LMFDB - Artin representation 2.31939.120.a.c

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	24T576
Conductor:	$31939$$\medspace = 19 \cdot 41^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 24.4.390910843070920172128037450089987282441.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	120
Parity:	odd
Determinant:	1.19.2t1.a.a
Projective image:	$A_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.1020099721.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 5 x^{23} + 6 x^{22} + 36 x^{21} - 167 x^{20} + 510 x^{19} - 97 x^{18} - 2439 x^{17} + 6788 x^{16} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $ x^{10} + x^{6} + 42x^{5} + 14x^{4} + 18x^{3} + 45x^{2} + 45x + 5 $ x^10 + x^6 + 42*x^5 + 14*x^4 + 18*x^3 + 45*x^2 + 45*x + 5

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 16 a^{9} + 29 a^{7} + 39 a^{6} + 29 a^{5} + 14 a^{4} + 41 a^{3} + 17 a^{2} + 31 + \left(26 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + a^{6} + 34 a^{5} + 15 a^{4} + 33 a^{3} + 38 a^{2} + 42 a + 45\right)\cdot 47 + \left(30 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 35 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 33 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 47^{2} + \left(44 a^{9} + 20 a^{8} + 26 a^{7} + 39 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 40 a^{3} + 5 a^{2} + 46 a + 20\right)\cdot 47^{3} + \left(44 a^{9} + 6 a^{8} + 41 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 47^{4} + \left(26 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 33 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 47^{5} + \left(29 a^{9} + 40 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 45 a^{5} + 24 a^{4} + 36 a^{3} + 41 a^{2} + 23 a + 44\right)\cdot 47^{6} + \left(4 a^{9} + 28 a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 33 a^{4} + 36 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 47^{7} + \left(29 a^{9} + 5 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 32 a^{5} + 9 a^{4} + 46 a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 47^{8} + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 31 a + 5\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 16a^9 + 29a^7 + 39a^6 + 29a^5 + 14a^4 + 41a^3 + 17a^2 + 31 + (26a^9 + 15a^8 + 26a^7 + a^6 + 34a^5 + 15a^4 + 33a^3 + 38a^2 + 42a + 45)47 + (30a^9 + 27a^8 + 17a^7 + 35a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 33a^2 + 30a + 12)47^2 + (44a^9 + 20a^8 + 26a^7 + 39a^6 + 5a^5 + 13a^4 + 40a^3 + 5a^2 + 46a + 20)47^3 + (44a^9 + 6a^8 + 41a^7 + 3a^6 + 11a^5 + 12a^4 + 25a^3 + 33a^2 + 27a + 40)47^4 + (26a^9 + 14a^8 + 18a^7 + 33a^6 + 18a^5 + 25a^4 + 22a^3 + 6a^2 + 5)47^5 + (29a^9 + 40a^8 + 21a^7 + 18a^6 + 45a^5 + 24a^4 + 36a^3 + 41a^2 + 23a + 44)47^6 + (4a^9 + 28a^8 + 34a^7 + 19a^6 + 20a^5 + 33a^4 + 36a^3 + 19a^2 + 17a + 14)47^7 + (29a^9 + 5a^8 + 36a^7 + 21a^6 + 32a^5 + 9a^4 + 46a^3 + 33a^2 + 4a + 6)47^8 + (2a^9 + 5a^8 + 21a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 25a^3 + 2a^2 + 31a + 5)47^9+O(47^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 37 a^{9} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 39 a^{3} + 7 a^{2} + 45 + \left(13 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 33 a^{4} + 21 a^{3} + 44 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 47 + \left(45 a^{9} + 16 a^{8} + 39 a^{7} + 32 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 42 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 38 a^{6} + 38 a^{5} + 44 a^{4} + 43 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 47^{3} + \left(18 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 47^{4} + \left(41 a^{9} + 18 a^{8} + 45 a^{7} + a^{6} + 43 a^{5} + 30 a^{4} + 45 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 44\right)\cdot 47^{5} + \left(22 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 47^{6} + \left(24 a^{9} + 24 a^{8} + 44 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 34 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 47^{7} + \left(3 a^{9} + 15 a^{8} + 36 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 43 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 47^{8} + \left(40 a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 41 a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 37a^9 + 23a^7 + 5a^6 + 23a^5 + 3a^4 + 39a^3 + 7a^2 + 45 + (13a^9 + 20a^8 + 12a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 33a^4 + 21a^3 + 44a^2 + 9a + 25)47 + (45a^9 + 16a^8 + 39a^7 + 32a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 42a^2 + 32a + 16)47^2 + (45a^9 + 21a^8 + 4a^7 + 38a^6 + 38a^5 + 44a^4 + 43a^3 + 9a^2 + 5a + 28)47^3 + (18a^9 + 15a^8 + 13a^7 + 3a^6 + 28a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 34a + 37)47^4 + (41a^9 + 18a^8 + 45a^7 + a^6 + 43a^5 + 30a^4 + 45a^3 + 2a^2 + 33a + 44)47^5 + (22a^9 + 22a^8 + 25a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 29a^3 + 29a^2 + 15a + 10)47^6 + (24a^9 + 24a^8 + 44a^7 + 16a^6 + 7a^5 + 3a^4 + 34a^3 + 25a^2 + 3a + 42)47^7 + (3a^9 + 15a^8 + 36a^7 + 23a^6 + 5a^5 + 43a^3 + a^2 + 3a + 3)47^8 + (40a^9 + 19a^8 + 29a^7 + 26a^6 + 12a^5 + 5a^4 + 28a^3 + 41a^2 + 37a + 3)47^9+O(47^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 31 a^{9} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 33 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 46 + \left(20 a^{9} + 32 a^{8} + 20 a^{7} + 45 a^{6} + 12 a^{5} + 31 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 47 + \left(16 a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 43 a^{5} + 44 a^{4} + 46 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 47^{2} + \left(2 a^{9} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 41 a^{5} + 33 a^{4} + 6 a^{3} + 41 a^{2} + 10\right)\cdot 47^{3} + \left(2 a^{9} + 40 a^{8} + 5 a^{7} + 43 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 47^{4} + \left(20 a^{9} + 32 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 40 a^{2} + 46 a + 15\right)\cdot 47^{5} + \left(17 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 47^{6} + \left(42 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 47^{7} + \left(17 a^{9} + 41 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 37 a^{4} + 13 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 47^{8} + \left(44 a^{9} + 41 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 37 a^{5} + 39 a^{4} + 21 a^{3} + 44 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 31a^9 + 18a^7 + 8a^6 + 18a^5 + 33a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 46 + (20a^9 + 32a^8 + 20a^7 + 45a^6 + 12a^5 + 31a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 5a + 32)47 + (16a^9 + 19a^8 + 29a^7 + 11a^6 + 43a^5 + 44a^4 + 46a^3 + 13a^2 + 16a + 2)47^2 + (2a^9 + 26a^8 + 20a^7 + 7a^6 + 41a^5 + 33a^4 + 6a^3 + 41a^2 + 10)47^3 + (2a^9 + 40a^8 + 5a^7 + 43a^6 + 35a^5 + 34a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 19a + 35)47^4 + (20a^9 + 32a^8 + 28a^7 + 13a^6 + 28a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 40a^2 + 46a + 15)47^5 + (17a^9 + 6a^8 + 25a^7 + 28a^6 + a^5 + 22a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 23a + 35)47^6 + (42a^9 + 18a^8 + 12a^7 + 27a^6 + 26a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 