LMFDB - Artin representation 2.2783.15t4.a.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$S_3 \times C_5$
Conductor:	$2783$$\medspace = 11^{2} \cdot 23 $
Artin stem field:	Galois closure of 15.5.20200001513509571303.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	$S_3 \times C_5$
Parity:	odd
Determinant:	1.253.10t1.a.c
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.23.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{15} - x^{14} - 4 x^{13} + 7 x^{12} + 24 x^{11} - 26 x^{10} - 57 x^{9} + 76 x^{8} + 79 x^{7} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{5} + 8x + 57 $ x^5 + 8*x + 57

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ a^{4} + 43 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 27 + \left(30 a^{4} + 17 a^{3} + 51 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 59 + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 41 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 59^{3} + \left(47 a^{4} + 51 a^{3} + 56 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 59^{4} + \left(44 a^{4} + 7 a^{3} + 52 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 59^{5} + \left(42 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 59^{6} + \left(38 a^{4} + 16 a^{3} + 41 a^{2} + 43 a + 56\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ a^4 + 43a^3 + 25a^2 + 26a + 27 + (30a^4 + 17a^3 + 51a^2 + 20a + 42)59 + (8a^4 + 2a^3 + 41a^2 + 19a + 12)59^2 + (14a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 31a + 16)59^3 + (47a^4 + 51a^3 + 56a^2 + 12a + 20)59^4 + (44a^4 + 7a^3 + 52a^2 + 32a + 6)59^5 + (42a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 27a + 37)59^6 + (38a^4 + 16a^3 + 41a^2 + 43a + 56)59^7+O(59^8)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 5 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 29 + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 54\right)\cdot 59 + \left(28 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a + 31\right)\cdot 59^{2} + \left(53 a^{4} + 18 a^{3} + 40 a^{2} + 28 a + 55\right)\cdot 59^{3} + \left(4 a^{4} + 48 a^{3} + 25 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(46 a^{4} + 40 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 59^{5} + \left(51 a^{4} + 32 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 47\right)\cdot 59^{6} + \left(16 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 5a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 22a + 29 + (6a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 2a + 54)59 + (28a^4 + 19a^3 + 25a + 31)59^2 + (53a^4 + 18a^3 + 40a^2 + 28a + 55)59^3 + (4a^4 + 48a^3 + 25a + 8)59^4 + (46a^4 + 40a^3 + 33a^2 + 20a + 38)59^5 + (51a^4 + 32a^3 + 14a^2 + 5a + 47)59^6 + (16a^4 + 23a^3 + 4a^2 + 15a + 34)*59^7+O(59^8)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 12 a^{4} + 52 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 55 + \left(52 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 47 a + 3\right)\cdot 59 + \left(27 a^{4} + a^{3} + 58 a^{2} + 6 a + 47\right)\cdot 59^{2} + \left(17 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 59^{3} + \left(42 a^{4} + 12 a^{3} + 52 a^{2} + 3 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(47 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(26 a^{4} + 46 a^{3} + a^{2} + 45 a + 52\right)\cdot 59^{6} + \left(18 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 12a^4 + 52a^3 + 5a^2 + 22a + 55 + (52a^4 + 24a^3 + 9a^2 + 47a + 3)59 + (27a^4 + a^3 + 58a^2 + 6a + 47)59^2 + (17a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 32a + 1)59^3 + (42a^4 + 12a^3 + 52a^2 + 3a + 45)59^4 + (47a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 29a + 48)59^5 + (26a^4 + 46a^3 + a^2 + 45a + 52)59^6 + (18a^4 + 25a^3 + 8a^2 + 28a + 32)*59^7+O(59^8)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 20 a^{4} + 2 a^{3} + 49 a^{2} + 45 a + 7 + \left(10 a^{4} + 26 a^{3} + 57 a^{2} + 9 a + 58\right)\cdot 59 + \left(44 a^{4} + 30 a^{3} + 50 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 59^{2} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 