Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{30}$ |
| Conductor: | \(10527\)\(\medspace = 3 \cdot 11^{2} \cdot 29 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 30.2.55974895395417171099844930764043920121188850445791734057.1 |
| Galois orbit size: | $4$ |
| Smallest permutation container: | $D_{30}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.87.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{15}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 15.1.118398715349864183241099543.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{30} - 10 x^{28} - 58 x^{27} + 34 x^{26} + 500 x^{25} + 637 x^{24} + 8703 x^{23} - 44984 x^{22} + \cdots - 51009507 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$:
\( x^{15} + x^{7} + x^{6} + 52x^{5} + 41x^{4} + 20x^{3} + 21x^{2} + 46x + 65 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 15 a^{14} + 25 a^{13} + 56 a^{12} + 60 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 62 a^{8} + 58 a^{7} + 54 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 59 a^{3} + 63 a + 46 + \left(26 a^{14} + 46 a^{13} + 39 a^{12} + 45 a^{11} + 47 a^{10} + 20 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 47 a^{6} + 46 a^{5} + 14 a^{4} + 65 a^{3} + 48 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 67 + \left(38 a^{14} + 46 a^{13} + 54 a^{12} + 61 a^{11} + 37 a^{10} + 13 a^{9} + 57 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 58 a^{4} + 7 a^{3} + 46 a^{2} + 31 a + 61\right)\cdot 67^{2} + \left(3 a^{14} + 63 a^{13} + 45 a^{12} + 20 a^{11} + 54 a^{10} + 56 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 32 a^{6} + 52 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 67^{3} + \left(38 a^{14} + 34 a^{13} + 52 a^{12} + 35 a^{11} + 4 a^{10} + 30 a^{9} + 61 a^{8} + 47 a^{7} + 44 a^{6} + 39 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 34 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 67^{4} + \left(2 a^{14} + 7 a^{13} + 48 a^{12} + 39 a^{11} + 45 a^{10} + 55 a^{9} + 35 a^{8} + 42 a^{7} + 42 a^{6} + 39 a^{5} + 41 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 48\right)\cdot 67^{5} + \left(4 a^{13} + 49 a^{12} + 55 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 42 a^{8} + 3 a^{7} + 63 a^{6} + 9 a^{5} + 40 a^{4} + 19 a^{3} + 44 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 67^{6} + \left(2 a^{14} + 60 a^{13} + 43 a^{12} + 41 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 34 a^{8} + 58 a^{7} + 18 a^{6} + 31 a^{5} + 54 a^{4} + 37 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 66\right)\cdot 67^{7} + \left(15 a^{14} + 5 a^{13} + 60 a^{12} + 8 a^{11} + 18 a^{10} + 55 a^{9} + 3 a^{8} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 60 a^{2} + 28 a + 57\right)\cdot 67^{8} + \left(13 a^{14} + 59 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 61 a^{9} + 52 a^{7} + 42 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 54 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 64\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + 2 a^{13} + 35 a^{12} + 20 a^{11} + 47 a^{10} + 49 a^{9} + 40 a^{8} + 10 a^{7} + 52 a^{6} + 10 a^{5} + 38 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 64 a + 27 + \left(27 a^{14} + 18 a^{13} + 7 a^{12} + 54 a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 38 a^{7} + 41 a^{6} + 41 a^{5} + 38 a^{4} + 44 a^{3} + 46 a^{2} + 47 a + 17\right)\cdot 67 + \left(35 a^{14} + 11 a^{13} + 33 a^{12} + 11 a^{11} + 34 a^{10} + 3 a^{9} + 41 a^{8} + 21 a^{7} + 54 a^{6} + 65 a^{5} + 27 a^{4} + 49 a^{3} + 63 a^{2} + 54 a + 55\right)\cdot 67^{2} + \left(49 a^{14} + 26 a^{13} + 38 a^{12} + 41 a^{11} + 61 a^{10} + 11 a^{9} + 60 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 64 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 67^{3} + \left(52 a^{14} + 42 a^{13} + 63 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 55 a^{7} + 59 a^{6} + 31 a^{5} + 32 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 47\right)\cdot 67^{4} + \left(52 a^{14} + 3 a^{13} + 12 a^{12} + 20 a^{11} + 8 a^{10} + 19 a^{9} + 38 a^{8} + 10 a^{7} + 64 a^{6} + 3 a^{5} + 34 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 56 a + 7\right)\cdot 67^{5} + \left(66 a^{14} + 9 a^{13} + 55 a^{12} + 56 a^{11} + 3 a^{10} + 48 a^{9} + 37 a^{8} + 34 a^{7} + 42 a^{6} + 33 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 67^{6} + \left(33 a^{14} + 39 a^{13} + 35 a^{12} + 49 a^{11} + 42 a^{10} + 25 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 50 a^{5} + 20 a^{4} + 53 a^{3} + 64 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 67^{7} + \left(19 a^{14} + 35 a^{13} + 45 a^{12} + 50 a^{11} + 40 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 42 a^{7} + 60 a^{6} + 12 a^{5} + 58 a^{4} + 46 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 67^{8} + \left(14 a^{14} + 12 a^{13} + 62 a^{12} + 38 a^{11} + 32 a^{10} + 33 a^{9} + 12 a^{8} + 58 a^{7} + 7 a^{6} + 66 a^{4} + 48 a^{3} + 3 a^{2} + 44 a + 8\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 58 a^{14} + 32 a^{12} + 27 a^{11} + 44 a^{10} + 60 a^{9} + 46 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 45 a^{5} + 33 a^{4} + 43 a^{3} + 59 a^{2} + 18 a + 57 + \left(40 a^{14} + 19 a^{13} + 60 a^{12} + 35 a^{11} + 41 a^{10} + 43 a^{9} + 29 a^{8} + 53 a^{7} + 8 a^{6} + 39 a^{5} + 5 a^{4} + 41 a^{3} + 46 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 67 + \left(57 a^{14} + 25 a^{13} + 64 a^{12} + 44 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + 44 a^{7} + 32 a^{6} + 26 a^{5} + 48 a^{4} + 6 a^{3} + 60 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 67^{2} + \left(16 a^{14} + 11 a^{13} + 31 a^{12} + 55 a^{11} + 52 a^{10} + 24 a^{9} + 54 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 39 a^{4} + 7 a^{3} + 51 a^{2} + 3 a + 56\right)\cdot 67^{3} + \left(55 a^{14} + 50 a^{13} + 41 a^{12} + 2 a^{11} + 46 a^{10} + 38 a^{9} + 60 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 39 a^{4} + 4 a^{3} + 32 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 67^{4} + \left(49 a^{14} + 52 a^{13} + 8 a^{12} + 58 a^{11} + 35 a^{10} + 48 a^{9} + 34 a^{8} + 57 a^{7} + a^{6} + 35 a^{5} + a^{4} + 62 a^{3} + 45 a^{2} + 44 a + 49\right)\cdot 67^{5} + \left(20 a^{14} + 62 a^{13} + 62 a^{12} + 2 a^{11} + 37 a^{10} + 58 a^{9} + 4 a^{8} + 43 a^{7} + 60 a^{6} + 28 a^{5} + 45 a^{4} + 66 a^{3} + 59 a^{2} + 57 a + 35\right)\cdot 67^{6} + \left(10 a^{14} + 47 a^{13} + 12 a^{12} + 24 a^{11} + 36 a^{10} + 42 a^{9} + 3 a^{8} + 58 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 60 a + 26\right)\cdot 67^{7} + \left(45 a^{14} + 3 a^{13} + 61 a^{12} + 7 a^{11} + 66 a^{10} + 56 a^{9} + 19 a^{8} + 49 a^{7} + 45 a^{6} + 34 a^{5} + 15 a^{4} + 52 a^{3} + 34 a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 67^{8} + \left(41 a^{14} + 66 a^{13} + 4 a^{12} + 35 a^{11} + 35 a^{10} + 62 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 50 a^{5} + 58 a^{4} + a^{3} + 51 a^{2} + 54 a + 62\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 38 a^{14} + 37 a^{13} + 8 a^{12} + 64 a^{11} + 15 a^{10} + 8 a^{9} + 64 a^{8} + 66 a^{7} + 36 a^{6} + 44 a^{5} + 3 a^{4} + 40 a^{3} + 65 a^{2} + 39 a + 57 + \left(a^{14} + 30 a^{13} + 57 a^{12} + 53 a^{11} + 58 a^{10} + 57 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 63 a^{5} + 61 a^{4} + 2 a^{3} + 52 a^{2} + 14 a + 44\right)\cdot 67 + \left(3 a^{14} + 12 a^{13} + 8 a^{12} + 24 a^{11} + 25 a^{10} + 53 a^{9} + 30 a^{8} + 48 a^{7} + 3 a^{6} + 50 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 67^{2} + \left(9 a^{14} + 29 a^{13} + 39 a^{12} + 21 a^{11} + 43 a^{10} + 41 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 42 a^{6} + 60 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 49 a^{2} + 45 a + 37\right)\cdot 67^{3} + \left(59 a^{14} + 14 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 28 a^{10} + 60 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 39 a^{5} + 31 a^{4} + 63 a^{3} + 37 a^{2} + 57 a + 36\right)\cdot 67^{4} + \left(46 a^{14} + 58 a^{13} + 7 a^{12} + 17 