LMFDB - L-function 32-5e16-1.1-c18e16-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 510·2^-s − 2.01e4·3^-s + 1.30e5·4^-s + 3.14e6·5^-s − 1.02e7·6^-s + 7.87e7·7^-s − 5.77e6·8^-s + 2.02e8·9^-s + 1.60e9·10^-s + 4.71e9·11^-s − 2.61e9·12^-s + 8.68e9·13^-s + 4.01e10·14^-s − 6.33e10·15^-s + 7.64e10·16^-s − 2.21e11·17^-s + 1.03e11·18^-s + 4.09e11·20^-s − 1.58e12·21^-s + 2.40e12·22^-s − 3.50e12·23^-s + 1.16e11·24^-s + 1.01e13·25^-s + 4.43e12·26^-s − 6.58e10·27^-s + 1.02e13·28^-s − 3.22e13·30^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.996·2^-s − 1.02·3^-s + 0.496·4^-s + 1.61·5^-s − 1.01·6^-s + 1.95·7^-s − 0.0430·8^-s + 0.522·9^-s + 1.60·10^-s + 2.00·11^-s − 0.507·12^-s + 0.819·13^-s + 1.94·14^-s − 1.64·15^-s + 1.11·16^-s − 1.86·17^-s + 0.520·18^-s + 0.798·20^-s − 1.99·21^-s + 1.99·22^-s − 1.94·23^-s + 0.0439·24^-s + 2.66·25^-s + 0.816·26^-s − 0.00862·27^-s + 0.968·28^-s − 1.64·30^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(19-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+9)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$32$
Conductor:	$5^{16}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.52988\times 10^{16}$
Root analytic conductor:	$3.20457$
Motivic weight:	$18$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(32,\ 5^{16} ,\ ( \ : [9]^{16} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(\frac{19}{2})$	$\approx$	$50.43152802$
$L(\frac12)$	$\approx$	$50.43152802$
$L(10)$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$ 1 - 629034 p T - 457807088 p^{4} T^{2} + 101571102810282 p^{7} T^{3} - 44402324765156 p^{12} T^{4} - 21624746571195314176 p^{17} T^{5} + $$27\!\cdots\!28$$ p^{23} T^{6} - $$27\!\cdots\!12$$ p^{30} T^{7} - $$23\!\cdots\!88$$ p^{39} T^{8} - $$27\!\cdots\!12$$ p^{48} T^{9} + $$27\!\cdots\!28$$ p^{59} T^{10} - 21624746571195314176 p^{71} T^{11} - 44402324765156 p^{84} T^{12} + 101571102810282 p^{97} T^{13} - 457807088 p^{112} T^{14} - 629034 p^{127} T^{15} + p^{144} T^{16} $
good	2	$ 1 - 255 p T + 65025 p T^{2} + 45105 p^{7} T^{3} - 96956087 p^{10} T^{4} + 127674183045 p^{8} T^{5} - 7306087071375 p^{9} T^{6} - 1532850618237405 p^{12} T^{7} - 101338107915444743 p^{14} T^{8} + 5044826546628460965 p^{20} T^{9} - 70196780479770555525 p^{25} T^{10} + $$43\!\cdots\!65$$ p^{28} T^{11} + $$11\!\cdots\!59$$ p^{32} T^{12} - $$34\!\cdots\!75$$ p^{37} T^{13} + $$63\!\cdots\!25$$ p^{41} T^{14} - $$29\!\cdots\!75$$ p^{46} T^{15} - $$28\!\cdots\!95$$ p^{50} T^{16} - $$29\!\cdots\!75$$ p^{64} T^{17} + $$63\!\cdots\!25$$ p^{77} T^{18} - $$34\!\cdots\!75$$ p^{91} T^{19} + $$11\!\cdots\!59$$ p^{104} T^{20} + $$43\!\cdots\!65$$ p^{118} T^{21} - 70196780479770555525 p^{133} T^{22} + 5044826546628460965 p^{146} T^{23} - 101338107915444743 p^{158} T^{24} - 1532850618237405 p^{174} T^{25} - 7306087071375 p^{189} T^{26} + 127674183045 p^{206} T^{27} - 96956087 p^{226} T^{28} + 45105 p^{241} T^{29} + 65025 p^{253} T^{30} - 255 p^{271} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	3	$ 1 + 6710 p T + 22512050 p^{2} T^{2} + 7311681770 p^{2} T^{3} - 12927495986850752 p^{2} T^{4} + 1399313286647457910 p^{6} T^{5} + $$74\!\cdots\!50$$ p^{10} T^{6} + $$25\!\cdots\!10$$ p^{10} T^{7} + $$99\!\cdots\!28$$ p^{12} T^{8} + $$39\!\cdots\!90$$ p^{15} T^{9} + $$16\!\cdots\!50$$ p^{18} T^{10} + $$87\!\cdots\!30$$ p^{20} T^{11} + $$23\!\cdots\!76$$ p^{22} T^{12} + $$11\!