27a^2 + 29a + 16)47^7 + (17a^9 + 41a^8 + 10a^7 + 25a^6 + 14a^5 + 37a^4 + 13a^2 + 42a + 8)47^8 + (44a^9 + 41a^8 + 25a^7 + 28a^6 + 37a^5 + 39a^4 + 21a^3 + 44a^2 + 15a + 9)47^9+O(47^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 10 a^{9} + 24 a^{7} + 42 a^{6} + 24 a^{5} + 44 a^{4} + 8 a^{3} + 40 a^{2} + 18 + \left(33 a^{9} + 27 a^{8} + 34 a^{7} + 33 a^{6} + 39 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 47 + \left(a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 36 a^{5} + 43 a^{4} + 37 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 47^{2} + \left(a^{9} + 25 a^{8} + 42 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 37 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 47^{3} + \left(28 a^{9} + 31 a^{8} + 33 a^{7} + 43 a^{6} + 18 a^{5} + 44 a^{4} + 40 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 47^{4} + \left(5 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 45 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 44 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 47^{5} + \left(24 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 37 a^{6} + 43 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 47^{6} + \left(22 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 39 a^{5} + 43 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 43 a + 35\right)\cdot 47^{7} + \left(43 a^{9} + 31 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 41 a^{5} + 46 a^{4} + 3 a^{3} + 45 a^{2} + 43 a + 9\right)\cdot 47^{8} + \left(6 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 34 a^{5} + 41 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 10a^9 + 24a^7 + 42a^6 + 24a^5 + 44a^4 + 8a^3 + 40a^2 + 18 + (33a^9 + 27a^8 + 34a^7 + 33a^6 + 39a^5 + 13a^4 + 25a^3 + 2a^2 + 38a + 20)47 + (a^9 + 30a^8 + 7a^7 + 14a^6 + 36a^5 + 43a^4 + 37a^3 + 4a^2 + 14a + 34)47^2 + (a^9 + 25a^8 + 42a^7 + 8a^6 + 8a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 37a^2 + 41a + 2)47^3 + (28a^9 + 31a^8 + 33a^7 + 43a^6 + 18a^5 + 44a^4 + 40a^3 + 33a^2 + 12a + 29)47^4 + (5a^9 + 28a^8 + a^7 + 45a^6 + 3a^5 + 16a^4 + a^3 + 44a^2 + 13a + 22)47^5 + (24a^9 + 24a^8 + 21a^7 + 37a^6 + 43a^5 + 35a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 31a + 1)47^6 + (22a^9 + 22a^8 + 2a^7 + 30a^6 + 39a^5 + 43a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 43a + 35)47^7 + (43a^9 + 31a^8 + 10a^7 + 23a^6 + 41a^5 + 46a^4 + 3a^3 + 45a^2 + 43a + 9)47^8 + (6a^9 + 27a^8 + 17a^7 + 20a^6 + 34a^5 + 41a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 9a + 20)*47^9+O(47^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 12 a^{8} + 36 a^{7} + 38 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{3} + 35 a^{2} + 42 a + 2 + \left(45 a^{9} + 32 a^{8} + 45 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 39 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a + 30\right)\cdot 47 + \left(26 a^{9} + 36 a^{8} + 33 a^{7} + 8 a^{6} + 35 a^{5} + 42 a^{4} + 12 a^{3} + 34 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 47^{2} + \left(27 a^{9} + 45 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 47^{3} + \left(25 a^{9} + 26 a^{8} + 42 a^{7} + 35 a^{6} + 5 a^{5} + 37 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 47^{4} + \left(25 a^{9} + 4 a^{8} + 28 a^{7} + 33 a^{6} + 31 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 47^{5} + \left(23 a^{9} + 44 a^{8} + 36 a^{7} + 40 a^{6} + 4 a^{5} + 31 a^{4} + 43 a^{3} + 32 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 47^{6} + \left(26 a^{9} + 20 a^{8} + 34 a^{7} + 11 a^{6} + 39 a^{5} + 32 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 47^{7} + \left(15 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 46 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 47^{8} + \left(11 a^{9} + 18 a^{8} + 27 a^{7} + 42 a^{6} + 7 a^{5} + 34 a^{4} + 36 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 40\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 5a^9 + 12a^8 + 36a^7 + 38a^6 + 10a^5 + 30a^3 + 35a^2 + 42a + 2 + (45a^9 + 32a^8 + 45a^7 + 29a^6 + 29a^5 + 39a^4 + 24a^3 + 18a + 30)47 + (26a^9 + 36a^8 + 33a^7 + 8a^6 + 35a^5 + 42a^4 + 12a^3 + 34a^2 + 35a + 5)47^2 + (27a^9 + 45a^8 + 21a^7 + 4a^6 + 7a^5 + a^4 + 7a^3 + 25a^2 + 34a + 19)47^3 + (25a^9 + 26a^8 + 42a^7 + 35a^6 + 5a^5 + 37a^4 + 3a^3 + a^2 + 36a + 7)47^4 + (25a^9 + 4a^8 + 28a^7 + 33a^6 + 31a^5 + 22a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 22a + 35)47^5 + (23a^9 + 44a^8 + 36a^7 + 40a^6 + 4a^5 + 31a^4 + 43a^3 + 32a^2 + 17a + 9)47^6 + (26a^9 + 20a^8 + 34a^7 + 11a^6 + 39a^5 + 32a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 7a + 31)47^7 + (15a^9 + 24a^8 + 22a^7 + 11a^6 + 4a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 46a^2 + 30a + 37)47^8 + (11a^9 + 18a^8 + 27a^7 + 42a^6 + 7a^5 + 34a^4 + 36a^3 + 16a^2 + 21a + 40)*47^9+O(47^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 31 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 45 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + 30 + \left(14 a^{9} + 34 a^{8} + 7 a^{7} + 32 a^{6} + 38 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 38 a^{2} + 14 a + 32\right)\cdot 47 + \left(17 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 38 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 36 a^{2} + a + 2\right)\cdot 47^{2} + \left(20 a^{9} + 44 a^{8} + 19 a^{7} + 44 a^{6} + 43 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 47^{3} + \left(20 a^{9} + 34 a^{8} + 25 a^{7} + 40 a^{6} + 41 a^{5} + 42 a^{4} + 32 a^{3} + 37 a + 18\right)\cdot 47^{4} + \left(12 a^{9} + 22 a^{8} + 39 a^{7} + 44 a^{6} + 31 a^{5} + 34 a^{4} + 39 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 47^{5} + \left(23 a^{9} + 6 a^{8} + 43 a^{7} + 34 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 32 a^{2} + 45 a + 46\right)\cdot 47^{6} + \left(32 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 29 a^{6} + 43 a^{5} + 18 a^{4} + 41 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 47^{7} + \left(14 a^{9} + 14 a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 46 a^{5} + 45 a^{4} + 28 a^{3} + 44 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 47^{8} + \left(33 a^{9} + 37 a^{8} + 31 a^{7} + 29 a^{6} + 31 a^{5} + 37 a^{4} + 41 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 31a^9 + 5a^8 + 11a^7 + 16a^6 + 45a^5 + 35a^4 + 18a^3 + 30a^2 + 25a + 30 + (14a^9 + 34a^8 + 7a^7 + 32a^6 + 38a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 38a^2 + 14a + 32)47 + (17a^9 + 15a^8 + 3a^7 + a^6 + 38a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 36a^2 + a + 2)47^2 + (20a^9 + 44a^8 + 19a^7 + 44a^6 + 43a^5 + 30a^4 + 27a^3 + 10a^2 + 12a + 7)47^3 + (20a^9 + 34a^8 + 25a^7 + 40a^6 + 41a^5 + 42a^4 + 32a^3 + 37a + 18)47^4 + (12a^9 + 22a^8 + 39a^7 + 44a^6 + 31a^5 + 34a^4 + 39a^3 + 15a^2 + 8a + 22)47^5 + (23a^9 + 6a^8 + 43a^7 + 34a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 32a^2 + 45a + 46)47^6 + (32a^9 + 23a^8 + a^7 + 29a^6 + 43a^5 + 18a^4 + 41a^3 + 23a^2 + 4a + 18)47^7 + (14a^9 + 14a^8 + 3a^7 + 10a^6 + 46a^5 + 45a^4 + 28a^3 + 44a^2 + 8a + 24)47^8 + (33a^9 + 37a^8 + 31a^7 + 29a^6 + 31a^5 + 37a^4 + 41a^3 + 21a^2 + 12a + 21)47^9+O(47^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 