| L(s) = 1 | + 10·2-s − 12·3-s + 60·4-s − 120·6-s + 24·7-s + 280·8-s + 10·9-s − 54·11-s − 720·12-s − 36·13-s + 240·14-s + 1.12e3·16-s − 132·17-s + 100·18-s − 50·19-s − 288·21-s − 540·22-s + 115·23-s − 3.36e3·24-s − 360·26-s + 401·27-s + 1.44e3·28-s − 104·29-s − 342·31-s + 4.03e3·32-s + 648·33-s − 1.32e3·34-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 3.53·2-s − 2.30·3-s + 15/2·4-s − 8.16·6-s + 1.29·7-s + 12.3·8-s + 0.370·9-s − 1.48·11-s − 17.3·12-s − 0.768·13-s + 4.58·14-s + 35/2·16-s − 1.88·17-s + 1.30·18-s − 0.603·19-s − 2.99·21-s − 5.23·22-s + 1.04·23-s − 28.5·24-s − 2.71·26-s + 2.85·27-s + 9.71·28-s − 0.665·29-s − 1.98·31-s + 22.2·32-s + 3.41·33-s − 6.65·34-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 5^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(4-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{5} \cdot 5^{10} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+3/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(2)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{5}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 - p T )^{5} \) |
| 5 | | \( 1 \) |
| 23 | $C_1$ | \( ( 1 - p T )^{5} \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 4 p T + 134 T^{2} + 1087 T^{3} + 2417 p T^{4} + 41846 T^{5} + 2417 p^{4} T^{6} + 1087 p^{6} T^{7} + 134 p^{9} T^{8} + 4 p^{13} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 24 T + 1366 T^{2} - 32980 T^{3} + 820837 T^{4} - 16974880 T^{5} + 820837 p^{3} T^{6} - 32980 p^{6} T^{7} + 1366 p^{9} T^{8} - 24 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 54 T + 3424 T^{2} + 144076 T^{3} + 7686031 T^{4} + 257879764 T^{5} + 7686031 p^{3} T^{6} + 144076 p^{6} T^{7} + 3424 p^{9} T^{8} + 54 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 36 T + 6937 T^{2} + 165629 T^{3} + 24376333 T^{4} + 478226225 T^{5} + 24376333 p^{3} T^{6} + 165629 p^{6} T^{7} + 6937 p^{9} T^{8} + 36 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 132 T + 16345 T^{2} + 51384 p T^{3} + 48026134 T^{4} + 1330500072 T^{5} + 48026134 p^{3} T^{6} + 51384 p^{7} T^{7} + 16345 p^{9} T^{8} + 132 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 50 T + 13692 T^{2} + 841248 T^{3} + 128264943 T^{4} + 9442335036 T^{5} + 128264943 p^{3} T^{6} + 841248 p^{6} T^{7} + 13692 p^{9} T^{8} + 50 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 104 T + 82225 T^{2} + 6765071 T^{3} + 3433081629 T^{4} + 230765010655 T^{5} + 3433081629 p^{3} T^{6} + 6765071 p^{6} T^{7} + 82225 p^{9} T^{8} + 104 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 342 T + 150136 T^{2} + 34231237 T^{3} + 8659133191 T^{4} + 1443829703350 T^{5} + 8659133191 p^{3} T^{6} + 34231237 p^{6} T^{7} + 150136 p^{9} T^{8} + 342 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 380 T + 179409 T^{2} + 46016496 T^{3} + 15508890186 T^{4} + 3185202456840 T^{5} + 15508890186 p^{3} T^{6} + 46016496 p^{6} T^{7} + 179409 p^{9} T^{8} + 380 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 2 T + 196855 T^{2} - 305569 T^{3} + 20967689875 T^{4} + 212273144979 T^{5} + 20967689875 p^{3} T^{6} - 305569 p^{6} T^{7} + 196855 p^{9} T^{8} - 2 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 114 T + 124300 T^{2} - 720144 p T^{3} + 13468954915 T^{4} - 2640064991940 T^{5} + 13468954915 p^{3} T^{6} - 720144 p^{7} T^{7} + 124300 p^{9} T^{8} - 114 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 966 T + 457060 T^{2} + 172450495 T^{3} + 75604748761 T^{4} + 28845147846970 T^{5} + 75604748761 p^{3} T^{6} + 172450495 p^{6} T^{7} + 457060 p^{9} T^{8} + 966 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 308 T + 299365 T^{2} + 90156552 T^{3} + 52972517366 T^{4} + 15161755883528 T^{5} + 52972517366 p^{3} T^{6} + 90156552 p^{6} T^{7} + 299365 p^{9} T^{8} + 308 