | \( 1 - 3 T + 105 T^{2} - 119 T^{3} + 5008 T^{4} + 2612 T^{5} + 165625 T^{6} + 297954 T^{7} + 4774486 T^{8} + 11258836 T^{9} + 124984397 T^{10} + 317062257 T^{11} + 2834360230 T^{12} + 7891254814 T^{13} + 56871429530 T^{14} + 166349721319 T^{15} + 56871429530 p T^{16} + 7891254814 p^{2} T^{17} + 2834360230 p^{3} T^{18} + 317062257 p^{4} T^{19} + 124984397 p^{5} T^{20} + 11258836 p^{6} T^{21} + 4774486 p^{7} T^{22} + 297954 p^{8} T^{23} + 165625 p^{9} T^{24} + 2612 p^{10} T^{25} + 5008 p^{11} T^{26} - 119 p^{12} T^{27} + 105 p^{13} T^{28} - 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 29 | \( 1 + 31 T + 661 T^{2} + 9823 T^{3} + 119690 T^{4} + 1185835 T^{5} + 10144591 T^{6} + 73356508 T^{7} + 460455949 T^{8} + 2367846669 T^{9} + 9539238837 T^{10} + 17899776317 T^{11} - 117596302684 T^{12} - 62942774118 p T^{13} - 14145342084222 T^{14} - 86217374378753 T^{15} - 14145342084222 p T^{16} - 62942774118 p^{3} T^{17} - 117596302684 p^{3} T^{18} + 17899776317 p^{4} T^{19} + 9539238837 p^{5} T^{20} + 2367846669 p^{6} T^{21} + 460455949 p^{7} T^{22} + 73356508 p^{8} T^{23} + 10144591 p^{9} T^{24} + 1185835 p^{10} T^{25} + 119690 p^{11} T^{26} + 9823 p^{12} T^{27} + 661 p^{13} T^{28} + 31 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 31 | \( 1 + 10 T + 304 T^{2} + 2721 T^{3} + 46585 T^{4} + 12162 p T^{5} + 4732904 T^{6} + 34768365 T^{7} + 354091525 T^{8} + 2367300355 T^{9} + 20574698896 T^{10} + 125337485507 T^{11} + 956582322300 T^{12} + 5306853934565 T^{13} + 36180436455247 T^{14} + 182262046158477 T^{15} + 36180436455247 p T^{16} + 5306853934565 p^{2} T^{17} + 956582322300 p^{3} T^{18} + 125337485507 p^{4} T^{19} + 20574698896 p^{5} T^{20} + 2367300355 p^{6} T^{21} + 354091525 p^{7} T^{22} + 34768365 p^{8} T^{23} + 4732904 p^{9} T^{24} + 12162 p^{11} T^{25} + 46585 p^{11} T^{26} + 2721 p^{12} T^{27} + 304 p^{13} T^{28} + 10 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 37 | \( 1 + 6 T + 214 T^{2} + 1166 T^{3} + 24744 T^{4} + 116492 T^{5} + 2019713 T^{6} + 8254000 T^{7} + 129573488 T^{8} + 464003537 T^{9} + 6941839766 T^{10} + 21918327754 T^{11} + 321930211043 T^{12} + 915459286649 T^{13} + 13241727521381 T^{14} + 35112051603725 T^{15} + 13241727521381 p T^{16} + 915459286649 p^{2} T^{17} + 321930211043 p^{3} T^{18} + 21918327754 p^{4} T^{19} + 6941839766 p^{5} T^{20} + 464003537 p^{6} T^{21} + 129573488 p^{7} T^{22} + 8254000 p^{8} T^{23} + 2019713 p^{9} T^{24} + 116492 p^{10} T^{25} + 24744 p^{11} T^{26} + 1166 p^{12} T^{27} + 214 p^{13} T^{28} + 6 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 41 | \( 1 + 68 T + 2573 T^{2} + 68740 T^{3} + 1434146 T^{4} + 24613584 T^{5} + 359125463 T^{6} + 4554509939 T^{7} + 51050705464 T^{8} + 512527942129 T^{9} + 4663631226473 T^{10} + 38895034330852 T^{11} + 300701938418192 T^{12} + 2179253147202759 T^{13} + 14956320760161200 T^{14} + 97918347668920611 T^{15} + 14956320760161200 p T^{16} + 2179253147202759 p^{2} T^{17} + 300701938418192 p^{3} T^{18} + 38895034330852 p^{4} T^{19} + 4663631226473 p^{5} T^{20} + 512527942129 p^{6} T^{21} + 51050705464 p^{7} T^{22} + 4554509939 p^{8} T^{23} + 359125463 p^{9} T^{24} + 24613584 p^{10} T^{25} + 1434146 p^{11} T^{26} + 68740 p^{12} T^{27} + 2573 p^{13} T^{28} + 68 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 43 | \( 1 - 28 T + 655 T^{2} - 11498 T^{3} + 175097 T^{4} - 2328651 T^{5} + 28021101 T^{6} - 