Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 3·3-s − 12·4-s − 6·5-s − 5·7-s − 8-s − 18·9-s − 18·11-s − 36·12-s − 15·13-s − 18·15-s + 67·16-s − 6·17-s − 11·19-s + 72·20-s − 15·21-s − 20·23-s − 3·24-s − 29·25-s − 68·27-s + 60·28-s + 8·31-s + 18·32-s − 54·33-s + 30·35-s + 216·36-s − 9·37-s − 45·39-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.73·3-s − 6·4-s − 2.68·5-s − 1.88·7-s − 0.353·8-s − 6·9-s − 5.42·11-s − 10.3·12-s − 4.16·13-s − 4.64·15-s + 67/4·16-s − 1.45·17-s − 2.52·19-s + 16.0·20-s − 3.27·21-s − 4.17·23-s − 0.612·24-s − 5.79·25-s − 13.0·27-s + 11.3·28-s + 1.43·31-s + 3.18·32-s − 9.40·33-s + 5.07·35-s + 36·36-s − 1.47·37-s − 7.20·39-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(11^{18} \cdot 29^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(11^{18} \cdot 29^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(11^{18} \cdot 29^{36}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(4.28927\times 10^{33}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.59474\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(18\) |
| Selberg data: | \((36,\ 11^{18} \cdot 29^{36} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 11 | \( ( 1 + T )^{18} \) |
| 29 | \( 1 \) | |
| good | 2 | \( 1 + 3 p^{2} T^{2} + T^{3} + 77 T^{4} + 3 p T^{5} + 87 p^{2} T^{6} + 3 T^{7} + 1249 T^{8} - 57 p T^{9} + 3815 T^{10} - 697 T^{11} + 5193 p T^{12} - 309 p^{3} T^{13} + 25841 T^{14} - 6571 T^{15} + 59127 T^{16} - 7349 p T^{17} + 123819 T^{18} - 7349 p^{2} T^{19} + 59127 p^{2} T^{20} - 6571 p^{3} T^{21} + 25841 p^{4} T^{22} - 309 p^{8} T^{23} + 5193 p^{7} T^{24} - 697 p^{7} T^{25} + 3815 p^{8} T^{26} - 57 p^{10} T^{27} + 1249 p^{10} T^{28} + 3 p^{11} T^{29} + 87 p^{14} T^{30} + 3 p^{14} T^{31} + 77 p^{14} T^{32} + p^{15} T^{33} + 3 p^{18} T^{34} + p^{18} T^{36} \) |
| 3 | \( 1 - p T + p^{3} T^{2} - 67 T^{3} + 358 T^{4} - 776 T^{5} + 1051 p T^{6} - 6091 T^{7} + 20722 T^{8} - 12016 p T^{9} + 108452 T^{10} - 57004 p T^{11} + 472756 T^{12} - 226964 p T^{13} + 1782889 T^{14} - 2376541 T^{15} + 2007569 p T^{16} - 7581445 T^{17} + 18729373 T^{18} - 7581445 p T^{19} + 2007569 p^{3} T^{20} - 2376541 p^{3} T^{21} + 1782889 p^{4} T^{22} - 226964 p^{6} T^{23} + 472756 p^{6} T^{24} - 57004 p^{8} T^{25} + 108452 p^{8} T^{26} - 12016 p^{10} T^{27} + 20722 p^{10} T^{28} - 6091 p^{11} T^{29} + 1051 p^{13} T^{30} - 776 p^{13} T^{31} + 358 p^{14} T^{32} - 67 p^{15} T^{33} + p^{19} T^{34} - p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 5 | \( 1 + 6 T + 13 p T^{2} + 297 T^{3} + 1928 T^{4} + 7343 T^{5} + 36476 T^{6} + 121129 T^{7} + 100744 p T^{8} + 1496966 T^{9} + 5449494 T^{10} + 14728791 T^{11} + 9628177 p T^{12} + 119533769 T^{13} + 356174456 T^{14} + 817329854 T^{15} + 2240810273 T^{16} + 38126854 p^{3} T^{17} + 12085470791 T^{18} + 38126854 p^{4} T^{19} + 2240810273 p^{2} T^{20} + 817329854 p^{3} T^{21} + 356174456 p^{4} T^{22} + 119533769 p^{5} T^{23} + 9628177 p^{7} T^{24} + 14728791 p^{7} T^{25} + 5449494 p^{8} T^{26} + 1496966 p^{9} T^{27} + 100744 p^{11} T^{28} + 121129 p^{11} T^{29} + 36476 p^{12} T^{30} + 7343 p^{13} T^{31} + 1928 p^{14} T^{32} + 297 p^{15} T^{33} + 