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 277 T + 629452 T^{2} + 175599211 T^{3} + 207090518097 T^{4} + 48326825924732 T^{5} + 207090518097 p^{3} T^{6} + 175599211 p^{6} T^{7} + 629452 p^{9} T^{8} + 277 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 482 T + 550865 T^{2} - 262013960 T^{3} + 189274359010 T^{4} - 88779205168716 T^{5} + 189274359010 p^{3} T^{6} - 262013960 p^{6} T^{7} + 550865 p^{9} T^{8} - 482 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2044 T + 2927975 T^{2} + 2832341264 T^{3} + 2214692873882 T^{4} + 1334167825423400 T^{5} + 2214692873882 p^{3} T^{6} + 2832341264 p^{6} T^{7} + 2927975 p^{9} T^{8} + 2044 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 208 T + 1173808 T^{2} - 487245051 T^{3} + 606637511003 T^{4} - 294921738753238 T^{5} + 606637511003 p^{3} T^{6} - 487245051 p^{6} T^{7} + 1173808 p^{9} T^{8} - 208 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 646 T + 1103243 T^{2} + 720427937 T^{3} + 617298566975 T^{4} + 373340531194589 T^{5} + 617298566975 p^{3} T^{6} + 720427937 p^{6} T^{7} + 1103243 p^{9} T^{8} + 646 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 3444 T + 6978154 T^{2} + 9591382196 T^{3} + 9916967251057 T^{4} + 7868469225687128 T^{5} + 9916967251057 p^{3} T^{6} + 9591382196 p^{6} T^{7} + 6978154 p^{9} T^{8} + 3444 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1218 T + 2211148 T^{2} + 2196251680 T^{3} + 2390433921151 T^{4} + 1720657201017244 T^{5} + 2390433921151 p^{3} T^{6} + 2196251680 p^{6} T^{7} + 2211148 p^{9} T^{8} + 1218 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 140 T + 773845 T^{2} + 551355896 T^{3} + 765637273810 T^{4} + 206079088743528 T^{5} + 765637273810 p^{3} T^{6} + 551355896 p^{6} T^{7} + 773845 p^{9} T^{8} - 140 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2816 T + 5330445 T^{2} + 6570663664 T^{3} + 7321963168946 T^{4} + 6886091635546368 T^{5} + 7321963168946 p^{3} T^{6} + 6570663664 p^{6} T^{7} + 5330445 p^{9} T^{8} + 2816 p^{12} T^{9} + p^{15} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.62759998379838163342666244457, −5.57740575173083556873000059596, −5.54015330724942234187194787430, −5.50836439606090737191213506639, −5.30165757355885844497482162660, −4.99639379420483634986984270755, −4.84646903986715873456513688460, −4.78493117694246475361239876717, −4.73843683502150926402563784035, −4.56753678241381648546962876309, −4.18789930897154301307011121053, −4.04618923395952553876616480542, −3.75251001877832338781479613934, −3.63612274565187727715864503976, −3.40797677051012968243965517032, −2.96071988470240717752009910591, −2.89288458046070575676072243756, −2.64228322558366483335154810375, −2.63509142631686315854041590554, −2.52349237881979286903534554176, −1.85884007657276512331613270570, −1.73203915305369047673263258268, −1.52441238646771271315200347317, −1.50640614250632330241418319399, −1.19253740697646378978409075371, 0, 0, 0, 0, 0,
1.19253740697646378978409075371, 1.50640614250632330241418319399, 1.52441238646771271315200347317, 1.73203915305369047673263258268, 1.85884007657276512331613270570, 2.52349237881979286903534554176, 2.63509142631686315854041590554, 2.64228322558366483335154810375, 2.89288458046070575676072243756, 2.96071988470240717752009910591, 3.40797677051012968243965517032, 3.63612274565187727715864503976, 3.75251001877832338781479613934, 4.04618923395952553876616480542, 4.18789930897154301307011121053, 4.56753678241381648546962876309, 4.73843683502150926402563784035, 4.78493117694246475361239876717, 4.84646903986715873456513688460, 4.99639379420483634986984270755, 5.30165757355885844497482162660, 5.50836439606090737191213506639, 5.54015330724942234187194787430, 5.57740575173083556873000059596, 5.62759998379838163342666244457