307680972 T^{7} + 3127657613 T^{8} - 29610040636 T^{9} + 262884358396 T^{10} - 2196743834706 T^{11} + 17347483573889 T^{12} - 3015165495330 p T^{13} + 919366069384580 T^{14} - 6185652766416637 T^{15} + 919366069384580 p T^{16} - 3015165495330 p^{3} T^{17} + 17347483573889 p^{3} T^{18} - 2196743834706 p^{4} T^{19} + 262884358396 p^{5} T^{20} - 29610040636 p^{6} T^{21} + 3127657613 p^{7} T^{22} - 307680972 p^{8} T^{23} + 28021101 p^{9} T^{24} - 2328651 p^{10} T^{25} + 175097 p^{11} T^{26} - 11498 p^{12} T^{27} + 655 p^{13} T^{28} - 28 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 47 | \( 1 + 33 T + 889 T^{2} + 16590 T^{3} + 270105 T^{4} + 3635202 T^{5} + 44231333 T^{6} + 472393594 T^{7} + 4670803971 T^{8} + 41852761541 T^{9} + 354451391607 T^{10} + 2786881162876 T^{11} + 21169468751157 T^{12} + 152662064434687 T^{13} + 1086465310455104 T^{14} + 7461306154434177 T^{15} + 1086465310455104 p T^{16} + 152662064434687 p^{2} T^{17} + 21169468751157 p^{3} T^{18} + 2786881162876 p^{4} T^{19} + 354451391607 p^{5} T^{20} + 41852761541 p^{6} T^{21} + 4670803971 p^{7} T^{22} + 472393594 p^{8} T^{23} + 44231333 p^{9} T^{24} + 3635202 p^{10} T^{25} + 270105 p^{11} T^{26} + 16590 p^{12} T^{27} + 889 p^{13} T^{28} + 33 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 53 | \( 1 + 20 T + 570 T^{2} + 8034 T^{3} + 141359 T^{4} + 1633391 T^{5} + 22524350 T^{6} + 226426596 T^{7} + 2648931116 T^{8} + 23787900215 T^{9} + 245255973326 T^{10} + 37699181583 p T^{11} + 18548311714900 T^{12} + 138214882057528 T^{13} + 1168953308084629 T^{14} + 7992510895467567 T^{15} + 1168953308084629 p T^{16} + 138214882057528 p^{2} T^{17} + 18548311714900 p^{3} T^{18} + 37699181583 p^{5} T^{19} + 245255973326 p^{5} T^{20} + 23787900215 p^{6} T^{21} + 2648931116 p^{7} T^{22} + 226426596 p^{8} T^{23} + 22524350 p^{9} T^{24} + 1633391 p^{10} T^{25} + 141359 p^{11} T^{26} + 8034 p^{12} T^{27} + 570 p^{13} T^{28} + 20 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 59 | \( 1 + p T + 2140 T^{2} + 57349 T^{3} + 1251808 T^{4} + 23267049 T^{5} + 379602855 T^{6} + 5539626903 T^{7} + 73330360719 T^{8} + 889135141477 T^{9} + 9949333008187 T^{10} + 103300866996800 T^{11} + 999299529712457 T^{12} + 9032572972215544 T^{13} + 76441701968475873 T^{14} + 606355020146038331 T^{15} + 76441701968475873 p T^{16} + 9032572972215544 p^{2} T^{17} + 999299529712457 p^{3} T^{18} + 103300866996800 p^{4} T^{19} + 9949333008187 p^{5} T^{20} + 889135141477 p^{6} T^{21} + 73330360719 p^{7} T^{22} + 5539626903 p^{8} T^{23} + 379602855 p^{9} T^{24} + 23267049 p^{10} T^{25} + 1251808 p^{11} T^{26} + 57349 p^{12} T^{27} + 2140 p^{13} T^{28} + p^{15} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 61 | \( 1 - 39 T + 1205 T^{2} - 24834 T^{3} + 442188 T^{4} - 6293624 T^{5} + 81231633 T^{6} - 899258226 T^{7} + 9435651045 T^{8} - 88984758245 T^{9} + 829316265123 T^{10} - 7148871689222 T^{11} + 62349976523843 T^{12} - 506673537183223 T^{13} + 4196718637878995 T^{14} - 32422611659728087 T^{15} + 4196718637878995 p T^{16} - 506673537183223 p^{2} T^{17} + 62349976523843 p^{3} T^{18} - 7148871689222 p^{4} T^{19} + 829316265123 p^{5} T^{20} - 88984758245 p^{6} T^{21} + 9435651045 p^{7} T^{22} - 899258226 p^{8} T^{23} + 81231633 p^{9} T^{24} - 6293624 p^{10} T^{25} + 442188 p^{11} T^{26} - 24834 p^{12} T^{27} + 1205 p^{13} T^{28} - 39 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 