LMFDB - Artin representation 2.3267.15t4.a.c

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$S_3 \times C_5$
Conductor:	$3267$$\medspace = 3^{3} \cdot 11^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 15.5.5448995045351401867587.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	$S_3 \times C_5$
Parity:	odd
Determinant:	1.33.10t1.a.a
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.3267.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{15} - 22x^{12} + 66x^{9} - 33x^{6} - 22x^{3} + 11 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{5} + 5x + 17 $ x^5 + 5*x + 17

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1 + \left(16 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19 + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{4} + 3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 2a + 1 + (16a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 14a + 16)19 + (7a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 14a)19^2 + (10a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 15a + 12)19^3 + (8a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 14a + 18)19^4 + (4a^4 + a^3 + 18a^2 + a + 1)19^5 + (18a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 14a + 14)19^6 + (4a^4 + 3a^2 + 7a + 17)19^7 + (15a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 14a + 9)19^8 + (8a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 5a)*19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 2 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 5 + \left(18 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19 + \left(15 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 2a^4 + a^3 + 2a^2 + 14a + 5 + (18a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 5a + 5)19 + (15a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 4a + 14)19^2 + (3a^4 + 11a^3 + 9a^2 + a + 4)19^3 + (14a^4 + 7a^3 + 18a + 3)19^4 + (a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 2a + 10)19^5 + (4a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 10a + 14)19^6 + (7a^4 + 12a^3 + a^2 + 5a + 7)19^7 + (13a^4 + 9a^3 + a^2 + 2)19^8 + (6a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 4a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 2 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 13 + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a + 5\right)\cdot 19 + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 2a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a + 13 + (3a^4 + 5a^3 + 5a + 5)19 + (11a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 9a + 6)19^2 + (18a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 9a + 4)19^3 + (2a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 11a + 18)19^4 + (12a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 7a + 14)19^5 + (2a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 8a + 14)19^6 + (2a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 14a + 13)19^7 + (17a^3 + 15a^2 + 12a + 11)19^8 + (4a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 7a + 4)*19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 3 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10 + \left(2 a^{4} + 13 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19 + \left(2 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 3a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 3a + 10 + (2a^4 + 13a^2 + 5a + 6)19 + (2a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 6a + 1)19^2 + (4a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 15a + 2)19^3 + (16a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 2a + 17)19^4 + (11a^4 + 8a^3 + 7a^2 + a + 1)19^5 + (12a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 17a + 10)19^6 + (10a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 14a + 1)19^7 + (13a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 5a + 18)19^8 + (5a^4 + 3a^3 + 12a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 3 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 17 + \left(15 a^{4} + 16 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19 + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 3a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 2a + 17 + (15a^4 + 16a^2 + 10a + 15)19 + (4a^4 + 17a^3 + a^2 + 9a + 18)19^2 + (2a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 18a + 14)19^3 + (17a^3 + 6a^2 + a + 6)19^4 + (15a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 9a + 7)19^5 + (12a^4 + 12a^3 + 14a^2 + a + 17)19^6 + (6a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 9a + 12)19^7 + (15a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 6a + 15)19^8 + (13a^3 + 10a^2 + 16a + 10)*19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 4 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 13 + \left(16 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19 + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 4a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 15a + 13 + (16a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 4a + 16)19 + (2a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 3a + 18)19^2 + (14a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 6a + 7)19^3 + (3a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 17a + 18)19^4 + (9a^4 + 18a^3 + a^2 + 18a + 1)19^5 + (8a^4 + 10a^3 + 17a + 13)19^6 + (15a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 18a + 2)19^7 + (16a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 9a + 16)19^8 + (16a^4 + a^3 + 17a^2 + 13)*19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 5 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 18 + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19 + \left(13 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 5a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 8a + 18 + (15a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 3a + 1)19 + (13a^4 + 3a^3 + 11a + 10)19^2 + (13a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 18a + 2)19^3 + (14a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 3a + 11)19^4 + (8a^3 + 5a^2 + 7a + 14)19^5 + (18a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 16a + 12)19^6 + (10a^3 + 5a^2 + 7a)19^7 + (8a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 16a + 15)19^8 + (3a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 4a + 2)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 6 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 10 + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19 + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 6a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 13a + 10 + (18a^3 + 2a^2 + 2a + 13)19 + (10a^4 + 7a^3 + a^2 + 6a + 1)19^2 + (15a^4 + 9a^3 + 12a^2 + a + 11)19^3 + (18a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 16a + 5)19^4 + (5a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 11a + 9)19^5 + (5a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 7a + 6)19^6 + (2a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 5a + 14)19^7 + (5a^4 + a^3 + 7a^2 + 14a + 12)19^8 + (16a^4 + a^3 + 10a^2 + a + 15)*19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 7 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 7 + \left(13 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19 + \left(17 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{4} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 7a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 14a + 7 + (13a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 14a + 13)19 + (17a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 5a + 6)19^2 + (17a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 12a)19^3 + (5a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 8a + 14)19^4 + (18a^3 + 17a^2 + 15a + 12)19^5 + (16a^2 + 3a + 16)19^6 + (a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 16a)19^7 + (10a^4 + 8a + 4)19^8 + (12a^4 + 17a^3 + 14a^2 + 5a + 1)*19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 9 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 15 + \left(2 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19 + \left(6 a^{4} + 13 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 9a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 10a + 15 + (2a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 11a + 7)19 + (6a^4 + 13a^2 + 9a + 17)19^2 + (8a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 11a + 18)19^3 + (15a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 4a + 13)19^4 + (3a^4 + 4a^3 + a^2 + 7a + 7)19^5 + (5a^4 + 12a^3 + 12a + 18)19^6 + (a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 13a + 1)19^7 + (16a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 13a + 9)19^8 + (4a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 16a + 8)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 11 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 11 + \left(8 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19 + \left(12 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 11a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 3a + 11 + (8a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 9a + 8)19 + (12a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 17a + 11)19^2 + (9a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 9a + 6)19^3 + (4a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 14a + 5)19^4 + (14a^4 + 17a^3 + a^2 + a + 4)19^5 + (5a^3 + 11a^2 + a + 7)19^6 + (13a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 14a)19^7 + (12a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 14a + 5)19^8 + (16a^4 + 16a^3 + a^2 + 7a + 17)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 14 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 15 + \left(13 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 14a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 14a + 15 + (13a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 8a + 6)19 + (5a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 3a + 11)19^2 + (15a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 13a + 12)19^3 + (18a^4 + a^3 + 17a^2 + 4a + 2)19^4 + (13a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 10a + 2)19^5 + (3a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 12a + 13)19^6 + (6a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 8a + 3)19^7 + (5a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 8)19^8 + (9a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 18a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 14 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 16 + \left(4 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19 + \left(17 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 14a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 3a + 16 + (4a^4 + a^3 + 15a^2 + 3a + 16)19 + (17a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 5a + 4)19^2 + (12a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 18a + 18)19^3 + (4a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 17a + 8)19^4 + (2a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 6a + 1)19^5 + (2a^4 + a^2 + 7a + 6)19^6 + (5a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 4a + 17)19^7 + (9a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 12a)19^8 + (11a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 17a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 16 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 12 + \left(10 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19 + \left(18 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 16a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 18a + 12 + (10a^4 + 18a^3 + 10a^2 + 10a + 17)19 + (18a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 14a + 16)19^2 + (10a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 17a + 11)19^3 + (11a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 12a + 14)19^4 + (9a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 7a + 4)19^5 + (16a^4 + 11a^3 + a^2 + 13)19^6 + (13a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 14a + 3)19^7 + (4a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 8a + 11)19^8 + (7a^3 + 6a^2 + 4a + 8)19^9+O(19^10)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 17 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 8 + \left(11 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a + 18\right)\cdot 19 + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 17a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 12a + 8 + (11a^4 + 13a^3 + 4a + 18)19 + (5a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 12a + 10)19^2 + (13a^4 + 9a^3 + 14a^2 + a + 4)19^3 + (11a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 2a + 12)19^4 + (8a^4 + 4a^3 + 4a + 18)19^5 + (3a^4 + a^3 + 6a^2 + 2a + 11)19^6 + (4a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 16a + 14)19^7 + (6a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 12a + 11)19^8 + (15a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 9a + 7)*19^9+O(19^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 15 }$

Cycle notation
$(1,15,2,12,6)(3,10,11,7,5,4,8,9,14,13)$
$(3,4)(5,13)(7,14)(8,10)(9,11)$
$(1,9)(2,13)(4,12)(6,10)(7,15)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 15 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$3$	$2$	$(3,4)(5,13)(7,14)(8,10)(9,11)$	$0$
$2$	$3$	$(1,11,9)(2,5,13)(3,4,12)(6,8,10)(7,15,14)$	$-1$
$1$	$5$	$(1,2,6,15,12)(3,11,5,8,14)(4,9,13,10,7)$	$2 \zeta_{5}^{3}$
$1$	$5$	$(1,6,12,2,15)(3,5,14,11,8)(4,13,7,9,10)$	$2 \zeta_{5}$
$1$	$5$	$(1,15,2,12,6)(3,8,11,14,5)(4,10,9,7,13)$	$-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$
