Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 2-s + 18·3-s − 4·4-s + 10·5-s − 18·6-s − 7·7-s + 4·8-s + 171·9-s − 10·10-s − 72·12-s − 18·13-s + 7·14-s + 180·15-s + 5·16-s + 5·17-s − 171·18-s − 10·19-s − 40·20-s − 126·21-s + 9·23-s + 72·24-s + 31·25-s + 18·26-s + 1.14e3·27-s + 28·28-s − 180·30-s + 36·31-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.707·2-s + 10.3·3-s − 2·4-s + 4.47·5-s − 7.34·6-s − 2.64·7-s + 1.41·8-s + 57·9-s − 3.16·10-s − 20.7·12-s − 4.99·13-s + 1.87·14-s + 46.4·15-s + 5/4·16-s + 1.21·17-s − 40.3·18-s − 2.29·19-s − 8.94·20-s − 27.4·21-s + 1.87·23-s + 14.6·24-s + 31/5·25-s + 3.53·26-s + 219.·27-s + 5.29·28-s − 32.8·30-s + 6.46·31-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{18} \cdot 11^{36} \cdot 13^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{18} \cdot 11^{36} \cdot 13^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(3^{18} \cdot 11^{36} \cdot 13^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.34578\times 10^{28}\) |
| Root analytic conductor: | \(6.13851\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 3^{18} \cdot 11^{36} \cdot 13^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(84279.19469\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(84279.19469\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 - T )^{18} \) |
| 11 | \( 1 \) | |
| 13 | \( ( 1 + T )^{18} \) | |
| good | 2 | \( 1 + T + 5 T^{2} + 5 T^{3} + p^{4} T^{4} + 11 p T^{5} + 47 T^{6} + 33 p T^{7} + 115 T^{8} + 41 p^{2} T^{9} + 283 T^{10} + 403 T^{11} + 633 T^{12} + 895 T^{13} + 721 p T^{14} + 1011 p T^{15} + 3315 T^{16} + 1995 p T^{17} + 6755 T^{18} + 1995 p^{2} T^{19} + 3315 p^{2} T^{20} + 1011 p^{4} T^{21} + 721 p^{5} T^{22} + 895 p^{5} T^{23} + 633 p^{6} T^{24} + 403 p^{7} T^{25} + 283 p^{8} T^{26} + 41 p^{11} T^{27} + 115 p^{10} T^{28} + 33 p^{12} T^{29} + 47 p^{12} T^{30} + 11 p^{14} T^{31} + p^{18} T^{32} + 5 p^{15} T^{33} + 5 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 5 | \( 1 - 2 p T + 69 T^{2} - 356 T^{3} + 311 p T^{4} - 5873 T^{5} + 20086 T^{6} - 62507 T^{7} + 180808 T^{8} - 96977 p T^{9} + 1219362 T^{10} - 571759 p T^{11} + 6307853 T^{12} - 13012852 T^{13} + 5087139 p T^{14} - 47052486 T^{15} + 85710547 T^{16} - 159429484 T^{17} + 333369776 T^{18} - 159429484 p T^{19} + 85710547 p^{2} T^{20} - 47052486 p^{3} T^{21} + 5087139 p^{5} T^{22} - 13012852 p^{5} T^{23} + 6307853 p^{6} T^{24} - 571759 p^{8} T^{25} + 1219362 p^{8} T^{26} - 96977 p^{10} T^{27} + 180808 p^{10} T^{28} - 62507 p^{11} T^{29} + 20086 p^{12} T^{30} - 5873 p^{13} T^{31} + 311 p^{15} T^{32} - 356 p^{15} T^{33} + 69 p^{16} T^{34} - 2 p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 + p T + 57 T^{2} + 264 T^{3} + 1387 T^{4} + 4973 T^{5} + 20586 T^{6} + 60862 T^{7} + 222416 T^{8} + 570839 T^{9} + 40805 p^{2} T^{10} + 4647031 T^{11} + 16317904 T^{12} + 34438832 T^{13} + 17328230 p T^{14} + 4662031 