Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{27}$ |
| Conductor: | \(142572\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3 \cdot 109^{2} \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 27.1.39283048191707628320527883233780986049240939103053589440900104192.1 |
| Galois orbit size: | $9$ |
| Smallest permutation container: | $D_{27}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.3.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{27}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 27.1.39283048191707628320527883233780986049240939103053589440900104192.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{27} - 3 x^{26} - 32 x^{25} + 70 x^{24} + 1225 x^{23} - 6827 x^{22} - 25817 x^{21} + \cdots - 915979929047856 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 37 }$ to precision 6.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 37 }$:
\( x^{27} + 2 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 26 a^{25} + 21 a^{24} + 19 a^{22} + 35 a^{21} + 15 a^{19} + 32 a^{16} + 17 a^{15} + 25 a^{13} + 12 a^{12} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a + 33 + \left(14 a^{25} + 27 a^{24} + 22 a^{22} + 9 a^{21} + 29 a^{19} + 17 a^{16} + 21 a^{15} + 5 a^{13} + 5 a^{12} + 32 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{7} + 29 a^{6} + 10 a^{3} + 19 a + 32\right)\cdot 37 + \left(18 a^{25} + 23 a^{24} + 26 a^{22} + 32 a^{21} + 10 a^{19} + 32 a^{16} + 35 a^{15} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 3 a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{25} + 2 a^{24} + 3 a^{22} + 4 a^{21} + 22 a^{19} + 33 a^{16} + 33 a^{15} + 17 a^{13} + 9 a^{12} + 3 a^{10} + 32 a^{9} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(21 a^{25} + 31 a^{24} + 35 a^{22} + 27 a^{19} + 33 a^{16} + 33 a^{15} + 11 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{3} + 29 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{25} + 34 a^{24} + 8 a^{22} + 36 a^{21} + 14 a^{19} + 12 a^{16} + 18 a^{15} + 13 a^{13} + 18 a^{12} + 22 a^{10} + 24 a^{9} + 36 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 30 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 8 a^{25} + 4 a^{24} + 31 a^{22} + 23 a^{21} + 6 a^{19} + 24 a^{16} + 19 a^{15} + 7 a^{13} + a^{12} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 35 a^{4} + 2 a^{3} + 36 a + 33 + \left(13 a^{25} + 22 a^{24} + 22 a^{22} + 19 a^{21} + 21 a^{19} + 34 a^{16} + 8 a^{15} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{4} + 36 a^{3} + 19 a + 32\right)\cdot 37 + \left(26 a^{25} + 30 a^{24} + a^{22} + 15 a^{21} + 2 a^{19} + 6 a^{16} + 19 a^{15} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{10} + a^{9} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{25} + 20 a^{24} + 16 a^{22} + 36 a^{21} + 17 a^{19} + 10 a^{15} + a^{12} + 31 a^{9} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + a^{4} + 33 a^{3} + 21 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(12 a^{25} + 3 a^{24} + 17 a^{22} + 24 a^{21} + 5 a^{19} + 21 a^{16} + 4 a^{15} + 3 a^{13} + 35 a^{12} + 5 a^{10} + 17 a^{9} + 34 a^{7} + 25 a^{6} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(10 a^{25} + 14 a^{24} + 35 a^{22} + 29 a^{21} + 16 a^{19} + 8 a^{16} + 28 a^{15} + 12 a^{13} + 9 a^{12} + 14 a^{10} + a^{9} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 33 a^{25} + 36 a^{24} + 29 a^{22} + 13 a^{21} + a^{19} + 33 a^{16} + 6 a^{15} + 27 a^{13} + 34 a^{12} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a + 33 + \left(6 a^{25} + 14 a^{24} + 13 a^{22} + 9 a^{21} + 30 a^{19} + 4 a^{16} + 13 a^{12} + 8 a^{10} + 31 a^{9} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 32 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a + 32\right)\cdot 37 + \left(30 a^{25} + 32 a^{24} + 5 a^{22} + 13 a^{21} + 22 a^{19} + 15 a^{16} + 32 a^{15} + 16 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(17 a^{25} + 2 a^{24} + 11 a^{22} + 2 a^{21} + 12 a^{19} + 12 a^{16} + 36 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 32 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{3} + 6 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(28 a^{25} + 31 a^{24} + 35 a^{22} + 29 a^{21} + 26 a^{19} + 27 a^{16} + 14 a^{15} + 24 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 10 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{25} + 23 a^{24} + 24 a^{22} + 19 a^{21} + 17 a^{19} + 25 a^{16} + 32 a^{15} + 7 a^{13} + 33 a^{12} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 36 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{4} + 34 a^{3} + 5 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 9 a^{25} + 25 