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 33 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 55 a^{3} + 40 a^{2} + 59 a + 12\right)\cdot 67^{5} + \left(33 a^{14} + 66 a^{13} + 25 a^{12} + 41 a^{11} + 45 a^{10} + 36 a^{9} + 41 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 54 a^{5} + 41 a^{4} + 48 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 67^{6} + \left(25 a^{14} + 50 a^{13} + 37 a^{12} + 65 a^{11} + 9 a^{10} + 43 a^{9} + 53 a^{8} + 9 a^{7} + 40 a^{6} + 65 a^{5} + 32 a^{4} + 57 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 67^{7} + \left(65 a^{14} + 16 a^{13} + 53 a^{12} + 32 a^{11} + 29 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{8} + 31 a^{7} + 5 a^{6} + 38 a^{5} + 10 a^{4} + 66 a^{3} + 4 a^{2} + 43 a + 36\right)\cdot 67^{8} + \left(50 a^{14} + 66 a^{13} + 50 a^{12} + 48 a^{11} + 58 a^{10} + 58 a^{9} + 27 a^{8} + 47 a^{7} + 15 a^{6} + 48 a^{5} + 27 a^{4} + 33 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 33 a^{14} + 14 a^{13} + 9 a^{12} + 57 a^{11} + 60 a^{10} + 54 a^{9} + 53 a^{8} + 35 a^{7} + 38 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 63 a^{3} + 17 a^{2} + 66 a + 7 + \left(63 a^{14} + 7 a^{13} + 65 a^{12} + 21 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 53 a^{8} + 44 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 55 a^{4} + 22 a^{3} + 48 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 67 + \left(56 a^{14} + 51 a^{13} + 50 a^{12} + a^{11} + 56 a^{10} + 24 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 56 a^{6} + 57 a^{5} + 13 a^{4} + 53 a^{3} + 2 a^{2} + 54 a + 61\right)\cdot 67^{2} + \left(54 a^{14} + 6 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 44 a^{10} + 43 a^{9} + 9 a^{8} + 65 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 32 a^{4} + 56 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 56\right)\cdot 67^{3} + \left(28 a^{14} + 37 a^{13} + 38 a^{12} + 51 a^{11} + 42 a^{10} + 27 a^{9} + 52 a^{8} + 30 a^{7} + 62 a^{6} + 50 a^{5} + 64 a^{4} + 43 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a + 27\right)\cdot 67^{4} + \left(23 a^{14} + 66 a^{13} + 44 a^{12} + 53 a^{11} + 33 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 45 a^{7} + 3 a^{6} + 50 a^{5} + 29 a^{4} + 66 a^{3} + 58 a^{2} + 23 a + 51\right)\cdot 67^{5} + \left(54 a^{14} + 6 a^{13} + 14 a^{12} + 54 a^{11} + 46 a^{10} + 33 a^{9} + 33 a^{8} + 30 a^{7} + 44 a^{6} + a^{5} + 56 a^{4} + 46 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 67^{6} + \left(11 a^{14} + 58 a^{13} + 50 a^{12} + 38 a^{11} + 55 a^{10} + 55 a^{9} + 35 a^{8} + 13 a^{7} + 34 a^{6} + 33 a^{4} + 41 a^{3} + 3 a^{2} + 51 a + 62\right)\cdot 67^{7} + \left(54 a^{14} + 38 a^{13} + 35 a^{12} + 13 a^{11} + 43 a^{10} + 19 a^{9} + 54 a^{8} + 12 a^{7} + 64 a^{6} + 51 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 37 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 67^{8} + \left(3 a^{14} + a^{13} + 41 a^{12} + 43 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{9} + 60 a^{8} + 37 a^{7} + 22 a^{6} + 33 a^{5} + 49 a^{4} + 9 a^{3} + 27 a^{2} + 37 a + 48\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 53 a^{14} + 13 a^{13} + 58 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 53 a^{9} + 4 a^{8} + 27 a^{7} + 31 a^{5} + 2 a^{4} + 56 a^{3} + 61 a^{2} + 9 a + 4 + \left(2 a^{14} + 23 a^{13} + 44 a^{12} + 59 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 52 a^{5} + 6 a^{4} + 33 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 47\right)\cdot 67 + \left(41 a^{14} + 66 a^{13} + 60 a^{12} + 39 a^{11} + 39 a^{10} + 65 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 50 a^{5} + 42 a^{4} + 28 a^{3} + 42 a^{2} + 12 a + 46\right)\cdot 67^{2} + \left(19 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 30 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 50 a^{8} + 58 a^{7} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 32 a^{3} + 61 a^{2} + 4 a + 56\right)\cdot 67^{3} + \left(3 a^{14} + 4 a^{13} + 9 a^{12} + 63 a^{11} + 49 a^{10} + 50 a^{9} + 48 a^{8} + 7 a^{7} + 43 a^{6} + 8 a^{5} + 37 a^{4} + 56 a^{3} + 39 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 67^{4} + \left(8 a^{14} + 40 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 59 a^{10} + 55 a^{9} + 59 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 36 a^{5} + 47 a^{4} + 41 a^{3} + 39 a^{2} + 46 a + 42\right)\cdot 67^{5} + \left(52 a^{14} + 64 a^{13} + 7 a^{12} + 37 a^{11} + 6 a^{10} + 35 a^{9} + 44 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 34 a^{3} + 49 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 67^{6} + \left(7 a^{14} + 36 a^{13} + 54 a^{12} + 19 a^{11} + 36 a^{10} + 44 a^{9} + 64 a^{8} + 6 a^{7} + 39 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 61 a^{2} + 25 a + 63\right)\cdot 67^{7} + \left(7 a^{13} + 58 a^{12} + 14 a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 38 a^{6} + 38 a^{5} + 43 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 52 a + 63\right)\cdot 67^{8} + \left(28 a^{14} + 63 a^{13} + 8 a^{12} + 37 a^{11} + 51 a^{10} + 33 a^{9} + 39 a^{8} + 20 a^{7} + 33 a^{6} + 42 a^{5} + 33 a^{4} + 47 a^{3} + 18 a + 19\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 59 a^{14} + 17 a^{13} + 35 a^{12} + 22 a^{11} + 64 a^{10} + 36 a^{9} + 44 a^{8} + 38 a^{7} + 55 a^{6} + 32 a^{5} + 38 a^{4} + 51 a^{3} + 11 a^{2} + 66 a + 8 + \left(46 a^{14} + 15 a^{13} + 29 a^{12} + 30 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 55 a^{8} + 60 a^{7} + 32 a^{6} + a^{5} + 39 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 57 a + 51\right)\cdot 67 + \left(65 a^{14} + 43 a^{13} + 28 a^{12} + 66 a^{11} + 33 a^{10} + 15 a^{9} + 29 a^{8} + 63 a^{7} + 43 a^{6} + 50 a^{5} + 3 a^{4} + 54 a^{2} + 12 a + 51\right)\cdot 67^{2} + \left(28 a^{14} + 9 a^{13} + 47 a^{12} + 16 a^{11} + 57 a^{10} + 37 a^{9} + 21 a^{8} + 55 a^{7} + 57 a^{6} + 49 a^{5} + 53 a^{4} + 50 a^{3} + 2 a^{2} + 35 a + 39\right)\cdot 67^{3} + \left(61 a^{14} + 62 a^{13} + 56 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 37 a^{9} + 57 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{6} + 23 a^{5} + 41 a^{4} + 21 a^{3} + 61 a^{2} + 45 a + 65\right)\cdot 67^{4} + \left(13 a^{14} + 58 a^{13} + 53 a^{12} + 21 a^{11} + 66 a^{10} + 21 a^{9} + 55 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 45 a^{3} + 54 a^{2} + 14 a + 53\right)\cdot 67^{5} + \left(30 a^{14} + 30 a^{13} + 62 a^{12} + 46 a^{11} + 26 a^{10} + 42 a^{9} + 56 a^{8} + 37 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 63 a^{4} + 6 a^{3} + 33 a^{2} + 65 a + 29\right)\cdot 67^{6} + \left(7 a^{14} + 45 a^{13} + 47 a^{12} + 50 a^{11} + 36 a^{10} + 33 a^{9} + 59 a^{8} + 51 a^{7} + 11 a^{6} + 28 a^{5} + 39 a^{4} + 64 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 33\right)\cdot 67^{7} + \left(27 a^{14} + 2 a^{13} + 15 a^{12} + 54 a^{11} + 25 a^{10} + 63 a^{9} + a^{8} + 52 a^{7} + 57 a^{6} + 45 a^{5} + 61 a^{4} + 44 a^{3} + 50 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 67^{8} + \left(a^{14} + 3 a^{13} + 51 a^{12} + 9 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 48 a^{8} + 62 a^{7} + a^{5} + 58 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 52 a + 54\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 42 a^{14} + 8 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 51 a^{10} + 56 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 56 a^{5} + 44 a^{4} + 17 a^{3} + 50 a^{2} + 35 a + 21 + \left(31 a^{14} + 47 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{11} + 7 a^{10} + 4 a^{9} + 36 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 56 a^{5} + 55 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 67 + \left(61 a^{14} + 49 a^{13} + 21 a^{12} + 55 a^{11} + 22 a^{10} + 38 a^{9} + 63 a^{8} + 19 a^{7} + 33 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 52 a + 21\right)\cdot 67^{2} + \left(56 a^{14} + 39 a^{13} + 7 a^{12} + 47 a^{11} + 43 a^{10} + 36 a^{9} + 35 a^{8} + 16 a^{7} + 59 a^{6} + 5 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 48 a^{2} + 61 a + 56\right)\cdot 67^{3} + \left(40 a^{14} + 15 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 46 a^{10} + 55 a^{9} + 46 a^{8} + 44 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 64 a + 54\right)\cdot 67^{4} + \left(13 a^{14} + 11 a^{13} + 21 a^{12} + 53 a^{11} + 19 a^{10} + 61 a^{9} + 57 a^{8} + 12 a^{7} + 59 a^{6} + 32 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 26 a + 59\right)\cdot 67^{5} + \left(42 a^{14} + 63 a^{13} + 27 a^{12} + 66 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 48 a^{4} + 65 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 49\right)\cdot 67^{6} + \left(50 a^{14} + 45 a^{13} + 38 a^{12} + 25 a^{11} + 3 a^{10} + 17 a^{9} + 38 a^{8} + 7 a^{7} + 60 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 57 a^{3} + 66 a^{2} + 59 a + 66\right)\cdot 67^{7} + \left(43 a^{14} + 49 a^{12} + 60 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 42 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 62 a^{5} + 53 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 30 a + 55\right)\cdot 67^{8} + \left(42 a^{14} + 39 a^{13} + 35 a^{12} + 4 a^{11} + 48 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 47 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 57 a^{14} + 61 a^{13} + 44 a^{12} + 16 a^{11} + 37 a^{10} + 56 a^{9} + 28 a^{8} + 58 a^{7} + 23 a^{6} + 33 a^{5} + 59 a^{4} + 55 a^{3} + 50 a^{2} + 29 a + 22 + \left(17 a^{14} + 54 a^{13} + 38 a^{12} + 33 a^{11} + 44 a^{10} + 56 a^{9} + 46 a^{8} + 55 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 47 a^{4} + 64 a^{3} + 16 a^{2} + 50 a + 7\right)\cdot 67 + \left(11 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + 64 a^{11} + 10 a^{10} + 58 a^{9} + 56 a^{8} + 40 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 42 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 44 a + 26\right)\cdot 67^{2} + \left(41 a^{14} + 48 a^{13} + 52 a^{12} + 56 a^{11} + 20 a^{10} + 55 a^{9} + 24 a^{8} + 37 a^{7} + 10 a^{6} + 53 a^{5} + 3 a^{4} + 55 a^{3} + 58 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 67^{3} + \left(51 a^{14} + 43 a^{13} + 51 a^{12} + 48 a^{11} + 45 a^{10} + 20 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 31 a^{6} + 34 a^{5} + 27 a^{4} + 37 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 61\right)\cdot 67^{4} + \left(27 a^{14} + 22 a^{13} + 22 a^{12} + 59 a^{11} + 44 a^{10} + 12 a^{9} + 59 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 63 a^{5} + 59 a^{4} + 49 a^{3} + 64 a^{2} + 44 a + 1\right)\cdot 67^{5} + \left(30 a^{14} + 66 a^{13} + 62 a^{12} + 55 a^{11} + 3 a^{10} + 45 a^{9} + 62 a^{8} + 34 a^{7} + 57 a^{6} + 33 a^{5} + 22 a^{4} + 35 a^{3} + 60 a^{2} + a\right)\cdot 67^{6} + \left(14 a^{14} + 57 a^{13} + 2 a^{12} + 61 a^{11} + 18 a^{10} + 3 a^{9} + 52 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 66 a^{3} + 65 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 67^{7} + \left(35 a^{14} + 21 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 63 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 45 a^{2} + 55 a + 44\right)\cdot 67^{8} + \left(2 a^{14} + 42 a^{13} + 30 a^{12} + 48 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 33 a^{8} + 22 a^{7} + 35 a^{6} + 42 a^{5} + 53 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 63 a + 24\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 10 a^{14} + 8 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 56 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 51 a^{2} + 60 a + 40 + \left(14 a^{14} + 60 a^{13} + 61 a^{12} + 31 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 64 a^{4} + 39 a^{3} + 34 a^{2} + 63 a + 37\right)\cdot 67 + \left(9 a^{14} + 55 a^{13} + 49 a^{12} + 58 a^{11} + 31 a^{10} + 57 a^{9} + 31 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 65 a^{5} + 42 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 67^{2} + \left(27 a^{14} + 32 a^{13} + 56 a^{12} + 30 a^{11} + 63 a^{10} + 26 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 46 a^{6} + 19 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 57 a + 38\right)\cdot 67^{3} + \left(48 a^{14} + 13 a^{13} + 42 a^{12} + 39 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 46 a^{8} + 43 a^{7} + 5 a^{6} + 56 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 39 a + 35\right)\cdot 67^{4} + \left(35 a^{14} + 11 a^{13} + 16 a^{12} + 52 a^{11} + 19 a^{10} + 55 a^{9} + 3 a^{8} + 40 a^{7} + 41 a^{6} + 51 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 56 a\right)\cdot 67^{5} + \left(22 a^{14} + 15 a^{13} + 17 a^{12} + 36 a^{11} + 4 a^{10} + 53 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 34 a^{6} + 46 a^{5} + 13 a^{4} + 48 a^{3} + a^{2} + 63 a + 9\right)\cdot 67^{6} + \left(39 a^{14} + 43 a^{13} + 38 a^{12} + 14 a^{11} + 21 a^{10} + 46 a^{9} + 44 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 62 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 38 a^{2} + 53 a + 39\right)\cdot 67^{7} + \left(14 a^{14} + 35 a^{13} + 49 a^{12} + 20 a^{11} + 61 a^{10} + 59 a^{9} + 12 a^{8} + 54 a^{7} + 30 a^{6} + 50 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 55 a^{2} + 8 a + 45\right)\cdot 67^{8} + \left(44 a^{14} + 48 a^{13} + 62 a^{12} + 11 a^{11} + 40 a^{10} + 6 a^{9} + 42 a^{8} + 31 a^{7} + 34 a^{6} + 45 a^{5} + 6 a^{4} + 41 a^{3} + 49 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 47 a^{14} + 25 a^{13} + 6 a^{12} + 33 a^{11} + 8 a^{10} + 30 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 53 a^{4} + 18 a^{3} + 36 a^{2} + 38 a + 40 + \left(65 a^{14} + 8 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 31 a^{10} + 57 a^{9} + 63 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 32 a^{5} + 2 a^{4} + 51 a^{3} + 52 a^{2} + 44 a + 46\right)\cdot 67 + \left(49 a^{14} + 36 a^{13} + 6 a^{12} + 32 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 52 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 46 a^{3} + 24 a^{2} + 57 a + 33\right)\cdot 67^{2} + \left(21 a^{14} + 46 a^{13} + 30 a^{12} + 44 a^{11} + 45 a^{10} + 61 a^{9} + 10 a^{8} + 62 a^{7} + 14 a^{6} + 42 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 62 a^{2} + 20 a + 64\right)\cdot 67^{3} + \left(a^{14} + 59 a^{13} + 60 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{9} + 66 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 34 a^{4} + 11 a^{3} + 48 a^{2} + 30 a + 61\right)\cdot 67^{4} + \left(64 a^{14} + 48 a^{13} + 21 a^{12} + 25 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 40 a^{7} + 40 a^{6} + 47 a^{5} + 27 a^{4} + 61 a^{3} + 29 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 67^{5} + \left(66 a^{14} + 21 a^{13} + 11 a^{12} + 44 a^{11} + 49 a^{10} + 27 a^{9} + 8 a^{8} + 30 a^{7} + 55 a^{6} + 56 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 59 a^{2} + 55 a + 37\right)\cdot 67^{6} + \left(4 a^{14} + 13 a^{13} + 64 a^{12} + 13 a^{11} + 32 a^{10} + 62 a^{9} + 26 a^{8} + 54 a^{7} + 47 a^{6} + 39 a^{5} + 46 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(42 a^{14} + 64 a^{13} + 61 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 15 a^{9} + 31 a^{8} + 49 a^{7} + 62 a^{6} + 20 a^{5} + 56 a^{4} + 49 a^{3} + 55 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 67^{8} + \left(15 a^{14} + 48 a^{13} + 63 a^{12} + 34 a^{11} + 61 a^{10} + 23 a^{9} + 34 a^{8} + 18 a^{7} + 66 a^{6} + 21 a^{5} + 62 a^{4} + 36 a^{3} + 34 a + 34\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 41 a^{14} + 47 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 35 a^{10} + 60 a^{9} + 47 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 62 a^{5} + 53 a^{4} + 12 a^{3} + 60 a^{2} + 42 a + 14 + \left(10 a^{14} + 57 a^{13} + 56 a^{12} + 9 a^{11} + 25 a^{10} + 63 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 66 a^{6} + 52 a^{5} + 51 a^{4} + 61 a^{3} + 35 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 67 + \left(18 a^{14} + 50 a^{13} + 45 a^{12} + 55 a^{11} + 64 a^{10} + 45 a^{9} + 31 a^{8} + 26 a^{7} + 52 a^{6} + 20 a^{5} + 40 a^{3} + 11 a^{2} + 45 a + 28\right)\cdot 67^{2} + \left(27 a^{14} + 44 a^{12} + 