67 | \( 1 - 12 T + 717 T^{2} - 7228 T^{3} + 244321 T^{4} - 2137778 T^{5} + 53506368 T^{6} - 415357701 T^{7} + 8521024115 T^{8} - 59525533013 T^{9} + 1051818758772 T^{10} - 6667229870450 T^{11} + 104258626622870 T^{12} - 601863702688758 T^{13} + 8459938071681712 T^{14} - 44468020371134719 T^{15} + 8459938071681712 p T^{16} - 601863702688758 p^{2} T^{17} + 104258626622870 p^{3} T^{18} - 6667229870450 p^{4} T^{19} + 1051818758772 p^{5} T^{20} - 59525533013 p^{6} T^{21} + 8521024115 p^{7} T^{22} - 415357701 p^{8} T^{23} + 53506368 p^{9} T^{24} - 2137778 p^{10} T^{25} + 244321 p^{11} T^{26} - 7228 p^{12} T^{27} + 717 p^{13} T^{28} - 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 71 | \( 1 + 34 T + 1003 T^{2} + 19036 T^{3} + 316201 T^{4} + 3981497 T^{5} + 43853106 T^{6} + 362170334 T^{7} + 2491020770 T^{8} + 9240605467 T^{9} + 17460424078 T^{10} - 88541256870 T^{11} + 6135459367769 T^{12} + 123270264951062 T^{13} + 1819791357157813 T^{14} + 16713328925230111 T^{15} + 1819791357157813 p T^{16} + 123270264951062 p^{2} T^{17} + 6135459367769 p^{3} T^{18} - 88541256870 p^{4} T^{19} + 17460424078 p^{5} T^{20} + 9240605467 p^{6} T^{21} + 2491020770 p^{7} T^{22} + 362170334 p^{8} T^{23} + 43853106 p^{9} T^{24} + 3981497 p^{10} T^{25} + 316201 p^{11} T^{26} + 19036 p^{12} T^{27} + 1003 p^{13} T^{28} + 34 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 73 | \( 1 + 57 T + 2179 T^{2} + 61815 T^{3} + 1451804 T^{4} + 29152145 T^{5} + 516953694 T^{6} + 8221766016 T^{7} + 119000274339 T^{8} + 1580963983616 T^{9} + 19431522241749 T^{10} + 222052132564027 T^{11} + 2369802644233672 T^{12} + 23683028747263047 T^{13} + 222146117704030481 T^{14} + 1957585837250826977 T^{15} + 222146117704030481 p T^{16} + 23683028747263047 p^{2} T^{17} + 2369802644233672 p^{3} T^{18} + 222052132564027 p^{4} T^{19} + 19431522241749 p^{5} T^{20} + 1580963983616 p^{6} T^{21} + 119000274339 p^{7} T^{22} + 8221766016 p^{8} T^{23} + 516953694 p^{9} T^{24} + 29152145 p^{10} T^{25} + 1451804 p^{11} T^{26} + 61815 p^{12} T^{27} + 2179 p^{13} T^{28} + 57 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 79 | \( 1 + 13 T + 917 T^{2} + 9937 T^{3} + 395361 T^{4} + 3688550 T^{5} + 108299831 T^{6} + 888821821 T^{7} + 21309213817 T^{8} + 156041786619 T^{9} + 3209710371067 T^{10} + 21158013842623 T^{11} + 383615449043247 T^{12} + 2286950717607461 T^{13} + 37109391217034756 T^{14} + 200241825310785015 T^{15} + 37109391217034756 p T^{16} + 2286950717607461 p^{2} T^{17} + 383615449043247 p^{3} T^{18} + 21158013842623 p^{4} T^{19} + 3209710371067 p^{5} T^{20} + 156041786619 p^{6} T^{21} + 21309213817 p^{7} T^{22} + 888821821 p^{8} T^{23} + 108299831 p^{9} T^{24} + 3688550 p^{10} T^{25} + 395361 p^{11} T^{26} + 9937 p^{12} T^{27} + 917 p^{13} T^{28} + 13 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 83 | \( 1 + 20 T + 776 T^{2} + 13072 T^{3} + 298719 T^{4} + 4372995 T^{5} + 75399198 T^{6} + 981143621 T^{7} + 14010341067 T^{8} + 164574965318 T^{9} + 2040204490236 T^{10} + 21857740529089 T^{11} + 241784727136454 T^{12} + 2376656585953562 T^{13} + 23851178231933081 T^{14} + 215423556101261121 T^{15} + 23851178231933081 p T^{16} + 2376656585953562 p^{2} T^{17} + 241784727136454 p^{3} T^{18} + 21857740529089 p^{4} T^{19} + 2040204490236 p^{5} T^{20} + 164574965318 p^{6} T^{21} + 14010341067 p^{7} T^{22} + 981143621 p^{8} T^{23} + 75399198 