LMFDB - Artin representation 2.672.12t18.d.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$672$$\medspace = 2^{5} \cdot 3 \cdot 7 $
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.29365647704064.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.168.6t1.c.a
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.1176.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 2x^{10} + x^{8} + 2x^{6} + 22x^{4} + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{6} + 2x^{4} + 10x^{2} + 3x + 3 $ x^6 + 2*x^4 + 10*x^2 + 3*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1 + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 5a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 2a + 1 + (14a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 12a + 6)17 + (15a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 15a)17^2 + (3a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 6a + 9)17^3 + (12a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 9a + 5)17^4 + (14a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 15a + 12)17^5 + (2a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 4a + 16)17^6 + (11a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 10a + 14)17^7 + (8a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 11a + 4)17^8+O(17^9)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 14 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 16 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17 + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 14a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 16 + (8a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 4a + 2)17 + (15a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 2a + 14)17^2 + (11a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 14a + 11)17^3 + (2a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 13a^2 + 2a + 6)17^4 + (16a^5 + a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 8a)17^5 + (15a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 13a + 2)17^6 + (8a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 14a + 8)17^7 + (14a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 12a + 8)*17^8+O(17^9)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 5 + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{6} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 16a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 8a + 5 + (13a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 11a + 10)17 + (12a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 4a + 14)17^2 + (16a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 16a^2 + a + 6)17^3 + (3a^4 + 13a^3 + 10a + 16)17^4 + (14a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a + 14)17^5 + (a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 7a + 5)17^6 + (13a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 13a + 6)17^7 + (16a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 12)*17^8+O(17^9)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 7 + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + a^{4} + 14 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{5} + a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 7a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 16a + 7 + (11a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 12a + 9)17 + (12a^5 + a^4 + 14a^2 + 9a + 1)17^2 + (3a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 15a^2 + a + 2)17^3 + (8a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 4a + 1)17^4 + (16a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 3a + 9)17^5 + (5a^5 + a^3 + 7a^2 + 13a + 14)17^6 + (3a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 14a + 2)17^7 + (15a^5 + a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 6a + 10)*17^8+O(17^9)
$r_{ 5 }$	$=$	$ a^{5} + a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 10 + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17 + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{5} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ a^5 + a^3 + 5a^2 + 16a + 10 + (9a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 4a + 3)17 + (13a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 10a + 12)17^2 + (4a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 16a + 7)17^3 + (4a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 4a + 8)17^4 + (7a^5 + 4a^3 + 4a^2 + 2a + 6)17^5 + (2a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 16a + 3)17^6 + (8a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 3a + 13)17^7 + (7a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 15a + 10)17^8+O(17^9)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 15 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 2 + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17 + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 15a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 2 + (4a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 11a + 3)17 + (14a^5 + 4a^4 + a^3 + 2a^2 + a + 8)17^2 + (9a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 9a + 15)17^3 + (6a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 14)17^4 + (3a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 6a + 7)17^5 + (2a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 2a)17^6 + (12a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 15a + 6)17^7 + (2a^5 + 6a^4 + a^3 + 15a^2 + 8a + 16)*17^8+O(17^9)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 16 + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17 + \left(a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 12a^5 + 3a^3 + 15a^2 + 15a + 16 + (2a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 4a + 10)17 + (a^5 + 2a^4 + a^3 + 10a^2 + a + 16)17^2 + (13a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 10a + 7)17^3 + (4a^5 + 10a^4 + a^3 + 13a^2 + 7a + 11)17^4 + (2a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 15a^2 + a + 4)17^5 + (14a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 12a)17^6 + (5a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 6a + 2)17^7 + (8a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 5a + 12)*17^8+O(17^9)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 1 + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17 + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 3a^4 + 2a^3 + a^2 + 1 + (9a^5 + 8a^4 + a^3 + 10a^2 + 13a + 14)17 + (a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 14a + 2)17^2 + (5a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 2a + 5)17^3 + (14a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 14a + 10)17^4 + (15a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 8a + 16)17^5 + (a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 3a + 14)17^6 + (8a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a + 8)17^7 + (2a^5 + 12a^4 + a^3 + a^2 + 4a + 8)17^8+O(17^9)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + a + 10 + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 10a^5 + 14a^4 + a^3 + 8a^2 + a + 10 + (5a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 4a + 7)17 + (4a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 7a + 15)17^2 + (13a^5 + 9a^4 + 11a^3 + a^2 + 15a + 14)17^3 + (8a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 12a + 15)17^4 + (3a^4 + 11a^3 + a^2 + 13a + 7)17^5 + (11a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 3a + 2)17^6 + (13a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 2a + 14)17^7 + (a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 10a + 6)*17^8+O(17^9)