35 a^{2} + 42 a + 46\right)\cdot 59^{3} + \left(15 a^{4} + 27 a^{2} + 40 a + 50\right)\cdot 59^{4} + \left(22 a^{4} + 37 a^{3} + 12 a^{2} + 39 a + 50\right)\cdot 59^{5} + \left(20 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 59^{6} + \left(34 a^{4} + 38 a^{2} + 33 a + 52\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 20a^4 + 2a^3 + 49a^2 + 45a + 7 + (10a^4 + 26a^3 + 57a^2 + 9a + 58)59 + (44a^4 + 30a^3 + 50a^2 + 8a + 4)59^2 + (7a^4 + 5a^3 + 35a^2 + 42a + 46)59^3 + (15a^4 + 27a^2 + 40a + 50)59^4 + (22a^4 + 37a^3 + 12a^2 + 39a + 50)59^5 + (20a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 24a + 11)59^6 + (34a^4 + 38a^2 + 33a + 52)*59^7+O(59^8)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 23 a^{4} + 45 a^{3} + 44 a^{2} + 8 a + 31 + \left(50 a^{4} + 27 a^{3} + 50 a^{2} + 55 a + 39\right)\cdot 59 + \left(27 a^{4} + 22 a^{3} + 33 a^{2} + 37 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(55 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 59^{3} + \left(19 a^{4} + 12 a^{3} + 46 a^{2} + a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 59^{5} + \left(52 a^{4} + 39 a^{3} + 49 a^{2} + 18 a + 52\right)\cdot 59^{6} + \left(23 a^{4} + a^{3} + 42 a^{2} + 42 a + 55\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 23a^4 + 45a^3 + 44a^2 + 8a + 31 + (50a^4 + 27a^3 + 50a^2 + 55a + 39)59 + (27a^4 + 22a^3 + 33a^2 + 37a + 58)59^2 + (55a^4 + 5a^3 + 40a^2 + 31a + 8)59^3 + (19a^4 + 12a^3 + 46a^2 + a + 8)59^4 + (32a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 16a + 21)59^5 + (52a^4 + 39a^3 + 49a^2 + 18a + 52)59^6 + (23a^4 + a^3 + 42a^2 + 42a + 55)*59^7+O(59^8)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 29 a^{4} + 47 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 10 + \left(43 a^{4} + 42 a^{3} + 20 a^{2} + 53 a + 50\right)\cdot 59 + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 47 a + 6\right)\cdot 59^{2} + \left(48 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 59^{3} + \left(15 a^{4} + 12 a^{3} + 57 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 59^{4} + \left(15 a^{4} + 49 a^{3} + 53 a^{2} + 21\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 59^{6} + \left(52 a^{4} + 52 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 29a^4 + 47a^3 + 17a^2 + 4a + 10 + (43a^4 + 42a^3 + 20a^2 + 53a + 50)59 + (12a^4 + 10a^3 + 27a^2 + 47a + 6)59^2 + (48a^4 + 21a^3 + 15a^2 + 17a + 9)59^3 + (15a^4 + 12a^3 + 57a^2 + 14a + 7)59^4 + (15a^4 + 49a^3 + 53a^2 + 21)59^5 + (9a^4 + 40a^3 + 27a^2 + 27a + 13)59^6 + (52a^4 + 52a^3 + 22a^2 + 10a + 20)59^7+O(59^8)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 30 a^{4} + 3 a^{3} + 44 a^{2} + 38 a + 40 + \left(20 a^{4} + 10 a^{3} + 54 a^{2} + 40 a + 44\right)\cdot 59 + \left(47 a^{4} + 41 a^{3} + 27 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 59^{2} + \left(28 a^{4} + 14 a^{3} + 41 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 59^{3} + \left(23 a^{4} + 12 a^{3} + 43 a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 59^{4} + \left(21 a^{4} + 38 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 59^{5} + \left(4 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 38 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{4} + 45 a^{3} + 17 a^{2} + 43 a + 20\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 30a^4 + 3a^3 + 44a^2 + 38a + 40 + (20a^4 + 10a^3 + 54a^2 + 40a + 44)59 + (47a^4 + 41a^3 + 27a^2 + 32a + 27)59^2 + (28a^4 + 14a^3 + 41a^2 + 20a + 26)59^3 + (23a^4 + 12a^3 + 43a^2 + 36a + 44)59^4 + (21a^4 + 38a^3 + 39a^2 + 30a + 36)59^5 + (4a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 38a + 5)59^6 + (41a^4 + 45a^3 + 17a^2 + 43a + 20)*59^7+O(59^8)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 31 a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 39 a + 11 + \left(30 a^{4} + 22 a^{3} + 39 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 59 + \left(29 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 59^{2} + \left(32 a^{4} + 36 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 59^{3} + \left(3 a^{4} + 28 a^{3} + 