13 p^{17} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 + 5 T + 87 T^{2} + 431 T^{3} + 545 p T^{4} + 18016 T^{5} + 111280 T^{6} + 487713 T^{7} + 2398838 T^{8} + 9618498 T^{9} + 40275803 T^{10} + 147071098 T^{11} + 543009553 T^{12} + 1807656454 T^{13} + 5994776810 T^{14} + 18242037242 T^{15} + 7840842857 p T^{16} + 152925310410 T^{17} + 419826463989 T^{18} + 152925310410 p T^{19} + 7840842857 p^{3} T^{20} + 18242037242 p^{3} T^{21} + 5994776810 p^{4} T^{22} + 1807656454 p^{5} T^{23} + 543009553 p^{6} T^{24} + 147071098 p^{7} T^{25} + 40275803 p^{8} T^{26} + 9618498 p^{9} T^{27} + 2398838 p^{10} T^{28} + 487713 p^{11} T^{29} + 111280 p^{12} T^{30} + 18016 p^{13} T^{31} + 545 p^{15} T^{32} + 431 p^{15} T^{33} + 87 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 + 15 T + 233 T^{2} + 2410 T^{3} + 23431 T^{4} + 190426 T^{5} + 1442270 T^{6} + 9802229 T^{7} + 62432586 T^{8} + 367614535 T^{9} + 2042780681 T^{10} + 10650720910 T^{11} + 52706999877 T^{12} + 246743129644 T^{13} + 1100801798975 T^{14} + 4667748408188 T^{15} + 18909654215355 T^{16} + 72992635409795 T^{17} + 269506950405467 T^{18} + 72992635409795 p T^{19} + 18909654215355 p^{2} T^{20} + 4667748408188 p^{3} T^{21} + 1100801798975 p^{4} T^{22} + 246743129644 p^{5} T^{23} + 52706999877 p^{6} T^{24} + 10650720910 p^{7} T^{25} + 2042780681 p^{8} T^{26} + 367614535 p^{9} T^{27} + 62432586 p^{10} T^{28} + 9802229 p^{11} T^{29} + 1442270 p^{12} T^{30} + 190426 p^{13} T^{31} + 23431 p^{14} T^{32} + 2410 p^{15} T^{33} + 233 p^{16} T^{34} + 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 + 6 T + 155 T^{2} + 805 T^{3} + 12178 T^{4} + 57265 T^{5} + 650444 T^{6} + 2826561 T^{7} + 26497636 T^{8} + 107673884 T^{9} + 874807643 T^{10} + 3346352059 T^{11} + 24260590890 T^{12} + 87614567323 T^{13} + 577676566565 T^{14} + 1969350564253 T^{15} + 11965895608234 T^{16} + 38405948301913 T^{17} + 217112769529915 T^{18} + 38405948301913 p T^{19} + 11965895608234 p^{2} T^{20} + 1969350564253 p^{3} T^{21} + 577676566565 p^{4} T^{22} + 87614567323 p^{5} T^{23} + 24260590890 p^{6} T^{24} + 3346352059 p^{7} T^{25} + 874807643 p^{8} T^{26} + 107673884 p^{9} T^{27} + 26497636 p^{10} T^{28} + 2826561 p^{11} T^{29} + 650444 p^{12} T^{30} + 57265 p^{13} T^{31} + 12178 p^{14} T^{32} + 805 p^{15} T^{33} + 155 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 + 11 T + 202 T^{2} + 1940 T^{3} + 20395 T^{4} + 166523 T^{5} + 70301 p T^{6} + 9328876 T^{7} + 62977519 T^{8} + 384516099 T^{9} + 2278173734 T^{10} + 12458851847 T^{11} + 66458036654 T^{12} + 332731872153 T^{13} + 1635508156021 T^{14} + 7648529062236 T^{15} + 35440154846360 T^{16} + 157659545313847 T^{17} + 700214623532281 T^{18} + 157659545313847 p T^{19} + 35440154846360 p^{2} T^{20} + 7648529062236 p^{3} T^{21} + 1635508156021 p^{4} T^{22} + 332731872153 p^{5} T^{23} + 66458036654 p^{6} T^{24} + 12458851847 p^{7} T^{25} + 2278173734 p^{8} T^{26} + 384516099 p^{9} T^{27} + 62977519 p^{10} T^{28} + 9328876 p^{11} T^{29} + 70301 p^{13} T^{30} + 166523 p^{13} T^{31} + 20395 p^{14} T^{32} + 1940 p^{15} T^{33} + 202 p^{16} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 + 20 T + 448 T^{2} + 