$1$	$5$	$(1,12,15,6,2)(3,14,8,5,11)(4,7,10,13,9)$	$2 \zeta_{5}^{2}$
$3$	$10$	$(1,15,2,12,6)(3,10,11,7,5,4,8,9,14,13)$	$0$
$3$	$10$	$(1,12,15,6,2)(3,7,8,13,11,4,14,10,5,9)$	$0$
$3$	$10$	$(1,2,6,15,12)(3,9,5,10,14,4,11,13,8,7)$	$0$
$3$	$10$	$(1,6,12,2,15)(3,13,14,9,8,4,5,7,11,10)$	$0$
$2$	$15$	$(1,7,5,12,10,11,15,13,3,6,9,14,2,4,8)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5} + 1$
$2$	$15$	$(1,5,10,15,3,9,2,8,7,12,11,13,6,14,4)$	$-\zeta_{5}^{3}$
$2$	$15$	$(1,10,3,2,7,11,6,4,5,15,9,8,12,13,14)$	$-\zeta_{5}$
$2$	$15$	$(1,4,14,6,13,11,12,7,8,2,9,3,15,10,5)$	$-\zeta_{5}^{2}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

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L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

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Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 15 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.3267.15t4.a.c
Dimension	$2$
Group	$S_3 \times C_5$
Conductor	$3267$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 1 + \left(16 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19 + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{4} + 3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 2a + 1 + (16a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 14a + 16)19 + (7a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 14a)19^2 + (10a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 15a + 12)19^3 + (8a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 14a + 18)19^4 + (4a^4 + a^3 + 18a^2 + a + 1)19^5 + (18a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 14a + 14)19^6 + (4a^4 + 3a^2 + 7a + 17)19^7 + (15a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 14a + 9)19^8 + (8a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 5a)*19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 2 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 5 + \left(18 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19 + \left(15 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 2a^4 + a^3 + 2a^2 + 14a + 5 + (18a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 5a + 5)19 + (15a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 4a + 14)19^2 + (3a^4 + 11a^3 + 9a^2 + a + 4)19^3 + (14a^4 + 7a^3 + 18a + 3)19^4 + (a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 2a + 10)19^5 + (4a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 10a + 14)19^6 + (7a^4 + 12a^3 + a^2 + 5a + 7)19^7 + (13a^4 + 9a^3 + a^2 + 2)19^8 + (6a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 4a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 2 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 13 + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a + 5\right)\cdot 19 + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 2a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a + 13 + (3a^4 + 5a^3 + 5a + 5)19 + (11a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 9a + 6)19^2 + (18a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 9a + 4)19^3 + (2a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 11a + 18)19^4 + (12a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 7a + 14)19^5 + (2a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 8a + 14)19^6 + (2a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 14a + 13)19^7 + (17a^3 + 15a^2 + 12a + 11)19^8 + (4a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 7a + 4)*19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 3 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10 + \left(2 a^{4} + 13 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19 + \left(2 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 3a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 3a + 10 + (2a^4 + 13a^2 + 5a + 6)19 + (2a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 6a + 1)19^2 + (4a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 15a + 2)19^3 + (16a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 2a + 17)19^4 + (11a^4 + 8a^3 + 7a^2 + a + 1)19^5 + (12a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 17a + 10)19^6 + (10a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 14a + 1)19^7 + (13a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 5a + 18)19^8 + (5a^4 + 3a^3 + 12a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 3 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 17 + \left(15 a^{4} + 16 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19 + \left(4 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 3a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 2a + 17 + (15a^4 + 16a^2 + 10a + 15)19 + (4a^4 + 17a^3 + a^2 + 9a + 18)19^2 + (2a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 18a + 14)19^3 + (17a^3 + 6a^2 + a + 6)19^4 + (15a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 9a + 7)19^5 + (12a^4 + 12a^3 + 14a^2 + a + 17)19^6 + (6a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 9a + 12)19^7 + (15a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 6a + 15)19^8 + (13a^3 + 10a^2 + 16a + 10)*19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 4 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 13 + \left(16 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19 + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 4a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 15a + 13 + (16a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 4a + 16)19 + (2a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 3a + 18)19^2 + (14a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 6a + 7)19^3 + (3a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 17a + 18)19^4 + (9a^4 + 18a^3 + a^2 + 18a + 1)19^5 + (8a^4 + 10a^3 + 17a + 13)19^6 + (15a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 18a + 2)19^7 + (16a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 9a + 16)19^8 + (16a^4 + a^3 + 17a^2 + 13)*19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 5 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 18 + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19 + \left(13 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 5a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 8a + 18 + (15a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 3a + 1)19 + (13a^4 + 3a^3 + 11a + 10)19^2 + (13a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 18a + 2)19^3 + (14a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 3a + 11)19^4 + (8a^3 + 5a^2 + 7a + 14)19^5 + (18a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 16a + 12)19^6 + (10a^3 + 5a^2 + 7a)19^7 + (8a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 16a + 15)19^8 + (3a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 4a + 2)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 6 