p^{2} T^{15} + 824976772 T^{16} + 1434906017 T^{17} + 5584229436 T^{18} + 1434906017 p T^{19} + 824976772 p^{2} T^{20} + 4662031 p^{5} T^{21} + 17328230 p^{5} T^{22} + 34438832 p^{5} T^{23} + 16317904 p^{6} T^{24} + 4647031 p^{7} T^{25} + 40805 p^{10} T^{26} + 570839 p^{9} T^{27} + 222416 p^{10} T^{28} + 60862 p^{11} T^{29} + 20586 p^{12} T^{30} + 4973 p^{13} T^{31} + 1387 p^{14} T^{32} + 264 p^{15} T^{33} + 57 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 - 5 T + 118 T^{2} - 470 T^{3} + 7024 T^{4} - 24030 T^{5} + 293145 T^{6} - 901728 T^{7} + 9774481 T^{8} - 27675003 T^{9} + 276403685 T^{10} - 729414693 T^{11} + 6836589811 T^{12} - 16962011104 T^{13} + 150531799259 T^{14} - 353749829954 T^{15} + 2980749148523 T^{16} - 6660735305461 T^{17} + 53303280697186 T^{18} - 6660735305461 p T^{19} + 2980749148523 p^{2} T^{20} - 353749829954 p^{3} T^{21} + 150531799259 p^{4} T^{22} - 16962011104 p^{5} T^{23} + 6836589811 p^{6} T^{24} - 729414693 p^{7} T^{25} + 276403685 p^{8} T^{26} - 27675003 p^{9} T^{27} + 9774481 p^{10} T^{28} - 901728 p^{11} T^{29} + 293145 p^{12} T^{30} - 24030 p^{13} T^{31} + 7024 p^{14} T^{32} - 470 p^{15} T^{33} + 118 p^{16} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 + 10 T + 183 T^{2} + 1511 T^{3} + 15954 T^{4} + 114474 T^{5} + 910023 T^{6} + 5844947 T^{7} + 38856656 T^{8} + 227751128 T^{9} + 1339422353 T^{10} + 7267268306 T^{11} + 39088292074 T^{12} + 198392833969 T^{13} + 994436975533 T^{14} + 4753393685340 T^{15} + 22409554800531 T^{16} + 101199909217115 T^{17} + 450434175562760 T^{18} + 101199909217115 p T^{19} + 22409554800531 p^{2} T^{20} + 4753393685340 p^{3} T^{21} + 994436975533 p^{4} T^{22} + 198392833969 p^{5} T^{23} + 39088292074 p^{6} T^{24} + 7267268306 p^{7} T^{25} + 1339422353 p^{8} T^{26} + 227751128 p^{9} T^{27} + 38856656 p^{10} T^{28} + 5844947 p^{11} T^{29} + 910023 p^{12} T^{30} + 114474 p^{13} T^{31} + 15954 p^{14} T^{32} + 1511 p^{15} T^{33} + 183 p^{16} T^{34} + 10 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 9 T + 188 T^{2} - 1336 T^{3} + 16732 T^{4} - 102531 T^{5} + 993657 T^{6} - 239689 p T^{7} + 45620889 T^{8} - 10280719 p T^{9} + 76313582 p T^{10} - 8646491709 T^{11} + 58990064435 T^{12} - 277697223379 T^{13} + 1763015023447 T^{14} - 7929448774199 T^{15} + 47260294141959 T^{16} - 202747354309259 T^{17} + 1142985589358436 T^{18} - 202747354309259 p T^{19} + 47260294141959 p^{2} T^{20} - 7929448774199 p^{3} T^{21} + 1763015023447 p^{4} T^{22} - 277697223379 p^{5} T^{23} + 58990064435 p^{6} T^{24} - 8646491709 p^{7} T^{25} + 76313582 p^{9} T^{26} - 10280719 p^{10} T^{27} + 45620889 p^{10} T^{28} - 239689 p^{12} T^{29} + 993657 p^{12} T^{30} - 102531 p^{13} T^{31} + 16732 p^{14} T^{32} - 1336 p^{15} T^{33} + 188 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 + 233 T^{2} + 45 T^{3} + 26660 T^{4} + 4706 T^{5} + 1999989 T^{6} - 2087 T^{7} + 110520288 T^{8} - 