6265 T^{3} + 85597 T^{4} + 940507 T^{5} + 9842669 T^{6} + 90189974 T^{7} + 784466749 T^{8} + 6207921338 T^{9} + 46718944366 T^{10} + 326402094104 T^{11} + 2174633524881 T^{12} + 13605671088702 T^{13} + 81370953517535 T^{14} + 460045865075645 T^{15} + 2490427386811286 T^{16} + 12789224549147756 T^{17} + 62939349921848019 T^{18} + 12789224549147756 p T^{19} + 2490427386811286 p^{2} T^{20} + 460045865075645 p^{3} T^{21} + 81370953517535 p^{4} T^{22} + 13605671088702 p^{5} T^{23} + 2174633524881 p^{6} T^{24} + 326402094104 p^{7} T^{25} + 46718944366 p^{8} T^{26} + 6207921338 p^{9} T^{27} + 784466749 p^{10} T^{28} + 90189974 p^{11} T^{29} + 9842669 p^{12} T^{30} + 940507 p^{13} T^{31} + 85597 p^{14} T^{32} + 6265 p^{15} T^{33} + 448 p^{16} T^{34} + 20 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 - 8 T + 364 T^{2} - 2841 T^{3} + 64773 T^{4} - 496839 T^{5} + 7564965 T^{6} - 56806567 T^{7} + 654607773 T^{8} - 4755960234 T^{9} + 44749191945 T^{10} - 309802660907 T^{11} + 2506518997743 T^{12} - 16300087508352 T^{13} + 117407667915872 T^{14} - 709858717310066 T^{15} + 4647888291715821 T^{16} - 25983910026146589 T^{17} + 156251298867914341 T^{18} - 25983910026146589 p T^{19} + 4647888291715821 p^{2} T^{20} - 709858717310066 p^{3} T^{21} + 117407667915872 p^{4} T^{22} - 16300087508352 p^{5} T^{23} + 2506518997743 p^{6} T^{24} - 309802660907 p^{7} T^{25} + 44749191945 p^{8} T^{26} - 4755960234 p^{9} T^{27} + 654607773 p^{10} T^{28} - 56806567 p^{11} T^{29} + 7564965 p^{12} T^{30} - 496839 p^{13} T^{31} + 64773 p^{14} T^{32} - 2841 p^{15} T^{33} + 364 p^{16} T^{34} - 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 + 9 T + 12 p T^{2} + 3684 T^{3} + 97226 T^{4} + 740903 T^{5} + 13933833 T^{6} + 97580106 T^{7} + 1465700068 T^{8} + 9456366522 T^{9} + 120420966818 T^{10} + 717790945418 T^{11} + 8029631071158 T^{12} + 44322817315954 T^{13} + 445485523509357 T^{14} + 2280215389524879 T^{15} + 20893701455758487 T^{16} + 99145910094342046 T^{17} + 835842404318712205 T^{18} + 99145910094342046 p T^{19} + 20893701455758487 p^{2} T^{20} + 2280215389524879 p^{3} T^{21} + 445485523509357 p^{4} T^{22} + 44322817315954 p^{5} T^{23} + 8029631071158 p^{6} T^{24} + 717790945418 p^{7} T^{25} + 120420966818 p^{8} T^{26} + 9456366522 p^{9} T^{27} + 1465700068 p^{10} T^{28} + 97580106 p^{11} T^{29} + 13933833 p^{12} T^{30} + 740903 p^{13} T^{31} + 97226 p^{14} T^{32} + 3684 p^{15} T^{33} + 12 p^{17} T^{34} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 + 3 T + 310 T^{2} + 1199 T^{3} + 51160 T^{4} + 230036 T^{5} + 5919065 T^{6} + 29198997 T^{7} + 535208164 T^{8} + 67891599 p T^{9} + 40027484965 T^{10} + 212896375659 T^{11} + 2559528268194 T^{12} + 13573258996476 T^{13} + 142700204811021 T^{14} + 738541456449175 T^{15} + 7011459721021120 T^{16} + 34771997357605049 T^{17} + 305191218731834745 T^{18} + 34771997357605049 p T^{19} + 7011459721021120 p^{2} T^{20} + 738541456449175 p^{3} T^{21} + 142700204811021 p^{4} T^{22} + 13573258996476 p^{5} T^{23} + 2559528268194 p^{6} T^{24} + 212896375659 p^{7} T^{25} + 40027484965 p^{8} T^{26} + 67891599 p^{10} T^{27} + 535208164 p^{10} T^{28} + 29198997 