\cdots\!50$$ p^{25} T^{13} + $$89\!\cdots\!50$$ p^{30} T^{14} + $$63\!\cdots\!50$$ p^{31} T^{15} + $$46\!\cdots\!70$$ p^{32} T^{16} + $$63\!\cdots\!50$$ p^{49} T^{17} + $$89\!\cdots\!50$$ p^{66} T^{18} + $$11\!\cdots\!50$$ p^{79} T^{19} + $$23\!\cdots\!76$$ p^{94} T^{20} + $$87\!\cdots\!30$$ p^{110} T^{21} + $$16\!\cdots\!50$$ p^{126} T^{22} + $$39\!\cdots\!90$$ p^{141} T^{23} + $$99\!\cdots\!28$$ p^{156} T^{24} + $$25\!\cdots\!10$$ p^{172} T^{25} + $$74\!\cdots\!50$$ p^{190} T^{26} + 1399313286647457910 p^{204} T^{27} - 12927495986850752 p^{218} T^{28} + 7311681770 p^{236} T^{29} + 22512050 p^{254} T^{30} + 6710 p^{271} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	7	$ 1 - 78767350 T + 3102147713011250 T^{2} - $$75\!\cdots\!50$$ T^{3} - $$40\!\cdots\!08$$ T^{4} + $$34\!\cdots\!50$$ p T^{5} - $$72\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{6} - $$68\!\cdots\!50$$ p^{3} T^{7} + $$92\!\cdots\!28$$ p^{4} T^{8} - $$22\!\cdots\!50$$ p^{5} T^{9} - $$65\!\cdots\!50$$ p^{6} T^{10} + $$10\!\cdots\!50$$ p^{8} T^{11} + $$38\!\cdots\!56$$ p^{10} T^{12} - $$11\!\cdots\!50$$ p^{12} T^{13} + $$49\!\cdots\!50$$ p^{14} T^{14} + $$47\!\cdots\!50$$ p^{16} T^{15} - $$10\!\cdots\!70$$ p^{18} T^{16} + $$47\!\cdots\!50$$ p^{34} T^{17} + $$49\!\cdots\!50$$ p^{50} T^{18} - $$11\!\cdots\!50$$ p^{66} T^{19} + $$38\!\cdots\!56$$ p^{82} T^{20} + $$10\!\cdots\!50$$ p^{98} T^{21} - $$65\!\cdots\!50$$ p^{114} T^{22} - $$22\!\cdots\!50$$ p^{131} T^{23} + $$92\!\cdots\!28$$ p^{148} T^{24} - $$68\!\cdots\!50$$ p^{165} T^{25} - $$72\!\cdots\!50$$ p^{182} T^{26} + $$34\!\cdots\!50$$ p^{199} T^{27} - $$40\!\cdots\!08$$ p^{216} T^{28} - $$75\!\cdots\!50$$ p^{234} T^{29} + 3102147713011250 p^{252} T^{30} - 78767350 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	11	$ ( 1 - 2359960506 T + 28713079304563971520 T^{2} - $$49\!\cdots\!10$$ T^{3} + $$34\!\cdots\!20$$ p T^{4} - $$42\!\cdots\!58$$ p^{2} T^{5} + $$22\!\cdots\!08$$ p^{4} T^{6} - $$25\!\cdots\!90$$ p^{4} T^{7} + $$11\!\cdots\!70$$ p^{6} T^{8} - $$25\!\cdots\!90$$ p^{22} T^{9} + $$22\!\cdots\!08$$ p^{40} T^{10} - $$42\!\cdots\!58$$ p^{56} T^{11} + $$34\!\cdots\!20$$ p^{73} T^{12} - $$49\!\cdots\!10$$ p^{90} T^{13} + 28713079304563971520 p^{108} T^{14} - 2359960506 p^{126} T^{15} + p^{144} T^{16} )^{2} $
	13	$ 1 - 8689116940 T + 37750376598497481800 T^{2} - $$31\!\cdots\!40$$ T^{3} - $$18\!\cdots\!28$$ T^{4} - $$91\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{5} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} - $$10\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{7} + $$56\!\cdots\!88$$ p^{4} T^{8} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{9} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{10} + $$42\!\cdots\!80$$ p^{7} T^{11} + $$57\!\cdots\!44$$ p^{8} T^{12} - $$49\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{13} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{14} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{15} - $$11\!\cdots\!30$$ p^{12} T^{16} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{29} T^{17} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{46} T^{18} - $$49\!\cdots\!00$$ p^{63} T^{19} + $$57\!\cdots\!44$$ p^{80} T^{20} + $$42\!\cdots\!80$$ p^{97} T^{21} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{115} T^{22} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{131} T^{23} + $$56\!\cdots\!88$$ p^{148} T^{24} - $$10\!