58 a^{2} + 57 a + 11\right)\cdot 59^{4} + \left(25 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(57 a^{4} + 58 a^{3} + 5 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 31a^4 + 35a^3 + 8a^2 + 39a + 11 + (30a^4 + 22a^3 + 39a^2 + 7a + 26)59 + (29a^4 + 7a^3 + 26a^2 + 9a + 43)59^2 + (32a^4 + 36a^3 + 39a^2 + 30a + 14)59^3 + (3a^4 + 28a^3 + 58a^2 + 57a + 11)59^4 + (25a^4 + 9a^3 + 24a^2 + 32a + 1)59^5 + (9a^4 + 28a^3 + 20a^2 + 8a + 38)59^6 + (57a^4 + 58a^3 + 5a^2 + 37a + 28)*59^7+O(59^8)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 37 a^{4} + 34 a^{3} + 34 a^{2} + 33 a + 14 + \left(54 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 59 + \left(30 a^{4} + 17 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 59^{2} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 59^{3} + \left(9 a^{4} + 40 a^{3} + 55 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 59^{4} + \left(7 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 59^{5} + \left(43 a^{4} + 58 a^{3} + 44 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 59^{6} + \left(38 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 37a^4 + 34a^3 + 34a^2 + 33a + 14 + (54a^4 + 33a^3 + 8a^2 + 38a + 15)59 + (30a^4 + 17a^2 + 5a + 5)59^2 + (10a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 49a + 51)59^3 + (9a^4 + 40a^3 + 55a^2 + 22a + 11)59^4 + (7a^4 + 26a^3 + 22a^2 + 44a + 28)59^5 + (43a^4 + 58a^3 + 44a^2 + 41a + 29)59^6 + (38a^4 + 23a^3 + 23a^2 + 28a + 40)59^7+O(59^8)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 39 a^{4} + 24 a^{3} + 53 a^{2} + 22 a + 39 + \left(2 a^{4} + 29 a^{3} + 37 a^{2} + 18 a + 52\right)\cdot 59 + \left(57 a^{4} + 32 a^{3} + 22 a^{2} + 49 a + 44\right)\cdot 59^{2} + \left(37 a^{4} + 52 a^{3} + 41 a + 26\right)\cdot 59^{3} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 49\right)\cdot 59^{4} + \left(22 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 42 a + 38\right)\cdot 59^{5} + \left(47 a^{4} + 45 a^{3} + 13 a^{2} + a + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(10 a^{4} + 22 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 39a^4 + 24a^3 + 53a^2 + 22a + 39 + (2a^4 + 29a^3 + 37a^2 + 18a + 52)59 + (57a^4 + 32a^3 + 22a^2 + 49a + 44)59^2 + (37a^4 + 52a^3 + 41a + 26)59^3 + (11a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 39a + 49)59^4 + (22a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 42a + 38)59^5 + (47a^4 + 45a^3 + 13a^2 + a + 54)59^6 + (10a^4 + 22a^3 + 34a^2 + 3a + 42)*59^7+O(59^8)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 39 a^{4} + 51 a^{3} + 31 a^{2} + 42 a + 46 + \left(12 a^{4} + 29 a^{3} + 57 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 59 + \left(41 a^{4} + 51 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 59^{2} + \left(54 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 47 a + 4\right)\cdot 59^{3} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 59^{4} + \left(9 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(7 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 39a^4 + 51a^3 + 31a^2 + 42a + 46 + (12a^4 + 29a^3 + 57a^2 + 8a + 25)59 + (41a^4 + 51a^3 + 23a^2 + 27a + 21)59^2 + (54a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 47a + 4)59^3 + (a^4 + 11a^3 + 32a^2 + 32a + 37)59^4 + (9a^4 + 19a^3 + 5a^2 + 2a + 1)59^5 + (21a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 26a + 5)59^6 + (7a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 10a + 21)59^7+O(59^8)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 47 a^{4} + 46 a^{3} + 6 a^{2} + 32 a + 43 + \left(4 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 59 + \left(19 a^{4} + 58 a^{3} + 55 a^{2} + 35 a + 49\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a^{4} + 26 a^{3} + 45 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 59^{3} + \left(45 a^{4} + 53 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 59^{4} + \left(19 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 59^{5} + \left(23 a^{4} + 16 a^{3} + 44 a^{2} + 27 a + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 