53 a^{11} + 55 a^{10} + 28 a^{9} + 40 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 60 a^{3} + 25 a^{2} + 50 a + 47\right)\cdot 67^{3} + \left(13 a^{14} + 12 a^{13} + 37 a^{12} + 5 a^{11} + 39 a^{10} + 52 a^{9} + 57 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 50 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 52 a + 24\right)\cdot 67^{4} + \left(48 a^{14} + 40 a^{13} + 38 a^{12} + 51 a^{11} + 51 a^{10} + 38 a^{9} + 54 a^{8} + 63 a^{7} + 51 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 59 a^{3} + 4 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 67^{5} + \left(27 a^{14} + 8 a^{13} + 35 a^{12} + 15 a^{11} + 60 a^{10} + 52 a^{9} + 39 a^{8} + 51 a^{7} + 59 a^{6} + 57 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 47 a^{2} + 5 a + 43\right)\cdot 67^{6} + \left(26 a^{14} + 28 a^{13} + 34 a^{12} + 22 a^{11} + 50 a^{10} + 66 a^{9} + a^{8} + 49 a^{7} + 59 a^{6} + 43 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 67^{7} + \left(62 a^{14} + 9 a^{13} + 37 a^{12} + 2 a^{11} + 55 a^{10} + 63 a^{9} + 56 a^{8} + 54 a^{7} + 27 a^{6} + 59 a^{5} + 65 a^{4} + 51 a^{3} + 44 a^{2} + 43 a + 53\right)\cdot 67^{8} + \left(25 a^{14} + 23 a^{12} + 25 a^{11} + 52 a^{10} + 34 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 48 a^{2} + 8\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 44 a^{14} + 63 a^{13} + 62 a^{12} + 9 a^{11} + 65 a^{10} + 58 a^{9} + 52 a^{8} + 17 a^{7} + 37 a^{6} + 7 a^{5} + 56 a^{4} + 55 a^{3} + 11 a^{2} + 33 a + 22 + \left(55 a^{14} + 48 a^{13} + 54 a^{12} + 62 a^{11} + 45 a^{10} + 23 a^{9} + 54 a^{8} + 38 a^{7} + 55 a^{6} + 21 a^{5} + 62 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 52 a + 58\right)\cdot 67 + \left(23 a^{14} + 62 a^{13} + 39 a^{12} + 41 a^{11} + 64 a^{10} + 43 a^{9} + 51 a^{8} + 56 a^{7} + 3 a^{6} + 32 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 46 a^{2} + 63 a + 57\right)\cdot 67^{2} + \left(48 a^{14} + 56 a^{13} + 19 a^{12} + 37 a^{11} + 34 a^{10} + 46 a^{9} + 25 a^{8} + 52 a^{7} + 55 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 44 a^{3} + 45 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 67^{3} + \left(21 a^{14} + 42 a^{13} + 59 a^{12} + 62 a^{11} + 66 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 42 a^{7} + 11 a^{6} + 36 a^{5} + 32 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + 56\right)\cdot 67^{4} + \left(58 a^{14} + a^{13} + 10 a^{12} + 32 a^{11} + 65 a^{10} + 31 a^{9} + a^{8} + 43 a^{7} + 65 a^{6} + 38 a^{5} + 41 a^{4} + 54 a^{3} + 50 a^{2} + 43 a + 24\right)\cdot 67^{5} + \left(7 a^{14} + 41 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 19 a^{10} + 56 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 35 a^{4} + 8 a^{3} + 66 a^{2} + 62 a + 43\right)\cdot 67^{6} + \left(43 a^{14} + 37 a^{13} + 31 a^{12} + 42 a^{11} + 15 a^{10} + 61 a^{9} + 37 a^{8} + 52 a^{7} + 3 a^{6} + 49 a^{5} + 8 a^{4} + 39 a^{3} + a^{2} + 63 a + 56\right)\cdot 67^{7} + \left(10 a^{14} + 48 a^{13} + 39 a^{12} + 45 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{7} + 35 a^{6} + 59 a^{5} + 46 a^{4} + 21 a^{3} + 59 a^{2} + 25 a + 66\right)\cdot 67^{8} + \left(48 a^{14} + 34 a^{13} + 9 a^{12} + 9 a^{11} + 40 a^{10} + 33 a^{9} + 43 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 22 a^{5} + 50 a^{4} + 23 a^{3} + 52 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 48 a^{14} + 34 a^{13} + 40 a^{12} + 31 a^{11} + 31 a^{10} + 22 a^{9} + 35 a^{8} + 10 a^{7} + 61 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 2 + \left(33 a^{14} + 56 a^{13} + 14 a^{12} + 44 a^{11} + 52 a^{10} + 34 a^{9} + 40 a^{8} + 45 a^{7} + 54 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 61 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 67 + \left(51 a^{14} + 47 a^{13} + 38 a^{12} + 28 a^{11} + 54 a^{10} + 35 a^{9} + 60 a^{8} + 54 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{4} + 38 a^{3} + 27 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 67^{2} + \left(55 a^{14} + 20 a^{13} + 25 a^{12} + 39 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 49 a^{8} + 37 a^{7} + 58 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 56 a + 29\right)\cdot 67^{3} + \left(9 a^{14} + 62 a^{13} + 16 a^{12} + 46 a^{11} + 40 a^{10} + 9 a^{9} + 56 a^{8} + 30 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 36 a^{3} + 28 a^{2} + 47 a + 35\right)\cdot 67^{4} + \left(16 a^{14} + 7 a^{13} + 55 a^{12} + 62 a^{11} + 54 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 38 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 33 a + 43\right)\cdot 67^{5} + \left(56 a^{14} + 14 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 36 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 62 a^{5} + 19 a^{4} + 61 a^{3} + 22 a^{2}\right)\cdot 67^{6} + \left(66 a^{14} + 41 a^{13} + 3 a^{12} + 35 a^{11} + 41 a^{10} + 12 a^{9} + 59 a^{8} + 42 a^{7} + 18 a^{6} + 64 a^{5} + 45 a^{4} + 5 a^{3} + 31 a^{2} + 21 a + 39\right)\cdot 67^{7} + \left(8 a^{14} + 44 a^{13} + 52 a^{12} + 32 a^{11} + 53 a^{10} + 9 a^{9} + 45 a^{8} + 5 a^{7} + 51 a^{6} + 58 a^{5} + 50 a^{4} + 55 a^{3} + 3 a^{2} + 66 a + 36\right)\cdot 67^{8} + \left(24 a^{14} + 17 a^{13} + 37 a^{12} + 43 a^{11} + 50 a^{10} + 12 a^{9} + 36 a^{8} + 31 a^{7} + 55 a^{6} + 10 a^{5} + 65 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + 51 a^{13} + 12 a^{12} + 49 a^{11} + 51 a^{10} + 51 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 42 a^{5} + 53 a^{4} + 45 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 26 + \left(38 a^{14} + 63 a^{13} + 36 a^{12} + 48 a^{11} + 21 a^{10} + 49 a^{9} + 42 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 67 + \left(a^{14} + 61 a^{13} + 51 a^{12} + 47 a^{11} + 23 a^{10} + 12 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 57 a^{6} + 17 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 67^{2} + \left(53 a^{14} + 50 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + 62 a^{10} + 12 a^{9} + 42 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 36 a^{4} + 41 a^{3} + 42 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 67^{3} + \left(46 a^{14} + 57 a^{13} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + 31 a^{10} + 44 a^{9} + 51 a^{8} + 24 a^{7} + 51 a^{6} + 51 a^{5} + 56 a^{4} + 31 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 44\right)\cdot 67^{4} + \left(61 a^{14} + 32 a^{13} + 61 a^{12} + 50 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 36 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 50 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 64 a + 41\right)\cdot 67^{5} + \left(30 a^{14} + 35 a^{13} + 25 a^{12} + 7 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 35 a^{8} + 10 a^{7} + 58 a^{6} + 47 a^{5} + 29 a^{4} + 40 a^{3} + 34 a^{2} + 49 a + 6\right)\cdot 67^{6} + \left(13 a^{14} + 17 a^{13} + 49 a^{12} + 3 a^{11} + 39 a^{10} + 61 a^{9} + 8 a^{8} + 33 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 54 a^{4} + 66 a^{3} + 32 a^{2} + 66 a + 57\right)\cdot 67^{7} + \left(48 a^{14} + 52 a^{13} + 61 a^{12} + 46 a^{11} + 64 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{3} + 61 a^{2} + 12 a + 46\right)\cdot 67^{8} + \left(22 a^{14} + 24 a^{13} + 6 a^{12} + 45 a^{11} + 63 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 46 a^{7} + 66 a^{6} + 41 a^{5} + 16 a^{4} + 60 a^{3} + 45 a^{2} + 64 a + 10\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 6 a^{14} + 34 a^{13} + 7 a^{12} + 37 a^{11} + 37 a^{10} + 50 a^{9} + 46 a^{8} + 52 a^{7} + 50 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 63 a^{3} + 63 a^{2} + 50 a + 7 + \left(30 a^{14} + 28 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 12 a^{10} + 49 a^{9} + 4 a^{8} + 42 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 65 a^{4} + 11 a^{3} + 35 a^{2} + 5 a + 55\right)\cdot 67 + \left(27 a^{14} + 29 a^{13} + 28 a^{12} + 64 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 47 a^{4} + 64 a^{3} + 39 a^{2} + 3 a + 44\right)\cdot 67^{2} + \left(26 a^{14} + 57 a^{13} + 19 a^{12} + 29 a^{11} + 65 a^{10} + 9 a^{9} + 31 