39 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{2} + 24 a + 31 + \left(20 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 31 a^{5} + 32 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 47 + \left(7 a^{9} + 35 a^{8} + 32 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 47^{2} + \left(23 a^{9} + 37 a^{8} + 37 a^{7} + 29 a^{6} + 45 a^{5} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 47^{3} + \left(25 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 33 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 47^{4} + \left(41 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 47^{5} + \left(26 a^{9} + 42 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 43 a^{5} + 11 a^{4} + 35 a^{3} + 31 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 47^{6} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 43 a^{3} + 35 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 47^{7} + \left(46 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 43 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 43 a + 14\right)\cdot 47^{8} + \left(34 a^{9} + 37 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 40 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 44\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 39a^9 + 11a^8 + a^7 + 30a^6 + 27a^5 + 28a^4 + 22a^2 + 24a + 31 + (20a^9 + 34a^8 + 16a^7 + 12a^6 + 31a^5 + 32a^4 + 4a^3 + 29a^2 + 5a + 37)47 + (7a^9 + 35a^8 + 32a^7 + 27a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 13a + 37)47^2 + (23a^9 + 37a^8 + 37a^7 + 29a^6 + 45a^5 + 39a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 17a + 3)47^3 + (25a^9 + 19a^8 + 14a^7 + 18a^6 + 33a^5 + 27a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 8a + 7)47^4 + (41a^9 + 24a^8 + 26a^7 + 25a^6 + 20a^5 + 39a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 14a + 10)47^5 + (26a^9 + 42a^8 + 17a^7 + 20a^6 + 43a^5 + 11a^4 + 35a^3 + 31a^2 + 38a + 35)47^6 + (30a^9 + 25a^8 + 13a^7 + 20a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 43a^3 + 35a^2 + 30a + 12)47^7 + (46a^9 + 9a^8 + 20a^6 + 25a^5 + 43a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 43a + 14)47^8 + (34a^9 + 37a^8 + 25a^7 + 23a^6 + 40a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 27a^2 + 44)*47^9+O(47^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 28 a^{9} + 14 a^{8} + 39 a^{7} + 11 a^{6} + 41 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 7 + \left(15 a^{9} + 42 a^{8} + 16 a^{6} + 44 a^{5} + 21 a^{4} + 37 a^{3} + 11 a + 37\right)\cdot 47 + \left(17 a^{9} + 42 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 35 a^{5} + 37 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 6\right)\cdot 47^{2} + \left(21 a^{9} + 41 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 47^{3} + \left(40 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 47^{4} + \left(35 a^{9} + 37 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + 39 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 47^{5} + \left(38 a^{9} + 41 a^{8} + 10 a^{7} + 31 a^{6} + 33 a^{5} + 40 a^{4} + 41 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 47^{6} + \left(11 a^{9} + 17 a^{8} + 34 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 27 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 47^{7} + \left(28 a^{9} + 34 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 41 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 47^{8} + \left(2 a^{9} + 40 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 45 a^{4} + 46 a^{3} + a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 28a^9 + 14a^8 + 39a^7 + 11a^6 + 41a^5 + 28a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 28a + 7 + (15a^9 + 42a^8 + 16a^6 + 44a^5 + 21a^4 + 37a^3 + 11a + 37)47 + (17a^9 + 42a^8 + 25a^7 + 19a^6 + 35a^5 + 37a^4 + 30a^3 + 28a^2 + 40a + 6)47^2 + (21a^9 + 41a^8 + 22a^7 + 24a^6 + 18a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 38a + 26)47^3 + (40a^9 + 12a^8 + 30a^7 + 9a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 3a + 1)47^4 + (35a^9 + 37a^8 + 3a^7 + 25a^6 + 17a^5 + 39a^4 + 35a^3 + 15a^2 + 21a + 6)47^5 + (38a^9 + 41a^8 + 10a^7 + 31a^6 + 33a^5 + 40a^4 + 41a^3 + 16a^2 + 30a + 22)47^6 + (11a^9 + 17a^8 + 34a^7 + 30a^6 + 3a^5 + 6a^4 + 27a^2 + 4a + 22)47^7 + (28a^9 + 34a^8 + 29a^7 + 3a^6 + 22a^5 + 41a^4 + 40a^3 + 27a^2 + 7a + 34)47^8 + (2a^9 + 40a^8 + 39a^7 + 18a^6 + 27a^5 + 45a^4 + 46a^3 + a^2 + 18a + 15)*47^9+O(47^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 40 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 37 a^{6} + 28 a^{5} + 40 a^{4} + 28 a^{3} + 44 a^{2} + 40 a + 24 + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 37 a^{4} + 45 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 47 + \left(14 a^{9} + 33 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 47^{2} + \left(33 a^{9} + 41 a^{8} + 45 a^{7} + 31 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 38 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 47^{3} + \left(15 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 33 a^{5} + 9 a^{4} + 41 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 36\right)\cdot 47^{4} + \left(28 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 40 a^{6} + 33 a^{5} + 37 a^{4} + 30 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 35\right)\cdot 47^{5} + \left(12 a^{9} + 35 a^{8} + 38 a^{7} + 5 a^{6} + 34 a^{5} + 36 a^{4} + 18 a^{3} + 46 a^{2} + 41 a + 5\right)\cdot 47^{6} + \left(37 a^{9} + 44 a^{8} + 29 a^{7} + 29 a^{6} + 32 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 47^{7} + \left(44 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 36 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 40 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 47^{8} + \left(22 a^{9} + 41 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 40a^9 + 5a^8 + 28a^7 + 37a^6 + 28a^5 + 40a^4 + 28a^3 + 44a^2 + 40a + 24 + (26a^9 + 19a^8 + 25a^7 + 13a^6 + 6a^5 + 37a^4 + 45a^3 + 23a^2 + 36a + 11)47 + (14a^9 + 33a^7 + 18a^6 + 2a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 18a^2 + 27a + 31)47^2 + (33a^9 + 41a^8 + 45a^7 + 31a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 38a^2 + 43a + 32)47^3 + (15a^9 + 10a^8 + 27a^7 + 11a^6 + 33a^5 + 9a^4 + 41a^3 + 15a^2 + 13a + 36)47^4 + (28a^9 + 10a^8 + 9a^7 + 40a^6 + 33a^5 + 37a^4 + 30a^3 + 24a^2 + 27a + 35)47^5 + (12a^9 + 35a^8 + 38a^7 + 5a^6 + 34a^5 + 36a^4 + 18a^3 + 46a^2 + 41a + 5)47^6 + (37a^9 + 44a^8 + 29a^7 + 29a^6 + 32a^5 + 19a^4 + a^3 + 2a^2 + 39a + 29)47^7 + (44a^9 + 20a^8 + 27a^7 + 36a^6 + 12a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 40a^2 + 38a + 14)47^8 + (22a^9 + 41a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 25a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 36a^2 + 22a + 26)*47^9+O(47^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 31 a^{8} + 39 a^{7} + 45 a^{6} + 13 a^{5} + 38 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 25 + \left(21 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 44 a^{3} + 37 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 47 + \left(39 a^{9} + 6 a^{8} + 36 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 38 