| L(s) = 1 | − 13·3-s + 31·5-s − 408·9-s + 351·11-s − 54·13-s − 403·15-s + 111·17-s − 1.03e3·19-s − 3.63e3·23-s − 6.56e3·25-s + 5.88e3·27-s − 734·29-s − 7.67e3·31-s − 4.56e3·33-s + 1.35e4·37-s + 702·39-s + 5.31e3·41-s − 764·43-s − 1.26e4·45-s − 6.67e3·47-s − 1.44e3·51-s − 3.07e4·53-s + 1.08e4·55-s + 1.34e4·57-s − 8.79e4·59-s + 1.98e4·61-s − 1.67e3·65-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.833·3-s + 0.554·5-s − 1.67·9-s + 0.874·11-s − 0.0886·13-s − 0.462·15-s + 0.0931·17-s − 0.657·19-s − 1.43·23-s − 2.09·25-s + 1.55·27-s − 0.162·29-s − 1.43·31-s − 0.729·33-s + 1.63·37-s + 0.0739·39-s + 0.493·41-s − 0.0630·43-s − 0.931·45-s − 0.440·47-s − 0.0776·51-s − 1.50·53-s + 0.485·55-s + 0.548·57-s − 3.29·59-s + 0.684·61-s − 0.0491·65-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 13 T + 577 T^{2} + 2306 p T^{3} + 71987 p T^{4} + 272027 p^{2} T^{5} + 71987 p^{6} T^{6} + 2306 p^{11} T^{7} + 577 p^{15} T^{8} + 13 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 31 T + 7523 T^{2} - 211098 T^{3} + 35885621 T^{4} - 856011641 T^{5} + 35885621 p^{5} T^{6} - 211098 p^{10} T^{7} + 7523 p^{15} T^{8} - 31 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 351 T + 177233 T^{2} + 31172550 T^{3} - 967198231 T^{4} + 11796493546311 T^{5} - 967198231 p^{5} T^{6} + 31172550 p^{10} T^{7} + 177233 p^{15} T^{8} - 351 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 54 T + 873321 T^{2} + 358374600 T^{3} + 298039985426 T^{4} + 251408463015396 T^{5} + 298039985426 p^{5} T^{6} + 358374600 p^{10} T^{7} + 873321 p^{15} T^{8} + 54 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 111 T + 4678687 T^{2} - 1251396026 T^{3} + 10568571917677 T^{4} - 3056693662838201 T^{5} + 10568571917677 p^{5} T^{6} - 1251396026 p^{10} T^{7} + 4678687 p^{15} T^{8} - 111 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1035 T + 6790873 T^{2} + 997813346 T^{3} + 888718427491 p T^{4} - 21887622001531 p^{2} T^{5} + 888718427491 p^{6} T^{6} + 997813346 p^{10} T^{7} + 6790873 p^{15} T^{8} + 1035 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 3639 T + 11142037 T^{2} + 35976300562 T^{3} + 79755569002945 T^{4} + 142626242756422393 T^{5} + 79755569002945 p^{5} T^{6} + 35976300562 p^{10} T^{7} + 11142037 p^{15} T^{8} + 3639 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 734 T + 46386553 T^{2} + 57353563048 T^{3} + 1442098005782866 T^{4} + 1367228154690339540 T^{5} + 1442098005782866 p^{5} T^{6} + 57353563048 p^{10} T^{7} + 46386553 p^{15} T^{8} + 734 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7677 T + 90526117 T^{2} + 243748396910 T^{3} + 1912802619137521 T^{4} + 126811194503976251 T^{5} + 1912802619137521 p^{5} T^{6} + 243748396910 p^{10} T^{7} + 90526117 p^{15} T^{8} + 7677 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 13595 T + 137151123 T^{2} - 720897937970 T^{3} + 1281010231371637 T^{4} + 31601926925651712339 T^{5} + 1281010231371637 p^{5} T^{6} - 720897937970 p^{10} T^{7} + 137151123 p^{15} T^{8} - 13595 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 5310 T + 296045893 T^{2} - 943118747720 T^{3} + 54302591056754818 T^{4} - \)\(16\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 54302591056754818 p^{5} T^{6} - 943118747720 p^{10} T^{7} + 296045893 p^{15} T^{8} - 5310 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 764 T + 396805959 T^{2} + 1009271861200 T^{3} + 77383979542124954 T^{4} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{5} + 77383979542124954 p^{5} T^{6} + 1009271861200 p^{10} T^{7} + 396805959 p^{15} T^{8} + 764 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 6675 T + 687393109 T^{2} + 4226349265618 T^{3} + 263988866582446609 T^{4} + \)\(13\!\cdots\!17\)\( T^{5} + 263988866582446609 p^{5} T^{6} + 4226349265618 p^{10} T^{7} + 687393109 p^{15} T^{8} + 6675 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 30753 T + 1500076051 T^{2} + 30212592691622 T^{3} + 897234618710742805 T^{4} + \)\(14\!\cdots\!27\)\( T^{5} + 897234618710742805 p^{5} T^{6} + 30212592691622 p^{10} T^{7} + 1500076051 p^{15} T^{8} + 30753 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 87989 T + 6148041497 T^{2} + 274630899099286 T^{3} + 10509771550899707209 T^{4} + \)\(30\!