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 10 + \left(18 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19 + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 6a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 13a + 10 + (18a^3 + 2a^2 + 2a + 13)19 + (10a^4 + 7a^3 + a^2 + 6a + 1)19^2 + (15a^4 + 9a^3 + 12a^2 + a + 11)19^3 + (18a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 16a + 5)19^4 + (5a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 11a + 9)19^5 + (5a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 7a + 6)19^6 + (2a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 5a + 14)19^7 + (5a^4 + a^3 + 7a^2 + 14a + 12)19^8 + (16a^4 + a^3 + 10a^2 + a + 15)*19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 7 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 7 + \left(13 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19 + \left(17 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{4} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 7a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 14a + 7 + (13a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 14a + 13)19 + (17a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 5a + 6)19^2 + (17a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 12a)19^3 + (5a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 8a + 14)19^4 + (18a^3 + 17a^2 + 15a + 12)19^5 + (16a^2 + 3a + 16)19^6 + (a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 16a)19^7 + (10a^4 + 8a + 4)19^8 + (12a^4 + 17a^3 + 14a^2 + 5a + 1)*19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 9 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 15 + \left(2 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19 + \left(6 a^{4} + 13 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 9a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 10a + 15 + (2a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 11a + 7)19 + (6a^4 + 13a^2 + 9a + 17)19^2 + (8a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 11a + 18)19^3 + (15a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 4a + 13)19^4 + (3a^4 + 4a^3 + a^2 + 7a + 7)19^5 + (5a^4 + 12a^3 + 12a + 18)19^6 + (a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 13a + 1)19^7 + (16a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 13a + 9)19^8 + (4a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 16a + 8)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 11 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 11 + \left(8 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19 + \left(12 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 11a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 3a + 11 + (8a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 9a + 8)19 + (12a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 17a + 11)19^2 + (9a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 9a + 6)19^3 + (4a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 14a + 5)19^4 + (14a^4 + 17a^3 + a^2 + a + 4)19^5 + (5a^3 + 11a^2 + a + 7)19^6 + (13a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 14a)19^7 + (12a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 14a + 5)19^8 + (16a^4 + 16a^3 + a^2 + 7a + 17)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 14 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 15 + \left(13 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19 + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 14a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 14a + 15 + (13a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 8a + 6)19 + (5a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 3a + 11)19^2 + (15a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 13a + 12)19^3 + (18a^4 + a^3 + 17a^2 + 4a + 2)19^4 + (13a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 10a + 2)19^5 + (3a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 12a + 13)19^6 + (6a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 8a + 3)19^7 + (5a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 8)19^8 + (9a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 18a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 14 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 16 + \left(4 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19 + \left(17 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{4} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{8} + \left(11 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 14a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 3a + 16 + (4a^4 + a^3 + 15a^2 + 3a + 16)19 + (17a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 5a + 4)19^2 + (12a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 18a + 18)19^3 + (4a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 17a + 8)19^4 + (2a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 6a + 1)19^5 + (2a^4 + a^2 + 7a + 6)19^6 + (5a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 4a + 17)19^7 + (9a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 12a)19^8 + (11a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 17a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 16 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 12 + \left(10 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19 + \left(18 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 16a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 18a + 12 + (10a^4 + 18a^3 + 10a^2 + 10a + 17)19 + (18a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 14a + 16)19^2 + (10a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 17a + 11)19^3 + (11a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 12a + 14)19^4 + (9a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 7a + 4)19^5 + (16a^4 + 11a^3 + a^2 + 13)19^6 + (13a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 14a + 3)19^7 + (4a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 8a + 11)19^8 + (7a^3 + 6a^2 + 4a + 8)19^9+O(19^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 17 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 8 + \left(11 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a + 18\right)\cdot 19 + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 17a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 12a + 8 + (11a^4 + 13a^3 + 4a + 18)19 + (5a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 12a + 10)19^2 + (13a^4 + 9a^3 + 14a^2 + a + 4)19^3 + (11a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 2a + 12)19^4 + (8a^4 + 4a^3 + 4a + 18)19^5 + (3a^4 + a^3 + 6a^2 + 2a + 11)19^6 + (4a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 16a + 14)19^7 + (6a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 12a + 11)19^8 + (15a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 9a + 7)*19^9+O(19^10)