p^{11} T^{29} + 5919065 p^{12} T^{30} + 230036 p^{13} T^{31} + 51160 p^{14} T^{32} + 1199 p^{15} T^{33} + 310 p^{16} T^{34} + 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 + 13 T + 373 T^{2} + 4871 T^{3} + 77022 T^{4} + 900961 T^{5} + 11018604 T^{6} + 112910102 T^{7} + 1180176781 T^{8} + 10831265731 T^{9} + 100188092269 T^{10} + 840631206715 T^{11} + 7048346675400 T^{12} + 1269951209177 p T^{13} + 422821870285480 T^{14} + 3049334896689437 T^{15} + 22013121759714944 T^{16} + 148917267466234619 T^{17} + 1007120227312641897 T^{18} + 148917267466234619 p T^{19} + 22013121759714944 p^{2} T^{20} + 3049334896689437 p^{3} T^{21} + 422821870285480 p^{4} T^{22} + 1269951209177 p^{6} T^{23} + 7048346675400 p^{6} T^{24} + 840631206715 p^{7} T^{25} + 100188092269 p^{8} T^{26} + 10831265731 p^{9} T^{27} + 1180176781 p^{10} T^{28} + 112910102 p^{11} T^{29} + 11018604 p^{12} T^{30} + 900961 p^{13} T^{31} + 77022 p^{14} T^{32} + 4871 p^{15} T^{33} + 373 p^{16} T^{34} + 13 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 - T + 454 T^{2} - 1261 T^{3} + 103451 T^{4} - 440923 T^{5} + 16101470 T^{6} - 85317235 T^{7} + 1933232487 T^{8} - 11333819540 T^{9} + 188862739694 T^{10} - 1144979542698 T^{11} + 15394344382213 T^{12} - 92717057300488 T^{13} + 1062644218942022 T^{14} - 6185502630566641 T^{15} + 62707427692586940 T^{16} - 345102702879844805 T^{17} + 3178200910467462335 T^{18} - 345102702879844805 p T^{19} + 62707427692586940 p^{2} T^{20} - 6185502630566641 p^{3} T^{21} + 1062644218942022 p^{4} T^{22} - 92717057300488 p^{5} T^{23} + 15394344382213 p^{6} T^{24} - 1144979542698 p^{7} T^{25} + 188862739694 p^{8} T^{26} - 11333819540 p^{9} T^{27} + 1933232487 p^{10} T^{28} - 85317235 p^{11} T^{29} + 16101470 p^{12} T^{30} - 440923 p^{13} T^{31} + 103451 p^{14} T^{32} - 1261 p^{15} T^{33} + 454 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 + 6 T + 470 T^{2} + 3563 T^{3} + 115380 T^{4} + 979275 T^{5} + 19853922 T^{6} + 173393058 T^{7} + 2654299592 T^{8} + 22742625409 T^{9} + 288521219782 T^{10} + 2370077479501 T^{11} + 26179952636916 T^{12} + 203705244172895 T^{13} + 2016957037329212 T^{14} + 14753238818088517 T^{15} + 133297459727892442 T^{16} + 911523708265453237 T^{17} + 7599394744685922967 T^{18} + 911523708265453237 p T^{19} + 133297459727892442 p^{2} T^{20} + 14753238818088517 p^{3} T^{21} + 2016957037329212 p^{4} T^{22} + 203705244172895 p^{5} T^{23} + 26179952636916 p^{6} T^{24} + 2370077479501 p^{7} T^{25} + 288521219782 p^{8} T^{26} + 22742625409 p^{9} T^{27} + 2654299592 p^{10} T^{28} + 173393058 p^{11} T^{29} + 19853922 p^{12} T^{30} + 979275 p^{13} T^{31} + 115380 p^{14} T^{32} + 3563 p^{15} T^{33} + 470 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 + 16 T + 647 T^{2} + 8502 T^{3} + 198942 T^{4} + 2278830 T^{5} + 39991547 T^{6} + 412760110 T^{7} + 5991078166 T^{8} + 56803630407 T^{9} + 716511005035 T^{10} + 6309806921843 T^{11} + 71168843914366 T^{12} + 585356238849001 T^{13} + 6009819585751494 T^{14} + 46262545539459620 T^{15} + 437486418651533242 T^{16} + 3150659828884690104 T^{17} + 27661844774817630721 T^{18} + 3150659828884690104 p T^{19} + 437486418651533242 p^{2} T^{20} + 