a^{24} + 6 a^{22} + 22 a^{21} + 24 a^{19} + 31 a^{16} + 22 a^{15} + 4 a^{13} + 16 a^{12} + 31 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a + 33 + \left(12 a^{25} + 13 a^{24} + 20 a^{22} + 6 a^{21} + 18 a^{19} + 2 a^{16} + 16 a^{15} + 22 a^{12} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a + 32\right)\cdot 37 + \left(15 a^{25} + 30 a^{24} + 2 a^{22} + 6 a^{21} + 22 a^{16} + 27 a^{15} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + 32 a^{10} + 25 a^{9} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{4} + 34 a^{3} + 19 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(15 a^{25} + 11 a^{24} + a^{22} + 24 a^{21} + 15 a^{19} + 11 a^{16} + 14 a^{15} + 6 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{10} + 32 a^{9} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{4} + a^{3} + 25 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(19 a^{25} + 35 a^{24} + 18 a^{22} + 19 a^{21} + 22 a^{19} + 36 a^{16} + 19 a^{15} + 4 a^{13} + 16 a^{12} + 34 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 35 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(16 a^{25} + 26 a^{24} + a^{22} + 8 a^{21} + 11 a^{19} + 11 a^{16} + 5 a^{15} + 6 a^{13} + 30 a^{12} + 11 a^{10} + 24 a^{9} + 36 a^{6} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 17 a^{25} + 3 a^{24} + 2 a^{22} + 6 a^{21} + 17 a^{19} + 14 a^{16} + 5 a^{15} + 10 a^{13} + 26 a^{12} + 27 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a + 33 + \left(20 a^{25} + 9 a^{24} + 18 a^{22} + 4 a^{21} + 25 a^{19} + 18 a^{16} + 3 a^{15} + 9 a^{13} + 30 a^{12} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a + 32\right)\cdot 37 + \left(15 a^{25} + 23 a^{24} + 29 a^{22} + 3 a^{21} + 25 a^{19} + 15 a^{16} + 14 a^{15} + 28 a^{13} + 19 a^{12} + 35 a^{10} + a^{9} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{25} + 12 a^{24} + 19 a^{22} + 15 a^{21} + 28 a^{19} + 34 a^{16} + 3 a^{15} + 35 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{10} + 31 a^{9} + 10 a^{7} + 34 a^{6} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{25} + 30 a^{24} + 12 a^{22} + 7 a^{21} + 19 a^{19} + 26 a^{16} + 23 a^{15} + 35 a^{13} + 4 a^{12} + 11 a^{10} + 17 a^{9} + 35 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{25} + 6 a^{24} + 7 a^{22} + 9 a^{21} + 34 a^{19} + 31 a^{16} + 35 a^{15} + 30 a^{13} + 34 a^{12} + 15 a^{10} + a^{9} + 31 a^{7} + 8 a^{6} + 36 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 10 a^{25} + 27 a^{24} + 15 a^{22} + 5 a^{21} + 9 a^{19} + 10 a^{16} + 23 a^{15} + 28 a^{13} + 33 a^{12} + 33 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a + 33 + \left(2 a^{25} + 17 a^{24} + 21 a^{22} + 31 a^{21} + 2 a^{19} + 7 a^{16} + 16 a^{15} + 13 a^{13} + 20 a^{12} + 5 a^{10} + 31 a^{9} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a + 32\right)\cdot 37 + \left(33 a^{25} + 20 a^{24} + 24 a^{22} + 22 a^{21} + 35 a^{19} + 34 a^{16} + 35 a^{15} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{7} + 36 a^{6} + 35 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(25 a^{25} + 36 a^{24} + 2 a^{22} + 2 a^{21} + 12 a^{19} + 28 a^{16} + 26 a^{15} + 31 a^{13} + 33 a^{12} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{4} + 35 a^{3} + 35 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(23 a^{25} + 11 a^{24} + 15 a^{22} + 5 a^{21} + 23 a^{19} + 6 a^{16} + 32 a^{15} + 34 a^{13} + 33 a^{12} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{4} + 31 a^{3} + 21 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(17 a^{25} + 30 a^{24} + 25 a^{22} + 35 a^{21} + 29 a^{19} + 15 a^{16} + 4 a^{15} + 10 a^{13} + 3 a^{12} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 33 a^{25} + 28 a^{24} + 35 a^{22} + 17 a^{21} + 31 a^{19} + 15 a^{16} + 35 a^{15} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 20 a^{7} + 32 a^{6} + 6 a^{4} + 32 a^{3} + 32 a + 33 + \left(31 a^{25} + 32 a^{24} + 16 a^{22} + 20 a^{21} + 25 a^{19} + 31 a^{16} + 35 a^{15} + 36 a^{13} + 9 a^{12} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{4} + a^{3} + 25 a + 32\right)\cdot 37 + \left(8 a^{25} + 19 a^{24} + 17 a^{22} + 35 a^{21} + 16 a^{19} + 30 a^{16} + 10 a^{15} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 6 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(34 a^{25} + 22 a^{24} + 32 a^{22} + 7 a^{21} + 5 a^{19} + 12 a^{16} + 25 a^{15} + 26 a^{13} + 33 a^{12} + 33 a^{10} + 32 a^{9} + 21 a^{7} + 33 a^{6} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{25} + 7 a^{24} + 7 a^{22} + 17 a^{21} + 7 a^{19} + 8 a^{16} + 20 a^{15} + 33 a^{13} + 19 a^{12} + 6 a^{10} + 31 a^{9} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(21 