LMFDB - Artin representation 2.3332.12t12.b.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{12}$
Conductor:	$3332$$\medspace = 2^{2} \cdot 7^{2} \cdot 17 $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.33526550746959872.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$D_{12}$
Parity:	odd
Determinant:	1.68.2t1.a.a
Projective image:	$D_6$
Projective stem field:	Galois closure of 6.0.44408896.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 4 x^{11} + 9 x^{10} - 18 x^{9} + 58 x^{8} - 198 x^{7} + 551 x^{6} - 1002 x^{5} + 1823 x^{4} + \cdots + 2036 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{4} + 3x^{2} + 19x + 5 $ x^4 + 3*x^2 + 19*x + 5

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 22 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 8 + \left(a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23 + \left(17 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 22a^3 + 4a^2 + 15a + 8 + (a^3 + 21a^2 + 17a + 8)23 + (17a^3 + 22a^2 + 8a + 2)23^2 + (5a^3 + 14a^2 + 2a + 3)23^3 + (17a^3 + 19a^2 + 14a + 10)23^4 + (14a^3 + 18a^2 + 6a + 11)23^5 + (10a^3 + 20a^2 + 9a + 21)23^6 + (3a^3 + 11a^2 + 19a + 20)23^7 + (8a^3 + 19a^2 + 2a + 19)23^8 + (3a^3 + 22a^2 + 5a + 9)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 8 a^{3} + 14 a^{2} + 8 + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 23 + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{3} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 8a^3 + 14a^2 + 8 + (16a^3 + 5a^2 + 10)23 + (12a^3 + 14a^2 + 17a + 22)23^2 + (7a^3 + 9a^2 + 22a)23^3 + (12a^3 + a^2 + 6a + 7)23^4 + (21a^3 + 15a^2 + 10a + 4)23^5 + (a^3 + 21a + 4)23^6 + (20a^3 + 17a^2 + 5)23^7 + (20a^3 + 8a^2 + 3a + 20)23^8 + (15a^3 + 14a^2 + 22a + 6)*23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 5 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 1 + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23 + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 5a^3 + 9a^2 + 14a + 1 + (18a^3 + 7a^2 + 10a + 1)23 + (4a^3 + 8a^2 + 13a + 13)23^2 + (8a^3 + 4a^2 + 6a + 6)23^3 + (a^3 + 8a^2 + 10a + 13)23^4 + (18a^3 + 20a^2 + 6a)23^5 + (3a^3 + 20a^2 + 16a + 18)23^6 + (22a^3 + 8a^2 + 14a + 20)23^7 + (12a^2 + 16)23^8 + (6a^3 + 3a^2 + 14a + 19)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 19 + \left(14 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{3} + a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 3a^3 + 4a^2 + 2a + 19 + (14a^3 + 19a^2 + 20a + 17)23 + (18a^3 + 5a^2 + 10a + 15)23^2 + (21a^3 + a^2 + 6a + 21)23^3 + (18a^3 + 7a^2 + 5a + 3)23^4 + (15a^3 + 15a^2 + 4a + 4)23^5 + (13a^3 + a^2 + 4a + 13)23^6 + (12a^3 + 11a^2 + 11a + 17)23^7 + (12a^3 + 4a^2 + 22a + 19)23^8 + (15a^3 + 19a^2 + 10a + 22)*23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 5 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 13 + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 5a^3 + 4a^2 + 16a + 13 + (2a^3 + 2a^2 + 3a + 6)23 + (18a^3 + 6a^2 + 21a + 20)23^2 + (16a^3 + 9a^2 + 4a + 13)23^3 + (21a^3 + 16a^2 + 12a + 11)23^4 + (13a^3 + 4a^2 + 15a + 7)23^5 + (4a^3 + 5a^2 + 10a + 21)23^6 + (2a^3 + 11a^2 + 10a + 1)23^7 + (18a^3 + 14a^2 + a + 16)23^8 + (10a^3 + 10a^2 + 15a + 22)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 20 + \left(21 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23 + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 12a^3 + 5a^2 + 18a + 20 + (21a^3 + 3a^2 + 4a + 18)23 + (5a^3 + 4a^2 + 21a + 5)23^2 + (14a^3 + 14a^2 + 18a + 21)23^3 + (2a^3 + 10a^2 + 6a + 11)23^4 + (9a^3 + 2a^2 + 14a + 1)23^5 + (15a^3 + 3a^2 + 14a + 13)23^6 + (8a^3 + 17a^2 + 21a + 7)23^7 + (10a^3 + 18a^2 + 12a + 5)23^8 + (a^3 + 6a^2 + 18a + 5)23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 8 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 4 + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23 + \left(13 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{3} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 8a^3 + 17a^2 + 12a + 4 + (14a^3 + 8a^2 + 10a + 11)23 + (13a^3 + 11a^2 + 5a + 5)23^2 + (2a^3 + 13a^2 + 21a + 9)23^3 + (9a^3 + 11a^2 + 12a + 2)23^4 + (20a^3 + 10a + 4)23^5 + (13a^3 + 20a^2 + 12a + 11)23^6 + (9a^3 + a^2 + 19a + 9)23^7 + (18a^3 + 4a^2 + 10a + 17)23^8 + (13a^3 + 19a^2 + 18a + 15)*23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 8 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 17 + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23 + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 8a^3 + 20a^2 + 16a + 17 + (15a^3 + 6a^2 + 11a + 3)23 + (8a^3 + 2a^2 + 10a + 10)23^2 + (16a^3 + 20a^2 + 13a + 4)23^3 + (5a^3 + 5a^2 + 14a + 17)23^4 + (5a^3 + 5a^2 + 3a + 4)23^5 + (5a^3 + 5a^2 + 21a + 6)23^6 + (12a^3 + 21a^2 + a + 20)23^7 + (a^3 + 6a^2 + 17)23^8 + (16a^3 + 11a^2 + 4a + 21)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 2 + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23 + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(17 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 16a^3 + 11a^2 + 13a + 2 + (4a^3 + 3a^2 + 4a + 15)23 + (15a^3 + 11a^2 + 5a + 9)23^2 + (a^3 + 20a^2 + 9a + 16)23^3 + (11a^3 + 2a^2 + 14a + 17)23^4 + (a^3 + 7a^2 + 19a + 11)23^5 + (17a^3 + 18a^2 + 21a + 11)23^6 + (4a^3 + 11a^2 + 4a + 4)23^7 + (7a^3 + 7a^2 + 19a + 17)23^8 + (16a^3 + 16a^2 + 14a)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 21 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 8 + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23 + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 21a^3 + 15a^2 + 2a + 8 + (14a^3 + 3a^2 + 20a + 17)23 + (21a^3 + 22a^2 + 5a + 3)23^2 + (20a^3 + 13a^2 + 22a + 1)23^3 + (9a^3 + 15a^2 + 15a + 14)23^4 + (21a^3 + 22a^2 + 14a + 17)23^5 + (12a^3 + a^2 + 2a + 10)23^6 + (5a^3 + 18a^2 + 13a + 16)23^7 + (16a^3 + 10a^2 + 21a + 13)23^8 + (a^3 + 16a^2 + 17a + 17)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 5 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 14 + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23 + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{3} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 5a^3 + 12a^2 + 3a + 14 + (15a^3 + 8a^2 + 19a + 21)23 + (12a^3 + 21a^2 + 6a + 20)23^2 + (15a^3 + 9a^2 + 8a + 11)23^3 + (20a^3 + 6a^2 + 18a + 18)23^4 + (9a^3 + 10a^2 + 11a + 3)23^5 + (19a^3 + 14a^2 + 16a + 21)23^6 + (2a^3 + 13a + 10)23^7 + (7a^3 + 12a^2 + a + 7)23^8 + (15a^3 + 6a^2 + 16a + 15)*23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 2 a^{3} + 4 a + 5 + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23 + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 2a^3 + 4a + 5 + (22a^3 + 2a^2 + 15a + 6)23 + (11a^3 + 8a^2 + 11a + 8)23^2 + (6a^3 + 6a^2 + a + 4)23^3 + (7a^3 + 9a^2 + 6a + 10)23^4 + (9a^3 + 15a^2 + 20a + 20)23^5 + (19a^3 + 2a^2 + 9a + 8)23^6 + (10a^3 + 7a^2 + 6a + 2)23^7 + (16a^3 + 18a^2 + 18a + 12)23^8 + (21a^3 + 13a^2 + 3a + 2)*23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,12)(2,4)(5,8)(6,10)(9,11)$
$(1,6)(2,12)(3,9)(4,7)(5,10)(8,11)$
$(1,11)(2,5)(3,10)(4,12)(6,7)(8,9)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,5)(2,11)(3,7)(4,9)(6,10)(8,12)$	$-2$