46262545539459620 p^{3} T^{21} + 6009819585751494 p^{4} T^{22} + 585356238849001 p^{5} T^{23} + 71168843914366 p^{6} T^{24} + 6309806921843 p^{7} T^{25} + 716511005035 p^{8} T^{26} + 56803630407 p^{9} T^{27} + 5991078166 p^{10} T^{28} + 412760110 p^{11} T^{29} + 39991547 p^{12} T^{30} + 2278830 p^{13} T^{31} + 198942 p^{14} T^{32} + 8502 p^{15} T^{33} + 647 p^{16} T^{34} + 16 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 2 T + 458 T^{2} - 250 T^{3} + 109504 T^{4} + 55146 T^{5} + 18458706 T^{6} + 23708768 T^{7} + 2446034838 T^{8} + 4598818615 T^{9} + 269116751532 T^{10} + 619503138652 T^{11} + 25390557146385 T^{12} + 64940433713923 T^{13} + 2092579525522532 T^{14} + 5573692679515450 T^{15} + 152326838000760061 T^{16} + 401059315564357258 T^{17} + 9850845689352199167 T^{18} + 401059315564357258 p T^{19} + 152326838000760061 p^{2} T^{20} + 5573692679515450 p^{3} T^{21} + 2092579525522532 p^{4} T^{22} + 64940433713923 p^{5} T^{23} + 25390557146385 p^{6} T^{24} + 619503138652 p^{7} T^{25} + 269116751532 p^{8} T^{26} + 4598818615 p^{9} T^{27} + 2446034838 p^{10} T^{28} + 23708768 p^{11} T^{29} + 18458706 p^{12} T^{30} + 55146 p^{13} T^{31} + 109504 p^{14} T^{32} - 250 p^{15} T^{33} + 458 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 9 T + 645 T^{2} - 6851 T^{3} + 219964 T^{4} - 2475216 T^{5} + 52075386 T^{6} - 582488389 T^{7} + 9411354592 T^{8} - 101349814004 T^{9} + 1360777601190 T^{10} - 13892146735744 T^{11} + 162002763595398 T^{12} - 1554744059866398 T^{13} + 16178407106322988 T^{14} - 145157841130956557 T^{15} + 1371213237708481499 T^{16} - 170867509275484476 p T^{17} + 99287882280580195237 T^{18} - 170867509275484476 p^{2} T^{19} + 1371213237708481499 p^{2} T^{20} - 145157841130956557 p^{3} T^{21} + 16178407106322988 p^{4} T^{22} - 1554744059866398 p^{5} T^{23} + 162002763595398 p^{6} T^{24} - 13892146735744 p^{7} T^{25} + 1360777601190 p^{8} T^{26} - 101349814004 p^{9} T^{27} + 9411354592 p^{10} T^{28} - 582488389 p^{11} T^{29} + 52075386 p^{12} T^{30} - 2475216 p^{13} T^{31} + 219964 p^{14} T^{32} - 6851 p^{15} T^{33} + 645 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 + 13 T + 712 T^{2} + 9562 T^{3} + 257848 T^{4} + 3380306 T^{5} + 62215005 T^{6} + 769222935 T^{7} + 11084434171 T^{8} + 127010132052 T^{9} + 1542628750265 T^{10} + 16284136253410 T^{11} + 174624337931516 T^{12} + 1702300672599904 T^{13} + 16664081105552556 T^{14} + 151371588273546672 T^{15} + 1386864921103882400 T^{16} + 11884638102404664304 T^{17} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{18} + 11884638102404664304 p T^{19} + 1386864921103882400 p^{2} T^{20} + 151371588273546672 p^{3} T^{21} + 16664081105552556 p^{4} T^{22} + 1702300672599904 p^{5} T^{23} + 174624337931516 p^{6} T^{24} + 16284136253410 p^{7} T^{25} + 1542628750265 p^{8} T^{26} + 127010132052 p^{9} T^{27} + 11084434171 p^{10} T^{28} + 769222935 p^{11} T^{29} + 62215005 p^{12} T^{30} + 3380306 p^{13} T^{31} + 257848 p^{14} T^{32} + 9562 p^{15} T^{33} + 712 p^{16} T^{34} + 13 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 57 T + 2247 T^{2} - 65319 T^{3} + 1587077 T^{4} - 33025201 T^{5} + 611558241 T^{6} - 10210963701 T^{7} + 156453693106 T^{8} - 2217249954815 T^{9} + 29348055777771 T^{10} - 364594529973405 T^{11} + 4276030803272620 T^{12} - 47487289136733966 T^{13} + 501155284507239441 T^{14} - 5034530660824908460 T^{15} + 48245210419335406840 T^{16} - 6045521151417744278 p T^{17} + \)\(38\!