a^{25} + 12 a^{24} + 34 a^{22} + 29 a^{21} + 35 a^{19} + 8 a^{16} + 12 a^{15} + 16 a^{13} + 25 a^{12} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 20 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 13 a^{25} + 30 a^{24} + 24 a^{22} + 8 a^{21} + 5 a^{19} + 2 a^{16} + 13 a^{15} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{7} + 31 a^{6} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a + 33 + \left(9 a^{25} + 5 a^{24} + 30 a^{22} + 13 a^{21} + 2 a^{19} + 6 a^{16} + 25 a^{15} + 32 a^{13} + 4 a^{12} + 30 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 3 a + 32\right)\cdot 37 + \left(26 a^{25} + 20 a^{24} + 10 a^{22} + 18 a^{21} + 10 a^{16} + 3 a^{15} + 14 a^{13} + 15 a^{12} + 4 a^{10} + a^{9} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(17 a^{25} + 3 a^{24} + 8 a^{22} + 22 a^{21} + a^{19} + 16 a^{16} + 23 a^{15} + 30 a^{13} + 21 a^{12} + 27 a^{10} + 31 a^{9} + 36 a^{7} + 4 a^{6} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 26 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{25} + 3 a^{24} + 33 a^{22} + 4 a^{21} + 16 a^{19} + 23 a^{16} + 9 a^{15} + 17 a^{13} + 34 a^{12} + 24 a^{10} + 17 a^{9} + 32 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(11 a^{25} + 16 a^{24} + 5 a^{22} + 35 a^{21} + 25 a^{19} + 10 a^{16} + 10 a^{15} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 3 a^{10} + a^{9} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 12 a^{25} + 11 a^{24} + 32 a^{22} + 19 a^{21} + 7 a^{19} + 12 a^{16} + 8 a^{15} + 3 a^{13} + 7 a^{12} + a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{4} + 31 a^{3} + 13 a + 33 + \left(10 a^{25} + 4 a^{24} + 8 a^{22} + 33 a^{21} + 13 a^{19} + 16 a^{16} + 20 a^{15} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{10} + 31 a^{9} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 34 a + 32\right)\cdot 37 + \left(34 a^{25} + 21 a^{24} + 36 a^{22} + 11 a^{19} + 2 a^{16} + 6 a^{15} + 29 a^{13} + 17 a^{12} + 10 a^{10} + 10 a^{9} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(25 a^{25} + 34 a^{24} + 30 a^{22} + 32 a^{21} + 28 a^{19} + 12 a^{16} + 9 a^{15} + 35 a^{13} + 32 a^{12} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 25 a^{7} + 36 a^{6} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{25} + 30 a^{24} + 21 a^{22} + 2 a^{21} + 35 a^{19} + 35 a^{16} + 27 a^{15} + 14 a^{13} + 36 a^{12} + 30 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{7} + 34 a^{6} + 36 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(24 a^{25} + 19 a^{24} + 7 a^{22} + 19 a^{21} + 19 a^{19} + 12 a^{16} + 36 a^{15} + 32 a^{13} + 36 a^{12} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 10 a^{25} + 21 a^{24} + 13 a^{22} + 35 a^{21} + 20 a^{19} + 18 a^{16} + 17 a^{15} + 21 a^{13} + 12 a^{12} + 32 a^{10} + 30 a^{9} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a + 33 + \left(32 a^{25} + 27 a^{24} + 19 a^{22} + 9 a^{21} + 27 a^{19} + 19 a^{16} + 21 a^{15} + 4 a^{13} + 5 a^{12} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a + 32\right)\cdot 37 + \left(33 a^{25} + 23 a^{24} + 35 a^{22} + 32 a^{21} + 20 a^{19} + 26 a^{16} + 35 a^{15} + 4 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 33 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{25} + 2 a^{24} + 22 a^{22} + 4 a^{21} + a^{19} + 16 a^{16} + 33 a^{15} + 19 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{10} + 32 a^{9} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(14 a^{25} + 31 a^{24} + 34 a^{22} + 33 a^{19} + 11 a^{16} + 33 a^{15} + 33 a^{13} + 10 a^{10} + 31 a^{9} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 34 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(21 a^{25} + 34 a^{24} + 2 a^{22} + 36 a^{21} + 32 a^{19} + 20 a^{16} + 18 a^{15} + 6 a^{13} + 18 a^{12} + 32 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 23 a^{25} + 4 a^{24} + 29 a^{22} + 23 a^{21} + 8 a^{19} + 32 a^{16} + 19 a^{15} + 34 a^{13} + a^{12} + 4 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a + 33 + \left(19 a^{25} + 22 a^{24} + 22 a^{22} + 19 a^{21} + 11 a^{19} + 2 a^{16} + 8 a^{15} + 30 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 34 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 23 a + 32\right)\cdot 37 + \left(a^{25} + 30 a^{24} + 28 a^{22} + 15 a^{21} + 15 a^{16} + 19 a^{15} + 9 a^{13} + 2 a^{12} + 18 a^{10} + a^{9} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(4 a^{25} + 20 a^{24} + 17 a^{22} + 36 a^{21} + 14 a^{19} + 29 a^{16} + 10 a^{15} + 36 a^{13} + a^{12} + 8 a^{10} + 31 a^{9} + 34 a^{7} + 35 a^{6} + 16 a^{4} + 33 a^{3} + 17 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(8 a^{25} + 3 a^{24} + 