a^{4} + 28 a^{3} + 46 a^{2} + 40 a + 7\right)\cdot 47^{2} + \left(4 a^{9} + 44 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 36 a^{6} + 11 a^{5} + 38 a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 47^{4} + \left(37 a^{9} + 23 a^{8} + 39 a^{7} + 5 a^{6} + 24 a^{5} + 33 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a^{9} + 25 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 32 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 43 a^{2} + 43 a + 11\right)\cdot 47^{6} + \left(6 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 45 a^{6} + 21 a^{5} + 46 a^{4} + 46 a^{3} + 44 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 47^{7} + \left(10 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 47^{8} + \left(37 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 40 a^{6} + 34 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 22a^9 + 31a^8 + 39a^7 + 45a^6 + 13a^5 + 38a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 29a + 25 + (21a^9 + 26a^8 + 26a^7 + 26a^6 + a^5 + 21a^4 + 44a^3 + 37a^2 + 46a + 32)47 + (39a^9 + 6a^8 + 36a^7 + 25a^6 + 15a^5 + 38a^4 + 28a^3 + 46a^2 + 40a + 7)47^2 + (4a^9 + 44a^8 + 30a^7 + 29a^6 + 2a^5 + 19a^4 + a^3 + 17a^2 + 23a + 1)47^3 + (6a^9 + 21a^8 + 7a^7 + 36a^6 + 11a^5 + 38a^4 + 23a^3 + 21a^2 + 2a + 7)47^4 + (37a^9 + 23a^8 + 39a^7 + 5a^6 + 24a^5 + 33a^4 + 22a^3 + 27a^2 + 8a + 1)47^5 + (42a^9 + 25a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 32a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 43a^2 + 43a + 11)47^6 + (6a^9 + 8a^8 + 15a^7 + 45a^6 + 21a^5 + 46a^4 + 46a^3 + 44a^2 + 12a + 3)47^7 + (10a^9 + 29a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 4a^4 + 22a^3 + 27a^2 + 29a + 6)47^8 + (37a^9 + 17a^8 + 29a^7 + 40a^6 + 34a^4 + 18a^3 + 31a^2 + 19a + 17)*47^9+O(47^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 24 a^{9} + 41 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 43 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 15 + \left(14 a^{9} + 43 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 44 a + 6\right)\cdot 47 + \left(38 a^{9} + 45 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 33 a^{5} + 39 a^{4} + 30 a^{3} + 37 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 47^{2} + \left(29 a^{8} + 8 a^{7} + 32 a^{6} + 41 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 38 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 47^{3} + \left(26 a^{9} + 44 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 16 a^{4} + 43 a^{3} + 39 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 47^{4} + \left(16 a^{9} + 44 a^{8} + 40 a^{7} + 18 a^{6} + 33 a^{5} + 31 a^{4} + 10 a^{3} + 31 a^{2} + 45 a + 6\right)\cdot 47^{5} + \left(44 a^{8} + 21 a^{7} + 28 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 41\right)\cdot 47^{6} + \left(20 a^{9} + 32 a^{8} + 4 a^{7} + 33 a^{6} + 12 a^{5} + 40 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 36\right)\cdot 47^{7} + \left(21 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 5 a^{6} + 35 a^{5} + 23 a^{4} + 42 a^{3} + 44 a^{2} + 44 a + 33\right)\cdot 47^{8} + \left(2 a^{9} + 41 a^{8} + a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 24a^9 + 41a^8 + 10a^7 + 17a^6 + 43a^5 + 23a^4 + 38a^3 + 24a^2 + 4a + 15 + (14a^9 + 43a^8 + 7a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 26a^2 + 44a + 6)47 + (38a^9 + 45a^8 + 30a^7 + 15a^6 + 33a^5 + 39a^4 + 30a^3 + 37a^2 + 38a + 11)47^2 + (29a^8 + 8a^7 + 32a^6 + 41a^5 + 17a^4 + 24a^3 + 38a^2 + 11a + 38)47^3 + (26a^9 + 44a^8 + 14a^7 + 12a^6 + 30a^5 + 16a^4 + 43a^3 + 39a^2 + 12a + 29)47^4 + (16a^9 + 44a^8 + 40a^7 + 18a^6 + 33a^5 + 31a^4 + 10a^3 + 31a^2 + 45a + 6)47^5 + (44a^8 + 21a^7 + 28a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 24a^3 + 12a^2 + 6a + 41)47^6 + (20a^9 + 32a^8 + 4a^7 + 33a^6 + 12a^5 + 40a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 9a + 36)47^7 + (21a^9 + 17a^8 + 30a^7 + 5a^6 + 35a^5 + 23a^4 + 42a^3 + 44a^2 + 44a + 33)47^8 + (2a^9 + 41a^8 + a^7 + 13a^6 + a^5 + 28a^4 + 11a^3 + 19a^2 + 22a + 23)*47^9+O(47^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 42 a^{9} + 46 a^{8} + 44 a^{7} + 38 a^{6} + 36 a^{5} + 30 a^{4} + 41 a^{3} + a^{2} + 7 a + 30 + \left(41 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 32 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 45 a^{2} + 44 a + 32\right)\cdot 47 + \left(22 a^{9} + 2 a^{8} + 43 a^{7} + 38 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 44 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{9} + 36 a^{8} + 16 a^{7} + 46 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 42 a^{2} + 33 a + 44\right)\cdot 47^{3} + \left(41 a^{9} + 3 a^{8} + 41 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 46 a + 24\right)\cdot 47^{4} + \left(6 a^{9} + 8 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 37 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 43 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 47^{5} + \left(10 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 47^{6} + \left(12 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 41 a^{3} + 41 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 47^{7} + \left(7 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 47^{8} + \left(17 a^{9} + 42 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 40 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 42a^9 + 46a^8 + 44a^7 + 38a^6 + 36a^5 + 30a^4 + 41a^3 + a^2 + 7a + 30 + (41a^9 + 6a^8 + 22a^7 + 7a^6 + 32a^5 + 9a^4 + 27a^3 + 45a^2 + 44a + 32)47 + (22a^9 + 2a^8 + 43a^7 + 38a^6 + 21a^5 + 28a^4 + 6a^3 + 44a^2 + 12a + 42)47^2 + (45a^9 + 36a^8 + 16a^7 + 46a^6 + 11a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 42a^2 + 33a + 44)47^3 + (41a^9 + 3a^8 + 41a^7 + 14a^6 + 14a^5 + 30a^4 + 40a^3 + 38a^2 + 46a + 24)47^4 + (6a^9 + 8a^8 + 8a^7 + 30a^6 + 37a^5 + 10a^4 + 23a^3 + 43a^2 + 20a + 19)47^5 + (10a^9 + 3a^8 + 36a^7 + 35a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 27a^2 + 4a + 26)47^6 + (12a^9 + 19a^8 + 7a^7 + 2a^6 + 10a^5 + 17a^4 + 41a^3 + 41a^2 + 45a + 16)47^7 + (7a^9 + 4a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 29a^5 + 6a^4 + 29a^3 + 16a^2 + 30a + 15)47^8 + (17a^9 + 42a^8 + 9a^7 + 36a^6 + 4a^5 + 32a^4 + 29a^3 + 40a^2 + 10a + 14)47^9+O(47^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 17 a^{9} + 40 a^{8} + 38 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 44 a^{3} + 16 a^{2} + 40 a + 15 + \left(8 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 46 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 47 + \left(2 a^{9} + 3 a^{8} + 40 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 47^{2} + \left(42 a^{9} + 29 a^{8} + 35 a^{7} + 44 a^{6} + 46 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 47^{3} + \left(32 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 46 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 47^{4} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 31 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 35 a^{4} + 3 a^{3} + 31 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 47^{5} + \left(14 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 47^{6} + \left(11 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 