49\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 47a^4 + 46a^3 + 6a^2 + 32a + 43 + (4a^4 + 26a^3 + a^2 + 39a + 42)59 + (19a^4 + 58a^3 + 55a^2 + 35a + 49)59^2 + (19a^4 + 26a^3 + 45a^2 + 39a + 1)59^3 + (45a^4 + 53a^3 + 18a^2 + 3a + 29)59^4 + (19a^4 + 30a^3 + 12a^2 + 21a + 11)59^5 + (23a^4 + 16a^3 + 44a^2 + 27a + 54)59^6 + (41a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 38a + 49)59^7+O(59^8)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 50 a^{4} + 58 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 50 + \left(27 a^{4} + 8 a^{3} + 54 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 59 + \left(56 a^{4} + 58 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 59^{2} + \left(56 a^{4} + 43 a^{3} + 8 a^{2} + 53\right)\cdot 59^{3} + \left(6 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 59^{4} + \left(49 a^{4} + 53 a^{3} + 35 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(51 a^{4} + 24 a^{3} + 58 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(46 a^{4} + 55 a^{3} + 48 a^{2} + 57 a + 33\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 50a^4 + 58a^3 + 15a^2 + 4a + 50 + (27a^4 + 8a^3 + 54a^2 + 37a + 20)59 + (56a^4 + 58a^3 + 18a^2 + 22a + 15)59^2 + (56a^4 + 43a^3 + 8a^2 + 53)59^3 + (6a^4 + 24a^3 + 21a^2 + 46a + 44)59^4 + (49a^4 + 53a^3 + 35a^2 + 9a + 1)59^5 + (51a^4 + 24a^3 + 58a^2 + 2a + 38)59^6 + (46a^4 + 55a^3 + 48a^2 + 57a + 33)59^7+O(59^8)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 53 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 42 a + 53 + \left(58 a^{4} + 32 a^{3} + 54 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 59 + \left(54 a^{4} + 14 a^{3} + 38 a + 15\right)\cdot 59^{2} + \left(46 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 59^{3} + \left(48 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 59^{4} + \left(54 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 59^{5} + \left(40 a^{4} + 33 a^{3} + 37 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 59^{6} + \left(20 a^{4} + 51 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 53a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 42a + 53 + (58a^4 + 32a^3 + 54a^2 + 17a + 14)59 + (54a^4 + 14a^3 + 38a + 15)59^2 + (46a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 27a + 37)59^3 + (48a^4 + 7a^3 + a^2 + 6a + 6)59^4 + (54a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 23a + 35)59^5 + (40a^4 + 33a^3 + 37a^2 + 34a + 13)59^6 + (20a^4 + 51a^3 + 23a^2 + 15a)*59^7+O(59^8)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 56 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 18 + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 59 + \left(45 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 47 a + 27\right)\cdot 59^{2} + \left(46 a^{4} + 30 a^{3} + 47 a^{2} + 31 a\right)\cdot 59^{3} + \left(57 a^{4} + 29 a^{3} + 47 a^{2} + 10 a + 38\right)\cdot 59^{4} + \left(54 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 59^{5} + \left(26 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 59^{6} + \left(23 a^{4} + 40 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})$ 56a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 34a + 18 + (7a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 16a + 39)59 + (45a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 47a + 27)59^2 + (46a^4 + 30a^3 + 47a^2 + 31a)59^3 + (57a^4 + 29a^3 + 47a^2 + 10a + 38)59^4 + (54a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 9a + 12)59^5 + (26a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 25a + 18)59^6 + (23a^4 + 40a^3 + 6a^2 + 5a + 41)*59^7+O(59^8)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 15 }$

Cycle notation
$(3,6)(5,8)(7,12)(9,15)(10,13)$
$(1,5)(2,15)(3,11)(4,12)(10,14)$
$(1,12,14,3,2,5,4,10,11,15)(6,9,8,7,13)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 15 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$3$	$2$	$(1,5)(2,15)(3,11)(4,12)(10,14)$	$0$
$2$	$3$	$(1,8,5)(2,9,15)(3,11,6)(4,7,12)(10,14,13)$	$-1$
$1$	$5$	$(1,14,2,4,11)(3,5,10,15,12)(6,8,13,9,7)$	$2 \zeta_{5}$