19 a^{22} + 24 a^{21} + 15 a^{16} + 4 a^{15} + 17 a^{13} + 35 a^{12} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{25} + 14 a^{24} + 17 a^{22} + 29 a^{21} + 36 a^{19} + 8 a^{16} + 28 a^{15} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 29 a^{10} + a^{9} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + a^{4} + 5 a^{3} + 8 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 7 a^{25} + 36 a^{24} + 14 a^{22} + 13 a^{21} + 26 a^{19} + 7 a^{16} + 6 a^{15} + 36 a^{13} + 34 a^{12} + 9 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a + 33 + \left(8 a^{25} + 14 a^{24} + 16 a^{22} + 9 a^{21} + 18 a^{19} + 30 a^{16} + 16 a^{13} + 13 a^{12} + 15 a^{10} + 31 a^{9} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a + 32\right)\cdot 37 + \left(34 a^{25} + 32 a^{24} + 7 a^{22} + 13 a^{21} + 17 a^{19} + 19 a^{16} + 32 a^{15} + 31 a^{13} + 28 a^{12} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(19 a^{25} + 2 a^{24} + 21 a^{22} + 2 a^{21} + 18 a^{19} + 3 a^{16} + 21 a^{13} + 7 a^{12} + 34 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{25} + 31 a^{24} + 26 a^{22} + 29 a^{21} + 32 a^{19} + 28 a^{16} + 14 a^{15} + 4 a^{13} + 3 a^{12} + 32 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{4} + 36 a^{3} + 4 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(11 a^{25} + 23 a^{24} + 13 a^{22} + 19 a^{21} + 30 a^{19} + 25 a^{16} + 32 a^{15} + 8 a^{13} + 33 a^{12} + 36 a^{10} + 10 a^{9} + 29 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 12 a^{25} + 25 a^{24} + 8 a^{22} + 22 a^{21} + 32 a^{19} + 29 a^{16} + 22 a^{15} + 30 a^{13} + 16 a^{12} + 29 a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a + 33 + \left(9 a^{25} + 13 a^{24} + 22 a^{22} + 6 a^{21} + 30 a^{19} + 20 a^{16} + 16 a^{15} + 25 a^{13} + 22 a^{12} + 9 a^{10} + 3 a^{9} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 19 a + 32\right)\cdot 37 + \left(6 a^{25} + 30 a^{24} + 21 a^{22} + 6 a^{21} + 14 a^{19} + a^{16} + 27 a^{15} + 36 a^{13} + 24 a^{12} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{4} + 34 a^{3} + 8 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(29 a^{25} + 11 a^{24} + 31 a^{22} + 24 a^{21} + 10 a^{19} + 9 a^{16} + 14 a^{15} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{10} + 32 a^{9} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{4} + a^{3} + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(3 a^{25} + 35 a^{24} + 2 a^{22} + 19 a^{21} + 13 a^{19} + 4 a^{16} + 19 a^{15} + a^{13} + 16 a^{12} + 35 a^{10} + 31 a^{9} + 30 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{3} + 25 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(36 a^{25} + 26 a^{24} + 17 a^{22} + 8 a^{21} + 23 a^{19} + 18 a^{16} + 5 a^{15} + 2 a^{13} + 30 a^{12} + 30 a^{10} + 24 a^{9} + 5 a^{7} + 36 a^{6} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 35 a^{25} + 3 a^{24} + 15 a^{22} + 6 a^{21} + 35 a^{19} + 31 a^{16} + 5 a^{15} + a^{13} + 26 a^{12} + 36 a^{10} + 4 a^{9} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a + 33 + \left(9 a^{25} + 9 a^{24} + 18 a^{22} + 4 a^{21} + 28 a^{19} + 21 a^{16} + 3 a^{15} + 21 a^{13} + 30 a^{12} + 35 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{3} + 36 a + 32\right)\cdot 37 + \left(30 a^{25} + 23 a^{24} + 21 a^{22} + 3 a^{21} + 35 a^{19} + 4 a^{16} + 14 a^{15} + 11 a^{13} + 19 a^{12} + 11 a^{10} + a^{9} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{25} + 12 a^{24} + 10 a^{22} + 15 a^{21} + a^{19} + 8 a^{16} + 3 a^{15} + 29 a^{13} + 14 a^{12} + a^{10} + 31 a^{9} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 36 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{25} + 30 a^{24} + 23 a^{22} + 7 a^{21} + 33 a^{19} + 24 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{13} + 4 a^{12} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{7} + 36 a^{6} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 35 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{25} + 6 a^{24} + 35 a^{22} + 9 a^{21} + 13 a^{19} + 16 a^{16} + 35 a^{15} + 31 a^{13} + 34 a^{12} + 25 a^{10} + a^{9} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( a^{25} + 27 a^{24} + 20 a^{22} + 5 a^{21} + 12 a^{19} + a^{16} + 23 a^{15} + 25 a^{13} + 33 a^{12} + 7 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 31 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a + 33 + \left(24 a^{25} + 17 a^{24} + 4 a^{22} + 31 a^{21} + 8 a^{19} + 6 a^{16} + 16 a^{15} + 20 a^{12} + 19 a^{10} + 31 a^{9} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a + 32\right)\cdot 37 + \left(31 a^{25} + 20 a^{24} + 22 a^{21} + 36 a^{19} + 25 a^{16} + 35 a^{15} + 18 a^{13} + 28 