35 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 44 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 47^{7} + \left(38 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 31 a^{6} + 17 a^{5} + 41 a^{4} + 20 a^{3} + 36 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 47^{8} + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 39 a^{7} + 15 a^{6} + 40 a^{5} + 29 a^{4} + 44 a^{3} + 45 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 17a^9 + 40a^8 + 38a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 44a^3 + 16a^2 + 40a + 15 + (8a^9 + 8a^8 + 7a^7 + 30a^6 + 23a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 46a^2 + 32a + 17)47 + (2a^9 + 3a^8 + 40a^7 + 7a^6 + 23a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 13a + 31)47^2 + (42a^9 + 29a^8 + 35a^7 + 44a^6 + 46a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 18a^2 + 30a + 17)47^3 + (32a^9 + 30a^8 + 14a^7 + 25a^6 + 3a^5 + a^4 + 46a^3 + 5a^2 + 21a + 32)47^4 + (28a^9 + 27a^8 + 31a^7 + 16a^6 + 12a^5 + 35a^4 + 3a^3 + 31a^2 + 42a + 14)47^5 + (14a^9 + 20a^8 + 22a^7 + 16a^6 + 38a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 8a + 3)47^6 + (11a^9 + 7a^8 + 27a^7 + 3a^6 + 35a^5 + 7a^4 + 30a^3 + 44a^2 + 36a + 23)47^7 + (38a^9 + 12a^8 + 20a^7 + 31a^6 + 17a^5 + 41a^4 + 20a^3 + 36a^2 + 17a + 4)47^8 + (12a^9 + 4a^8 + 39a^7 + 15a^6 + 40a^5 + 29a^4 + 44a^3 + 45a^2 + 21a + 16)*47^9+O(47^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 24 a^{9} + 46 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 31 a^{4} + 23 a^{3} + 42 a^{2} + 2 a + 39 + \left(42 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + 37 a + 13\right)\cdot 47 + \left(44 a^{9} + 23 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 41\right)\cdot 47^{2} + \left(9 a^{9} + 7 a^{8} + 40 a^{7} + 42 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{9} + 34 a^{8} + 30 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 36 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 46\right)\cdot 47^{4} + \left(16 a^{9} + 13 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 38 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 45\right)\cdot 47^{5} + \left(24 a^{9} + 36 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 41 a^{3} + 45 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 47^{6} + \left(18 a^{9} + 44 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 40 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 18\right)\cdot 47^{7} + \left(16 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 34 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 47^{8} + \left(13 a^{9} + 42 a^{8} + 45 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 33 a + 1\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 24a^9 + 46a^8 + 30a^7 + a^6 + 10a^5 + 31a^4 + 23a^3 + 42a^2 + 2a + 39 + (42a^9 + 3a^8 + 20a^7 + 14a^6 + 25a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 29a^2 + 37a + 13)47 + (44a^9 + 23a^8 + 11a^7 + 12a^6 + 30a^4 + 27a^3 + 5a^2 + 25a + 41)47^2 + (9a^9 + 7a^8 + 40a^7 + 42a^6 + 30a^5 + 8a^4 + 26a^3 + 25a^2 + 2a + 35)47^3 + (6a^9 + 34a^8 + 30a^7 + 14a^6 + 29a^5 + 36a^4 + 26a^3 + 14a^2 + 2a + 46)47^4 + (16a^9 + 13a^8 + 16a^7 + 22a^6 + a^5 + 38a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 2a + 45)47^5 + (24a^9 + 36a^8 + 7a^7 + 19a^6 + 17a^5 + 29a^4 + 41a^3 + 45a^2 + 18a + 42)47^6 + (18a^9 + 44a^8 + 6a^7 + 26a^6 + 29a^5 + 40a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 18)47^7 + (16a^9 + 15a^8 + 3a^7 + 16a^6 + 5a^5 + 34a^4 + 27a^3 + 14a^2 + 4a + 11)47^8 + (13a^9 + 42a^8 + 45a^7 + 24a^6 + 6a^5 + a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 33a + 1)47^9+O(47^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 17 a^{9} + 11 a^{8} + 40 a^{7} + 46 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{3} + 25 a^{2} + 40 a + 2 + \left(20 a^{9} + 27 a^{8} + 46 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 40 a + 40\right)\cdot 47 + \left(15 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 37 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a + 7\right)\cdot 47^{2} + \left(33 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + 15 a^{6} + 36 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 46 a + 25\right)\cdot 47^{3} + \left(26 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 32 a^{6} + 44 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 42 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 47^{4} + \left(29 a^{9} + 25 a^{8} + 39 a^{7} + 46 a^{6} + 37 a^{5} + 20 a^{4} + 39 a^{3} + 30 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 47^{5} + \left(19 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 33 a^{6} + 41 a^{5} + 26 a^{4} + 38 a^{3} + 42 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 47^{6} + \left(38 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 30 a^{5} + 40 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 47^{7} + \left(17 a^{9} + 27 a^{8} + 7 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 40 a^{4} + 32 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 47^{8} + \left(37 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{5} + 33 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 44 a + 44\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 17a^9 + 11a^8 + 40a^7 + 46a^6 + 37a^5 + 26a^3 + 25a^2 + 40a + 2 + (20a^9 + 27a^8 + 46a^7 + a^6 + 2a^5 + 23a^4 + 20a^3 + 13a^2 + 40a + 40)47 + (15a^9 + 2a^8 + 9a^7 + 7a^6 + 37a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 3a + 7)47^2 + (33a^9 + 2a^8 + 33a^7 + 15a^6 + 36a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 33a^2 + 46a + 25)47^3 + (26a^9 + 14a^8 + 4a^7 + 32a^6 + 44a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 42a^2 + 14a + 3)47^4 + (29a^9 + 25a^8 + 39a^7 + 46a^6 + 37a^5 + 20a^4 + 39a^3 + 30a^2 + 37a + 18)47^5 + (19a^9 + 8a^8 + 5a^7 + 33a^6 + 41a^5 + 26a^4 + 38a^3 + 42a^2 + 12a + 20)47^6 + (38a^9 + 12a^8 + 12a^7 + 29a^6 + 30a^5 + 40a^4 + 17a^3 + 26a^2 + 33a + 10)47^7 + (17a^9 + 27a^8 + 7a^7 + 33a^6 + 29a^5 + 40a^4 + 32a^3 + 3a^2 + 20a + 26)47^8 + (37a^9 + 24a^8 + 14a^7 + 23a^5 + 33a^4 + 6a^3 + 24a^2 + 44a + 44)*47^9+O(47^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 19 a^{9} + 38 a^{8} + 18 a^{7} + 42 a^{6} + 11 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 13 a + 7 + \left(4 a^{9} + 7 a^{8} + 41 a^{6} + 25 a^{5} + 37 a^{4} + 41 a^{3} + 20 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 47 + \left(23 a^{9} + 2 a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 35 a + 43\right)\cdot 47^{2} + \left(27 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 43 a^{3} + 20 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 47^{3} + \left(9 a^{8} + 41 a^{7} + 46 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 47^{4} + \left(6 a^{9} + 30 a^{8} + 40 a^{7} + 42 a^{6} + 23 a^{5} + 35 a^{4} + 42 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 47^{5} + \left(16 a^{9} + 27 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 36 a^{4} + 44 a^{3} + 40 a^{2} + 21\right)\cdot 47^{6} + \left(16 a^{9} + 39 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 31 a^{5} + 41 a^{4} + 28 a^{3} + 31 a^{2} + 34 a + 