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 47 a^{5} + 50 a^{4} + 39 a^{3} + 37 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 67^{3} + \left(36 a^{14} + 5 a^{13} + 65 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 48 a^{8} + 5 a^{7} + 52 a^{6} + 50 a^{5} + 26 a^{4} + 31 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 67^{4} + \left(8 a^{14} + 56 a^{13} + 56 a^{12} + 56 a^{11} + 29 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 32 a^{7} + 64 a^{6} + 33 a^{5} + 63 a^{4} + 54 a^{3} + 43 a^{2} + 32 a + 65\right)\cdot 67^{5} + \left(33 a^{14} + 13 a^{13} + 15 a^{12} + 23 a^{11} + 45 a^{10} + 55 a^{9} + 61 a^{8} + 63 a^{7} + 31 a^{6} + 33 a^{5} + 16 a^{4} + 33 a^{3} + 42 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 67^{6} + \left(28 a^{14} + 13 a^{13} + 49 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{9} + 49 a^{8} + 3 a^{7} + 29 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 38 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 51\right)\cdot 67^{7} + \left(49 a^{14} + 11 a^{13} + 66 a^{12} + 24 a^{11} + 19 a^{10} + 60 a^{9} + 49 a^{8} + 17 a^{7} + 33 a^{6} + 15 a^{5} + 50 a^{4} + 15 a^{3} + 35 a^{2} + 20 a + 55\right)\cdot 67^{8} + \left(59 a^{14} + 57 a^{13} + 57 a^{12} + 34 a^{11} + 6 a^{10} + 47 a^{9} + 52 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 59 a^{4} + 4 a^{3} + 65 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 57 a^{14} + 45 a^{13} + 36 a^{12} + 4 a^{11} + 34 a^{10} + 8 a^{9} + 44 a^{8} + 31 a^{7} + 44 a^{6} + 21 a^{5} + 50 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 49 a + 20 + \left(60 a^{14} + 35 a^{13} + 65 a^{12} + 65 a^{11} + 47 a^{10} + 25 a^{9} + 19 a^{8} + 46 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 51 a^{4} + 45 a^{3} + 66 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 67 + \left(32 a^{14} + 30 a^{13} + 35 a^{12} + 59 a^{11} + 24 a^{10} + 4 a^{9} + 43 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 50 a^{2} + 60 a + 23\right)\cdot 67^{2} + \left(4 a^{14} + 26 a^{13} + 46 a^{12} + 37 a^{11} + 15 a^{10} + 59 a^{9} + 41 a^{8} + 41 a^{7} + 46 a^{6} + 41 a^{5} + 27 a^{4} + 57 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 67^{3} + \left(53 a^{14} + 12 a^{13} + 3 a^{12} + 36 a^{11} + 48 a^{10} + 20 a^{9} + 45 a^{8} + 66 a^{7} + 34 a^{6} + 46 a^{5} + 27 a^{4} + 41 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 57\right)\cdot 67^{4} + \left(34 a^{14} + 26 a^{12} + 62 a^{11} + 35 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 23 a^{7} + 58 a^{6} + 49 a^{5} + 2 a^{4} + 58 a^{3} + 55 a^{2} + 40 a + 61\right)\cdot 67^{5} + \left(26 a^{14} + 66 a^{13} + 42 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 66 a^{9} + 57 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 39 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 41 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 67^{6} + \left(16 a^{14} + 55 a^{13} + 31 a^{12} + 12 a^{11} + 46 a^{10} + 61 a^{9} + 59 a^{8} + a^{7} + 46 a^{6} + 47 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 53 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(37 a^{13} + 49 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 52 a^{7} + 17 a^{6} + 60 a^{5} + 62 a^{4} + 9 a^{3} + 33 a^{2} + 47 a + 19\right)\cdot 67^{8} + \left(63 a^{14} + 38 a^{13} + 54 a^{12} + 42 a^{11} + 25 a^{10} + 44 a^{9} + 17 a^{8} + 32 a^{7} + 23 a^{6} + 2 a^{5} + 45 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 44 a^{14} + 5 a^{13} + 40 a^{12} + 12 a^{11} + 4 a^{8} + 34 a^{7} + 64 a^{6} + 52 a^{5} + 57 a^{4} + 42 a^{3} + 25 a^{2} + 46 a + 58 + \left(12 a^{14} + 8 a^{13} + 48 a^{12} + 38 a^{11} + 59 a^{10} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 50 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 37 a + 53\right)\cdot 67 + \left(20 a^{14} + 35 a^{13} + 12 a^{12} + 32 a^{11} + 40 a^{10} + 27 a^{9} + 29 a^{8} + 23 a^{7} + 36 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 38 a^{3} + 57 a^{2} + 32 a + 65\right)\cdot 67^{2} + \left(4 a^{14} + 41 a^{13} + 49 a^{12} + 22 a^{11} + 62 a^{10} + 13 a^{9} + 58 a^{8} + 34 a^{7} + 50 a^{6} + 43 a^{5} + 13 a^{4} + 59 a^{3} + 53 a + 7\right)\cdot 67^{3} + \left(49 a^{14} + 26 a^{13} + 39 a^{12} + 9 a^{11} + 44 a^{10} + 62 a^{9} + 52 a^{8} + 33 a^{7} + 48 a^{6} + 66 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 59 a^{2} + 62 a + 58\right)\cdot 67^{4} + \left(26 a^{14} + 29 a^{13} + 65 a^{12} + 21 a^{11} + 43 a^{10} + 44 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 62 a^{5} + 35 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 67^{5} + \left(3 a^{14} + 50 a^{13} + 10 a^{12} + 14 a^{11} + 40 a^{10} + 58 a^{9} + 28 a^{8} + 58 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 50 a^{4} + 21 a^{3} + 35 a^{2} + 2 a + 59\right)\cdot 67^{6} + \left(52 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 57 a^{10} + 57 a^{9} + 54 a^{8} + 49 a^{7} + 51 a^{6} + 60 a^{5} + 62 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 43 a + 28\right)\cdot 67^{7} + \left(47 a^{14} + 34 a^{13} + 34 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 64 a^{8} + 37 a^{7} + 52 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 54 a^{3} + 24 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 67^{8} + \left(46 a^{14} + 43 a^{13} + 25 a^{12} + 50 a^{11} + 49 a^{10} + 18 a^{9} + 64 a^{8} + 11 a^{7} + 62 a^{6} + 64 a^{5} + 60 a^{4} + 44 a^{3} + 63 a^{2} + a + 31\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 59 a^{14} + 18 a^{13} + 66 a^{12} + 61 a^{11} + 47 a^{10} + 25 a^{9} + 2 a^{8} + 55 a^{7} + 7 a^{6} + 39 a^{4} + 57 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 21 + \left(32 a^{14} + 20 a^{13} + 55 a^{12} + 54 a^{11} + 49 a^{10} + 63 a^{9} + 58 a^{8} + 33 a^{7} + 47 a^{6} + 62 a^{5} + 32 a^{4} + 42 a^{3} + 40 a^{2} + 5 a + 57\right)\cdot 67 + \left(40 a^{14} + 15 a^{13} + 31 a^{12} + 60 a^{11} + 31 a^{10} + 51 a^{9} + 58 a^{8} + 45 a^{7} + 19 a^{6} + 39 a^{5} + 15 a^{4} + 45 a^{3} + 37 a^{2} + 54 a + 66\right)\cdot 67^{2} + \left(14 a^{14} + 9 a^{13} + 36 a^{12} + 29 a^{11} + 46 a^{10} + 50 a^{9} + 26 a^{8} + 61 a^{7} + 56 a^{6} + 5 a^{5} + 57 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 67^{3} + \left(19 a^{14} + 40 a^{13} + a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 43 a^{9} + 16 a^{8} + 32 a^{7} + a^{6} + 50 a^{5} + 59 a^{4} + 65 a^{3} + 49 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 67^{4} + \left(17 a^{14} + 15 a^{13} + 55 a^{12} + 11 a^{11} + 35 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 59 a^{6} + 59 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 31 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 67^{5} + \left(61 a^{14} + 43 a^{13} + 12 a^{12} + 40 a^{11} + 7 a^{10} + 48 a^{9} + 43 a^{8} + 11 a^{7} + 56 a^{6} + 56 a^{5} + 3 a^{4} + 41 a^{3} + 17 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 67^{6} + \left(41 a^{14} + 36 a^{13} + 37 a^{12} + 15 a^{11} + 65 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 40 a^{5} + 52 a^{4} + 16 a^{3} + 54 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 67^{7} + \left(32 a^{14} + 29 a^{13} + 37 a^{12} + 29 a^{11} + 33 a^{10} + 31 a^{9} + 44 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 63 a^{4} + 15 a^{3} + 44 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 67^{8} + \left(16 a^{14} + 65 a^{13} + 6 a^{12} + 32 a^{11} + 59 a^{10} + 46 a^{9} + 8 a^{8} + 47 a^{7} + 57 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 61 a^{2} + 60 a + 9\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 16 a^{14} + 41 a^{13} + 33 a^{12} + 31 a^{11} + 51 a^{10} + 35 a^{9} + 46 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{3} + 65 a^{2} + 45 a + 25 + \left(19 a^{14} + 16 a^{13} + 60 a^{12} + 7 a^{11} + 59 a^{10} + 35 a^{9} + 40 a^{8} + 51 a^{7} + 57 a^{6} + 65 a^{5} + 51 a^{4} + 49 a^{3} + 5 a^{2} + 49 a + 48\right)\cdot 67 + \left(42 a^{14} + 32 a^{13} + 65 a^{12} + 61 a^{11} + a^{10} + 3 a^{8} + 61 a^{7} + 29 a^{6} + 2 a^{5} + 50 a^{4} + 29 a^{3} + 54 a^{2} + 46 a + 