a^{12} + 30 a^{10} + 10 a^{9} + 36 a^{6} + 34 a^{4} + 4 a^{3} + 31 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{25} + 36 a^{24} + 25 a^{22} + 2 a^{21} + 12 a^{19} + 31 a^{16} + 26 a^{15} + 35 a^{13} + 33 a^{12} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(15 a^{25} + 11 a^{24} + 25 a^{22} + 5 a^{21} + 18 a^{19} + 15 a^{16} + 32 a^{15} + 20 a^{13} + 33 a^{12} + 34 a^{10} + 24 a^{9} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{4} + 31 a^{3} + 10 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(12 a^{25} + 30 a^{24} + 34 a^{22} + 35 a^{21} + 26 a^{19} + 27 a^{16} + 4 a^{15} + 27 a^{13} + 3 a^{12} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 31 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 7 a^{25} + 28 a^{24} + 22 a^{22} + 17 a^{21} + 29 a^{19} + 20 a^{16} + 35 a^{15} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{10} + 30 a^{9} + 2 a^{7} + 32 a^{6} + 8 a^{4} + 32 a^{3} + 18 a + 33 + \left(29 a^{25} + 32 a^{24} + 3 a^{22} + 20 a^{21} + 26 a^{19} + 5 a^{16} + 35 a^{15} + 35 a^{13} + 9 a^{12} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{4} + a^{3} + 5 a + 32\right)\cdot 37 + \left(2 a^{25} + 19 a^{24} + 22 a^{22} + 35 a^{21} + 21 a^{19} + 17 a^{16} + 10 a^{15} + 23 a^{13} + 26 a^{12} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{4} + 31 a^{3} + 31 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(7 a^{25} + 22 a^{24} + 34 a^{22} + 7 a^{21} + 35 a^{19} + 2 a^{16} + 25 a^{15} + 18 a^{13} + 33 a^{12} + 32 a^{10} + 32 a^{9} + 35 a^{7} + 33 a^{6} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(31 a^{25} + 7 a^{24} + a^{22} + 17 a^{21} + 32 a^{19} + 18 a^{16} + 20 a^{15} + 12 a^{13} + 19 a^{12} + 17 a^{10} + 31 a^{9} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 32 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(5 a^{25} + 12 a^{24} + 14 a^{22} + 29 a^{21} + 8 a^{19} + 11 a^{16} + 12 a^{15} + 18 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{10} + 24 a^{9} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{4} + 32 a^{3} + 7 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 5 a^{25} + 30 a^{24} + 32 a^{22} + 8 a^{21} + 19 a^{19} + 15 a^{16} + 13 a^{15} + 12 a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 36 a^{7} + 31 a^{6} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a + 33 + \left(31 a^{25} + 5 a^{24} + 9 a^{22} + 13 a^{21} + 19 a^{19} + 2 a^{16} + 25 a^{15} + 11 a^{13} + 4 a^{12} + 36 a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a + 32\right)\cdot 37 + \left(27 a^{25} + 20 a^{24} + 19 a^{22} + 18 a^{21} + 9 a^{19} + 5 a^{16} + 3 a^{15} + 35 a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{10} + a^{9} + 2 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(4 a^{25} + 3 a^{24} + 36 a^{22} + 22 a^{21} + 24 a^{19} + 27 a^{16} + 23 a^{15} + 19 a^{13} + 21 a^{12} + 35 a^{10} + 31 a^{9} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{4} + 32 a^{3} + 33 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(10 a^{25} + 3 a^{24} + 9 a^{22} + 4 a^{21} + 4 a^{19} + 14 a^{16} + 9 a^{15} + 12 a^{13} + 34 a^{12} + 13 a^{10} + 17 a^{9} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(16 a^{25} + 16 a^{24} + 24 a^{22} + 35 a^{21} + 12 a^{19} + 31 a^{16} + 10 a^{15} + 24 a^{13} + 29 a^{12} + 10 a^{10} + a^{9} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 16 a^{25} + 11 a^{24} + 18 a^{22} + 19 a^{21} + 34 a^{19} + 16 a^{16} + 8 a^{15} + 4 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 5 a + 33 + \left(4 a^{25} + 4 a^{24} + 7 a^{22} + 33 a^{21} + 3 a^{19} + 12 a^{16} + 20 a^{15} + 14 a^{13} + 2 a^{12} + 35 a^{10} + 31 a^{9} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 31 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a + 32\right)\cdot 37 + \left(19 a^{25} + 21 a^{24} + 26 a^{22} + 8 a^{19} + 21 a^{16} + 6 a^{15} + 18 a^{13} + 17 a^{12} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(5 a^{25} + 34 a^{24} + 18 a^{22} + 32 a^{21} + 35 a^{19} + 4 a^{16} + 9 a^{15} + 21 a^{13} + 32 a^{12} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 33 a^{7} + 36 a^{6} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 17 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{25} + 30 a^{24} + 8 a^{22} + 2 a^{21} + a^{19} + 17 a^{16} + 27 a^{15} + 23 a^{13} + 36 a^{12} + 35 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{7} + 34 a^{6} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 31 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(19 a^{24} + 14 a^{22} + 19 a^{21} + 19 a^{19} + 9 a^{16} + 36 a^{15} + 4 a^{13} + 36 a^{12} + a^{10} + 10 a^{9} + 32 