LMFDB - Artin representation 2.219.16t60.a.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	16T60
Conductor:	$219$$\medspace = 3 \cdot 73 $
Artin stem field:	Galois closure of 16.0.5291184662917065441.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	16T60
Parity:	odd
Determinant:	1.219.6t1.a.a
Projective image:	$A_4$
Projective stem field:	Galois closure of 4.0.47961.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{16} - 5 x^{15} + 10 x^{14} - 2 x^{13} - 32 x^{12} + 79 x^{11} - 97 x^{10} + 53 x^{9} + 57 x^{8} + \cdots + 43 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17x^{3} + 17x^{2} + 6x + 2 $ x^6 + 17*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 11 + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 12a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 8a + 11 + (5a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 8a + 16)19 + (11a^5 + 13a^4 + 6a^2 + a + 16)19^2 + (2a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 3a + 10)19^3 + (4a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 18a + 1)19^4 + (8a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 14a + 8)19^5 + (10a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 5a + 3)19^6 + (6a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 5a + 18)19^7 + (9a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 6a^2 + a)19^8 + (4a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 16a + 16)*19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 18 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 18a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 6a + 18 + (5a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 5a + 10)19 + (5a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 13a + 5)19^2 + (14a^4 + 2a^3 + a^2 + 9a + 11)19^3 + (a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 1)19^4 + (13a^5 + 18a^4 + 11a^3 + a^2 + 11a + 13)19^5 + (16a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 2a + 13)19^6 + (5a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 2a + 1)19^7 + (11a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 14a + 5)19^8 + (4a^5 + 10a^3 + 6a^2 + 3a + 12)*19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 16 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2}\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 8a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 14a + 16 + (15a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 4a + 8)19 + (a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 17a + 14)19^2 + (8a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 10a + 7)19^3 + (14a^5 + 9a^4 + 2a^2 + 8a + 11)19^4 + (13a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 16a + 4)19^5 + (12a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 6a + 16)19^6 + (11a^5 + a^4 + 11a^3 + a^2 + 16a + 13)19^7 + (10a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 11a^2)19^8 + (a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 9a + 3)19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 11 + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{4} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 5a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 16a + 11 + (14a^5 + 5a^4 + 3a^2 + 18a + 18)19 + (6a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 2a + 16)19^2 + (2a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 3a + 17)19^3 + (14a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 2a + 9)19^4 + (4a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 12a + 9)19^5 + (4a^4 + 13a + 9)19^6 + (3a^5 + a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 13a + 17)19^7 + (15a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 4a + 9)19^8 + (16a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 9a + 14)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 6 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 1 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 6a^4 + a^3 + 18a^2 + a + 1 + (18a^5 + 4a^4 + a^3 + 16a^2 + 18a + 14)19 + (9a^5 + a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 12a)19^2 + (13a^5 + 10a^3 + 10a^2 + 17a + 6)19^3 + (7a^5 + a^4 + 8a^3 + 4a + 1)19^4 + (6a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 11a + 17)19^5 + (6a^5 + 4a^4 + 14a^3 + a^2 + 11a + 10)19^6 + (3a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 9a + 5)19^7 + (4a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 9a + 17)19^8 + (12a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 15a + 6)19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 14 + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 11a + 14 + (7a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 4a + 8)19 + (7a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 17a + 16)19^2 + (7a^5 + 18a^4 + a^3 + 10a^2 + 12a + 7)19^3 + (15a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 4a + 2)19^4 + (10a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 12a + 8)19^5 + (16a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 10a + 6)19^6 + (18a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 17)19^7 + (a^5 + a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 9a + 5)19^8 + (13a^5 + 3a^4 + 16a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 9 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 15 + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 9a^5 + 15a^4 + a^3 + 5a^2 + 13a + 15 + (15a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 13a + 4)19 + (11a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 14a + 8)19^2 + (12a^5 + 10a^4 + 2a^2 + 13a + 8)19^3 + (2a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 5a + 7)19^4 + (15a^5 + a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 12a + 13)19^5 + (a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 12a + 12)19^6 + (9a^5 + a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 2)19^7 + (16a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 2a + 6)19^8 + (7a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 6a + 18)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 6 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 5a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 17a + 6 + (11a^5 + 10a^4 + 17a^3 + a^2 + 10a + 10)19 + (15a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 7a + 4)19^2 + (10a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 3a + 3)19^3 + (15a^5 + 7a^4 + 4a^3 + a^2 + 10a + 1)19^4 + (a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 5a + 1)19^5 + (5a^5 + 9a^4 + 3a^3 + a^2 + 8)19^6 + (3a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 15a + 8)19^7 + (11a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 17a + 2)19^8 + (9a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 4a + 9)19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 15 + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 7a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 11a + 15 + (13a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 10a + 1)19 + (7a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 17a + 7)19^2 + (16a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 15a + 8)19^3 + (14a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 12)19^4 + (18a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 4a + 2)19^5 + (8a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 13a + 4)19^6 + (12a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 13a + 5)19^7 + (9a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 17a + 13)19^8 + (14a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 2a + 13)19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2}\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 2a^5 + 17a^4 + a^3 + 2a^2 + 9a + 9 + (14a^5 + 11a^4 + 14a^2 + 5a + 18)19 + (5a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 10a^2)19^2 + (9a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 6a + 4)19^3 + (a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 12a^2 + a + 10)19^4 + (2a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 18a + 17)19^5 + (8a^5 + 12a^4 + 5a^3 + a^2 + 13a + 4)19^6 + (11a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 12)19^7 + (17a^5 + 14a^4 + 15a^3 + a^2 + 2a + 18)19^8 + (8a^5 + 14a^4 + 11a^3 + a^2 + 11a)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 12 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 3 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 12a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 11a + 3 + (8a^5 + 11a^4 + 9a^3 + a^2 + 2a + 8)19 + (14a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 16a + 14)19^2 + (13a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 13a)19^3 + (18a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 9a + 5)19^4 + (18a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 7a + 15)19^5 + (11a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 3a + 12)19^6 + (10a^5 + 12a^4 + a^3 + 9a^2 + 5a + 11)19^7 + (8a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 4a + 4)19^8 + (10a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 18a^2 + a + 6)*19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 9\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 14a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 3a + (4a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 15a^2 + 9)19 + (12a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 16a + 16)19^2 + (16a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 15a + 15)19^3 + (4a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 16a + 13)19^4 + (14a^5 + 11a^4 + 9a^2 + 6a + 15)19^5 + (18a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 5a + 17)19^6 + (15a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 5a + 15)19^7 + (3a^5 + 15a^4 + 3a^3 + a^2 + 14a)19^8 + (2a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 9a + 13)19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 1 + \left(12 a^{5} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 7a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 15a + 1 + (12a^5 + 2a^3 + 8a^2 + 16a + 4)19 + (13a^5 + a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 5a + 6)19^2 + (3a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 14)19^3 + (9a^5 + 15a^4 + 18a^3 + a^2 + 13a + 13)19^4 + (2a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 6a + 16)19^5 + (11a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 10a + 4)19^6 + (15a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 12a + 2)19^7 + (16a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 12a + 10)19^8 + (17a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 7a + 4)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 9 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6 + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 9a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 10a + 6 + (5a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 12a + 5)19 + (5a^5 + 17a^4 + 16a^2 + 13a + 2)19^2 + (5a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 8)19^3 + (18a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 4a + 15)19^4 + (17a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 4a + 1)19^5 + (9a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 8a + 16)19^6 + (8a^5 + a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 5a + 18)19^7 + (3a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 18a + 15)19^8 + (2a^5 + 13a^4 + 8a^3 + a^2 + 15a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5 + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 14a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 3a + 5 + (6a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 12a^2 + a + 12)19 + (5a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 9a + 9)19^2 + (5a^5 + 12a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 4)19^3 + (4a^5 + 15a^4 + 15a + 12)19^4 + (13a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 2a + 3)19^5 + (13a^5 + a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 12a + 9)19^6 + (6a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 12a + 2)19^7 + (15a^3 + a^2 + 8a + 15)19^8 + (7a^5 + 13a^4 + 17a + 3)*19^9+O(19^10)
$r_{ 16 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7 + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 3a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 4a + 7 + (13a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 18a)19 + (17a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 4a + 11)19^2 + (4a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 9a + 3)19^3 + (5a^5 + 6a^4 + a^3 + 18a^2 + 16a + 13)19^4 + (13a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 5a + 3)19^5 + (5a^4 + 18a^3 + a^2 + 2a + 1)19^6 + (a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 18a + 17)19^7 + (12a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 13a + 5)19^8 + (18a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 4a + 10)*19^9+O(19^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

Cycle notation
$(1,4,9,12)(2,3,10,11)(5,16,13,8)(6,15,14,7)$
$(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$
$(1,10,16)(2,8,9)(3,5,12)(4,11,13)$
$(1,16,9,8)(2,6,10,14)(3,15,11,7)(4,13,12,5)$
$(1,2,9,10)(3,12,11,4)(5,15,13,7)(6,16,14,8)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 16 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$	$-2$