$r_{ 10 }$	$=$	$ a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12 + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 9a + 12 + (3a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 5a + 6)17 + (4a^5 + 11a^4 + 6a^3 + a^2 + 12a + 2)17^2 + (11a^4 + 11a^3 + 15a + 10)17^3 + (16a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 6a)17^4 + (2a^5 + 12a^4 + 16a^2 + 2)17^5 + (15a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 9a + 11)17^6 + (3a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 3a + 10)17^7 + (3a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 15a + 4)17^8+O(17^9)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 15 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17 + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{4} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 2a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 7a + 15 + (16a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 5a + 13)17 + (2a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 15a + 8)17^2 + (7a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 7a + 1)17^3 + (10a^5 + 10a^3 + 3a^2 + 16a + 2)17^4 + (13a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 10a + 9)17^5 + (14a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 14a + 16)17^6 + (4a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 5a^2 + a + 10)17^7 + (14a^5 + 10a^4 + 15a^3 + a^2 + 8a)17^8+O(17^9)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7 + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17 + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{4} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})$ 16a^5 + 16a^3 + 12a^2 + a + 7 + (7a^5 + 5a^4 + 6a^2 + 12a + 13)17 + (3a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 6a + 4)17^2 + (12a^5 + a^4 + 4a^3 + a^2 + 9)17^3 + (12a^5 + 10a^4 + 14a^3 + a^2 + 12a + 8)17^4 + (9a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 14a + 10)17^5 + (14a^5 + 4a^3 + 2a^2 + 13)17^6 + (16a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 13a + 3)17^7 + (9a^5 + 3a^4 + 7a^3 + a^2 + a + 6)17^8+O(17^9)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(2,4,12)(5,8,9)$
$(1,7)(2,8)(3,10)(4,9)(5,12)(6,11)$
$(1,9,3,5,11,8)(2,7,4,10,12,6)$
$(1,10,11,7,3,6)(2,8)(4,9)(5,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,10)(4,9)(5,12)(6,11)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,5)(2,10)(3,8)(4,6)(7,12)(9,11)$	$0$
$3$	$2$	$(1,12)(2,3)(4,11)(5,7)(6,9)(8,10)$	$0$
$1$	$3$	$(1,3,11)(2,4,12)(5,8,9)(6,7,10)$	$2 \zeta_{3}$
$1$	$3$	$(1,11,3)(2,12,4)(5,9,8)(6,10,7)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$2$	$3$	$(1,11,3)(6,10,7)$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,3,11)(6,7,10)$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(1,3,11)(2,12,4)(5,9,8)(6,7,10)$	$-1$
$1$	$6$	$(1,10,11,7,3,6)(2,9,12,8,4,5)$	$-2 \zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,6,3,7,11,10)(2,5,4,8,12,9)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$2$	$6$	$(1,10,11,7,3,6)(2,8)(4,9)(5,12)$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,6,3,7,11,10)(2,8)(4,9)(5,12)$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,6,3,7,11,10)(2,9,12,8,4,5)$	$1$
$3$	$6$	$(1,9,3,5,11,8)(2,7,4,10,12,6)$	$0$
$3$	$6$	$(1,8,11,5,3,9)(2,6,12,10,4,7)$	$0$
$3$	$6$	$(1,4,3,12,11,2)(5,6,8,7,9,10)$	$0$
$3$	$6$	$(1,2,11,12,3,4)(5,10,9,7,8,6)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.672.12t18.d.b
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$672$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1 + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 5a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 2a + 1 + (14a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 12a + 6)17 + (15a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 15a)17^2 + (3a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 6a + 9)17^3 + (12a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 9a + 5)17^4 + (14a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 15a + 12)17^5 + (2a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 4a + 16)17^6 + (11a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 10a + 14)17^7 + (8a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 11a + 4)17^8+O(17^9)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 14 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 16 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17 + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 14a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 16 + (8a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 4a + 2)17 + (15a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 2a + 14)17^2 + (11a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 14a + 11)17^3 + (2a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 13a^2 + 2a + 6)17^4 + (16a^5 + a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 8a)17^5 + (15a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 13a + 2)17^6 + (8a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 14a + 8)17^7 + (14a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 12a + 8)*17^8+O(17^9)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 5 + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{6} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 16a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 8a + 5 + (13a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 11a + 10)17 + (12a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 4a + 14)17^2 + (16a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 16a^2 + a + 6)17^3 + (3a^4 + 13a^3 + 10a + 16)17^4 + (14a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a + 14)17^5 + (a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 7a + 5)17^6 + (13a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 13a + 6)17^7 + (16a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 12)*17^8+O(17^9)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 7 + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + a^{4} + 14 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{5} + a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 7a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 16a + 7 + (11a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 12a + 9)17 + (12a^5 + a^4 + 14a^2 + 9a + 1)17^2 + (3a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 15a^2 + a + 2)17^3 + (8a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 4a + 1)17^4 + (16a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 3a + 9)17^5 + (5a^5 + a^3 + 7a^2 + 13a + 14)17^6 + (3a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 14a + 2)17^7 + (15a^5 + a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 6a + 10)*17^8+O(17^9)