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( a^{25} + 21 a^{24} + 5 a^{22} + 35 a^{21} + 2 a^{19} + 24 a^{16} + 17 a^{15} + 28 a^{13} + 12 a^{12} + 18 a^{10} + 30 a^{9} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a + 33 + \left(27 a^{25} + 27 a^{24} + 32 a^{22} + 9 a^{21} + 17 a^{19} + 36 a^{16} + 21 a^{15} + 26 a^{13} + 5 a^{12} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 33 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 35 a + 32\right)\cdot 37 + \left(21 a^{25} + 23 a^{24} + 11 a^{22} + 32 a^{21} + 5 a^{19} + 14 a^{16} + 35 a^{15} + 15 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 32 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{25} + 2 a^{24} + 10 a^{22} + 4 a^{21} + 13 a^{19} + 23 a^{16} + 33 a^{15} + 9 a^{12} + 31 a^{10} + 32 a^{9} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 33 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(31 a^{24} + 4 a^{22} + 13 a^{19} + 28 a^{16} + 33 a^{15} + 3 a^{13} + 15 a^{10} + 31 a^{9} + a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(17 a^{25} + 34 a^{24} + 25 a^{22} + 36 a^{21} + 26 a^{19} + 3 a^{16} + 18 a^{15} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 32 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 6 a^{25} + 4 a^{24} + 14 a^{22} + 23 a^{21} + 23 a^{19} + 18 a^{16} + 19 a^{15} + 33 a^{13} + a^{12} + 30 a^{10} + 4 a^{9} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a + 33 + \left(4 a^{25} + 22 a^{24} + 28 a^{22} + 19 a^{21} + 4 a^{19} + 36 a^{16} + 8 a^{15} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 33 a^{4} + 36 a^{3} + 30 a + 32\right)\cdot 37 + \left(9 a^{25} + 30 a^{24} + 6 a^{22} + 15 a^{21} + 34 a^{19} + 14 a^{16} + 19 a^{15} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 32 a^{10} + a^{9} + 30 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(36 a^{25} + 20 a^{24} + 3 a^{22} + 36 a^{21} + 5 a^{19} + 7 a^{16} + 10 a^{15} + a^{12} + 27 a^{10} + 31 a^{9} + 17 a^{7} + 35 a^{6} + 19 a^{4} + 33 a^{3} + 34 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(15 a^{25} + 3 a^{24} + 24 a^{21} + 31 a^{19} + 4 a^{15} + 16 a^{13} + 35 a^{12} + 13 a^{10} + 17 a^{9} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 31 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(28 a^{25} + 14 a^{24} + 21 a^{22} + 29 a^{21} + 21 a^{19} + 20 a^{16} + 28 a^{15} + 36 a^{13} + 9 a^{12} + 30 a^{10} + a^{9} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 34 a^{25} + 36 a^{24} + 31 a^{22} + 13 a^{21} + 10 a^{19} + 34 a^{16} + 6 a^{15} + 11 a^{13} + 34 a^{12} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 8 a + 33 + \left(21 a^{25} + 14 a^{24} + 6 a^{22} + 9 a^{21} + 25 a^{19} + a^{16} + 19 a^{13} + 13 a^{12} + 13 a^{10} + 31 a^{9} + 35 a^{7} + 21 a^{6} + a^{4} + 24 a^{3} + 17 a + 32\right)\cdot 37 + \left(9 a^{25} + 32 a^{24} + 24 a^{22} + 13 a^{21} + 33 a^{19} + 2 a^{16} + 32 a^{15} + 26 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 34 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 34 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(36 a^{25} + 2 a^{24} + 4 a^{22} + 2 a^{21} + 5 a^{19} + 21 a^{16} + 15 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(31 a^{25} + 31 a^{24} + 12 a^{22} + 29 a^{21} + 15 a^{19} + 18 a^{16} + 14 a^{15} + 7 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{4} + 36 a^{3} + 22 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(18 a^{25} + 23 a^{24} + 35 a^{22} + 19 a^{21} + 25 a^{19} + 22 a^{16} + 32 a^{15} + 21 a^{13} + 33 a^{12} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{4} + 34 a^{3} + 10 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 16 a^{25} + 25 a^{24} + 23 a^{22} + 22 a^{21} + 18 a^{19} + 14 a^{16} + 22 a^{15} + 3 a^{13} + 16 a^{12} + 14 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a + 33 + \left(15 a^{25} + 13 a^{24} + 31 a^{22} + 6 a^{21} + 24 a^{19} + 13 a^{16} + 16 a^{15} + 11 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 36 a^{7} + 23 a^{6} + 36 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a + 32\right)\cdot 37 + \left(15 a^{25} + 30 a^{24} + 12 a^{22} + 6 a^{21} + 21 a^{19} + 13 a^{16} + 27 a^{15} + 13 a^{13} + 24 a^{12} + 23 a^{10} + 25 a^{9} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{4} + 34 a^{3} + 9 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(29 a^{25} + 11 a^{24} + 4 a^{22} + 24 a^{21} + 11 a^{19} + 16 a^{16} + 14 a^{15} + 11 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{10} + 32 a^{9} + a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{4} + a^{3} + 11 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{25} + 35 a^{24} + 16 a^{22} + 19 