LMFDB - Artin representation 2.1053.12t18.b.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$1053$$\medspace = 3^{4} \cdot 13 $
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.1870004703089601.2
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.117.6t1.h.a
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.351.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 3x^{9} + 10x^{6} + 3x^{3} + 1 $

x^12 - 3*x^9 + 10*x^6 + 3*x^3 + 1

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9x^{3} + 9x^{2} + x + 5 $ x^6 + x^4 + 9*x^3 + 9*x^2 + x + 5

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 4 + \left(21 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 17a + 4 + (21a^5 + 9a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 20a + 5)23 + (a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 16a)23^2 + (17a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 22a + 5)23^3 + (19a^5 + 21a^4 + 5a^2 + 16a + 22)23^4 + (16a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 12a + 5)23^5 + (18a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 16a + 3)23^6 + (17a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 19a + 18)23^7+O(23^8)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 12 + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 8a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 2a + 12 + (10a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 9a + 16)23 + (15a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 12a + 18)23^2 + (4a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 13a + 11)23^3 + (4a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 5a + 9)23^4 + (15a^5 + 19a^4 + a^3 + 18a^2 + 6a + 17)23^5 + (2a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 11a + 20)23^6 + (22a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 10a + 5)23^7+O(23^8)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 9 + \left(a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 19a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 8a^2 + 4a + 9 + (a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 22a + 15)23 + (2a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 11a^2 + a + 1)23^2 + (16a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 11a + 2)23^3 + (22a^5 + 17a^4 + 10a^2 + 12a + 6)23^4 + (7a^4 + 15a^3 + 12a + 9)23^5 + (7a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 8a + 19)23^6 + (20a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 21a + 17)23^7+O(23^8)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 14a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 4a + 7 + (14a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 16a + 1)23 + (5a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 16a + 4)23^2 + (a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 9a + 6)23^3 + (22a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 14)23^4 + (13a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 4a + 22)23^5 + (a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 18a + 21)23^6 + (6a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 15a + 21)23^7+O(23^8)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 21 + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 11a^5 + 20a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 21 + (19a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 5a + 13)23 + (10a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 18a + 11)23^2 + (19a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 18a + 9)23^3 + (15a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 5a + 21)23^4 + (15a^5 + 8a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 15a + 20)23^5 + (21a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 14a + 15)23^6 + (18a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 22a + 22)*23^7+O(23^8)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 17 + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 19a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 22a + 17 + (4a^5 + 4a^4 + a^3 + 4a^2 + 20a + 6)23 + (4a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 4a + 21)23^2 + (19a^4 + 14a^3 + 19a^2 + 15a + 20)23^3 + (17a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 6a + 19)23^4 + (14a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 22a + 3)23^5 + (13a^5 + 16a^3 + 16a^2 + 5a + 16)23^6 + (2a^5 + 15a^4 + 22a^3 + 9a^2 + 10a + 4)23^7+O(23^8)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 8 + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 3a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 11a + 8 + (11a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 8a + 4)23 + (14a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 20)23^2 + (8a^5 + 9a^3 + 13a^2 + 6a + 12)23^3 + (11a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 19a + 10)23^4 + (13a^5 + 4a^4 + 15a^3 + a^2 + 8)23^5 + (4a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 14a + 18)23^6 + (2a^5 + 10a^4 + 6a^3 + a^2 + 3a + 16)23^7+O(23^8)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 10 + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 12a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 20a + 10 + (16a^5 + 18a^4 + 19a^2 + 9a + 2)23 + (14a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 18a^2 + a + 7)23^2 + (5a^5 + a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 8a + 5)23^3 + (11a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 5a + 20)23^4 + (18a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 5a + 13)23^5 + (14a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 16a + 15)23^6 + (20a^5 + 13a^4 + a^3 + 19a^2 + 11a + 22)*23^7+O(23^8)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 8 + \left(21 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 16a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 