\cdots\!20$$ p^{166} T^{25} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{184} T^{26} - $$91\!\cdots\!80$$ p^{200} T^{27} - $$18\!\cdots\!28$$ p^{216} T^{28} - $$31\!\cdots\!40$$ p^{234} T^{29} + 37750376598497481800 p^{252} T^{30} - 8689116940 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	17	$ 1 + 13044010860 p T + 85073109657898969800 p^{2} T^{2} - $$55\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} - $$18\!\cdots\!88$$ p^{4} T^{4} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{5} + $$41\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} + $$17\!\cdots\!20$$ p^{7} T^{7} - $$12\!\cdots\!12$$ p^{8} T^{8} - $$12\!\cdots\!40$$ p^{9} T^{9} + $$32\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{10} + $$10\!\cdots\!40$$ p^{11} T^{11} + $$35\!\cdots\!64$$ p^{12} T^{12} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{13} T^{13} - $$22\!\cdots\!00$$ p^{14} T^{14} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{15} + $$20\!\cdots\!70$$ p^{16} T^{16} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{17} - $$22\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{18} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{67} T^{19} + $$35\!\cdots\!64$$ p^{84} T^{20} + $$10\!\cdots\!40$$ p^{101} T^{21} + $$32\!\cdots\!00$$ p^{118} T^{22} - $$12\!\cdots\!40$$ p^{135} T^{23} - $$12\!\cdots\!12$$ p^{152} T^{24} + $$17\!\cdots\!20$$ p^{169} T^{25} + $$41\!\cdots\!00$$ p^{186} T^{26} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{203} T^{27} - $$18\!\cdots\!88$$ p^{220} T^{28} - $$55\!\cdots\!60$$ p^{237} T^{29} + 85073109657898969800 p^{254} T^{30} + 13044010860 p^{271} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	19	$ 1 - $$10\!\cdots\!56$$ T^{2} + $$55\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$19\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$51\!\cdots\!20$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$17\!\cdots\!28$$ T^{12} - $$24\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$27\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$24\!\cdots\!40$$ p^{36} T^{18} + $$17\!\cdots\!28$$ p^{72} T^{20} - $$10\!\cdots\!68$$ p^{108} T^{22} + $$51\!\cdots\!20$$ p^{144} T^{24} - $$19\!\cdots\!60$$ p^{180} T^{26} + $$55\!\cdots\!20$$ p^{216} T^{28} - $$10\!\cdots\!56$$ p^{252} T^{30} + p^{288} T^{32} $
	23	$ 1 + 3507966822690 T + $$61\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$95\!\cdots\!90$$ T^{3} - $$57\!\cdots\!88$$ T^{4} - $$44\!\cdots\!30$$ T^{5} - $$75\!\cdots\!50$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!30$$ T^{7} - $$12\!\cdots\!12$$ T^{8} - $$21\!\cdots\!10$$ T^{9} + $$22\!\cdots\!50$$ T^{10} + $$16\!\cdots\!90$$ T^{11} + $$36\!\cdots\!64$$ T^{12} + $$60\!\cdots\!50$$ T^{13} + $$14\!\cdots\!50$$ T^{14} + $$48\!\cdots\!50$$ T^{15} + $$12\!\cdots\!70$$ T^{16} + $$48\!\cdots\!50$$ p^{18} T^{17} + $$14\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{18} + $$60\!\cdots\!50$$ p^{54} T^{19} + $$36\!\cdots\!64$$ p^{72} T^{20} + $$16\!\cdots\!90$$ p^{90} T^{21} + $$22\!\cdots\!50$$ p^{108} T^{22} - $$21\!\cdots\!10$$ p^{126} T^{23} - $$12\!\cdots\!12$$ p^{144} T^{24} - $$12\!\cdots\!30$$ p^{162} T^{25} - $$75\!\cdots\!50$$ p^{180} T^{26} - $$44\!\cdots\!30$$ p^{198} T^{27} - $$57\!\cdots\!88$$ p^{216} T^{28} + $$95\!\cdots\!90$$ p^{234} T^{29} + $$61\!