| L(s) = 1 | − 12·2-s + 27·3-s + 96·4-s + 14·5-s − 324·6-s + 5·7-s − 640·8-s + 486·9-s − 168·10-s + 2.59e3·12-s + 234·13-s − 60·14-s + 378·15-s + 3.84e3·16-s − 828·17-s − 5.83e3·18-s − 2.45e3·19-s + 1.34e3·20-s + 135·21-s + 920·23-s − 1.72e4·24-s − 4.24e3·25-s − 2.80e3·26-s + 7.29e3·27-s + 480·28-s − 4.22e3·29-s − 4.53e3·30-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.12·2-s + 1.73·3-s + 3·4-s + 0.250·5-s − 3.67·6-s + 0.0385·7-s − 3.53·8-s + 2·9-s − 0.531·10-s + 5.19·12-s + 0.384·13-s − 0.0818·14-s + 0.433·15-s + 15/4·16-s − 0.694·17-s − 4.24·18-s − 1.56·19-s + 0.751·20-s + 0.0668·21-s + 0.362·23-s − 6.12·24-s − 1.35·25-s − 0.814·26-s + 1.92·27-s + 0.115·28-s − 0.933·29-s − 0.920·30-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 11^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 11^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 11 | | \( 1 \) |
| good | 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 14 T + 4444 T^{2} - 185696 T^{3} + 4444 p^{5} T^{4} - 14 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5 T + 2243 T^{2} - 307718 T^{3} + 2243 p^{5} T^{4} - 5 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 18 p T + 179666 T^{2} + 250436994 T^{3} + 179666 p^{5} T^{4} - 18 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 828 T + 3051674 T^{2} + 2620317468 T^{3} + 3051674 p^{5} T^{4} + 828 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 2457 T + 6394517 T^{2} + 10087926390 T^{3} + 6394517 p^{5} T^{4} + 2457 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 40 p T + 10974537 T^{2} - 5342691104 T^{3} + 10974537 p^{5} T^{4} - 40 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4228 T + 54269148 T^{2} + 175415825914 T^{3} + 54269148 p^{5} T^{4} + 4228 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5025 T + 18114653 T^{2} + 80878800450 T^{3} + 18114653 p^{5} T^{4} - 5025 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 8601 T + 58664798 T^{2} + 367759433697 T^{3} + 58664798 p^{5} T^{4} + 8601 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 11198 T + 281064798 T^{2} + 1999917129122 T^{3} + 281064798 p^{5} T^{4} + 11198 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 26594 T + 629452481 T^{2} + 7979191309196 T^{3} + 629452481 p^{5} T^{4} + 26594 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 12902 T + 638279997 T^{2} - 5171576689940 T^{3} + 638279997 p^{5} T^{4} - 12902 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5712 T + 718112600 T^{2} - 7706000407302 T^{3} + 718112600 p^{5} T^{4} - 5712 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 23856 T + 1705575237 T^{2} + 35547049336848 T^{3} + 1705575237 p^{5} T^{4} + 23856 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3859 T + 1779316655 T^{2} - 13355974412170 T^{3} + 1779316655 p^{5} T^{4} - 3859 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 75117 T + 1340224547 T^{2} - 14917654652562 T^{3} + 1340224547 p^{5} T^{4} + 75117 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 27982 T + 2514160653 T^{2} - 4078818891844 T^{3} + 2514160653 p^{5} T^{4} - 27982 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 74659 T + 4989436599 T^{2} + 185737046307146 T^{3} + 4989436599 p^{5} T^{4} + 74659 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 151483 T + 12882092993 T^{2} + 801588526643914 T^{3} + 12882092993 p^{5} T^{4} + 151483 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5986 T + 9425594713 T^{2} + 160831877300 T^{3} + 9425594713 p^{5} T^{4} - 5986 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 293276 T + 43694760346 T^{2} + 4013162784732308 T^{3} + 43694760346 p^{5} T^{4} + 293276 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 379303 T + 67537832186 T^{2} - 7570564894454287 T^{3} + 67537832186 p^{5} T^{4} - 379303 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−8.791712427626295918854197852801, −8.595328678112413742006747117403, −8.525881993770960633762619991512, −8.332130496438336111199343504086, −7.87591722756894868618093719260, −7.56570888168730315264268114913, −7.45997796327711851145818105960, −6.91934600752999475690752335504, −6.78958365522572143119291415329, −6.64099109177642920475799629524, −6.08344144833380743474190043377, −5.70270492271755113705579235436, −5.67877788257841627894691927995, −4.84408536765109366930702335447, −4.40195586588902318796906970141, −4.36613215903989865028575652686, −3.68663364234549585275670642190, −3.34099259322430030374167716811, −3.19622324995608792716953418732, −2.63731289443483466601420700248, −2.22002307252849419241176291876, −2.14460080188182575362693471285, −1.58392231431262114734799334479, −1.42381544461563668850811646502, −1.11016998104568896817479625530, 0, 0, 0,
1.11016998104568896817479625530, 1.42381544461563668850811646502, 1.58392231431262114734799334479, 2.14460080188182575362693471285, 2.22002307252849419241176291876, 2.63731289443483466601420700248, 3.19622324995608792716953418732, 3.34099259322430030374167716811, 3.68663364234549585275670642190, 4.36613215903989865028575652686, 4.40195586588902318796906970141, 4.84408536765109366930702335447, 5.67877788257841627894691927995, 5.70270492271755113705579235436, 6.08344144833380743474190043377, 6.64099109177642920475799629524, 6.78958365522572143119291415329, 6.91934600752999475690752335504, 7.45997796327711851145818105960, 7.56570888168730315264268114913, 7.87591722756894868618093719260, 8.332130496438336111199343504086, 8.525881993770960633762619991512, 8.595328678112413742006747117403, 8.791712427626295918854197852801