21a + 8 + (21a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 19a + 2)23 + (7a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 22a + 13)23^2 + (3a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 11a + 15)23^3 + (13a^5 + 16a^4 + a^3 + 3a^2 + 10a + 4)23^4 + (15a^5 + 19a^4 + 19a^3 + a^2 + 8a + 21)23^5 + (10a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 2a + 13)23^6 + (a^5 + 11a^4 + 2a^3 + a^2 + 13a + 18)*23^7+O(23^8)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 5 + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 8a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 15a + 5 + (18a^5 + 10a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 4a + 16)23 + (16a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 21a + 18)23^2 + (8a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 8a + 4)23^3 + (7a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 21a + 15)23^4 + (14a^5 + 5a^3 + 12a^2 + 16a)23^5 + (3a^5 + a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 15a + 12)23^6 + (22a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 7a + 6)23^7+O(23^8)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 19 + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 10a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 6a + 19 + (15a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 15a + 7)23 + (20a^5 + a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 17a + 17)23^2 + (10a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 16a + 2)23^3 + (11a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 4a + 12)23^4 + (19a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 20a^2 + a + 9)23^5 + (19a^5 + 20a^4 + 13a^3 + a^2 + 22a + 9)23^6 + (8a^5 + 3a^4 + 6a^2 + 20a + 21)*23^7+O(23^8)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 17 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 18 + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23 + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})$ 17a^5 + 4a^4 + a^3 + 2a^2 + 13a + 18 + (6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 8a^2 + 8a + 22)23 + (10a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 3a + 3)23^2 + (19a^5 + 3a^3 + 13a^2 + 18a + 18)23^3 + (11a^5 + 10a^4 + 9a^2 + 5a + 4)23^4 + (2a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 9a + 4)23^5 + (3a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 15a + 17)23^6 + (17a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 3a + 6)*23^7+O(23^8)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,11)(2,12)(3,4)(5,7)(6,8)(9,10)$
$(1,3,2,11,4,12)(5,10,6,7,9,8)$
$(5,6,9)(7,8,10)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,11)(2,12)(3,4)(5,7)(6,8)(9,10)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$	$0$	✓
$3$	$2$	$(1,5)(2,6)(3,10)(4,9)(7,11)(8,12)$	$0$
$1$	$3$	$(1,2,4)(3,11,12)(5,6,9)(7,8,10)$	$2 \zeta_{3}$
$1$	$3$	$(1,4,2)(3,12,11)(5,9,6)(7,10,8)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$2$	$3$	$(5,6,9)(7,8,10)$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(5,9,6)(7,10,8)$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,4,2)(3,12,11)(5,6,9)(7,8,10)$	$-1$
$1$	$6$	$(1,3,2,11,4,12)(5,10,6,7,9,8)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,12,4,11,2,3)(5,8,9,7,6,10)$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,11)(2,12)(3,4)(5,8,9,7,6,10)$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,11)(2,12)(3,4)(5,10,6,7,9,8)$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,12,4,11,2,3)(5,10,6,7,9,8)$	$1$
$3$	$6$	$(1,9,2,5,4,6)(3,8,11,10,12,7)$	$0$
$3$	$6$	$(1,6,4,5,2,9)(3,7,12,10,11,8)$	$0$
$3$	$6$	$(1,8,2,10,4,7)(3,5,11,6,12,9)$	$0$
$3$	$6$	$(1,7,4,10,2,8)(3,9,12,6,11,5)$	$0$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1053.12t18.b.b
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$1053$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 4 + \left(21 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 17a + 4 + (21a^5 + 9a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 20a + 5)23 + (a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 16a)23^2 + (17a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 22a + 5)23^3 + (19a^5 + 21a^4 + 5a^2 + 16a + 22)23^4 + (16a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 12a + 5)23^5 + (18a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 16a + 3)23^6 + (17a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 19a + 18)23^7+O(23^8)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 12 + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 8a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 2a + 12 + (10a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 9a + 16)23 + (15a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 12a + 18)23^2 + (4a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 13a + 11)23^3 + (4a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 5a + 9)23^4 + (15a^5 + 19a^4 + a^3 + 18a^2 + 6a + 17)23^5 + (2a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 11a + 20)23^6 + (22a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 10a + 5)23^7+O(23^8)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 9 + \left(a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 19a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 8a^2 + 4a + 9 + (a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 22a + 15)23 + (2a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 11a^2 + a + 1)23^2 + (16a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 11a + 2)23^3 + (22a^5 + 17a^4 + 10a^2 + 12a + 6)23^4 + (7a^4 + 15a^3 + 12a + 9)23^5 + (7a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 8a + 19)23^6 + (20a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 21a + 17)23^7+O(23^8)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 