\cdots\!50$$ p^{252} T^{30} + 3507966822690 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	29	$ 1 - $$16\!\cdots\!76$$ T^{2} + $$13\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$66\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$23\!\cdots\!20$$ T^{8} - $$63\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!88$$ T^{12} - $$28\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$56\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$28\!\cdots\!40$$ p^{36} T^{18} + $$14\!\cdots\!88$$ p^{72} T^{20} - $$63\!\cdots\!68$$ p^{108} T^{22} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{144} T^{24} - $$66\!\cdots\!60$$ p^{180} T^{26} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{216} T^{28} - $$16\!\cdots\!76$$ p^{252} T^{30} + p^{288} T^{32} $
	31	$ ( 1 - 26516701470886 T + $$35\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$74\!\cdots\!10$$ T^{3} + $$59\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!18$$ T^{5} + $$64\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$90\!\cdots\!90$$ T^{7} + $$51\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$90\!\cdots\!90$$ p^{18} T^{9} + $$64\!\cdots\!68$$ p^{36} T^{10} - $$10\!\cdots\!18$$ p^{54} T^{11} + $$59\!\cdots\!20$$ p^{72} T^{12} - $$74\!\cdots\!10$$ p^{90} T^{13} + $$35\!\cdots\!20$$ p^{108} T^{14} - 26516701470886 p^{126} T^{15} + p^{144} T^{16} )^{2} $
	37	$ 1 + 29247362581160 T + $$42\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$24\!\cdots\!60$$ T^{3} - $$35\!\cdots\!28$$ T^{4} - $$31\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$13\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$57\!\cdots\!68$$ T^{8} - $$16\!\cdots\!40$$ T^{9} + $$23\!\cdots\!00$$ p T^{10} + $$10\!\cdots\!60$$ T^{11} - $$15\!\cdots\!76$$ T^{12} - $$68\!\cdots\!00$$ T^{13} + $$31\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$42\!\cdots\!00$$ T^{15} - $$17\!\cdots\!30$$ T^{16} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{17} + $$31\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$68\!\cdots\!00$$ p^{54} T^{19} - $$15\!\cdots\!76$$ p^{72} T^{20} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{90} T^{21} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{109} T^{22} - $$16\!\cdots\!40$$ p^{126} T^{23} + $$57\!\cdots\!68$$ p^{144} T^{24} + $$13\!\cdots\!80$$ p^{162} T^{25} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{180} T^{26} - $$31\!\cdots\!20$$ p^{198} T^{27} - $$35\!\cdots\!28$$ p^{216} T^{28} + $$24\!\cdots\!60$$ p^{234} T^{29} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{252} T^{30} + 29247362581160 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	41	$ ( 1 + 358585218205374 T + $$70\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$23\!\cdots\!90$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!20$$ T^{4} + $$69\!\cdots\!82$$ T^{5} + $$46\!\cdots\!88$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!10$$ T^{7} + $$61\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!10$$ p^{18} T^{9} + $$46\!\cdots\!88$$ p^{36} T^{10} + $$69\!\cdots\!82$$ p^{54} T^{11} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{72} T^{12} + $$23\!\cdots\!90$$ p^{90} T^{13} + $$70\!\cdots\!20$$ p^{108} T^{14} + 358585218205374 p^{126} T^{15} + p^{144} T^{16} )^{2} $