\cdots\!57\)\( T^{18} - 6045521151417744278 p^{2} T^{19} + 48245210419335406840 p^{2} T^{20} - 5034530660824908460 p^{3} T^{21} + 501155284507239441 p^{4} T^{22} - 47487289136733966 p^{5} T^{23} + 4276030803272620 p^{6} T^{24} - 364594529973405 p^{7} T^{25} + 29348055777771 p^{8} T^{26} - 2217249954815 p^{9} T^{27} + 156453693106 p^{10} T^{28} - 10210963701 p^{11} T^{29} + 611558241 p^{12} T^{30} - 33025201 p^{13} T^{31} + 1587077 p^{14} T^{32} - 65319 p^{15} T^{33} + 2247 p^{16} T^{34} - 57 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 + 27 T + 1219 T^{2} + 25600 T^{3} + 672226 T^{4} + 11667084 T^{5} + 229128560 T^{6} + 3411279769 T^{7} + 55040152191 T^{8} + 720855158569 T^{9} + 10026692885417 T^{10} + 117644584077454 T^{11} + 1452347683520337 T^{12} + 15476812027283450 T^{13} + 172875428362489370 T^{14} + 1690200967644889552 T^{15} + 17302813694792572601 T^{16} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!55\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( p T^{19} + 17302813694792572601 p^{2} T^{20} + 1690200967644889552 p^{3} T^{21} + 172875428362489370 p^{4} T^{22} + 15476812027283450 p^{5} T^{23} + 1452347683520337 p^{6} T^{24} + 117644584077454 p^{7} T^{25} + 10026692885417 p^{8} T^{26} + 720855158569 p^{9} T^{27} + 55040152191 p^{10} T^{28} + 3411279769 p^{11} T^{29} + 229128560 p^{12} T^{30} + 11667084 p^{13} T^{31} + 672226 p^{14} T^{32} + 25600 p^{15} T^{33} + 1219 p^{16} T^{34} + 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 10 T + 668 T^{2} - 6683 T^{3} + 224750 T^{4} - 2119681 T^{5} + 50223611 T^{6} - 433447574 T^{7} + 101117505 p T^{8} - 65836462326 T^{9} + 1137951446583 T^{10} - 8217519964647 T^{11} + 133745182616178 T^{12} - 911251045276229 T^{13} + 14221551756715532 T^{14} - 93033279114420482 T^{15} + 1381200801646637649 T^{16} - 8656890730301028606 T^{17} + \)\(12\!\cdots\!97\)\( T^{18} - 8656890730301028606 p T^{19} + 1381200801646637649 p^{2} T^{20} - 93033279114420482 p^{3} T^{21} + 14221551756715532 p^{4} T^{22} - 911251045276229 p^{5} T^{23} + 133745182616178 p^{6} T^{24} - 8217519964647 p^{7} T^{25} + 1137951446583 p^{8} T^{26} - 65836462326 p^{9} T^{27} + 101117505 p^{11} T^{28} - 433447574 p^{11} T^{29} + 50223611 p^{12} T^{30} - 2119681 p^{13} T^{31} + 224750 p^{14} T^{32} - 6683 p^{15} T^{33} + 668 p^{16} T^{34} - 10 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 80 T + 3809 T^{2} - 131102 T^{3} + 3614769 T^{4} - 83555388 T^{5} + 1672545559 T^{6} - 29549015100 T^{7} + 467708701031 T^{8} - 6697461044004 T^{9} + 87485269645377 T^{10} - 1048568759236513 T^{11} + 11600965811815457 T^{12} - 119177665863070057 T^{13} + 1147187729373555550 T^{14} - 10489146305823659884 T^{15} + 93201675476890390746 T^{16} - \)\(82\!\cdots\!46\)\( T^{17} + \)\(76\!\cdots\!73\)\( T^{18} - \)\(82\!