$1$	$5$	$(1,2,11,14,4)(3,10,12,5,15)(6,13,7,8,9)$	$2 \zeta_{5}^{2}$
$1$	$5$	$(1,4,14,11,2)(3,15,5,12,10)(6,9,8,7,13)$	$2 \zeta_{5}^{3}$
$1$	$5$	$(1,11,4,2,14)(3,12,15,10,5)(6,7,9,13,8)$	$-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$
$3$	$10$	$(1,12,14,3,2,5,4,10,11,15)(6,9,8,7,13)$	$0$
$3$	$10$	$(1,3,4,15,14,5,11,12,2,10)(6,7,9,13,8)$	$0$
$3$	$10$	$(1,10,2,12,11,5,14,15,4,3)(6,8,13,9,7)$	$0$
$3$	$10$	$(1,15,11,10,4,5,2,3,14,12)(6,13,7,8,9)$	$0$
$2$	$15$	$(1,7,10,11,9,5,4,13,3,2,8,12,14,6,15)$	$-\zeta_{5}^{3}$
$2$	$15$	$(1,10,9,4,3,8,14,15,7,11,5,13,2,12,6)$	$-\zeta_{5}$
$2$	$15$	$(1,9,3,14,7,5,2,6,10,4,8,15,11,13,12)$	$-\zeta_{5}^{2}$
$2$	$15$	$(1,3,7,2,10,8,11,12,9,14,5,6,4,15,13)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5} + 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

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Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 15 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.2783.15t4.a.b
Dimension	$2$
Group	$S_3 \times C_5$
Conductor	$2783$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( a^{4} + 43 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 27 + \left(30 a^{4} + 17 a^{3} + 51 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 59 + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 41 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 59^{3} + \left(47 a^{4} + 51 a^{3} + 56 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 59^{4} + \left(44 a^{4} + 7 a^{3} + 52 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 59^{5} + \left(42 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 59^{6} + \left(38 a^{4} + 16 a^{3} + 41 a^{2} + 43 a + 56\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) a^4 + 43a^3 + 25a^2 + 26a + 27 + (30a^4 + 17a^3 + 51a^2 + 20a + 42)59 + (8a^4 + 2a^3 + 41a^2 + 19a + 12)59^2 + (14a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 31a + 16)59^3 + (47a^4 + 51a^3 + 56a^2 + 12a + 20)59^4 + (44a^4 + 7a^3 + 52a^2 + 32a + 6)59^5 + (42a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 27a + 37)59^6 + (38a^4 + 16a^3 + 41a^2 + 43a + 56)59^7+O(59^8)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 5 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 29 + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 54\right)\cdot 59 + \left(28 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a + 31\right)\cdot 59^{2} + \left(53 a^{4} + 18 a^{3} + 40 a^{2} + 28 a + 55\right)\cdot 59^{3} + \left(4 a^{4} + 48 a^{3} + 25 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(46 a^{4} + 40 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 59^{5} + \left(51 a^{4} + 32 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 47\right)\cdot 59^{6} + \left(16 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 5a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 22a + 29 + (6a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 2a + 54)59 + (28a^4 + 19a^3 + 25a + 31)59^2 + (53a^4 + 18a^3 + 40a^2 + 28a + 55)59^3 + (4a^4 + 48a^3 + 25a + 8)59^4 + (46a^4 + 40a^3 + 33a^2 + 20a + 38)59^5 + (51a^4 + 32a^3 + 14a^2 + 5a + 47)59^6 + (16a^4 + 23a^3 + 4a^2 + 15a + 34)*59^7+O(59^8)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 12 a^{4} + 52 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 55 + \left(52 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 47 a + 3\right)\cdot 59 + \left(27 a^{4} + a^{3} + 58 a^{2} + 6 a + 47\right)\cdot 59^{2} + \left(17 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 59^{3} + \left(42 a^{4} + 12 a^{3} + 52 a^{2} + 3 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(47 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(26 a^{4} + 46 a^{3} + a^{2} + 45 a + 52\right)\cdot 59^{6} + \left(18 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 12a^4 + 52a^3 + 5a^2 + 22a + 55 + (52a^4 + 24a^3 + 9a^2 + 47a + 3)59 + (27a^4 + a^3 + 58a^2 + 6a + 47)59^2 + (17a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 32a + 1)59^3 + (42a^4 + 12a^3 + 52a^2 + 3a + 45)59^4 + (47a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 