	43	$ 1 - 30131388800650 p T + $$45\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{2} - $$78\!\cdots\!50$$ T^{3} + $$74\!\cdots\!92$$ T^{4} - $$43\!\cdots\!50$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!50$$ T^{6} - $$18\!\cdots\!50$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!28$$ T^{8} - $$45\!\cdots\!50$$ T^{9} + $$27\!\cdots\!50$$ T^{10} - $$16\!\cdots\!50$$ T^{11} + $$66\!\cdots\!44$$ T^{12} - $$31\!\cdots\!50$$ T^{13} + $$20\!\cdots\!50$$ T^{14} - $$94\!\cdots\!50$$ T^{15} + $$37\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$94\!\cdots\!50$$ p^{18} T^{17} + $$20\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{18} - $$31\!\cdots\!50$$ p^{54} T^{19} + $$66\!\cdots\!44$$ p^{72} T^{20} - $$16\!\cdots\!50$$ p^{90} T^{21} + $$27\!\cdots\!50$$ p^{108} T^{22} - $$45\!\cdots\!50$$ p^{126} T^{23} + $$10\!\cdots\!28$$ p^{144} T^{24} - $$18\!\cdots\!50$$ p^{162} T^{25} + $$24\!\cdots\!50$$ p^{180} T^{26} - $$43\!\cdots\!50$$ p^{198} T^{27} + $$74\!\cdots\!92$$ p^{216} T^{28} - $$78\!\cdots\!50$$ p^{234} T^{29} + $$45\!\cdots\!50$$ p^{254} T^{30} - 30131388800650 p^{271} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	47	$ 1 - 5324712362382270 T + $$14\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$26\!\cdots\!70$$ T^{3} + $$41\!\cdots\!32$$ T^{4} - $$57\!\cdots\!10$$ T^{5} + $$77\!\cdots\!50$$ T^{6} - $$10\!\cdots\!10$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!70$$ T^{9} + $$17\!\cdots\!50$$ T^{10} - $$20\!\cdots\!70$$ T^{11} + $$26\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$33\!\cdots\!50$$ T^{13} + $$40\!\cdots\!50$$ T^{14} - $$46\!\cdots\!50$$ T^{15} + $$52\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$46\!\cdots\!50$$ p^{18} T^{17} + $$40\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{18} - $$33\!\cdots\!50$$ p^{54} T^{19} + $$26\!\cdots\!84$$ p^{72} T^{20} - $$20\!\cdots\!70$$ p^{90} T^{21} + $$17\!\cdots\!50$$ p^{108} T^{22} - $$14\!\cdots\!70$$ p^{126} T^{23} + $$12\!\cdots\!48$$ p^{144} T^{24} - $$10\!\cdots\!10$$ p^{162} T^{25} + $$77\!\cdots\!50$$ p^{180} T^{26} - $$57\!\cdots\!10$$ p^{198} T^{27} + $$41\!\cdots\!32$$ p^{216} T^{28} - $$26\!\cdots\!70$$ p^{234} T^{29} + $$14\!\cdots\!50$$ p^{252} T^{30} - 5324712362382270 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	53	$ 1 - 25019175284457720 T + $$31\!\cdots\!00$$ T^{2} - $$26\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$17\!\cdots\!32$$ T^{4} - $$93\!\cdots\!60$$ T^{5} + $$43\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$17\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$65\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$21\!\cdots\!20$$ T^{9} + $$61\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$14\!\cdots\!20$$ T^{11} + $$18\!\cdots\!84$$ T^{12} + $$40\!\cdots\!00$$ T^{13} - $$43\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$21\!\cdots\!00$$ T^{15} - $$78\!\cdots\!30$$ T^{16} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{17} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{54} T^{19} + $$18\!\cdots\!84$$ p^{72} T^{20} - $$14\!\cdots\!20$$ p^{90} T^{21} + $$61\!\cdots\!00$$ p^{108} T^{22} - $$21\!\cdots\!20$$ p^{126} T^{23} + $$65\!\cdots\!48$$ p^{144} T^{24} - $$17\!\cdots\!60$$ p^{162} T^{25} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{180} T^{26} - $$93\!\cdots\!60$$ p^{198} T^{27} + $$17\!\cdots\!32$$ p^{216} T^{28} - $$26\!\cdots\!20$$ p^{234} T^{29} + $$31\!\cdots\!00$$ p^{252} T^{30} - 25019175284457720 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	59	$ 1 - $$49\!