a^{21} + a^{19} + 33 a^{16} + 19 a^{15} + 31 a^{13} + 16 a^{12} + 4 a^{10} + 31 a^{9} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + a^{4} + 24 a^{3} + 2 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(21 a^{25} + 26 a^{24} + 18 a^{22} + 8 a^{21} + 2 a^{19} + 6 a^{16} + 5 a^{15} + 28 a^{13} + 30 a^{12} + 31 a^{10} + 24 a^{9} + 30 a^{7} + 36 a^{6} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 22 a^{25} + 3 a^{24} + 20 a^{22} + 6 a^{21} + 22 a^{19} + 29 a^{16} + 5 a^{15} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a + 33 + \left(6 a^{25} + 9 a^{24} + 4 a^{21} + 19 a^{19} + 33 a^{16} + 3 a^{15} + 6 a^{13} + 30 a^{12} + 32 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a + 32\right)\cdot 37 + \left(28 a^{25} + 23 a^{24} + 23 a^{22} + 3 a^{21} + 12 a^{19} + 16 a^{16} + 14 a^{15} + 34 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{10} + a^{9} + 36 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 36 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(6 a^{25} + 12 a^{24} + 6 a^{22} + 15 a^{21} + 6 a^{19} + 31 a^{16} + 3 a^{15} + 8 a^{13} + 14 a^{12} + 8 a^{10} + 31 a^{9} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(17 a^{25} + 30 a^{24} + a^{22} + 7 a^{21} + 21 a^{19} + 22 a^{16} + 23 a^{15} + 14 a^{13} + 4 a^{12} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{7} + 36 a^{6} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(26 a^{25} + 6 a^{24} + 31 a^{22} + 9 a^{21} + 25 a^{19} + 25 a^{16} + 35 a^{15} + 11 a^{13} + 34 a^{12} + 33 a^{10} + a^{9} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 26 a^{25} + 27 a^{24} + 2 a^{22} + 5 a^{21} + 16 a^{19} + 26 a^{16} + 23 a^{15} + 21 a^{13} + 33 a^{12} + 34 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 35 a + 33 + \left(10 a^{25} + 17 a^{24} + 11 a^{22} + 31 a^{21} + 26 a^{19} + 23 a^{16} + 16 a^{15} + 22 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{10} + 31 a^{9} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a + 32\right)\cdot 37 + \left(9 a^{25} + 20 a^{24} + 12 a^{22} + 22 a^{21} + 2 a^{19} + 14 a^{16} + 35 a^{15} + 25 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(14 a^{25} + 36 a^{24} + 9 a^{22} + 2 a^{21} + 11 a^{19} + 13 a^{16} + 26 a^{15} + 6 a^{13} + 33 a^{12} + 36 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 34 a^{4} + 35 a^{3} + 16 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(34 a^{25} + 11 a^{24} + 33 a^{22} + 5 a^{21} + 32 a^{19} + 14 a^{16} + 32 a^{15} + 18 a^{13} + 33 a^{12} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{25} + 30 a^{24} + 13 a^{22} + 35 a^{21} + 17 a^{19} + 31 a^{16} + 4 a^{15} + 35 a^{13} + 3 a^{12} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 35 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 34 a^{25} + 28 a^{24} + 17 a^{22} + 17 a^{21} + 14 a^{19} + 2 a^{16} + 35 a^{15} + 36 a^{13} + 9 a^{12} + 15 a^{10} + 30 a^{9} + 15 a^{7} + 32 a^{6} + 23 a^{4} + 32 a^{3} + 24 a + 33 + \left(12 a^{25} + 32 a^{24} + 16 a^{22} + 20 a^{21} + 21 a^{19} + 35 a^{15} + a^{13} + 9 a^{12} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{4} + a^{3} + 5 a + 32\right)\cdot 37 + \left(25 a^{25} + 19 a^{24} + 34 a^{22} + 35 a^{21} + 35 a^{19} + 26 a^{16} + 10 a^{15} + 23 a^{13} + 26 a^{12} + 33 a^{10} + 25 a^{9} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 22 a^{4} + 31 a^{3} + 36 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{25} + 22 a^{24} + 6 a^{22} + 7 a^{21} + 32 a^{19} + 21 a^{16} + 25 a^{15} + 28 a^{13} + 33 a^{12} + 7 a^{10} + 32 a^{9} + 17 a^{7} + 33 a^{6} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(8 a^{25} + 7 a^{24} + 27 a^{22} + 17 a^{21} + 33 a^{19} + 10 a^{16} + 20 a^{15} + 27 a^{13} + 19 a^{12} + 12 a^{10} + 31 a^{9} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 35 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(9 a^{25} + 12 a^{24} + 25 a^{22} + 29 a^{21} + 29 a^{19} + 17 a^{16} + 12 a^{15} + a^{13} + 25 a^{12} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{4} + 32 a^{3} + 8 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 19 a^{25} + 30 a^{24} + 18 a^{22} + 8 a^{21} + 13 a^{19} + 20 a^{16} + 13 a^{15} + 16 a^{13} + 10 a^{12} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{7} + 31 a^{6} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a + 33 + \left(33 a^{25} + 5 a^{24} + 33 a^{22} + 13 a^{21} + 15 a^{19} + 28 a^{16} + 25 a^{15} + 30 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 31 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{4} + 32 a^{3} + 2 a + 32\right)\cdot 37 + \left(19 a^{25} + 20 a^{24} + 6 a^{22} + 18 a^{21} + 27 a^{19} + 21 a^{16} + 