$6$	$2$	$(1,6)(2,12)(3,9)(4,7)(5,10)(8,11)$	$0$
$6$	$2$	$(1,12)(2,4)(5,8)(6,10)(9,11)$	$0$
$2$	$3$	$(1,12,3)(2,6,9)(4,11,10)(5,8,7)$	$-1$
$2$	$4$	$(1,9,5,4)(2,8,11,12)(3,6,7,10)$	$0$
$2$	$6$	$(1,7,12,5,3,8)(2,4,6,11,9,10)$	$1$
$2$	$12$	$(1,10,8,9,3,11,5,6,12,4,7,2)$	$\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,11,7,9,12,10,5,2,3,4,8,6)$	$-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

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Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
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This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3332.12t12.b.a
Dimension	$2$
Group	$D_{12}$
Conductor	$3332$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 22 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 8 + \left(a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23 + \left(17 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 22a^3 + 4a^2 + 15a + 8 + (a^3 + 21a^2 + 17a + 8)23 + (17a^3 + 22a^2 + 8a + 2)23^2 + (5a^3 + 14a^2 + 2a + 3)23^3 + (17a^3 + 19a^2 + 14a + 10)23^4 + (14a^3 + 18a^2 + 6a + 11)23^5 + (10a^3 + 20a^2 + 9a + 21)23^6 + (3a^3 + 11a^2 + 19a + 20)23^7 + (8a^3 + 19a^2 + 2a + 19)23^8 + (3a^3 + 22a^2 + 5a + 9)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 8 a^{3} + 14 a^{2} + 8 + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 23 + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{3} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{3} + 17 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^3 + 14a^2 + 8 + (16a^3 + 5a^2 + 10)23 + (12a^3 + 14a^2 + 17a + 22)23^2 + (7a^3 + 9a^2 + 22a)23^3 + (12a^3 + a^2 + 6a + 7)23^4 + (21a^3 + 15a^2 + 10a + 4)23^5 + (a^3 + 21a + 4)23^6 + (20a^3 + 17a^2 + 5)23^7 + (20a^3 + 8a^2 + 3a + 20)23^8 + (15a^3 + 14a^2 + 22a + 6)*23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 5 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 1 + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23 + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 5a^3 + 9a^2 + 14a + 1 + (18a^3 + 7a^2 + 10a + 1)23 + (4a^3 + 8a^2 + 13a + 13)23^2 + (8a^3 + 4a^2 + 6a + 6)23^3 + (a^3 + 8a^2 + 10a + 13)23^4 + (18a^3 + 20a^2 + 6a)23^5 + (3a^3 + 20a^2 + 16a + 18)23^6 + (22a^3 + 8a^2 + 14a + 20)23^7 + (12a^2 + 16)23^8 + (6a^3 + 3a^2 + 14a + 19)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 19 + \left(14 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{3} + a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 3a^3 + 4a^2 + 2a + 19 + (14a^3 + 19a^2 + 20a + 17)23 + (18a^3 + 5a^2 + 10a + 15)23^2 + (21a^3 + a^2 + 6a + 21)23^3 + (18a^3 + 7a^2 + 5a + 3)23^4 + (15a^3 + 15a^2 + 4a + 4)23^5 + (13a^3 + a^2 + 4a + 13)23^6 + (12a^3 + 11a^2 + 11a + 17)23^7 + (12a^3 + 4a^2 + 22a + 19)23^8 + (15a^3 + 19a^2 + 10a + 22)*23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 5 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 13 + \left(2 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23 + \left(18 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 14 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 5a^3 + 4a^2 + 16a + 13 + (2a^3 + 2a^2 + 3a + 6)23 + (18a^3 + 6a^2 + 21a + 20)23^2 + (16a^3 + 9a^2 + 4a + 13)23^3 + (21a^3 + 16a^2 + 12a + 11)23^4 + (13a^3 + 4a^2 + 15a + 7)23^5 + (4a^3 + 5a^2 + 10a + 21)23^6 + (2a^3 + 11a^2 + 10a + 1)23^7 + (18a^3 + 14a^2 + a + 16)23^8 + (10a^3 + 10a^2 + 15a + 22)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 20 + \left(21 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23 + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 