\cdots\!36$$ T^{2} + $$13\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$27\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$42\!\cdots\!20$$ T^{8} - $$54\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$59\!\cdots\!68$$ T^{12} - $$55\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$44\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$55\!\cdots\!40$$ p^{36} T^{18} + $$59\!\cdots\!68$$ p^{72} T^{20} - $$54\!\cdots\!68$$ p^{108} T^{22} + $$42\!\cdots\!20$$ p^{144} T^{24} - $$27\!\cdots\!60$$ p^{180} T^{26} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{216} T^{28} - $$49\!\cdots\!36$$ p^{252} T^{30} + p^{288} T^{32} $
	61	$ ( 1 + 27556333990975694 T + $$10\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$34\!\cdots\!90$$ p T^{3} + $$48\!\cdots\!20$$ T^{4} + $$74\!\cdots\!82$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!28$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!10$$ T^{7} + $$20\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{18} T^{9} + $$12\!\cdots\!28$$ p^{36} T^{10} + $$74\!\cdots\!82$$ p^{54} T^{11} + $$48\!\cdots\!20$$ p^{72} T^{12} + $$34\!\cdots\!90$$ p^{91} T^{13} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{108} T^{14} + 27556333990975694 p^{126} T^{15} + p^{144} T^{16} )^{2} $
	67	$ 1 - 132604737823930030 T + $$87\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$41\!\cdots\!30$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!52$$ T^{4} - $$48\!\cdots\!90$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!50$$ T^{6} - $$38\!\cdots\!90$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!08$$ T^{8} - $$29\!\cdots\!30$$ T^{9} + $$76\!\cdots\!50$$ T^{10} - $$18\!\cdots\!30$$ T^{11} + $$40\!\cdots\!04$$ T^{12} - $$88\!\cdots\!50$$ T^{13} + $$20\!\cdots\!50$$ T^{14} - $$49\!\cdots\!50$$ T^{15} + $$12\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$49\!\cdots\!50$$ p^{18} T^{17} + $$20\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{18} - $$88\!\cdots\!50$$ p^{54} T^{19} + $$40\!\cdots\!04$$ p^{72} T^{20} - $$18\!\cdots\!30$$ p^{90} T^{21} + $$76\!\cdots\!50$$ p^{108} T^{22} - $$29\!\cdots\!30$$ p^{126} T^{23} + $$10\!\cdots\!08$$ p^{144} T^{24} - $$38\!\cdots\!90$$ p^{162} T^{25} + $$13\!\cdots\!50$$ p^{180} T^{26} - $$48\!\cdots\!90$$ p^{198} T^{27} + $$15\!\cdots\!52$$ p^{216} T^{28} - $$41\!\cdots\!30$$ p^{234} T^{29} + $$87\!\cdots\!50$$ p^{252} T^{30} - 132604737823930030 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	71	$ ( 1 + 74144110042054554 T + $$11\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$58\!\cdots\!90$$ T^{3} + $$47\!\cdots\!20$$ T^{4} + $$15\!\cdots\!82$$ T^{5} + $$87\!\cdots\!48$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!10$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{18} T^{9} + $$87\!\cdots\!48$$ p^{36} T^{10} + $$15\!\cdots\!82$$ p^{54} T^{11} + $$47\!\cdots\!20$$ p^{72} T^{12} + $$58\!\cdots\!90$$ p^{90} T^{13} + $$11\!\cdots\!20$$ p^{108} T^{14} + 74144110042054554 p^{126} T^{15} + p^{144} T^{16} )^{2} $