31342700 T^{9} + 4811341581 T^{10} - 2966055086 T^{11} + 174023507406 T^{12} - 164557837247 T^{13} + 5522037088063 T^{14} - 6716348015232 T^{15} + 163073617765949 T^{16} - 224417716399903 T^{17} + 4722957415705836 T^{18} - 224417716399903 p T^{19} + 163073617765949 p^{2} T^{20} - 6716348015232 p^{3} T^{21} + 5522037088063 p^{4} T^{22} - 164557837247 p^{5} T^{23} + 174023507406 p^{6} T^{24} - 2966055086 p^{7} T^{25} + 4811341581 p^{8} T^{26} - 31342700 p^{9} T^{27} + 110520288 p^{10} T^{28} - 2087 p^{11} T^{29} + 1999989 p^{12} T^{30} + 4706 p^{13} T^{31} + 26660 p^{14} T^{32} + 45 p^{15} T^{33} + 233 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 - 36 T + 877 T^{2} - 15746 T^{3} + 236683 T^{4} - 3053432 T^{5} + 35226070 T^{6} - 367690306 T^{7} + 3540390202 T^{8} - 31645803988 T^{9} + 265455960263 T^{10} - 2097051574396 T^{11} + 15705990250042 T^{12} - 111726851322826 T^{13} + 758142177190726 T^{14} - 4910703330534864 T^{15} + 30447313213331008 T^{16} - 5828105081821290 p T^{17} + 1027840830007671904 T^{18} - 5828105081821290 p^{2} T^{19} + 30447313213331008 p^{2} T^{20} - 4910703330534864 p^{3} T^{21} + 758142177190726 p^{4} T^{22} - 111726851322826 p^{5} T^{23} + 15705990250042 p^{6} T^{24} - 2097051574396 p^{7} T^{25} + 265455960263 p^{8} T^{26} - 31645803988 p^{9} T^{27} + 3540390202 p^{10} T^{28} - 367690306 p^{11} T^{29} + 35226070 p^{12} T^{30} - 3053432 p^{13} T^{31} + 236683 p^{14} T^{32} - 15746 p^{15} T^{33} + 877 p^{16} T^{34} - 36 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - p T + 979 T^{2} - 18679 T^{3} + 298769 T^{4} - 4038947 T^{5} + 48548439 T^{6} - 522648907 T^{7} + 5174287820 T^{8} - 47405022400 T^{9} + 408654754410 T^{10} - 3329309436132 T^{11} + 25899993655836 T^{12} - 192731260491593 T^{13} + 1379791472647241 T^{14} - 9501849966462937 T^{15} + 63150125944276990 T^{16} - 404674937116375740 T^{17} + 2505890470861346342 T^{18} - 404674937116375740 p T^{19} + 63150125944276990 p^{2} T^{20} - 9501849966462937 p^{3} T^{21} + 1379791472647241 p^{4} T^{22} - 192731260491593 p^{5} T^{23} + 25899993655836 p^{6} T^{24} - 3329309436132 p^{7} T^{25} + 408654754410 p^{8} T^{26} - 47405022400 p^{9} T^{27} + 5174287820 p^{10} T^{28} - 522648907 p^{11} T^{29} + 48548439 p^{12} T^{30} - 4038947 p^{13} T^{31} + 298769 p^{14} T^{32} - 18679 p^{15} T^{33} + 979 p^{16} T^{34} - p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 + 12 T + 510 T^{2} + 4945 T^{3} + 120623 T^{4} + 984037 T^{5} + 18092637 T^{6} + 127675103 T^{7} + 1970006790 T^{8} + 12270971295 T^{9} + 167905080954 T^{10} + 937605980925 T^{11} + 11730755204490 T^{12} + 59471312739245 T^{13} + 691627539718611 T^{14} + 3217860808658751 T^{15} + 35033682475413328 T^{16} + 150975037980204791 T^{17} + 1539666686279218160 T^{18} + 150975037980204791 p T^{19} + 35033682475413328 p^{2} T^{20} + 3217860808658751 p^{3} T^{21} + 691627539718611 p^{4} T^{22} + 