\cdots\!46\)\( p T^{19} + 93201675476890390746 p^{2} T^{20} - 10489146305823659884 p^{3} T^{21} + 1147187729373555550 p^{4} T^{22} - 119177665863070057 p^{5} T^{23} + 11600965811815457 p^{6} T^{24} - 1048568759236513 p^{7} T^{25} + 87485269645377 p^{8} T^{26} - 6697461044004 p^{9} T^{27} + 467708701031 p^{10} T^{28} - 29549015100 p^{11} T^{29} + 1672545559 p^{12} T^{30} - 83555388 p^{13} T^{31} + 3614769 p^{14} T^{32} - 131102 p^{15} T^{33} + 3809 p^{16} T^{34} - 80 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 20 T + 784 T^{2} + 10972 T^{3} + 278302 T^{4} + 3068077 T^{5} + 65333546 T^{6} + 596658550 T^{7} + 11910543460 T^{8} + 92408907874 T^{9} + 1830938670570 T^{10} + 12307896016509 T^{11} + 248733096221755 T^{12} + 1483868073678730 T^{13} + 30571014779770302 T^{14} + 165941944873619692 T^{15} + 3418023752468246567 T^{16} + 17277333069842632967 T^{17} + \)\(34\!\cdots\!51\)\( T^{18} + 17277333069842632967 p T^{19} + 3418023752468246567 p^{2} T^{20} + 165941944873619692 p^{3} T^{21} + 30571014779770302 p^{4} T^{22} + 1483868073678730 p^{5} T^{23} + 248733096221755 p^{6} T^{24} + 12307896016509 p^{7} T^{25} + 1830938670570 p^{8} T^{26} + 92408907874 p^{9} T^{27} + 11910543460 p^{10} T^{28} + 596658550 p^{11} T^{29} + 65333546 p^{12} T^{30} + 3068077 p^{13} T^{31} + 278302 p^{14} T^{32} + 10972 p^{15} T^{33} + 784 p^{16} T^{34} + 20 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.14303405766867864588974213764, −2.12177981471002957118838702067, −2.07407501244806917117318028606, −2.01221583241957876946572165455, −1.94815855056679140129467961703, −1.90627372702197144246979097225, −1.80229707366955778602746801110, −1.79488740111300952514826714200, −1.76581129947009129385599042623, −1.73270222905582508237759881475, −1.72144900510211853156126691001, −1.54457785236402784871954217191, −1.49612980708629080461407770648, −1.47733791118563712582688944111, −1.20957714988767730702196491888, −1.17700477739895691287700166882, −1.08697228359618564997837991299, −1.05490648290671341442554631951, −0.986527355735264386352201130212, −0.862846491880712680674634663523, −0.77568312819485042653693589125, −0.76400047408237178998363794004, −0.69566089101211046823704077830, −0.63090163166006103754241246824, −0.54022557650683199225678223952, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.54022557650683199225678223952, 0.63090163166006103754241246824, 0.69566089101211046823704077830, 0.76400047408237178998363794004, 0.77568312819485042653693589125, 0.862846491880712680674634663523, 0.986527355735264386352201130212, 1.05490648290671341442554631951, 1.08697228359618564997837991299, 1.17700477739895691287700166882, 1.20957714988767730702196491888, 1.47733791118563712582688944111, 1.49612980708629080461407770648, 1.54457785236402784871954217191, 1.72144900510211853156126691001, 1.73270222905582508237759881475, 1.76581129947009129385599042623, 1.79488740111300952514826714200, 1.80229707366955778602746801110, 1.90627372702197144246979097225, 1.94815855056679140129467961703, 2.01221583241957876946572165455, 2.07407501244806917117318028606, 2.12177981471002957118838702067, 2.14303405766867864588974213764
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.