29a + 48)59^5 + (26a^4 + 46a^3 + a^2 + 45a + 52)59^6 + (18a^4 + 25a^3 + 8a^2 + 28a + 32)*59^7+O(59^8)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 20 a^{4} + 2 a^{3} + 49 a^{2} + 45 a + 7 + \left(10 a^{4} + 26 a^{3} + 57 a^{2} + 9 a + 58\right)\cdot 59 + \left(44 a^{4} + 30 a^{3} + 50 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 59^{2} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 35 a^{2} + 42 a + 46\right)\cdot 59^{3} + \left(15 a^{4} + 27 a^{2} + 40 a + 50\right)\cdot 59^{4} + \left(22 a^{4} + 37 a^{3} + 12 a^{2} + 39 a + 50\right)\cdot 59^{5} + \left(20 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 59^{6} + \left(34 a^{4} + 38 a^{2} + 33 a + 52\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 20a^4 + 2a^3 + 49a^2 + 45a + 7 + (10a^4 + 26a^3 + 57a^2 + 9a + 58)59 + (44a^4 + 30a^3 + 50a^2 + 8a + 4)59^2 + (7a^4 + 5a^3 + 35a^2 + 42a + 46)59^3 + (15a^4 + 27a^2 + 40a + 50)59^4 + (22a^4 + 37a^3 + 12a^2 + 39a + 50)59^5 + (20a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 24a + 11)59^6 + (34a^4 + 38a^2 + 33a + 52)*59^7+O(59^8)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 23 a^{4} + 45 a^{3} + 44 a^{2} + 8 a + 31 + \left(50 a^{4} + 27 a^{3} + 50 a^{2} + 55 a + 39\right)\cdot 59 + \left(27 a^{4} + 22 a^{3} + 33 a^{2} + 37 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(55 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 59^{3} + \left(19 a^{4} + 12 a^{3} + 46 a^{2} + a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 59^{5} + \left(52 a^{4} + 39 a^{3} + 49 a^{2} + 18 a + 52\right)\cdot 59^{6} + \left(23 a^{4} + a^{3} + 42 a^{2} + 42 a + 55\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 23a^4 + 45a^3 + 44a^2 + 8a + 31 + (50a^4 + 27a^3 + 50a^2 + 55a + 39)59 + (27a^4 + 22a^3 + 33a^2 + 37a + 58)59^2 + (55a^4 + 5a^3 + 40a^2 + 31a + 8)59^3 + (19a^4 + 12a^3 + 46a^2 + a + 8)59^4 + (32a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 16a + 21)59^5 + (52a^4 + 39a^3 + 49a^2 + 18a + 52)59^6 + (23a^4 + a^3 + 42a^2 + 42a + 55)*59^7+O(59^8)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 29 a^{4} + 47 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 10 + \left(43 a^{4} + 42 a^{3} + 20 a^{2} + 53 a + 50\right)\cdot 59 + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 47 a + 6\right)\cdot 59^{2} + \left(48 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 59^{3} + \left(15 a^{4} + 12 a^{3} + 57 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 59^{4} + \left(15 a^{4} + 49 a^{3} + 53 a^{2} + 21\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 59^{6} + \left(52 a^{4} + 52 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 29a^4 + 47a^3 + 17a^2 + 4a + 10 + (43a^4 + 42a^3 + 20a^2 + 53a + 50)59 + (12a^4 + 10a^3 + 27a^2 + 47a + 6)59^2 + (48a^4 + 21a^3 + 15a^2 + 17a + 9)59^3 + (15a^4 + 12a^3 + 57a^2 + 14a + 7)59^4 + (15a^4 + 49a^3 + 53a^2 + 21)59^5 + (9a^4 + 40a^3 + 27a^2 + 27a + 13)59^6 + (52a^4 + 52a^3 + 22a^2 + 10a + 20)59^7+O(59^8)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 30 a^{4} + 3 a^{3} + 44 a^{2} + 38 a + 40 + \left(20 a^{4} + 10 a^{3} + 54 a^{2} + 40 a + 44\right)\cdot 59 + \left(47 a^{4} + 41 a^{3} + 27 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 59^{2} + \left(28 a^{4} + 14 a^{3} + 41 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 59^{3} + \left(23 a^{4} + 12 a^{3} + 43 a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 59^{4} + \left(21 a^{4} + 38 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 59^{5} + \left(4 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 38 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{4} + 45 a^{3} + 17 a^{2} + 43 a + 20\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 30a^4 + 3a^3 + 44a^2 + 38a + 40 + (20a^4 + 10a^3 + 54a^2 + 40a + 44)59 + (47a^4 + 41a^3 + 27a^2 + 32a + 27)59^2 + (28a^4 + 14a^3 + 41a^2 + 20a + 26)59^3 + (23a^4 + 12a^3 + 43a^2 + 36a + 44)59^4 + (21a^4 + 38a^3 + 39a^2 + 30a + 36)59^5 + (4a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 38a + 5)59^6 + (41a^4 + 45a^3 + 17a^2 + 43a + 20)*59^7+O(59^8)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 31 a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 39 a + 11 + \left(30 a^{4} + 22 a^{3} + 39 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 59 + \left(29 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 59^{2} + \left(32 a^{4} + 36 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 59^{3} + \left(3 a^{4} + 28 a^{3} + 58 a^{2} + 57 a + 11\right)\cdot 59^{4} + \left(25 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(9 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(57 a^{4} + 58 a^{3} + 5 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 31a^4 + 35a^3 + 8a^2 + 39a + 11 + (30a^4 + 22a^3 + 39a^2 + 7a + 26)59 + (29a^4 + 7a^3 + 26a^2 + 9a + 43)59^2 + (32a^4 + 36a^3 + 39a^2 + 30a + 14)59^3 + (3a^4 + 28a^3 + 58a^2 + 57a + 11)59^4 + (25a^4 + 9a^3 + 24a^2 + 32a + 1)59^5 + (9a^4 + 28a^3 + 20a^2 + 8a + 38)59^6 + (57a^4 + 58a^3 + 5a^2 + 37a + 28)*59^7+O(59^8)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 37 a^{4} + 34 a^{3} + 34 a^{2} + 33 a + 14 + \left(54 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 59 + \left(30 a^{4} + 17 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 59^{2} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 59^{3} + \left(9 a^{4} + 40 a^{3} + 55 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 59^{4} + \left(7 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 59^{5} + \left(43 a^{4} + 58 a^{3} + 44 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 59^{6} + \left(38 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 37a^4 + 34a^3 + 34a^2 + 33a + 14 + (54a^4 + 33a^3 + 8a^2 + 38a + 15)59 + (30a^4 + 17a^2 + 5a + 5)59^2 + (10a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 49a + 51)59^3 + (9a^4 + 40a^3 + 55a^2 + 22a + 11)59^4 + (7a^4 + 26a^3 + 22a^2 + 44a + 28)59^5 + (43a^4 + 58a^3 + 44a^2 + 41a + 29)59^6 + (38a^4 + 23a^3 + 23a^2 + 28a + 40)59^7+O(59^8)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 39 a^{4} + 24 a^{3} + 53 a^{2} + 22 a + 39 + \left(2 a^{4} + 29 a^{3} + 37 a^{2} + 18 a + 52\right)\cdot 59 + \left(57 a^{4} + 32 a^{3} + 22 a^{2} + 49 a + 44\right)\cdot 59^{2} + \left(37 a^{4} + 52 a^{3} + 41 a + 26\right)\cdot 59^{3} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 49\right)\cdot 59^{4} + \left(22 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 42 a + 38\right)\cdot 59^{5} + \left(47 a^{4} + 45 a^{3} + 13 a^{2} + a + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(10 a^{4} + 22 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 39a^4 + 24a^3 + 53a^2 + 22a + 39 + (2a^4 + 29a^3 + 37a^2 + 18a + 52)59 + (57a^4 + 32a^3 + 22a^2 + 49a + 44)59^2 + (37a^4 + 52a^3 + 41a + 26)59^3 + (11a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 39a + 49)59^4 + (22a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 42a + 38)59^5 + (47a^4 + 45a^3 + 13a^2 + a + 54)59^6 + (10a^4 + 22a^3 + 34a^2 + 3a + 42)*59^7+O(59^8)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 39 a^{4} + 51 a^{3} + 31 a^{2} + 42 a + 46 + \left(12 a^{4} + 29 a^{3} + 57 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 59 + \left(41 a^{4} + 51 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 59^{2} + \left(54 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 47 a + 4\right)\cdot 59^{3} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 59^{4} + \left(9 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(7 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 39a^4 + 51a^3 + 31a^2 + 42a + 46 + (12a^4 + 29a^3 + 57a^2 + 8a + 25)59 + (41a^4 + 51a^3 + 23a^2 + 27a + 21)59^2 + (54a^4 + 11a^3 + 18a^2 + 47a + 4)59^3 + (a^4 + 11a^3 + 32a^2 + 32a + 37)59^4 + (9a^4 + 19a^3 + 5a^2 + 2a + 1)59^5 + (21a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 26a + 5)59^6 + (7a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 10a + 21)59^7+O(59^8)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 47 a^{4} + 46 a^{3} + 6 a^{2} + 32 a + 43 + \left(4 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 59 + \left(19 