\cdots\!75\)\( T^{5} + 10509771550899707209 p^{5} T^{6} + 274630899099286 p^{10} T^{7} + 6148041497 p^{15} T^{8} + 87989 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 19899 T + 2953284203 T^{2} - 17855040698770 T^{3} + 3307761545821854949 T^{4} + \)\(78\!\cdots\!03\)\( T^{5} + 3307761545821854949 p^{5} T^{6} - 17855040698770 p^{10} T^{7} + 2953284203 p^{15} T^{8} - 19899 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 33067 T + 4929716849 T^{2} - 150527333528090 T^{3} + 176231153196456563 p T^{4} - \)\(28\!\cdots\!01\)\( T^{5} + 176231153196456563 p^{6} T^{6} - 150527333528090 p^{10} T^{7} + 4929716849 p^{15} T^{8} - 33067 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 108720 T + 11333463875 T^{2} - 749616949980480 T^{3} + 44610710523298147370 T^{4} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( T^{5} + 44610710523298147370 p^{5} T^{6} - 749616949980480 p^{10} T^{7} + 11333463875 p^{15} T^{8} - 108720 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 141659 T + 16944588951 T^{2} - 1273964612274690 T^{3} + 83666203880909104893 T^{4} - \)\(40\!\cdots\!49\)\( T^{5} + 83666203880909104893 p^{5} T^{6} - 1273964612274690 p^{10} T^{7} + 16944588951 p^{15} T^{8} - 141659 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 118919 T + 10005714285 T^{2} + 502872393230034 T^{3} + 279608539579715199 p T^{4} + \)\(75\!\cdots\!57\)\( T^{5} + 279608539579715199 p^{6} T^{6} + 502872393230034 p^{10} T^{7} + 10005714285 p^{15} T^{8} + 118919 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 211004 T + 35077310575 T^{2} + 3721328937296208 T^{3} + \)\(33\!\cdots\!78\)\( T^{4} + \)\(22\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(33\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{6} + 3721328937296208 p^{10} T^{7} + 35077310575 p^{15} T^{8} + 211004 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 55861 T + 13188492007 T^{2} + 516097407861086 T^{3} + \)\(10\!\cdots\!93\)\( T^{4} + \)\(30\!\cdots\!39\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!93\)\( p^{5} T^{6} + 516097407861086 p^{10} T^{7} + 13188492007 p^{15} T^{8} + 55861 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 135470 T + 23120889085 T^{2} - 512112171789000 T^{3} + 34646173059400522210 T^{4} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 34646173059400522210 p^{5} T^{6} - 512112171789000 p^{10} T^{7} + 23120889085 p^{15} T^{8} - 135470 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.85440289788468020966870174408, −5.67522925780451778637308031342, −5.61254380614153532108603288155, −5.54967922840766550309684406899, −5.45444485701003126868078319173, −4.86723835675641874311096686045, −4.84272102107736274721239991315, −4.66779858403726973974064822372, −4.48153279456942584116543872472, −4.18282242615828189587499595702, −3.85359979212992224841091627619, −3.74345052830835918486859499623, −3.66762310925844901962617638440, −3.37647235663640381499678636664, −3.35514018741384985591764400777, −2.61051035936491472342888831679, −2.58528334324327956786337840606, −2.54323735251148252976411021062, −2.34130282841411929331971824941, −2.01210129884188040233597037905, −1.78525727046388984718481177914, −1.38849554542030644245082227733, −1.27982900058625090696127210083, −1.12661866459132184719449622124, −0.842679424206423639124486483841, 0, 0, 0, 0, 0,
0.842679424206423639124486483841, 1.12661866459132184719449622124, 1.27982900058625090696127210083, 1.38849554542030644245082227733, 1.78525727046388984718481177914, 2.01210129884188040233597037905, 2.34130282841411929331971824941, 2.54323735251148252976411021062, 2.58528334324327956786337840606, 2.61051035936491472342888831679, 3.35514018741384985591764400777, 3.37647235663640381499678636664, 3.66762310925844901962617638440, 3.74345052830835918486859499623, 3.85359979212992224841091627619, 4.18282242615828189587499595702, 4.48153279456942584116543872472, 4.66779858403726973974064822372, 4.84272102107736274721239991315, 4.86723835675641874311096686045, 5.45444485701003126868078319173, 5.54967922840766550309684406899, 5.61254380614153532108603288155, 5.67522925780451778637308031342, 5.85440289788468020966870174408