14a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 4a + 7 + (14a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 16a + 1)23 + (5a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 16a + 4)23^2 + (a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 9a + 6)23^3 + (22a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 14)23^4 + (13a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 4a + 22)23^5 + (a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 18a + 21)23^6 + (6a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 15a + 21)23^7+O(23^8)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 21 + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 11a^5 + 20a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 21 + (19a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 5a + 13)23 + (10a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 18a + 11)23^2 + (19a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 18a + 9)23^3 + (15a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 5a + 21)23^4 + (15a^5 + 8a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 15a + 20)23^5 + (21a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 14a + 15)23^6 + (18a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 22a + 22)*23^7+O(23^8)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 17 + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 19a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 22a + 17 + (4a^5 + 4a^4 + a^3 + 4a^2 + 20a + 6)23 + (4a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 4a + 21)23^2 + (19a^4 + 14a^3 + 19a^2 + 15a + 20)23^3 + (17a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 6a + 19)23^4 + (14a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 22a + 3)23^5 + (13a^5 + 16a^3 + 16a^2 + 5a + 16)23^6 + (2a^5 + 15a^4 + 22a^3 + 9a^2 + 10a + 4)23^7+O(23^8)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 8 + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 3a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 11a + 8 + (11a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 8a + 4)23 + (14a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 3a^2 + 20)23^2 + (8a^5 + 9a^3 + 13a^2 + 6a + 12)23^3 + (11a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 19a + 10)23^4 + (13a^5 + 4a^4 + 15a^3 + a^2 + 8)23^5 + (4a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 14a + 18)23^6 + (2a^5 + 10a^4 + 6a^3 + a^2 + 3a + 16)23^7+O(23^8)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 10 + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 12a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 20a + 10 + (16a^5 + 18a^4 + 19a^2 + 9a + 2)23 + (14a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 18a^2 + a + 7)23^2 + (5a^5 + a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 8a + 5)23^3 + (11a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 5a + 20)23^4 + (18a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 5a + 13)23^5 + (14a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 16a + 15)23^6 + (20a^5 + 13a^4 + a^3 + 19a^2 + 11a + 22)*23^7+O(23^8)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 8 + \left(21 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 16a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 21a + 8 + (21a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 19a + 2)23 + (7a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 22a + 13)23^2 + (3a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 11a + 15)23^3 + (13a^5 + 16a^4 + a^3 + 3a^2 + 10a + 4)23^4 + (15a^5 + 19a^4 + 19a^3 + a^2 + 8a + 21)23^5 + (10a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 2a + 13)23^6 + (a^5 + 11a^4 + 2a^3 + a^2 + 13a + 18)*23^7+O(23^8)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 5 + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 8a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 15a + 5 + (18a^5 + 10a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 4a + 16)23 + (16a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 21a + 18)23^2 + (8a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 8a + 4)23^3 + (7a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 21a + 15)23^4 + (14a^5 + 5a^3 + 12a^2 + 16a)23^5 + (3a^5 + a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 15a + 12)23^6 + (22a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 7a + 6)23^7+O(23^8)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 19 + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 10a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 6a + 19 + (15a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 15a + 7)23 + (20a^5 + a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 17a + 17)23^2 + (10a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 16a + 2)23^3 + (11a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 4a + 12)23^4 + (19a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 20a^2 + a + 9)23^5 + (19a^5 + 20a^4 + 13a^3 + a^2 + 22a + 9)23^6 + (8a^5 + 3a^4 + 6a^2 + 20a + 21)*23^7+O(23^8)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 17 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 18 + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23 + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{7} +O(23^{8})\) 17a^5 + 4a^4 + a^3 + 2a^2 + 13a + 18 + (6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 8a^2 + 8a + 22)23 + (10a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 3a + 3)23^2 + (19a^5 + 3a^3 + 13a^2 + 18a + 18)23^3 + (11a^5 + 10a^4 + 9a^2 + 5a + 4)23^4 + (2a^5 + 22a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 9a + 4)23^5 + (3a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 15a + 17)23^6 + (17a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 3a + 6)*23^7+O(23^8)