Group information
Description: | $(C_2^3\times C_6):S_4$ | |
Order: | \(1152\)\(\medspace = 2^{7} \cdot 3^{2} \) |
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Exponent: | \(12\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3 \) |
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Automorphism group: | $(C_2^5\times C_6).C_3^4.C_2^4$, of order \(248832\)\(\medspace = 2^{10} \cdot 3^{5} \) |
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Composition factors: | $C_2$ x 7, $C_3$ x 2 |
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Derived length: | $3$ |
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This group is nonabelian and monomial (hence solvable).
Group statistics
Order | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | |
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Elements | 1 | 207 | 98 | 432 | 414 | 1152 |
Conjugacy classes | 1 | 23 | 4 | 12 | 32 | 72 |
Divisions | 1 | 23 | 4 | 12 | 28 | 68 |
Autjugacy classes | 1 | 6 | 2 | 1 | 6 | 16 |
Dimension | 1 | 2 | 3 | 6 | 12 | |
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Irr. complex chars. | 8 | 16 | 24 | 24 | 0 | 72 |
Irr. rational chars. | 8 | 16 | 24 | 16 | 4 | 68 |
Minimal presentations
Permutation degree: | $15$ |
Transitive degree: | $36$ |
Rank: | $3$ |
Inequivalent generating triples: | $980$ |
Minimal degrees of faithful linear representations
Over $\mathbb{C}$ | Over $\mathbb{R}$ | Over $\mathbb{Q}$ | |
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Irreducible | none | none | none |
Arbitrary | not computed | not computed | not computed |
Constructions
Presentation: |
${\langle a, b, c, d, e, f, g \mid a^{2}=b^{6}=c^{6}=d^{2}=e^{2}=f^{2}=g^{2}= \!\cdots\! \rangle}$
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Permutation group: | Degree $15$
$\langle(1,2)(3,8)(4,7)(5,6)(10,11), (12,13)(14,15), (12,14)(13,15), (3,4,5)(6,7,8) \!\cdots\! \rangle$
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Transitive group: | 36T1838 | more information | ||||||
Direct product: | $C_2$ ${}^2$ $\, \times\, $ $((C_2\times C_6):S_4)$ | |||||||
Semidirect product: | $(C_2^5\times C_6)$ $\,\rtimes\,$ $S_3$ | $C_2^6$ $\,\rtimes\,$ $(C_3:S_3)$ | $(C_2^3\times C_6)$ $\,\rtimes\,$ $S_4$ | $C_2^5$ $\,\rtimes\,$ $(C_6:S_3)$ | all 21 | |||
Trans. wreath product: | not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product |
Elements of the group are displayed as permutations of degree 15.
Homology
Abelianization: | $C_{2}^{3} $ |
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Schur multiplier: | $C_{2}^{5} \times C_{6}$ |
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Commutator length: | $2$ |
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Subgroups
There are 24592 subgroups in 3024 conjugacy classes, 81 normal (11 characteristic).
Characteristic subgroups are shown in this color. Normal (but not characteristic) subgroups are shown in this color.
Special subgroups
Center: | $Z \simeq$ $C_2^2$ | $G/Z \simeq$ $(C_2\times C_6):S_4$ |
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Commutator: | $G' \simeq$ $C_2^4:C_3^2$ | $G/G' \simeq$ $C_2^3$ |
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Frattini: | $\Phi \simeq$ $C_1$ | $G/\Phi \simeq$ $(C_2^3\times C_6):S_4$ |
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Fitting: | $\operatorname{Fit} \simeq$ $C_2^5\times C_6$ | $G/\operatorname{Fit} \simeq$ $S_3$ |
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Radical: | $R \simeq$ $(C_2^3\times C_6):S_4$ | $G/R \simeq$ $C_1$ |
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Socle: | $\operatorname{soc} \simeq$ $C_2^5\times C_6$ | $G/\operatorname{soc} \simeq$ $S_3$ |
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2-Sylow subgroup: | $P_{ 2 } \simeq$ $C_2^4:D_4$ | ||
3-Sylow subgroup: | $P_{ 3 } \simeq$ $C_3^2$ |
Subgroup diagram and profile
For the default diagram, subgroups are sorted vertically by the number of prime divisors (counted with multiplicity) in their orders.
To see subgroups sorted vertically by order instead, check this box.
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Subgroup information
Click on a subgroup in the diagram to see information about it.
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Series
Derived series | $(C_2^3\times C_6):S_4$ | $\rhd$ | $C_2^4:C_3^2$ | $\rhd$ | $C_2^4$ | $\rhd$ | $C_1$ |
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Chief series | $(C_2^3\times C_6):S_4$ | $\rhd$ | $C_2^4:C_6^2$ | $\rhd$ | $C_2^5:C_3^2$ | $\rhd$ | $C_2^4:C_3^2$ | $\rhd$ | $C_2^2:A_4$ | $\rhd$ | $C_2^4$ | $\rhd$ | $C_2^2$ | $\rhd$ | $C_1$ |
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Lower central series | $(C_2^3\times C_6):S_4$ | $\rhd$ | $C_2^4:C_3^2$ |
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Upper central series | $C_1$ | $\lhd$ | $C_2^2$ |
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Supergroups
This group is a maximal subgroup of 16 larger groups in the database.
This group is a maximal quotient of 4 larger groups in the database.
Character theory
Complex character table
See the $72 \times 72$ character table. Alternatively, you may search for characters of this group with desired properties.
Rational character table
See the $68 \times 68$ rational character table.