	73	$ 1 - 357896091854250160 T + $$64\!\cdots\!00$$ T^{2} - $$79\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$83\!\cdots\!12$$ T^{4} - $$81\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$75\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$64\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$51\!\cdots\!88$$ T^{8} - $$39\!\cdots\!60$$ T^{9} + $$29\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$20\!\cdots\!60$$ T^{11} + $$14\!\cdots\!64$$ T^{12} - $$93\!\cdots\!00$$ T^{13} + $$59\!\cdots\!00$$ T^{14} - $$37\!\cdots\!00$$ T^{15} + $$22\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$37\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{17} + $$59\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$93\!\cdots\!00$$ p^{54} T^{19} + $$14\!\cdots\!64$$ p^{72} T^{20} - $$20\!\cdots\!60$$ p^{90} T^{21} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{108} T^{22} - $$39\!\cdots\!60$$ p^{126} T^{23} + $$51\!\cdots\!88$$ p^{144} T^{24} - $$64\!\cdots\!80$$ p^{162} T^{25} + $$75\!\cdots\!00$$ p^{180} T^{26} - $$81\!\cdots\!80$$ p^{198} T^{27} + $$83\!\cdots\!12$$ p^{216} T^{28} - $$79\!\cdots\!60$$ p^{234} T^{29} + $$64\!\cdots\!00$$ p^{252} T^{30} - 357896091854250160 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	79	$ 1 - $$10\!\cdots\!76$$ T^{2} + $$61\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$23\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$65\!\cdots\!20$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$27\!\cdots\!88$$ T^{12} - $$44\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$67\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$44\!\cdots\!40$$ p^{36} T^{18} + $$27\!\cdots\!88$$ p^{72} T^{20} - $$14\!\cdots\!68$$ p^{108} T^{22} + $$65\!\cdots\!20$$ p^{144} T^{24} - $$23\!\cdots\!60$$ p^{180} T^{26} + $$61\!\cdots\!20$$ p^{216} T^{28} - $$10\!\cdots\!76$$ p^{252} T^{30} + p^{288} T^{32} $
	83	$ 1 - 314012877447835830 T + $$49\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!30$$ T^{3} + $$36\!\cdots\!52$$ T^{4} - $$55\!\cdots\!90$$ T^{5} + $$72\!\cdots\!50$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!90$$ T^{7} + $$45\!\cdots\!08$$ T^{8} - $$97\!\cdots\!30$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!50$$ T^{10} - $$36\!\cdots\!30$$ T^{11} + $$87\!\cdots\!04$$ T^{12} - $$12\!\cdots\!50$$ T^{13} + $$17\!\cdots\!50$$ T^{14} - $$34\!\cdots\!50$$ T^{15} + $$66\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$34\!\cdots\!50$$ p^{18} T^{17} + $$17\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{18} - $$12\!\cdots\!50$$ p^{54} T^{19} + $$87\!\cdots\!04$$ p^{72} T^{20} - $$36\!\cdots\!30$$ p^{90} T^{21} + $$15\!\cdots\!50$$ p^{108} T^{22} - $$97\!\cdots\!30$$ p^{126} T^{23} + $$45\!\cdots\!08$$ p^{144} T^{24} - $$14\!\cdots\!90$$ p^{162} T^{25} + $$72\!\cdots\!50$$ p^{180} T^{26} - $$55\!\cdots\!90$$ p^{198} T^{27} + $$36\!\cdots\!52$$ p^{216} T^{28} - $$12\!\cdots\!30$$ p^{234} T^{29} + $$49\!\cdots\!50$$ p^{252} T^{30} - 314012877447835830 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
	89	$ 1 - $$15\!\cdots\!96$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$56\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!20$$ T^{8} - $$52\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!48$$ T^{12} - $$18\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$24\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$18\!\cdots\!40$$ p^{36} T^{18} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{72} T^{20} - $$52\!\cdots\!68$$ p^{108} T^{22} + $$19\!\cdots\!20$$ p^{144} T^{24} - $$56\!\cdots\!60$$ p^{180} T^{26} + $$11\!\cdots\!20$$ p^{216} T^{28} - $$15\!\cdots\!96$$ p^{252} T^{30} + p^{288} T^{32} $