31\right)\cdot 67^{2} + \left(9 a^{14} + 23 a^{13} + 64 a^{12} + 30 a^{11} + 3 a^{10} + 34 a^{9} + 19 a^{8} + 64 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 55 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 67^{3} + \left(26 a^{14} + 30 a^{13} + 45 a^{12} + 47 a^{11} + 40 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 54 a^{7} + 49 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 52 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 67^{4} + \left(51 a^{14} + 45 a^{13} + 56 a^{12} + 47 a^{11} + 59 a^{10} + 64 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 40 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 62 a^{2} + 59 a + 15\right)\cdot 67^{5} + \left(3 a^{14} + 15 a^{13} + 53 a^{12} + 32 a^{11} + 44 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 60 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 39 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 67^{6} + \left(34 a^{14} + 40 a^{13} + 62 a^{12} + 53 a^{11} + 34 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 34 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 54 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 60\right)\cdot 67^{7} + \left(a^{14} + 2 a^{13} + 59 a^{12} + 55 a^{11} + 56 a^{10} + 41 a^{9} + 44 a^{8} + 38 a^{7} + 58 a^{6} + 28 a^{5} + 54 a^{4} + 37 a^{3} + 38 a^{2} + 62 a + 6\right)\cdot 67^{8} + \left(44 a^{14} + 55 a^{13} + 13 a^{12} + 6 a^{11} + 7 a^{10} + 14 a^{9} + 55 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 33 a^{5} + 2 a^{4} + 37 a^{3} + 50 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 13 a^{13} + 65 a^{12} + 59 a^{11} + 32 a^{10} + 29 a^{9} + a^{8} + 50 a^{7} + 29 a^{6} + 47 a^{5} + 43 a^{4} + 39 a^{3} + 42 a^{2} + 55 a + 9 + \left(3 a^{14} + 5 a^{13} + 49 a^{12} + 16 a^{11} + 64 a^{10} + 11 a^{9} + 53 a^{8} + 65 a^{7} + 62 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 45 a^{3} + 29 a^{2} + 38 a + 32\right)\cdot 67 + \left(53 a^{14} + 24 a^{13} + 35 a^{12} + 24 a^{11} + 43 a^{10} + 58 a^{9} + 38 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 40 a^{4} + 61 a^{3} + 43 a^{2} + 3 a + 60\right)\cdot 67^{2} + \left(39 a^{14} + 20 a^{13} + 19 a^{12} + 43 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 56 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 60 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 60 a^{2} + 50 a + 5\right)\cdot 67^{3} + \left(53 a^{14} + 5 a^{13} + a^{12} + 40 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 30 a^{7} + 39 a^{6} + 23 a^{5} + 54 a^{4} + 8 a^{3} + 41 a^{2} + 8 a\right)\cdot 67^{4} + \left(45 a^{14} + 42 a^{13} + 39 a^{12} + 39 a^{11} + 65 a^{10} + 27 a^{9} + 8 a^{8} + 43 a^{7} + 56 a^{6} + 51 a^{5} + 27 a^{4} + 40 a^{3} + 34 a^{2} + 7 a + 59\right)\cdot 67^{5} + \left(49 a^{14} + 14 a^{13} + 65 a^{12} + 36 a^{11} + 35 a^{10} + 19 a^{9} + 51 a^{8} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 55 a^{3} + 45 a^{2} + 37 a + 64\right)\cdot 67^{6} + \left(45 a^{14} + 20 a^{13} + 32 a^{12} + 66 a^{11} + 56 a^{10} + 33 a^{9} + 49 a^{8} + 28 a^{7} + 29 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 37 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 67^{7} + \left(43 a^{14} + 23 a^{13} + 20 a^{12} + 51 a^{11} + 33 a^{10} + 45 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 55 a^{6} + 58 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 67^{8} + \left(26 a^{14} + 27 a^{13} + 20 a^{12} + 32 a^{11} + 34 a^{10} + 58 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 59 a^{4} + 44 a^{3} + 40 a^{2} + 40 a + 57\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 44 a^{14} + 14 a^{13} + 63 a^{12} + 41 a^{11} + 31 a^{10} + 32 a^{9} + 33 a^{8} + 19 a^{7} + 41 a^{6} + 12 a^{5} + 31 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 58 a + 55 + \left(31 a^{14} + 24 a^{13} + 21 a^{12} + 58 a^{11} + 37 a^{10} + a^{9} + 44 a^{8} + 4 a^{7} + 56 a^{5} + 3 a^{4} + 66 a^{3} + 46 a^{2} + 38 a + 58\right)\cdot 67 + \left(41 a^{14} + 32 a^{13} + 64 a^{12} + 50 a^{11} + 53 a^{10} + 66 a^{9} + 45 a^{8} + 63 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 38 a^{4} + 47 a^{3} + 42 a^{2} + 48 a + 17\right)\cdot 67^{2} + \left(a^{14} + 41 a^{13} + 38 a^{12} + 52 a^{11} + 37 a^{10} + a^{9} + 50 a^{8} + 20 a^{7} + 31 a^{6} + 34 a^{5} + 65 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 67^{3} + \left(57 a^{14} + 64 a^{13} + 64 a^{12} + 33 a^{11} + 21 a^{10} + 36 a^{9} + 26 a^{8} + 54 a^{7} + 22 a^{6} + 43 a^{5} + 43 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 67^{4} + \left(34 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 52 a^{11} + 55 a^{10} + 51 a^{9} + 13 a^{8} + 30 a^{7} + 47 a^{6} + 56 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 67^{5} + \left(16 a^{14} + 25 a^{13} + 57 a^{12} + 54 a^{11} + 64 a^{10} + 56 a^{9} + 66 a^{8} + 6 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 54 a + 35\right)\cdot 67^{6} + \left(24 a^{13} + 38 a^{12} + 23 a^{11} + 45 a^{10} + 35 a^{9} + 29 a^{8} + 6 a^{7} + 33 a^{6} + 7 a^{5} + 51 a^{4} + 14 a^{3} + 57 a^{2} + 65 a + 39\right)\cdot 67^{7} + \left(32 a^{14} + 38 a^{13} + 29 a^{12} + 40 a^{11} + 24 a^{10} + 12 a^{9} + 40 a^{8} + 5 a^{7} + 56 a^{6} + 45 a^{5} + 33 a^{4} + 16 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 59\right)\cdot 67^{8} + \left(59 a^{14} + 33 a^{13} + 41 a^{12} + 48 a^{11} + 40 a^{10} + 4 a^{9} + 28 a^{8} + 62 a^{7} + 8 a^{6} + 62 a^{5} + 63 a^{4} + 61 a^{3} + 35 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + a^{13} + 44 a^{12} + 5 a^{11} + 39 a^{10} + 37 a^{9} + 25 a^{8} + 46 a^{7} + 17 a^{6} + 41 a^{5} + 14 a^{4} + 58 a^{3} + 52 a^{2} + 48 a + 48 + \left(56 a^{14} + 12 a^{13} + 47 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 30 a^{9} + 62 a^{8} + 49 a^{7} + 62 a^{5} + 9 a^{4} + 45 a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 67 + \left(61 a^{14} + 64 a^{13} + 35 a^{12} + 19 a^{11} + 60 a^{10} + 13 a^{9} + 33 a^{8} + 47 a^{7} + 19 a^{6} + 60 a^{5} + 64 a^{4} + 38 a^{3} + 41 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 67^{2} + \left(66 a^{14} + 65 a^{13} + 5 a^{12} + 30 a^{11} + 59 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 38 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 48 a^{4} + 64 a^{3} + 48 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 67^{3} + \left(20 a^{14} + 8 a^{13} + 66 a^{12} + 51 a^{11} + 12 a^{10} + 23 a^{9} + 37 a^{8} + 5 a^{7} + 56 a^{6} + 23 a^{5} + 62 a^{4} + 59 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 67^{4} + \left(58 a^{14} + 38 a^{13} + 13 a^{12} + 30 a^{11} + 41 a^{10} + 55 a^{9} + 53 a^{8} + 65 a^{6} + 46 a^{5} + 14 a^{4} + 45 a^{3} + 23 a^{2} + 60 a + 60\right)\cdot 67^{5} + \left(15 a^{14} + 21 a^{13} + 6 a^{12} + 66 a^{11} + 9 a^{10} + 58 a^{9} + 48 a^{8} + 59 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 56 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 67^{6} + \left(48 a^{14} + 50 a^{13} + 8 a^{12} + 63 a^{11} + 64 a^{10} + 54 a^{9} + 43 a^{8} + 28 a^{7} + 38 a^{6} + 13 a^{5} + 57 a^{4} + 26 a^{2} + a + 10\right)\cdot 67^{7} + \left(48 a^{14} + 30 a^{13} + 33 a^{12} + 34 a^{11} + 31 a^{10} + 2 a^{9} + 19 a^{8} + 45 a^{7} + 62 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 49 a^{3} + 52 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 67^{8} + \left(47 a^{14} + 59 a^{13} + 32 a^{12} + 40 a^{11} + 45 a^{10} + 23 a^{9} + 64 a^{8} + 42 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 37 a^{4} + 32 a^{3} + 38 a^{2} + 65 a + 66\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 60 a^{14} + 13 a^{13} + 62 a^{12} + a^{11} + 49 a^{10} + 13 a^{9} + 63 a^{8} + 53 a^{7} + 50 a^{6} + 31 a^{5} + 15 a^{4} + 33 a^{3} + 58 a^{2} + 11 a + 1 + \left(39 a^{14} + 18 a^{13} + 22 a^{12} + 13 a^{11} + 52 a^{10} + 44 a^{9} + 55 a^{8} + 59 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 38 a^{4} + 66 a^{3} + 45 a^{2} + 15\right)\cdot 67 + \left(36 a^{14} + 24 a^{13} + 39 a^{12} + 17 a^{11} + 41 a^{10} + 51 a^{9} + 62 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 33 