44\right)\cdot 47^{7} + \left(15 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 37 a^{6} + 18 a^{5} + 44 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 47^{8} + \left(45 a^{9} + 37 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 34 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 19a^9 + 38a^8 + 18a^7 + 42a^6 + 11a^5 + 32a^4 + 12a^3 + a^2 + 13a + 7 + (4a^9 + 7a^8 + 41a^6 + 25a^5 + 37a^4 + 41a^3 + 20a^2 + 33a + 4)47 + (23a^9 + 2a^8 + 22a^7 + 27a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 35a + 43)47^2 + (27a^9 + 3a^8 + 12a^7 + 36a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 43a^3 + 20a^2 + 40a + 34)47^3 + (9a^8 + 41a^7 + 46a^6 + 8a^5 + 20a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 37a + 27)47^4 + (6a^9 + 30a^8 + 40a^7 + 42a^6 + 23a^5 + 35a^4 + 42a^3 + 19a^2 + 17a + 2)47^5 + (16a^9 + 27a^8 + 31a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 36a^4 + 44a^3 + 40a^2 + 21)47^6 + (16a^9 + 39a^8 + 25a^7 + 19a^6 + 31a^5 + 41a^4 + 28a^3 + 31a^2 + 34a + 44)47^7 + (15a^9 + 14a^8 + 20a^7 + 37a^6 + 18a^5 + 44a^4 + 6a^3 + a^2 + 30a + 6)47^8 + (45a^9 + 37a^8 + 15a^7 + 25a^6 + 9a^5 + 34a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 30a + 29)47^9+O(47^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 36 a^{9} + 19 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 45 a^{2} + 39 a + 36 + \left(8 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 47 + \left(20 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 32 a^{5} + 42 a^{4} + 21 a^{3} + 32 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 47^{2} + \left(35 a^{9} + 30 a^{8} + 46 a^{7} + 26 a^{6} + 44 a^{5} + 36 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + a + 41\right)\cdot 47^{3} + \left(40 a^{9} + 44 a^{8} + 29 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 47^{4} + \left(23 a^{9} + 6 a^{8} + 34 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 32 a^{3} + 33 a^{2} + 44 a + 44\right)\cdot 47^{5} + \left(27 a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 32 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 47^{6} + \left(13 a^{9} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 33 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + a + 26\right)\cdot 47^{7} + \left(33 a^{9} + 46 a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 31 a^{5} + 6 a^{4} + 42 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 41\right)\cdot 47^{8} + \left(23 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 41 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 46 a^{2} + 26 a + 42\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 36a^9 + 19a^8 + 30a^7 + 24a^6 + 19a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 45a^2 + 39a + 36 + (8a^9 + 20a^8 + 22a^7 + 18a^6 + a^5 + 4a^4 + a^3 + 6a^2 + 13a + 1)47 + (20a^9 + 27a^8 + 14a^7 + 15a^6 + 32a^5 + 42a^4 + 21a^3 + 32a^2 + 37a + 42)47^2 + (35a^9 + 30a^8 + 46a^7 + 26a^6 + 44a^5 + 36a^4 + 27a^3 + a^2 + a + 41)47^3 + (40a^9 + 44a^8 + 29a^7 + 10a^6 + 16a^5 + 30a^4 + 35a^3 + 19a^2 + 15a + 18)47^4 + (23a^9 + 6a^8 + 34a^7 + 10a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 32a^3 + 33a^2 + 44a + 44)47^5 + (27a^9 + 6a^8 + 13a^7 + 7a^6 + 32a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 29a + 19)47^6 + (13a^9 + 3a^7 + 10a^6 + 33a^5 + 28a^4 + a^3 + 5a^2 + a + 26)47^7 + (33a^9 + 46a^8 + 4a^7 + 30a^6 + 31a^5 + 6a^4 + 42a^3 + 15a^2 + 17a + 41)47^8 + (23a^9 + 12a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 41a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 46a^2 + 26a + 42)47^9+O(47^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 36 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 40 a^{6} + 41 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{2} + 16 a + 17 + \left(33 a^{9} + 32 a^{8} + 42 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 45 a^{3} + 41 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 47 + \left(10 a^{9} + 24 a^{8} + 33 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 47^{2} + \left(11 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 33 a^{5} + 46 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 42\right)\cdot 47^{3} + \left(33 a^{9} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 47^{4} + \left(41 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 47^{5} + \left(17 a^{9} + 7 a^{8} + 42 a^{7} + 38 a^{6} + 6 a^{5} + 44 a^{4} + 32 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 47^{6} + \left(39 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 42 a^{5} + 40 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 47^{7} + \left(38 a^{9} + 44 a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 32 a^{3} + 12 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 47^{8} + \left(31 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 6 a^{2} + 39 a + 15\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 36a^9 + 10a^8 + 7a^7 + 40a^6 + 41a^5 + 2a^4 + 27a^2 + 16a + 17 + (33a^9 + 32a^8 + 42a^7 + 4a^6 + a^5 + 8a^4 + 45a^3 + 41a^2 + 30a + 33)47 + (10a^9 + 24a^8 + 33a^7 + 30a^6 + 40a^5 + 11a^4 + 29a^3 + 19a^2 + 39a + 45)47^2 + (11a^9 + 30a^8 + 24a^7 + 23a^6 + 33a^5 + 46a^4 + 27a^3 + 15a^2 + 27a + 42)47^3 + (33a^9 + 28a^8 + 12a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 11a^4 + 21a^3 + 29a^2 + 30a + 3)47^4 + (41a^9 + 25a^8 + 5a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 29a^2 + 33a + 35)47^5 + (17a^9 + 7a^8 + 42a^7 + 38a^6 + 6a^5 + 44a^4 + 32a^3 + 17a^2 + 34a + 11)47^6 + (39a^9 + 27a^8 + 28a^7 + 6a^6 + 42a^5 + 40a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 20a + 35)47^7 + (38a^9 + 44a^8 + 26a^7 + 9a^6 + 5a^5 + 12a^4 + 32a^3 + 12a^2 + 33a + 20)47^8 + (31a^9 + 16a^8 + 21a^7 + 12a^6 + 29a^5 + 32a^4 + 36a^3 + 6a^2 + 39a + 15)*47^9+O(47^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 40 a^{8} + 36 a^{7} + 42 a^{5} + 43 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 44 a + 34 + \left(5 a^{9} + 32 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 47 + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 42 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 45 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 47^{2} + \left(4 a^{9} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 30 a^{4} + 42 a^{3} + 37 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 47^{3} + \left(42 a^{9} + 44 a^{8} + 23 a^{7} + 36 a^{6} + 39 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 37 a + 36\right)\cdot 47^{4} + \left(14 a^{9} + 16 a^{8} + 41 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 31 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 47^{5} + \left(36 a^{9} + 33 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 34 a^{5} + 43 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 47^{6} + \left(24 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 47^{7} + \left(46 a^{9} + 44 a^{8} + 42 a^{7} + 44 a^{6} + 45 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 43 a + 36\right)\cdot 47^{8} + \left(2 a^{9} + 33 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 41 a^{3} + 5 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 5a^9 + 40a^8 + 36a^7 + 42a^5 + 