	97	$ 1 + 1689002222572272080 T + $$14\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$19\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$26\!\cdots\!32$$ T^{4} + $$18\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!48$$ T^{8} + $$34\!\cdots\!80$$ T^{9} + $$32\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$28\!\cdots\!80$$ T^{11} - $$10\!\cdots\!16$$ T^{12} - $$19\!\cdots\!00$$ T^{13} - $$56\!\cdots\!00$$ T^{14} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{15} - $$16\!\cdots\!30$$ T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{17} - $$56\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{18} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{54} T^{19} - $$10\!\cdots\!16$$ p^{72} T^{20} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{90} T^{21} + $$32\!\cdots\!00$$ p^{108} T^{22} + $$34\!\cdots\!80$$ p^{126} T^{23} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{144} T^{24} + $$15\!\cdots\!40$$ p^{162} T^{25} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{180} T^{26} + $$18\!\cdots\!40$$ p^{198} T^{27} + $$26\!\cdots\!32$$ p^{216} T^{28} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{234} T^{29} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{252} T^{30} + 1689002222572272080 p^{270} T^{31} + p^{288} T^{32} $
show more
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.04044855090925861950481762622, −3.96700956123754619967464388169, −3.75392958326901112711201650627, −3.71902837855600734500635613958, −3.71703611017311163357340789018, −3.45718138057487525605103528011, −2.89237217784050611803794623987, −2.66725342622338412787428983719, −2.58637362347973051677985611966, −2.48940728021242223648319385214, −2.42630982579988847909316334501, −2.31651593181911805259673370732, −2.23448877161741421127792535961, −2.13584192351558020191990970915, −1.53809498293829674907300479998, −1.44044894777519871023004847778, −1.39463722793724660817379951869, −1.37301684162037961421319640406, −1.05328973793454119338267826042, −0.941511756899551923955295888098, −0.933202697606091261481187208019, −0.912515869123774828921262765360, −0.51171213908461901556634266767, −0.25305331787013131043366254007, −0.19709014139290633029209508183, 0.19709014139290633029209508183, 0.25305331787013131043366254007, 0.51171213908461901556634266767, 0.912515869123774828921262765360, 0.933202697606091261481187208019, 0.941511756899551923955295888098, 1.05328973793454119338267826042, 1.37301684162037961421319640406, 1.39463722793724660817379951869, 1.44044894777519871023004847778, 1.53809498293829674907300479998, 2.13584192351558020191990970915, 2.23448877161741421127792535961, 2.31651593181911805259673370732, 2.42630982579988847909316334501, 2.48940728021242223648319385214, 2.58637362347973051677985611966, 2.66725342622338412787428983719, 2.89237217784050611803794623987, 3.45718138057487525605103528011, 3.71703611017311163357340789018, 3.71902837855600734500635613958, 3.75392958326901112711201650627, 3.96700956123754619967464388169, 4.04044855090925861950481762622

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(\frac{19}{2})\)	\(\approx\)	\(50.43152802\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(50.43152802\)
\(L(10)\)		not available
\(L(1)\)		not available

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Varieties

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