a^{5} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 67^{2} + \left(45 a^{14} + 60 a^{13} + 35 a^{11} + 36 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 43 a^{6} + 42 a^{5} + 35 a^{4} + 32 a^{3} + 51 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 67^{3} + \left(10 a^{14} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 43 a^{11} + 3 a^{10} + 35 a^{9} + 54 a^{8} + 44 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 34 a^{4} + 44 a^{3} + 49 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 67^{4} + \left(9 a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 34 a^{11} + 37 a^{10} + 59 a^{9} + 10 a^{8} + 31 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 46 a^{4} + 40 a^{3} + a^{2} + 36 a + 54\right)\cdot 67^{5} + \left(58 a^{14} + 35 a^{13} + 66 a^{12} + 40 a^{11} + 43 a^{10} + a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 57 a^{6} + 47 a^{5} + 39 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 67^{6} + \left(35 a^{14} + 39 a^{13} + 14 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 14 a^{9} + 42 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 65 a^{3} + 38 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 67^{7} + \left(59 a^{14} + 49 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{11} + 66 a^{10} + 31 a^{9} + 27 a^{8} + 48 a^{7} + 29 a^{6} + 65 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 41 a + 48\right)\cdot 67^{8} + \left(19 a^{14} + 2 a^{13} + 10 a^{12} + 18 a^{11} + 64 a^{10} + 14 a^{9} + 50 a^{8} + 62 a^{7} + 52 a^{6} + 40 a^{5} + 45 a^{4} + 18 a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 25 a^{14} + 58 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 50 a^{10} + 51 a^{9} + 60 a^{8} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 62 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 34 + \left(57 a^{14} + 59 a^{13} + 64 a^{12} + 9 a^{11} + 60 a^{10} + 51 a^{9} + 14 a^{8} + 51 a^{7} + 29 a^{6} + 35 a^{5} + 42 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 67 + \left(12 a^{14} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 56 a^{9} + 63 a^{8} + 56 a^{7} + 60 a^{6} + 43 a^{5} + 19 a^{4} + 51 a^{3} + 20 a^{2} + 45 a + 51\right)\cdot 67^{2} + \left(50 a^{14} + 3 a^{13} + 54 a^{12} + 62 a^{11} + 39 a^{10} + 8 a^{8} + 31 a^{7} + 38 a^{6} + 44 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 67^{3} + \left(41 a^{14} + 59 a^{13} + 39 a^{12} + 58 a^{11} + 43 a^{10} + 44 a^{9} + 52 a^{8} + 31 a^{7} + 27 a^{6} + 46 a^{5} + 55 a^{4} + 30 a^{3} + 51 a + 44\right)\cdot 67^{4} + \left(57 a^{14} + 48 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 47 a^{10} + 31 a^{9} + 51 a^{8} + 19 a^{7} + 24 a^{6} + 52 a^{5} + 45 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 67^{5} + \left(43 a^{14} + 39 a^{13} + 66 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 38 a^{9} + 51 a^{8} + 62 a^{7} + 66 a^{6} + 58 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 56 a + 36\right)\cdot 67^{6} + \left(7 a^{14} + 17 a^{13} + 53 a^{12} + 27 a^{11} + 42 a^{10} + 55 a^{9} + 31 a^{8} + 62 a^{7} + 63 a^{6} + 23 a^{5} + 66 a^{4} + 2 a^{3} + 66 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 67^{7} + \left(57 a^{14} + 64 a^{13} + 49 a^{12} + 31 a^{11} + 33 a^{10} + 50 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 54 a^{6} + 10 a^{5} + 31 a^{4} + 39 a^{3} + 25 a^{2} + 66 a + 56\right)\cdot 67^{8} + \left(40 a^{14} + 16 a^{13} + 17 a^{12} + 39 a^{11} + 64 a^{10} + 29 a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 31 a^{4} + 36 a^{3} + 42 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 34 a^{13} + 7 a^{12} + 35 a^{11} + 12 a^{10} + 45 a^{9} + 58 a^{8} + 57 a^{7} + 45 a^{6} + 62 a^{5} + 24 a^{4} + 47 a^{3} + 53 a^{2} + 29 a + 46 + \left(15 a^{14} + a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 27 a^{8} + 32 a^{7} + 25 a^{6} + 39 a^{5} + 66 a^{4} + 34 a^{3} + 63 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 67 + \left(13 a^{14} + 55 a^{13} + 33 a^{12} + 38 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 64 a^{8} + 33 a^{7} + 43 a^{6} + 59 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 49 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 67^{2} + \left(27 a^{14} + 24 a^{13} + 36 a^{12} + 11 a^{11} + 35 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 42 a^{3} + 29 a^{2} + 56 a + 6\right)\cdot 67^{3} + \left(28 a^{14} + 38 a^{13} + 56 a^{12} + 25 a^{11} + 50 a^{10} + 14 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 52 a^{3} + 35 a^{2} + 47 a + 44\right)\cdot 67^{4} + \left(20 a^{14} + 28 a^{13} + 46 a^{12} + 36 a^{11} + 53 a^{10} + 14 a^{9} + 60 a^{8} + 54 a^{7} + 36 a^{6} + 31 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 44 a + 12\right)\cdot 67^{5} + \left(55 a^{14} + 10 a^{13} + 47 a^{12} + 59 a^{11} + 56 a^{10} + 60 a^{9} + 34 a^{8} + 31 a^{7} + 56 a^{6} + 31 a^{5} + 61 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 67^{6} + \left(26 a^{14} + 13 a^{13} + 64 a^{12} + 44 a^{11} + 49 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 49 a^{7} + 22 a^{6} + 36 a^{5} + 4 a^{4} + 41 a^{3} + 22 a^{2} + 53 a + 48\right)\cdot 67^{7} + \left(30 a^{14} + 23 a^{13} + 63 a^{12} + 55 a^{11} + 7 a^{10} + 52 a^{9} + 30 a^{8} + 50 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 67^{8} + \left(2 a^{14} + 51 a^{13} + 50 a^{12} + 13 a^{11} + 63 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 50 a^{7} + 53 a^{6} + 4 a^{5} + 54 a^{4} + 38 a^{3} + 45 a^{2} + 23 a + 33\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 4 a^{14} + 62 a^{12} + 59 a^{11} + 14 a^{10} + 49 a^{9} + 24 a^{8} + 44 a^{7} + 23 a^{6} + 57 a^{5} + 58 a^{4} + 28 a^{3} + 65 a^{2} + 44 a + 52 + \left(37 a^{14} + 5 a^{13} + 13 a^{12} + 32 a^{11} + 63 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 36 a^{7} + 60 a^{6} + 8 a^{5} + 63 a^{4} + 57 a^{3} + 29 a^{2} + 50 a + 35\right)\cdot 67 + \left(42 a^{14} + 29 a^{13} + 52 a^{12} + 2 a^{11} + 29 a^{10} + 34 a^{9} + 32 a^{8} + 59 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 62 a^{4} + 47 a^{3} + 22 a^{2} + 45 a + 61\right)\cdot 67^{2} + \left(22 a^{14} + 16 a^{13} + 48 a^{12} + 32 a^{11} + 59 a^{10} + 34 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 65 a^{6} + 62 a^{5} + 64 a^{4} + 40 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 50\right)\cdot 67^{3} + \left(48 a^{14} + 61 a^{13} + 46 a^{12} + 44 a^{11} + 21 a^{10} + 38 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 46 a^{6} + 58 a^{5} + 21 a^{4} + 58 a^{3} + 14 a^{2} + 65 a + 29\right)\cdot 67^{4} + \left(25 a^{14} + 53 a^{13} + 37 a^{12} + 57 a^{11} + a^{10} + 64 a^{9} + 59 a^{8} + 29 a^{7} + 46 a^{6} + 54 a^{5} + 18 a^{4} + 44 a^{3} + 60 a^{2} + 58 a + 40\right)\cdot 67^{5} + \left(25 a^{14} + 40 a^{13} + 60 a^{12} + 46 a^{11} + 36 a^{10} + 51 a^{9} + 36 a^{8} + 51 a^{7} + 44 a^{6} + 20 a^{5} + 62 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 43 a + 52\right)\cdot 67^{6} + \left(50 a^{14} + 9 a^{13} + 55 a^{12} + 8 a^{11} + 41 a^{10} + 47 a^{8} + 61 a^{4} + 46 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 67^{7} + \left(55 a^{14} + 2 a^{13} + 38 a^{12} + 37 a^{11} + 19 a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 41 a^{7} + 55 a^{6} + 41 a^{5} + 26 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 50 a + 51\right)\cdot 67^{8} + \left(45 a^{14} + 39 a^{13} + 58 a^{12} + 50 a^{11} + 37 a^{10} + 20 a^{9} + 37 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 34 a^{4} + 52 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 39 a^{14} + 36 a^{13} + 60 a^{12} + 62 a^{11} + 24 a^{10} + 48 a^{9} + 5 a^{8} + 57 a^{7} + 43 a^{6} + 34 a^{5} + 26 a^{4} + 59 a^{3} + 20 a^{2} + 42 a + 58 + \left(37 a^{14} + 53 a^{13} + 14 a^{12} + 53 a^{11} + 34 a^{10} + 65 a^{9} + 8 a^{8} + 66 a^{7} + 57 a^{6} + 4 a^{5} + 51 a^{4} + 7 a^{3} + 37 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 67 + \left(4 a^{14} + 39 a^{13} + 62 a^{12} + 45 a^{11} + 4 a^{10} + 40 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 43 a^{3} + 47 a^{2} + 27 a + 43\right)\cdot 