43a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 44a + 34 + (5a^9 + 32a^8 + 4a^7 + 5a^6 + 33a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 29a + 38)47 + (15a^9 + 13a^8 + 25a^7 + 42a^6 + 4a^5 + 28a^4 + 45a^3 + 25a^2 + 27a + 37)47^2 + (4a^9 + 27a^7 + 19a^6 + 20a^5 + 30a^4 + 42a^3 + 37a^2 + 12a + 34)47^3 + (42a^9 + 44a^8 + 23a^7 + 36a^6 + 39a^5 + 35a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 37a + 36)47^4 + (14a^9 + 16a^8 + 41a^7 + 25a^6 + a^5 + 31a^4 + 21a^3 + 28a^2 + 27a + 11)47^5 + (36a^9 + 33a^8 + 31a^7 + 9a^6 + 34a^5 + 43a^4 + 30a^3 + 3a^2 + 34a + 42)47^6 + (24a^9 + 5a^8 + 5a^7 + 30a^6 + 16a^5 + 32a^4 + 36a^3 + 23a^2 + 27a + 9)47^7 + (46a^9 + 44a^8 + 42a^7 + 44a^6 + 45a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 43a + 36)47^8 + (2a^9 + 33a^8 + 6a^7 + 21a^6 + 9a^5 + 41a^3 + 5a^2 + 41a + 28)*47^9+O(47^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 24 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 29 + \left(18 a^{9} + 10 a^{8} + 31 a^{7} + 20 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 47 + \left(a^{9} + 31 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 44 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a\right)\cdot 47^{2} + \left(26 a^{9} + 39 a^{8} + 18 a^{7} + 44 a^{6} + 36 a^{5} + 43 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 47^{3} + \left(37 a^{9} + 40 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 41 a^{4} + 25 a^{3} + 38 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 47^{4} + \left(24 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 46 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 43 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 47^{5} + \left(21 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 44 a^{4} + 26 a^{3} + 46 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 47^{6} + \left(38 a^{9} + 9 a^{8} + 34 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 47^{7} + \left(3 a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 31 a^{6} + 34 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 37 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 47^{8} + \left(33 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 37 a^{4} + 26 a^{3} + 42 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 24a^9 + 7a^8 + 26a^7 + 11a^6 + a^5 + 23a^4 + 25a^3 + 31a^2 + 7a + 29 + (18a^9 + 10a^8 + 31a^7 + 20a^6 + 38a^5 + 5a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 33a + 21)47 + (a^9 + 31a^8 + 9a^7 + 24a^6 + 12a^5 + 23a^4 + 44a^3 + 5a^2 + 17a)47^2 + (26a^9 + 39a^8 + 18a^7 + 44a^6 + 36a^5 + 43a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 9a + 39)47^3 + (37a^9 + 40a^8 + 29a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 41a^4 + 25a^3 + 38a^2 + 5a + 15)47^4 + (24a^9 + 3a^8 + 27a^7 + 46a^6 + 22a^5 + 18a^4 + a^3 + 43a^2 + 17a + 24)47^5 + (21a^9 + 11a^8 + 14a^7 + 28a^6 + 29a^5 + 44a^4 + 26a^3 + 46a^2 + 30a + 26)47^6 + (38a^9 + 9a^8 + 34a^7 + 21a^6 + 5a^4 + a^3 + 20a^2 + 27a + 3)47^7 + (3a^9 + 21a^8 + a^7 + 31a^6 + 34a^5 + 35a^4 + 18a^3 + 37a^2 + 11a + 37)47^8 + (33a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 29a^6 + 15a^5 + 37a^4 + 26a^3 + 42a^2 + 14a + 16)*47^9+O(47^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 17 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 39 a^{5} + 43 a^{4} + 33 a^{3} + 21 a^{2} + 40 a + 14 + \left(32 a^{9} + 34 a^{8} + 15 a^{7} + 45 a^{6} + 24 a^{5} + 29 a^{4} + 43 a^{3} + 3 a^{2} + 40 a + 44\right)\cdot 47 + \left(22 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 45 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 45 a + 20\right)\cdot 47^{2} + \left(24 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 37 a^{6} + 38 a^{5} + 28 a^{4} + 38 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 47^{3} + \left(30 a^{9} + 23 a^{8} + 40 a^{7} + 38 a^{6} + 31 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 45\right)\cdot 47^{4} + \left(6 a^{9} + 44 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 47^{5} + \left(42 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 47^{6} + \left(3 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 44 a^{2} + 46 a + 16\right)\cdot 47^{7} + \left(8 a^{9} + 29 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 33 a^{3} + 46 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 47^{8} + \left(44 a^{9} + a^{8} + 43 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 39 a^{3} + 36 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 17a^9 + 28a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 39a^5 + 43a^4 + 33a^3 + 21a^2 + 40a + 14 + (32a^9 + 34a^8 + 15a^7 + 45a^6 + 24a^5 + 29a^4 + 43a^3 + 3a^2 + 40a + 44)47 + (22a^9 + 30a^8 + 3a^7 + 17a^6 + 21a^5 + 45a^4 + 22a^3 + 6a^2 + 45a + 20)47^2 + (24a^9 + 19a^8 + 18a^7 + 37a^6 + 38a^5 + 28a^4 + 38a^3 + 38a^2 + 18a + 25)47^3 + (30a^9 + 23a^8 + 40a^7 + 38a^6 + 31a^5 + 2a^4 + 29a^3 + 18a^2 + 13a + 45)47^4 + (6a^9 + 44a^8 + 29a^7 + 2a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 5a + 13)47^5 + (42a^9 + 13a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 23a^3 + 7a^2 + 30a + 42)47^6 + (3a^9 + 13a^8 + 15a^7 + 3a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 24a^3 + 44a^2 + 46a + 16)47^7 + (8a^9 + 29a^8 + 40a^7 + 9a^6 + 7a^5 + a^4 + 33a^3 + 46a^2 + 9a + 27)47^8 + (44a^9 + a^8 + 43a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 25a^4 + 39a^3 + 36a^2 + 8a + 31)*47^9+O(47^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 37 a^{9} + 33 a^{8} + 16 a^{7} + 32 a^{6} + 33 a^{5} + 13 a^{4} + 38 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 2 + \left(24 a^{9} + 21 a^{8} + 41 a^{7} + 44 a^{6} + 26 a^{5} + 43 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 33 a + 6\right)\cdot 47 + \left(24 a^{9} + 8 a^{8} + 45 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 40 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 47^{2} + \left(29 a^{9} + 42 a^{8} + 29 a^{7} + 31 a^{6} + 8 a^{5} + 34 a^{4} + 14 a^{3} + 43 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 47^{3} + \left(30 a^{9} + 40 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 37 a^{4} + 39 a^{3} + 31 a^{2} + a + 42\right)\cdot 47^{4} + \left(36 a^{9} + 40 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 40 a^{2} + 22 a + 46\right)\cdot 47^{5} + \left(19 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 39 a^{4} + 32 a^{3} + 29 a^{2} + a + 5\right)\cdot 47^{6} + \left(14 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 46 a^{4} + 31 a^{3} + 34 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 47^{7} + \left(27 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 41 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 47^{8} + \left(2 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 33 a^{6} + 14 a^{5} + 46 a^{4} + 38 a^{3} + 29 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 37a^9 + 33a^8 + 16a^7 + 32a^6 + 33a^5 + 13a^4 + 38a^3 + 14a^2 + 4a + 2 + (24a^9 + 21a^8 + 41a^7 + 44a^6 + 26a^5 + 43a^4 + 14a^3 + 25a^2 + 33a + 6)47 + (24a^9 + 8a^8 + 45a^7 + 26a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 40a^2 + 8a + 19)47^2 + (29a^9 + 42a^8 + 29a^7 + 31a^6 + 8a^5 + 34a^4 + 14a^3 + 43a^2 + 36a + 10)47^3 + (30a^9 + 40a^8 + 30a^7 + 15a^6 + 22a^5 + 37a^4 + 39a^3 + 31a^2 + a + 42)47^4 + (36a^9 + 40a^8 + 26a^7 + 14a^6 + 6a^5 + 19a^4 + 22a^3 + 40a^2 + 22a + 46)47^5 + (19a^9 + 6a^8 + 29a^7 + 20a^6 + 3a^5 + 39a^4 + 32a^3 + 29a^2 + a + 5)47^6 + (14a^9 + 20a^8 + 27a^7 + 4a^6 + 26a^5 + 46a^4 + 31a^3 + 34a^2 + 24a + 38)47^7 + (27a^9 + 25a^8 + 2a^7 + 21a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 41a^2 + 16a + 27)47^8 + (2a^9 + 21a^8 + 9a^7 + 33a^6 + 14a^5 + 46a^4 + 38a^3 + 29a^2 + 37a + 28)47^9+O(47^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 46 a^{9} + 43 a^{8} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 41 a^{2} + 42 a + 26 + \left(15 a^{9} + 34 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 47 + \left(21 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{6} + 39 a^{5} + 45 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 47^{2} + \left(45 a^{9} + 25 a^{8} + 12 a^{7} + 39 a^{6} + 31 a^{5} + 32 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 47^{3} + \left(27 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 46 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 47^{4} + \left(18 a^{9} + 30 a^{8} + 29 a^{7} + 6 a^{6} + 45 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 47^{5} + \left(36 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(21 a^{9} + 29 a^{8} + a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 42 a^{3} + 35 a^{2} + 14 a + 32\right)\cdot 47^{7} + \left(34 a^{9} + 8 a^{8} + 45 a^{7} + 34 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 38 a^{3} + 5 a^{2} + 46 a + 34\right)\cdot 47^{8} + \left(41 a^{9} + 23 a^{8} + 43 a^{7} + 42 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 46a^9 + 43a^8 + 26a^6 + 8a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 41a^2 + 42a + 26 + (15a^9 + 34a^8 + 24a^7 + 34a^6 + 35a^5 + 20a^4 + 13a^3 + 28a^2 + 41a + 7)47 + (21a^9 + 6a^8 + 29a^6 + 39a^5 + 45a^4 + 26a^3 + 14a^2 + 29a + 11)47^2 + (45a^9 + 25a^8 + 12a^7 + 39a^6 + 31a^5 + 32a^4 + 25a^3 + 21a^2 + 45a + 16)47^3 + (27a^9 + 12a^8 + 18a^7 + 6a^6 + 46a^5 + 12a^4 + 29a^3 + 9a^2 + 10a + 42)47^4 + (18a^9 + 30a^8 + 29a^7 + 6a^6 + 45a^5 + 31a^4 + 16a^2 + 46a + 44)47^5 + (36a^9 + 14a^8 + 26a^7 + 30a^6 + 16a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 25a^2 + 20a + 43)47^6 + (21a^9 + 29a^8 + a^7 + 29a^6 + 18a^5 + 29a^4 + 42a^3 + 35a^2 + 14a + 32)47^7 + (34a^9 + 8a^8 + 45a^7 + 34a^6 + 24a^5 + 27a^4 + 38a^3 + 5a^2 + 46a + 34)47^8 + (41a^9 + 23a^8 + 43a^7 + 42a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 4a + 41)*47^9+O(47^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 8 a^{9} + 37 a^{8} + 38 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a + 44 + \left(7 a^{9} + 42 a^{8} + 13 a^{7} + 46 a^{6} + 24 a^{5} + 44 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 36\right)\cdot 47 + \left(37 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a + 3\right)\cdot 47^{2} + \left(3 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 47^{3} + \left(6 a^{9} + 18 a^{8} + 36 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 47^{4} + \left(18 a^{9} + 28 a^{8} + 44 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 44 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 47^{5} + \left(15 a^{9} + 39 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 42 a^{5} + 42 a^{4} + 23 a^{3} + 42 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 47^{6} + \left(4 a^{9} + 20 a^{8} + 46 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + a + 23\right)\cdot 47^{7} + \left(a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 41 a^{4} + 34 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 47^{8} + \left(19 a^{9} + 14 a^{8} + 41 a^{7} + 36 a^{6} + 35 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 41 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 47^{9} +O(47^{10})\) 8a^9 + 37a^8 + 38a^7 + 22a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 23a^3 + 9a^2 + 31a + 44 + (7a^9 + 42a^8 + 13a^7 + 46a^6 + 24a^5 + 44a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 21a + 36)47 + (37a^9 + 15a^8 + 15a^7 + 26a^6 + 5a^5 + 29a^4 + 9a^3 + 20a + 3)47^2 + (3a^9 + 13a^8 + 15a^7 + 7a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 9a^3 + a^2 + 29a + 5)47^3 + (6a^9 + 18a^8 + 36a^7 + 7a^6 + 22a^5 + 5a^4 + 14a^3 + a^2 + 23a + 20)47^4 + (18a^9 + 28a^8 + 44a^7 + a^6 + 10a^5 + 44a^4 + 14a^3 + 25a^2 + 5a + 35)47^5 + (15a^9 + 39a^8 + 5a^7 + 12a^6 + 42a^5 + 42a^4 + 23a^3 + 42a^2 + 20a + 40)47^6 + (4a^9 + 20a^8 + 46a^7 + 34a^6 + 23a^5 + a^4 + 19a^3 + 23a^2 + a + 23)47^7 + (a^9 + 25a^8 + 11a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 41a^4 + 34a^3 + 14a^2 + 33a + 33)47^8 + (19a^9 + 14a^8 + 41a^7 + 36a^6 + 35a^5 + 20a^4 + 12a^3 + 41a^2 + 38a + 25)47^9+O(47^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,5,20,2,10,24,3,7,23,4,8,9)(6,18,21,12,19,22,11,13,14,16,17,15)$
$(1,3)(2,4)(5,7)(6,11)(8,10)(9,24)(12,16)(13,18)(14,21)(15,22)(17,19)(20,23)$
$(1,2,3,4)(5,10,7,8)(6,12,11,16)(9,20,24,23)(13,17,18,19)(14,15,21,22)$
$(1,3)(2,4)(5,19)(6,15)(7,17)(8,18)(10,13)(11,22)(12,21)(14,16)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,3)(2,4)(5,7)(6,11)(8,10)(9,24)(12,16)(13,18)(14,21)(15,22)(17,19)(20,23)$	$-2$
$30$	$2$	$(1,3)(2,4)(5,19)(6,15)(7,17)(8,18)(10,13)(11,22)(12,21)(14,16)$	$0$
$20$	$3$	$(1,10,23)(2,7,9)(3,8,20)(4,5,24)(6,19,14)(11,17,21)(12,13,15)(16,18,22)$	$-1$
$1$	$4$	$(1,2,3,4)(5,10,7,8)(6,12,11,16)(9,20,24,23)(13,17,18,19)(14,15,21,22)$	$2 \zeta_{20}^{5}$
$1$	$4$	$(1,4,3,2)(5,8,7,10)(6,16,11,12)(9,23,24,20)(13,19,18,17)(14,22,21,15)$	$-2 \zeta_{20}^{5}$
$30$	$4$	$(1,4,3,2)(5,13,7,18)(6,21,11,14)(8,19,10,17)(9,20,24,23)(12,22,16,15)$	$0$
$12$	$5$	$(1,19,11,10,24)(2,13,16,7,23)(3,17,6,8,9)(4,18,12,5,20)$	$\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4} - 1$
$12$	$5$	$(1,11,24,19,10)(2,16,23,13,7)(3,6,9,17,8)(4,12,20,18,5)$	$-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4}$
$20$	$6$	$(1,20,10,3,23,8)(2,24,7,4,9,5)(6,21,19,11,14,17)(12,22,13,16,15,18)$	$1$
$12$	$10$	$(1,5,15,13,9,3,7,22,18,24)(2,10,21,17,20,4,8,14,19,23)(6,11)(12,16)$	$-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4} + 1$
$12$	$10$	$(1,20,21,7,6,3,23,14,5,11)(2,24,22,8,12,4,9,15,10,16)(13,18)(17,19)$	$\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4}$
$20$	$12$	$(1,5,20,2,10,24,3,7,23,4,8,9)(6,18,21,12,19,22,11,13,14,16,17,15)$	$\zeta_{20}^{5}$
$20$	$12$	$(1,7,20,4,10,9,3,5,23,2,8,24)(6,13,21,16,19,15,11,18,14,12,17,22)$	$-\zeta_{20}^{5}$
$12$	$20$	$(1,17,5,20,15,4,13,8,9,14,3,19,7,23,22,2,18,10,24,21)(6,16,11,12)$	$-\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{5} - \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,20,13,14,7,2,24,17,15,8,3,23,18,21,5,4,9,19,22,10)(6,12,11,16)$	$-\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,19,5,23,15,2,13,10,9,21,3,17,7,20,22,4,18,8,24,14)(6,12,11,16)$	$\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{5} + \zeta_{20}^{3}$
$12$	$20$	$(1,10,22,19,9,4,5,21,18,23,3,8,15,17,24,2,7,14,13,20)(6,16,11,12)$	$\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.31939.120.a.c
Dimension	$2$
Group	$\SL(2,5):C_2$
Conductor	$31939$
Root number	not computed
Indicator	$0$