| L(s) = 1 | + 7·2-s − 36·3-s − 3·4-s + 75·5-s − 252·6-s + 102·7-s − 205·8-s + 408·9-s + 525·10-s + 108·12-s + 1.64e3·13-s + 714·14-s − 2.70e3·15-s − 1.68e3·16-s + 1.74e3·17-s + 2.85e3·18-s + 10·19-s − 225·20-s − 3.67e3·21-s − 3.87e3·23-s + 7.38e3·24-s + 3.75e3·25-s + 1.15e4·26-s + 2.14e3·27-s − 306·28-s − 1.97e3·29-s − 1.89e4·30-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.23·2-s − 2.30·3-s − 0.0937·4-s + 1.34·5-s − 2.85·6-s + 0.786·7-s − 1.13·8-s + 1.67·9-s + 1.66·10-s + 0.216·12-s + 2.70·13-s + 0.973·14-s − 3.09·15-s − 1.64·16-s + 1.46·17-s + 2.07·18-s + 0.00635·19-s − 0.125·20-s − 1.81·21-s − 1.52·23-s + 2.61·24-s + 6/5·25-s + 3.34·26-s + 0.564·27-s − 0.0737·28-s − 0.434·29-s − 3.83·30-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{3} \cdot 11^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{3} \cdot 11^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 11 | | \( 1 \) |
| good | 2 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7 T + 13 p^{2} T^{2} - 45 p^{2} T^{3} + 13 p^{7} T^{4} - 7 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4 p^{2} T + 296 p T^{2} + 15140 T^{3} + 296 p^{6} T^{4} + 4 p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 102 T + 47882 T^{2} - 3423460 T^{3} + 47882 p^{5} T^{4} - 102 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1646 T + 1828563 T^{2} - 1311230900 T^{3} + 1828563 p^{5} T^{4} - 1646 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1742 T + 4548482 T^{2} - 4486746190 T^{3} + 4548482 p^{5} T^{4} - 1742 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10 T - 789838 T^{2} - 4627748280 T^{3} - 789838 p^{5} T^{4} - 10 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3876 T + 20261753 T^{2} + 49813119160 T^{3} + 20261753 p^{5} T^{4} + 3876 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1970 T + 7249962 T^{2} - 66087607890 T^{3} + 7249962 p^{5} T^{4} + 1970 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6596 T + 70516600 T^{2} - 9067562360 p T^{3} + 70516600 p^{5} T^{4} - 6596 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 22032 T + 327814272 T^{2} + 3208938735890 T^{3} + 327814272 p^{5} T^{4} + 22032 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7214 T + 199545335 T^{2} - 782738085700 T^{3} + 199545335 p^{5} T^{4} - 7214 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 29644 T + 661725793 T^{2} + 9029485155400 T^{3} + 661725793 p^{5} T^{4} + 29644 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 8432 T + 26307097 T^{2} - 4871236959360 T^{3} + 26307097 p^{5} T^{4} + 8432 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 31656 T + 736661768 T^{2} + 13566514036130 T^{3} + 736661768 p^{5} T^{4} + 31656 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 31440 T + 922823237 T^{2} + 16114208084720 T^{3} + 922823237 p^{5} T^{4} + 31440 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 49374 T + 2709451370 T^{2} - 72714768436210 T^{3} + 2709451370 p^{5} T^{4} - 49374 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 111892 T + 8120957337 T^{2} + 5222932986280 p T^{3} + 8120957337 p^{5} T^{4} + 111892 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 58444 T + 4971693640 T^{2} + 169838652228480 T^{3} + 4971693640 p^{5} T^{4} + 58444 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 5554 T + 951088183 T^{2} - 129369157809860 T^{3} + 951088183 p^{5} T^{4} + 5554 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 76080 T + 9823792457 T^{2} + 432010669308640 T^{3} + 9823792457 p^{5} T^{4} + 76080 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 44844 T + 9590574213 T^{2} + 298744560325400 T^{3} + 9590574213 p^{5} T^{4} + 44844 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 25460 T + 2818697672 T^{2} + 287832228202670 T^{3} + 2818697672 p^{5} T^{4} - 25460 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 150482 T + 21089453787 T^{2} + 1705936769056100 T^{3} + 21089453787 p^{5} T^{4} + 150482 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.257927765657358066542737830325, −8.706788756943460666890441449341, −8.535415810784822465233732958859, −8.475975536948948586191931591104, −7.895243281616264243717241217837, −7.80756798518145822835551972183, −6.91698830639533776981897897029, −6.80333299073701910847306882498, −6.36092911472789402033372822131, −6.26655371184867067912362779071, −5.82402935618282382472192359205, −5.79787850922451761867342062211, −5.63125433976170254018259590882, −5.04113048658687622304273028655, −4.91787477665401634141213497503, −4.83087662348105405172048317710, −4.24265699994820790018178090373, −3.85916556045439076604406739056, −3.50492391883348220076434058196, −3.07890875540125723186082000060, −2.87070890092430470536654303695, −1.93785635590306326101038578941, −1.54413723343761466597688320270, −1.37391055343576379416452935111, −1.11965187480252251451351036229, 0, 0, 0,
1.11965187480252251451351036229, 1.37391055343576379416452935111, 1.54413723343761466597688320270, 1.93785635590306326101038578941, 2.87070890092430470536654303695, 3.07890875540125723186082000060, 3.50492391883348220076434058196, 3.85916556045439076604406739056, 4.24265699994820790018178090373, 4.83087662348105405172048317710, 4.91787477665401634141213497503, 5.04113048658687622304273028655, 5.63125433976170254018259590882, 5.79787850922451761867342062211, 5.82402935618282382472192359205, 6.26655371184867067912362779071, 6.36092911472789402033372822131, 6.80333299073701910847306882498, 6.91698830639533776981897897029, 7.80756798518145822835551972183, 7.895243281616264243717241217837, 8.475975536948948586191931591104, 8.535415810784822465233732958859, 8.706788756943460666890441449341, 9.257927765657358066542737830325