p^{9} T^{24} + 4372995 p^{10} T^{25} + 298719 p^{11} T^{26} + 13072 p^{12} T^{27} + 776 p^{13} T^{28} + 20 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 89 | \( 1 + 5 T + 676 T^{2} + 4093 T^{3} + 227680 T^{4} + 1526279 T^{5} + 51265849 T^{6} + 361911951 T^{7} + 8728685493 T^{8} + 62943887862 T^{9} + 1206812703855 T^{10} + 8672147034924 T^{11} + 141513452040303 T^{12} + 988904999134872 T^{13} + 14395219325861895 T^{14} + 95393288235896575 T^{15} + 14395219325861895 p T^{16} + 988904999134872 p^{2} T^{17} + 141513452040303 p^{3} T^{18} + 8672147034924 p^{4} T^{19} + 1206812703855 p^{5} T^{20} + 62943887862 p^{6} T^{21} + 8728685493 p^{7} T^{22} + 361911951 p^{8} T^{23} + 51265849 p^{9} T^{24} + 1526279 p^{10} T^{25} + 227680 p^{11} T^{26} + 4093 p^{12} T^{27} + 676 p^{13} T^{28} + 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 97 | \( 1 - 64 T + 3073 T^{2} - 104937 T^{3} + 3034516 T^{4} - 73505180 T^{5} + 1581096240 T^{6} - 30093770620 T^{7} + 521455374443 T^{8} - 8208933715451 T^{9} + 119397867281195 T^{10} - 1601148948400252 T^{11} + 20018800497462086 T^{12} - 232701736831339376 T^{13} + 2534644175696701801 T^{14} - 25767451527293789229 T^{15} + 2534644175696701801 p T^{16} - 232701736831339376 p^{2} T^{17} + 20018800497462086 p^{3} T^{18} - 1601148948400252 p^{4} T^{19} + 119397867281195 p^{5} T^{20} - 8208933715451 p^{6} T^{21} + 521455374443 p^{7} T^{22} - 30093770620 p^{8} T^{23} + 1581096240 p^{9} T^{24} - 73505180 p^{10} T^{25} + 3034516 p^{11} T^{26} - 104937 p^{12} T^{27} + 3073 p^{13} T^{28} - 64 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.27354417099602401233391528623, −2.19475202183725985884574022289, −2.19138011931457801312499311864, −2.19020604209210102758736535682, −2.01555526789016810548318639837, −2.01421110683930860505514980058, −1.97370343111456379183271846711, −1.96088833988123124202207651139, −1.94591884247273855356932093072, −1.74220784064512870708766132436, −1.63050274002253773266181715337, −1.55388406798660801115874022495, −1.53540190226560661183449549652, −1.40089163286217225839646888544, −1.35607954395141377429724364335, −1.34459984656030090128950413075, −1.33431911091377213211604392226, −1.22680046150941307398174632976, −1.21795270275303681156848930234, −1.18251053731825424034835368621, −1.15637436822469154308114603079, −1.12548011532323929263695992201, −1.10025368468993005615335617278, −1.05201458969844355210088717479, −1.04018960532944674539075135722, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.04018960532944674539075135722, 1.05201458969844355210088717479, 1.10025368468993005615335617278, 1.12548011532323929263695992201, 1.15637436822469154308114603079, 1.18251053731825424034835368621, 1.21795270275303681156848930234, 1.22680046150941307398174632976, 1.33431911091377213211604392226, 1.34459984656030090128950413075, 1.35607954395141377429724364335, 1.40089163286217225839646888544, 1.53540190226560661183449549652, 1.55388406798660801115874022495, 1.63050274002253773266181715337, 1.74220784064512870708766132436, 1.94591884247273855356932093072, 1.96088833988123124202207651139, 1.97370343111456379183271846711, 2.01421110683930860505514980058, 2.01555526789016810548318639837, 2.19020604209210102758736535682, 2.19138011931457801312499311864, 2.19475202183725985884574022289, 2.27354417099602401233391528623
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.