$6$	$2$	$(1,13)(2,15)(3,14)(4,8)(5,9)(6,11)(7,10)(12,16)$	$0$
$4$	$3$	$(1,10,16)(2,8,9)(3,5,12)(4,11,13)$	$-\zeta_{12}^{2} + 1$
$4$	$3$	$(1,16,10)(2,9,8)(3,12,5)(4,13,11)$	$\zeta_{12}^{2}$
$1$	$4$	$(1,4,9,12)(2,3,10,11)(5,16,13,8)(6,15,14,7)$	$-2 \zeta_{12}^{3}$
$1$	$4$	$(1,12,9,4)(2,11,10,3)(5,8,13,16)(6,7,14,15)$	$2 \zeta_{12}^{3}$
$6$	$4$	$(1,16,9,8)(2,6,10,14)(3,15,11,7)(4,13,12,5)$	$0$
$4$	$6$	$(1,8,10,9,16,2)(3,4,5,11,12,13)(6,14)(7,15)$	$-\zeta_{12}^{2}$
$4$	$6$	$(1,2,16,9,10,8)(3,13,12,11,5,4)(6,14)(7,15)$	$\zeta_{12}^{2} - 1$
$4$	$12$	$(1,11,8,12,10,13,9,3,16,4,2,5)(6,15,14,7)$	$-\zeta_{12}$
$4$	$12$	$(1,13,2,12,16,11,9,5,10,4,8,3)(6,15,14,7)$	$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$
$4$	$12$	$(1,3,8,4,10,5,9,11,16,12,2,13)(6,7,14,15)$	$\zeta_{12}$
$4$	$12$	$(1,5,2,4,16,3,9,13,10,12,8,11)(6,7,14,15)$	$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.219.16t60.a.b
Dimension	$2$
Group	$\SL(2,3):C_2$
Conductor	$219$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 11 + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 12a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 8a + 11 + (5a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 8a + 16)19 + (11a^5 + 13a^4 + 6a^2 + a + 16)19^2 + (2a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 3a + 10)19^3 + (4a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 18a + 1)19^4 + (8a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 14a + 8)19^5 + (10a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 5a + 3)19^6 + (6a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 5a + 18)19^7 + (9a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 6a^2 + a)19^8 + (4a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 16a + 16)*19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 18 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{5} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 18a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 6a + 18 + (5a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 5a + 10)19 + (5a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 13a + 5)19^2 + (14a^4 + 2a^3 + a^2 + 9a + 11)19^3 + (a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 1)19^4 + (13a^5 + 18a^4 + 11a^3 + a^2 + 11a + 13)19^5 + (16a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 2a + 13)19^6 + (5a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 2a + 1)19^7 + (11a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 14a + 5)19^8 + (4a^5 + 10a^3 + 6a^2 + 3a + 12)*19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 16 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2}\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 8a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 14a + 16 + (15a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 4a + 8)19 + (a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 17a + 14)19^2 + (8a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 10a + 7)19^3 + (14a^5 + 9a^4 + 2a^2 + 8a + 11)19^4 + (13a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 16a + 4)19^5 + (12a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 6a + 16)19^6 + (11a^5 + a^4 + 11a^3 + a^2 + 16a + 13)19^7 + (10a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 11a^2)19^8 + (a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 9a + 3)19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 11 + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19 + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{4} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 5a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 16a + 11 + (14a^5 + 5a^4 + 3a^2 + 18a + 18)19 + (6a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 2a + 16)19^2 + (2a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 3a + 17)19^3 + (14a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 2a + 9)19^4 + (4a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 12a + 9)19^5 + (4a^4 + 13a + 9)19^6 + (3a^5 + a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 13a + 17)19^7 + (15a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 4a + 9)19^8 + (16a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 9a + 14)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 6 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 1 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 6a^4 + a^3 + 18a^2 + a + 1 + (18a^5 + 4a^4 + a^3 + 16a^2 + 18a + 14)19 + (9a^5 + a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 12a)19^2 + (13a^5 + 10a^3 + 10a^2 + 17a + 6)19^3 + (7a^5 + a^4 + 8a^3 + 4a + 1)19^4 + (6a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 11a + 17)19^5 + (6a^5 + 4a^4 + 14a^3 + a^2 + 11a + 10)19^6 + (3a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 9a + 5)19^7 + (4a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 9a + 17)19^8 + (12a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 15a + 6)19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 14 + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 11a + 14 + (7a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 4a + 8)19 + (7a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 17a + 16)19^2 + (7a^5 + 18a^4 + a^3 + 10a^2 + 12a + 7)19^3 + (15a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 4a + 2)19^4 + (10a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 12a + 8)19^5 + (16a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 10a + 6)19^6 + (18a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 17)19^7 + (a^5 + a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 9a + 5)19^8 + (13a^5 + 3a^4 + 16a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 9 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 15 + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 9a^5 + 15a^4 + a^3 + 5a^2 + 13a + 15 + (15a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 13a + 4)19 + (11a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 14a + 8)19^2 + (12a^5 + 10a^4 + 2a^2 + 13a + 8)19^3 + (2a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 5a + 7)19^4 + (15a^5 + a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 12a + 13)19^5 + (a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 12a + 12)19^6 + (9a^5 + a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 2)19^7 + (16a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 2a + 6)19^8 + (7a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 6a + 18)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 6 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 5a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 17a + 6 + (11a^5 + 10a^4 + 17a^3 + a^2 + 10a + 10)19 + (15a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 7a + 4)19^2 + (10a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 3a + 3)19^3 + (15a^5 + 7a^4 + 4a^3 + a^2 + 10a + 1)19^4 + (a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 5a + 1)19^5 + (5a^5 + 9a^4 + 3a^3 + a^2 + 8)19^6 + (3a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 15a + 8)19^7 + (11a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 17a + 2)19^8 + (9a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 4a + 9)19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 15 + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 7a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 11a + 15 + (13a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 10a + 1)19 + (7a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 17a + 7)19^2 + (16a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 15a + 8)19^3 + (14a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 12)19^4 + (18a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 4a + 2)19^5 + (8a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 13a + 4)19^6 + (12a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 13a + 5)19^7 + (9a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 17a + 13)19^8 + (14a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 2a + 13)19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2}\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 2a^5 + 17a^4 + a^3 + 2a^2 + 9a + 9 + (14a^5 + 11a^4 + 14a^2 + 5a + 18)19 + (5a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 10a^2)19^2 + (9a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 6a + 4)19^3 + (a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 12a^2 + a + 10)19^4 + (2a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 18a + 17)19^5 + (8a^5 + 12a^4 + 5a^3 + a^2 + 13a + 4)19^6 + (11a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 12)19^7 + (17a^5 + 14a^4 + 15a^3 + a^2 + 2a + 18)19^8 + (8a^5 + 14a^4 + 11a^3 + a^2 + 11a)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 12 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 3 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 12a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 11a + 3 + (8a^5 + 11a^4 + 9a^3 + a^2 + 2a + 8)19 + (14a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 16a + 14)19^2 + (13a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 13a)19^3 + (18a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 9a + 5)19^4 + (18a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 7a + 15)19^5 + (11a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 3a + 12)19^6 + (10a^5 + 12a^4 + a^3 + 9a^2 + 5a + 11)19^7 + (8a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 4a + 4)19^8 + (10a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 18a^2 + a + 6)*19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 9\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 14a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 3a + (4a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 15a^2 + 9)19 + (12a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 16a + 16)19^2 + (16a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 15a + 15)19^3 + (4a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 16a + 13)19^4 + (14a^5 + 11a^4 + 9a^2 + 6a + 15)19^5 + (18a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 5a + 17)19^6 + (15a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 5a + 15)19^7 + (3a^5 + 15a^4 + 3a^3 + a^2 + 14a)19^8 + (2a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 9a + 13)19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 1 + \left(12 a^{5} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 7a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 15a + 1 + (12a^5 + 2a^3 + 8a^2 + 16a + 4)19 + (13a^5 + a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 5a + 6)19^2 + (3a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 14)19^3 + (9a^5 + 15a^4 + 18a^3 + a^2 + 13a + 13)19^4 + (2a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 6a + 16)19^5 + (11a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 10a + 4)19^6 + (15a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 12a + 2)19^7 + (16a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 12a + 10)19^8 + (17a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 7a + 4)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 9 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6 + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 9a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 10a + 6 + (5a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 12a + 5)19 + (5a^5 + 17a^4 + 16a^2 + 13a + 2)19^2 + (5a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 8)19^3 + (18a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 4a + 15)19^4 + (17a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 4a + 1)19^5 + (9a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 8a + 16)19^6 + (8a^5 + a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 5a + 18)19^7 + (3a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 18a + 15)19^8 + (2a^5 + 13a^4 + 8a^3 + a^2 + 15a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 5 + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 14a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 3a + 5 + (6a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 12a^2 + a + 12)19 + (5a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 9a + 9)19^2 + (5a^5 + 12a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 4)19^3 + (4a^5 + 15a^4 + 15a + 12)19^4 + (13a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 2a + 3)19^5 + (13a^5 + a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 12a + 9)19^6 + (6a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 12a + 2)19^7 + (15a^3 + a^2 + 8a + 15)19^8 + (7a^5 + 13a^4 + 17a + 3)*19^9+O(19^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7 + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 3a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 4a + 7 + (13a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 18a)19 + (17a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 4a + 11)19^2 + (4a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 9a + 3)19^3 + (5a^5 + 6a^4 + a^3 + 18a^2 + 16a + 13)19^4 + (13a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 5a + 3)19^5 + (5a^4 + 18a^3 + a^2 + 2a + 1)19^6 + (a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 18a + 17)19^7 + (12a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 13a + 5)19^8 + (18a^5 + 2a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 4a + 10)*19^9+O(19^10)