a^{4} + 58 a^{3} + 55 a^{2} + 35 a + 49\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a^{4} + 26 a^{3} + 45 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 59^{3} + \left(45 a^{4} + 53 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 59^{4} + \left(19 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 59^{5} + \left(23 a^{4} + 16 a^{3} + 44 a^{2} + 27 a + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 49\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 47a^4 + 46a^3 + 6a^2 + 32a + 43 + (4a^4 + 26a^3 + a^2 + 39a + 42)59 + (19a^4 + 58a^3 + 55a^2 + 35a + 49)59^2 + (19a^4 + 26a^3 + 45a^2 + 39a + 1)59^3 + (45a^4 + 53a^3 + 18a^2 + 3a + 29)59^4 + (19a^4 + 30a^3 + 12a^2 + 21a + 11)59^5 + (23a^4 + 16a^3 + 44a^2 + 27a + 54)59^6 + (41a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 38a + 49)59^7+O(59^8)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 50 a^{4} + 58 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 50 + \left(27 a^{4} + 8 a^{3} + 54 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 59 + \left(56 a^{4} + 58 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 59^{2} + \left(56 a^{4} + 43 a^{3} + 8 a^{2} + 53\right)\cdot 59^{3} + \left(6 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 46 a + 44\right)\cdot 59^{4} + \left(49 a^{4} + 53 a^{3} + 35 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(51 a^{4} + 24 a^{3} + 58 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(46 a^{4} + 55 a^{3} + 48 a^{2} + 57 a + 33\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 50a^4 + 58a^3 + 15a^2 + 4a + 50 + (27a^4 + 8a^3 + 54a^2 + 37a + 20)59 + (56a^4 + 58a^3 + 18a^2 + 22a + 15)59^2 + (56a^4 + 43a^3 + 8a^2 + 53)59^3 + (6a^4 + 24a^3 + 21a^2 + 46a + 44)59^4 + (49a^4 + 53a^3 + 35a^2 + 9a + 1)59^5 + (51a^4 + 24a^3 + 58a^2 + 2a + 38)59^6 + (46a^4 + 55a^3 + 48a^2 + 57a + 33)59^7+O(59^8)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 53 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 42 a + 53 + \left(58 a^{4} + 32 a^{3} + 54 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 59 + \left(54 a^{4} + 14 a^{3} + 38 a + 15\right)\cdot 59^{2} + \left(46 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 59^{3} + \left(48 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 59^{4} + \left(54 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 59^{5} + \left(40 a^{4} + 33 a^{3} + 37 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 59^{6} + \left(20 a^{4} + 51 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 53a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 42a + 53 + (58a^4 + 32a^3 + 54a^2 + 17a + 14)59 + (54a^4 + 14a^3 + 38a + 15)59^2 + (46a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 27a + 37)59^3 + (48a^4 + 7a^3 + a^2 + 6a + 6)59^4 + (54a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 23a + 35)59^5 + (40a^4 + 33a^3 + 37a^2 + 34a + 13)59^6 + (20a^4 + 51a^3 + 23a^2 + 15a)*59^7+O(59^8)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 56 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 18 + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 59 + \left(45 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 47 a + 27\right)\cdot 59^{2} + \left(46 a^{4} + 30 a^{3} + 47 a^{2} + 31 a\right)\cdot 59^{3} + \left(57 a^{4} + 29 a^{3} + 47 a^{2} + 10 a + 38\right)\cdot 59^{4} + \left(54 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 59^{5} + \left(26 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 59^{6} + \left(23 a^{4} + 40 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 59^{7} +O(59^{8})\) 56a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 34a + 18 + (7a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 16a + 39)59 + (45a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 47a + 27)59^2 + (46a^4 + 30a^3 + 47a^2 + 31a)59^3 + (57a^4 + 29a^3 + 47a^2 + 10a + 38)59^4 + (54a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 9a + 12)59^5 + (26a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 25a + 18)59^6 + (23a^4 + 40a^3 + 6a^2 + 5a + 41)*59^7+O(59^8)