3 a^{15} + 23 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{10} + a^{9} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(14 a^{25} + 3 a^{24} + 29 a^{22} + 22 a^{21} + 11 a^{19} + 30 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{10} + 31 a^{9} + 30 a^{7} + 4 a^{6} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 13 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(31 a^{25} + 3 a^{24} + 30 a^{22} + 4 a^{21} + 16 a^{19} + 35 a^{16} + 9 a^{15} + 6 a^{13} + 34 a^{12} + 35 a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 32 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(8 a^{25} + 16 a^{24} + 6 a^{22} + 35 a^{21} + 36 a^{19} + 31 a^{16} + 10 a^{15} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 22 a^{10} + a^{9} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 32 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 9 a^{25} + 11 a^{24} + 24 a^{22} + 19 a^{21} + 33 a^{19} + 9 a^{16} + 8 a^{15} + 30 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{4} + 31 a^{3} + 19 a + 33 + \left(22 a^{25} + 4 a^{24} + 20 a^{22} + 33 a^{21} + 19 a^{19} + 8 a^{16} + 20 a^{15} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{10} + 31 a^{9} + 22 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a + 32\right)\cdot 37 + \left(20 a^{25} + 21 a^{24} + 11 a^{22} + 17 a^{19} + 13 a^{16} + 6 a^{15} + 26 a^{13} + 17 a^{12} + a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a + 32\right)\cdot 37^{2} + \left(5 a^{25} + 34 a^{24} + 24 a^{22} + 32 a^{21} + 10 a^{19} + 20 a^{16} + 9 a^{15} + 16 a^{13} + 32 a^{12} + 34 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{4} + 32 a^{3} + 20 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(28 a^{25} + 30 a^{24} + 6 a^{22} + 2 a^{21} + 36 a^{19} + 21 a^{16} + 27 a^{15} + 35 a^{13} + 36 a^{12} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 29 a^{7} + 34 a^{6} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a + 32\right)\cdot 37^{4} + \left(11 a^{25} + 19 a^{24} + 15 a^{22} + 19 a^{21} + 34 a^{19} + 14 a^{16} + 36 a^{15} + 36 a^{13} + 36 a^{12} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 33 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 27 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 27 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $27$ | $2$ | $(2,6)(3,5)(4,25)(7,22)(8,27)(9,26)(10,19)(11,24)(12,23)(13,16)(14,21)(15,20)(17,18)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,10,19)(2,11,20)(3,12,21)(4,13,22)(5,14,23)(6,15,24)(7,16,25)(8,17,26)(9,18,27)$ | $-1$ |
| $2$ | $9$ | $(1,13,25,10,22,7,19,4,16)(2,14,26,11,23,8,20,5,17)(3,15,27,12,24,9,21,6,18)$ | $-\zeta_{27}^{12} + \zeta_{27}^{6} - \zeta_{27}^{3}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,25,22,19,16,13,10,7,4)(2,26,23,20,17,14,11,8,5)(3,27,24,21,18,15,12,9,6)$ | $\zeta_{27}^{15} + \zeta_{27}^{12}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,22,16,10,4,25,19,13,7)(2,23,17,11,5,26,20,14,8)(3,24,18,12,6,27,21,15,9)$ | $-\zeta_{27}^{15} - \zeta_{27}^{6} + \zeta_{27}^{3}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,18,2,13,3,14,25,15,26,10,27,11,22,12,23,7,24,8,19,9,20,4,21,5,16,6,17)$ | $-\zeta_{27}^{16} - \zeta_{27}^{7} + \zeta_{27}^{2}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,2,3,25,26,27,22,23,24,19,20,21,16,17,18,13,14,15,10,11,12,7,8,9,4,5,6)$ | $-\zeta_{27}^{14} - \zeta_{27}^{5} + \zeta_{27}^{4}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,3,26,22,24,20,16,18,14,10,12,8,4,6,2,25,27,23,19,21,17,13,15,11,7,9,5)$ | $-\zeta_{27}^{10} + \zeta_{27}^{8} - \zeta_{27}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,14,27,7,20,6,13,26,12,19,5,18,25,11,24,4,17,3,10,23,9,16,2,15,22,8,21)$ | $\zeta_{27}^{17} + \zeta_{27}^{10}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,15,23,4,18,26,7,21,2,10,24,5,13,27,8,16,3,11,19,6,14,22,9,17,25,12,20)$ | $\zeta_{27}^{14} + \zeta_{27}^{13}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,26,24,16,14,12,4,2,27,19,17,15,7,5,3,22,20,18,10,8,6,25,23,21,13,11,9)$ | $\zeta_{27}^{16} + \zeta_{27}^{11}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,27,20,13,12,5,25,24,17,10,9,2,22,21,14,7,6,26,19,18,11,4,3,23,16,15,8)$ | $-\zeta_{27}^{11} + \zeta_{27}^{7} - \zeta_{27}^{2}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,11,21,25,8,18,22,5,15,19,2,12,16,26,9,13,23,6,10,20,3,7,17,27,4,14,24)$ | $-\zeta_{27}^{13} + \zeta_{27}^{5} - \zeta_{27}^{4}$ |
| $2$ | $27$ | $(1,12,17,22,6,11,16,27,5,10,21,26,4,15,20,25,9,14,19,3,8,13,24,2,7,18,23)$ | $-\zeta_{27}^{17} - \zeta_{27}^{8} + \zeta_{27}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.