67^{2} + \left(62 a^{14} + 44 a^{13} + 8 a^{12} + 5 a^{11} + 57 a^{10} + 56 a^{9} + 43 a^{8} + 9 a^{7} + 47 a^{6} + 2 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{3} + 56 a^{2} + 53 a + 45\right)\cdot 67^{3} + \left(34 a^{14} + 10 a^{13} + 20 a^{12} + 34 a^{11} + 41 a^{10} + 13 a^{9} + 36 a^{8} + 55 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 39 a^{4} + 52 a^{3} + 31 a^{2} + 54 a + 28\right)\cdot 67^{4} + \left(20 a^{14} + 43 a^{13} + 12 a^{12} + 26 a^{11} + 49 a^{10} + 57 a^{9} + 14 a^{8} + 66 a^{7} + 66 a^{6} + 16 a^{5} + 43 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 31 a + 49\right)\cdot 67^{5} + \left(a^{14} + 49 a^{13} + 4 a^{12} + 56 a^{11} + 42 a^{10} + 7 a^{9} + 45 a^{8} + 65 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 65 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 58 a + 61\right)\cdot 67^{6} + \left(50 a^{14} + 57 a^{13} + 47 a^{12} + 43 a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + 48 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 65 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 50 a + 42\right)\cdot 67^{7} + \left(3 a^{14} + 26 a^{13} + 62 a^{12} + 49 a^{11} + 21 a^{10} + 37 a^{9} + 24 a^{8} + 39 a^{7} + 6 a^{6} + 37 a^{5} + 30 a^{4} + 57 a^{3} + 18 a^{2} + 47 a + 37\right)\cdot 67^{8} + \left(9 a^{14} + 27 a^{13} + 14 a^{12} + 15 a^{11} + 34 a^{10} + 20 a^{9} + 51 a^{8} + 64 a^{7} + 64 a^{6} + 31 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 34 a^{2} + 64 a + 10\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 52 a^{14} + 32 a^{13} + a^{12} + 51 a^{11} + 32 a^{10} + 52 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 45 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 5 + \left(12 a^{13} + 58 a^{12} + 50 a^{11} + 39 a^{10} + 45 a^{9} + 5 a^{8} + 63 a^{7} + 62 a^{6} + 32 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 67 + \left(58 a^{14} + 31 a^{13} + 13 a^{12} + 30 a^{11} + 47 a^{10} + 34 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 42 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 39 a^{2} + a + 1\right)\cdot 67^{2} + \left(65 a^{14} + 57 a^{13} + 8 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 45 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 39 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 67^{3} + \left(34 a^{14} + 8 a^{13} + 54 a^{12} + 22 a^{11} + 28 a^{10} + 18 a^{9} + 62 a^{8} + 43 a^{7} + 35 a^{6} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 53 a^{3} + 14 a^{2} + 60 a + 17\right)\cdot 67^{4} + \left(44 a^{14} + 24 a^{13} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 38 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 36 a^{7} + 56 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 56 a^{2} + 5 a + 54\right)\cdot 67^{5} + \left(25 a^{14} + 54 a^{13} + 33 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 46 a^{8} + 20 a^{7} + 38 a^{6} + 49 a^{5} + 62 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 67^{6} + \left(51 a^{14} + 5 a^{13} + 14 a^{12} + 24 a^{11} + 6 a^{10} + 63 a^{9} + 54 a^{8} + 34 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 58 a^{3} + 63 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 67^{7} + \left(17 a^{14} + 59 a^{13} + 50 a^{12} + 34 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 36 a^{8} + 58 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 67^{8} + \left(3 a^{14} + 60 a^{13} + 61 a^{12} + 5 a^{11} + 55 a^{9} + 54 a^{8} + 66 a^{7} + 19 a^{6} + 47 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 46 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
| $r_{ 30 }$ | $=$ |
\( 37 a^{14} + 55 a^{13} + 60 a^{12} + 66 a^{11} + 65 a^{10} + 39 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 49 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 49 a^{2} + 25 a + 39 + \left(26 a^{14} + 12 a^{13} + 62 a^{12} + 62 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 61 a^{8} + 24 a^{7} + 59 a^{6} + 41 a^{5} + 44 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 67 + \left(59 a^{14} + 47 a^{13} + 47 a^{12} + 44 a^{11} + 4 a^{10} + 56 a^{9} + 31 a^{8} + 21 a^{7} + 52 a^{6} + 58 a^{5} + 29 a^{4} + 13 a^{3} + 61 a^{2} + 49 a + 36\right)\cdot 67^{2} + \left(49 a^{14} + 40 a^{13} + 20 a^{12} + 46 a^{11} + 13 a^{10} + 66 a^{9} + 50 a^{8} + 29 a^{7} + 35 a^{6} + 52 a^{5} + a^{3} + 44 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 67^{3} + \left(24 a^{14} + 52 a^{13} + 33 a^{12} + 19 a^{11} + 4 a^{10} + 15 a^{9} + 29 a^{8} + 55 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 45 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 39 a + 49\right)\cdot 67^{4} + \left(26 a^{14} + 17 a^{13} + 45 a^{12} + 14 a^{11} + 58 a^{10} + 7 a^{9} + 49 a^{8} + 53 a^{7} + 50 a^{6} + 53 a^{5} + 49 a^{4} + a^{3} + 55 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 67^{5} + \left(42 a^{14} + 13 a^{13} + 30 a^{12} + 40 a^{11} + 39 a^{10} + 35 a^{9} + 61 a^{8} + 45 a^{7} + 30 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 52 a^{2} + 3 a + 66\right)\cdot 67^{6} + \left(8 a^{14} + 11 a^{13} + 64 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 32 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 64 a^{6} + 33 a^{5} + 46 a^{4} + 60 a^{3} + 36 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 67^{7} + \left(33 a^{14} + 49 a^{13} + 24 a^{12} + 65 a^{11} + 56 a^{10} + 64 a^{9} + 24 a^{8} + 46 a^{7} + 47 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 38 a^{2} + a + 48\right)\cdot 67^{8} + \left(6 a^{14} + 32 a^{13} + 36 a^{12} + 47 a^{11} + 56 a^{10} + 27 a^{9} + 47 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + 50 a^{2} + 52 a + 6\right)\cdot 67^{9} +O(67^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,30)(2,25)(3,11)(4,22)(5,29)(6,28)(7,14)(8,23)(9,10)(12,15)(13,20)(16,24)(17,21)(18,19)(26,27)$ | $-2$ |
| $15$ | $2$ | $(1,17)(2,20)(3,12)(4,26)(5,24)(6,18)(8,9)(10,23)(11,15)(13,25)(16,29)(19,28)(21,30)(22,27)$ | $0$ |
| $15$ | $2$ | $(1,21)(2,13)(3,15)(4,27)(5,16)(6,19)(7,14)(8,10)(9,23)(11,12)(17,30)(18,28)(20,25)(22,26)(24,29)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,7,17)(2,27,19)(3,10,29)(4,13,6)(5,11,9)(8,15,24)(12,16,23)(14,21,30)(18,25,26)(20,28,22)$ | $-1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,15,4,18,9)(2,29,14,16,20)(3,21,23,28,27)(5,7,24,13,25)(6,26,11,17,8)(10,30,12,22,19)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,18,15,9,4)(2,16,29,20,14)(3,28,21,27,23)(5,13,7,25,24)(6,17,26,8,11)(10,22,30,19,12)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,21,7,30,17,14)(2,18,27,25,19,26)(3,5,10,11,29,9)(4,28,13,22,6,20)(8,16,15,23,24,12)$ | $1$ |
| $2$ | $10$ | $(1,19,15,10,4,30,18,12,9,22)(2,24,29,13,14,25,16,5,20,7)(3,6,21,26,23,11,28,17,27,8)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $10$ | $(1,10,18,22,15,30,9,19,4,12)(2,13,16,7,29,25,20,24,14,5)(3,26,28,8,21,11,27,6,23,17)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,26,24,9,6,7,18,8,5,4,17,25,15,11,13)(2,12,3,20,30,27,16,10,28,14,19,23,29,22,21)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,24,6,18,5,17,15,13,26,9,7,8,4,25,11)(2,3,30,16,28,19,29,21,12,20,27,10,14,23,22)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,6,5,15,26,7,4,11,24,18,17,13,9,8,25)(2,30,28,29,12,27,14,22,3,16,19,21,20,10,23)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,8,13,18,11,7,15,6,25,9,17,24,4,26,5)(2,10,21,16,22,27,29,30,23,20,19,3,14,12,28)$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ |
| $2$ | $30$ | $(1,27,24,10,6,14,18,23,5,22,17,2,15,3,13,30,26,16,9,28,7,19,8,29,4,21,25,12,11,20)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,23,13,19,11,14,15,28,25,10,17,16,4,27,5,30,8,20,18,3,7,12,6,2,9,21,24,22,26,29)$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ |
| $2$ | $30$ | $(1,2,8,10,13,21,18,16,11,22,7,27,15,29,6,30,25,23,9,20,17,19,24,3,4,14,26,12,5,28)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,3,25,22,8,14,9,27,13,12,17,29,18,28,24,30,11,2,4,23,7,10,26,20,15,21,5,19,6,16)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.