12a^3 + 5a^2 + 18a + 20 + (21a^3 + 3a^2 + 4a + 18)23 + (5a^3 + 4a^2 + 21a + 5)23^2 + (14a^3 + 14a^2 + 18a + 21)23^3 + (2a^3 + 10a^2 + 6a + 11)23^4 + (9a^3 + 2a^2 + 14a + 1)23^5 + (15a^3 + 3a^2 + 14a + 13)23^6 + (8a^3 + 17a^2 + 21a + 7)23^7 + (10a^3 + 18a^2 + 12a + 5)23^8 + (a^3 + 6a^2 + 18a + 5)23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 8 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 4 + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23 + \left(13 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{3} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^3 + 17a^2 + 12a + 4 + (14a^3 + 8a^2 + 10a + 11)23 + (13a^3 + 11a^2 + 5a + 5)23^2 + (2a^3 + 13a^2 + 21a + 9)23^3 + (9a^3 + 11a^2 + 12a + 2)23^4 + (20a^3 + 10a + 4)23^5 + (13a^3 + 20a^2 + 12a + 11)23^6 + (9a^3 + a^2 + 19a + 9)23^7 + (18a^3 + 4a^2 + 10a + 17)23^8 + (13a^3 + 19a^2 + 18a + 15)*23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 8 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 17 + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23 + \left(8 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^3 + 20a^2 + 16a + 17 + (15a^3 + 6a^2 + 11a + 3)23 + (8a^3 + 2a^2 + 10a + 10)23^2 + (16a^3 + 20a^2 + 13a + 4)23^3 + (5a^3 + 5a^2 + 14a + 17)23^4 + (5a^3 + 5a^2 + 3a + 4)23^5 + (5a^3 + 5a^2 + 21a + 6)23^6 + (12a^3 + 21a^2 + a + 20)23^7 + (a^3 + 6a^2 + 17)23^8 + (16a^3 + 11a^2 + 4a + 21)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 2 + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23 + \left(15 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(17 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 16a^3 + 11a^2 + 13a + 2 + (4a^3 + 3a^2 + 4a + 15)23 + (15a^3 + 11a^2 + 5a + 9)23^2 + (a^3 + 20a^2 + 9a + 16)23^3 + (11a^3 + 2a^2 + 14a + 17)23^4 + (a^3 + 7a^2 + 19a + 11)23^5 + (17a^3 + 18a^2 + 21a + 11)23^6 + (4a^3 + 11a^2 + 4a + 4)23^7 + (7a^3 + 7a^2 + 19a + 17)23^8 + (16a^3 + 16a^2 + 14a)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 21 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 8 + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23 + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 21a^3 + 15a^2 + 2a + 8 + (14a^3 + 3a^2 + 20a + 17)23 + (21a^3 + 22a^2 + 5a + 3)23^2 + (20a^3 + 13a^2 + 22a + 1)23^3 + (9a^3 + 15a^2 + 15a + 14)23^4 + (21a^3 + 22a^2 + 14a + 17)23^5 + (12a^3 + a^2 + 2a + 10)23^6 + (5a^3 + 18a^2 + 13a + 16)23^7 + (16a^3 + 10a^2 + 21a + 13)23^8 + (a^3 + 16a^2 + 17a + 17)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 5 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 14 + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23 + \left(12 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{3} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 5a^3 + 12a^2 + 3a + 14 + (15a^3 + 8a^2 + 19a + 21)23 + (12a^3 + 21a^2 + 6a + 20)23^2 + (15a^3 + 9a^2 + 8a + 11)23^3 + (20a^3 + 6a^2 + 18a + 18)23^4 + (9a^3 + 10a^2 + 11a + 3)23^5 + (19a^3 + 14a^2 + 16a + 21)23^6 + (2a^3 + 13a + 10)23^7 + (7a^3 + 12a^2 + a + 7)23^8 + (15a^3 + 6a^2 + 16a + 15)*23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 2 a^{3} + 4 a + 5 + \left(22 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23 + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^3 + 4a + 5 + (22a^3 + 2a^2 + 15a + 6)23 + (11a^3 + 8a^2 + 11a + 8)23^2 + (6a^3 + 6a^2 + a + 4)23^3 + (7a^3 + 9a^2 + 6a + 10)23^4 + (9a^3 + 15a^2 + 20a + 20)23^5 + (19a^3 + 2a^2 + 9a + 8)23^6 + (10a^3 + 7a^2 + 6a + 2)23^7 + (16a^3 + 18a^2 + 18a + 12)23^8 + (21a^3 + 13a^2 + 3a + 2)*23^9+O(23^10)