$r_{ 5 }$	$=$	\( a^{5} + a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 10 + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17 + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{5} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) a^5 + a^3 + 5a^2 + 16a + 10 + (9a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 4a + 3)17 + (13a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 10a + 12)17^2 + (4a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 16a + 7)17^3 + (4a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 4a + 8)17^4 + (7a^5 + 4a^3 + 4a^2 + 2a + 6)17^5 + (2a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 16a + 3)17^6 + (8a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 3a + 13)17^7 + (7a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 15a + 10)17^8+O(17^9)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 15 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 2 + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17 + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 15a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 2 + (4a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 11a + 3)17 + (14a^5 + 4a^4 + a^3 + 2a^2 + a + 8)17^2 + (9a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 9a + 15)17^3 + (6a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 14)17^4 + (3a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 6a + 7)17^5 + (2a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 2a)17^6 + (12a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 15a + 6)17^7 + (2a^5 + 6a^4 + a^3 + 15a^2 + 8a + 16)*17^8+O(17^9)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 16 + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17 + \left(a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 12a^5 + 3a^3 + 15a^2 + 15a + 16 + (2a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 4a + 10)17 + (a^5 + 2a^4 + a^3 + 10a^2 + a + 16)17^2 + (13a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 10a + 7)17^3 + (4a^5 + 10a^4 + a^3 + 13a^2 + 7a + 11)17^4 + (2a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 15a^2 + a + 4)17^5 + (14a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 12a)17^6 + (5a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 6a + 2)17^7 + (8a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 5a + 12)*17^8+O(17^9)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 1 + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17 + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 3a^4 + 2a^3 + a^2 + 1 + (9a^5 + 8a^4 + a^3 + 10a^2 + 13a + 14)17 + (a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 14a + 2)17^2 + (5a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 2a + 5)17^3 + (14a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 14a + 10)17^4 + (15a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 8a + 16)17^5 + (a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 3a + 14)17^6 + (8a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a + 8)17^7 + (2a^5 + 12a^4 + a^3 + a^2 + 4a + 8)17^8+O(17^9)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + a + 10 + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 10a^5 + 14a^4 + a^3 + 8a^2 + a + 10 + (5a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 4a + 7)17 + (4a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 7a + 15)17^2 + (13a^5 + 9a^4 + 11a^3 + a^2 + 15a + 14)17^3 + (8a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 12a + 15)17^4 + (3a^4 + 11a^3 + a^2 + 13a + 7)17^5 + (11a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 3a + 2)17^6 + (13a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 2a + 14)17^7 + (a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 10a + 6)*17^8+O(17^9)
$r_{ 10 }$	$=$	\( a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12 + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 5a^2 + 9a + 12 + (3a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 5a + 6)17 + (4a^5 + 11a^4 + 6a^3 + a^2 + 12a + 2)17^2 + (11a^4 + 11a^3 + 15a + 10)17^3 + (16a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 6a)17^4 + (2a^5 + 12a^4 + 16a^2 + 2)17^5 + (15a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 9a + 11)17^6 + (3a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 3a + 10)17^7 + (3a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 15a + 4)17^8+O(17^9)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 15 + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17 + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{4} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 2a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 7a + 15 + (16a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 5a + 13)17 + (2a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 15a + 8)17^2 + (7a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 7a + 1)17^3 + (10a^5 + 10a^3 + 3a^2 + 16a + 2)17^4 + (13a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 10a + 9)17^5 + (14a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 14a + 16)17^6 + (4a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 5a^2 + a + 10)17^7 + (14a^5 + 10a^4 + 15a^3 + a^2 + 8a)17^8+O(17^9)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7 + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17 + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{4} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{8} +O(17^{9})\) 16a^5 + 16a^3 + 12a^2 + a + 7 + (7a^5 + 5a^4 + 6a^2 + 12a + 13)17 + (3a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 6a + 4)17^2 + (12a^5 + a^4 + 4a^3 + a^2 + 9)17^3 + (12a^5 + 10a^4 + 14a^3 + a^2 + 12a + 8)17^4 + (9a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 14a + 10)17^5 + (14a^5 + 4a^3 + 2a^2 + 13)17^6 + (16a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 13a + 3)17^7 + (9a^5 + 3a^4 + 7a^3 + a^2 + a + 6)17^8+O(17^9)