59471312739245 p^{5} T^{23} + 11730755204490 p^{6} T^{24} + 937605980925 p^{7} T^{25} + 167905080954 p^{8} T^{26} + 12270971295 p^{9} T^{27} + 1970006790 p^{10} T^{28} + 127675103 p^{11} T^{29} + 18092637 p^{12} T^{30} + 984037 p^{13} T^{31} + 120623 p^{14} T^{32} + 4945 p^{15} T^{33} + 510 p^{16} T^{34} + 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 - 2 T + 379 T^{2} - 178 T^{3} + 75093 T^{4} + 45244 T^{5} + 10350510 T^{6} + 14220240 T^{7} + 1101745462 T^{8} + 2112004432 T^{9} + 95359875140 T^{10} + 216622997952 T^{11} + 6912914981607 T^{12} + 17035032891582 T^{13} + 427262260095393 T^{14} + 1075618208458394 T^{15} + 22754135101580997 T^{16} + 55779673184474240 T^{17} + 1050104966106091764 T^{18} + 55779673184474240 p T^{19} + 22754135101580997 p^{2} T^{20} + 1075618208458394 p^{3} T^{21} + 427262260095393 p^{4} T^{22} + 17035032891582 p^{5} T^{23} + 6912914981607 p^{6} T^{24} + 216622997952 p^{7} T^{25} + 95359875140 p^{8} T^{26} + 2112004432 p^{9} T^{27} + 1101745462 p^{10} T^{28} + 14220240 p^{11} T^{29} + 10350510 p^{12} T^{30} + 45244 p^{13} T^{31} + 75093 p^{14} T^{32} - 178 p^{15} T^{33} + 379 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + 458 T^{2} - 676 T^{3} + 102095 T^{4} - 303999 T^{5} + 15052383 T^{6} - 65796664 T^{7} + 1681009912 T^{8} - 9219643725 T^{9} + 153106773798 T^{10} - 948798873122 T^{11} + 11814388727929 T^{12} - 76884185919157 T^{13} + 785554833381027 T^{14} - 5107329005109795 T^{15} + 45344244739239119 T^{16} - 284126630976156493 T^{17} + 2281195085518364309 T^{18} - 284126630976156493 p T^{19} + 45344244739239119 p^{2} T^{20} - 5107329005109795 p^{3} T^{21} + 785554833381027 p^{4} T^{22} - 76884185919157 p^{5} T^{23} + 11814388727929 p^{6} T^{24} - 948798873122 p^{7} T^{25} + 153106773798 p^{8} T^{26} - 9219643725 p^{9} T^{27} + 1681009912 p^{10} T^{28} - 65796664 p^{11} T^{29} + 15052383 p^{12} T^{30} - 303999 p^{13} T^{31} + 102095 p^{14} T^{32} - 676 p^{15} T^{33} + 458 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 - 18 T + 459 T^{2} - 6592 T^{3} + 102090 T^{4} - 1215717 T^{5} + 14891871 T^{6} - 154639188 T^{7} + 1646621800 T^{8} - 15543543482 T^{9} + 150253987463 T^{10} - 1319941886330 T^{11} + 11834791933934 T^{12} - 97688369467714 T^{13} + 821605690655573 T^{14} - 6405802759589681 T^{15} + 50881727732453727 T^{16} - 376420635885159162 T^{17} + 2836752946668712372 T^{18} - 376420635885159162 p T^{19} + 50881727732453727 p^{2} T^{20} - 6405802759589681 p^{3} T^{21} + 821605690655573 p^{4} T^{22} - 97688369467714 p^{5} T^{23} + 11834791933934 p^{6} T^{24} - 1319941886330 p^{7} T^{25} + 150253987463 p^{8} T^{26} - 15543543482 p^{9} T^{27} + 1646621800 p^{10} T^{28} - 154639188 p^{11} T^{29} + 14891871 p^{12} T^{30} - 1215717 p^{13} T^{31} + 102090 p^{14} T^{32} - 6592 p^{15} T^{33} + 459 p^{16} T^{34} - 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 - 10 T + 806 T^{2} - 7504 T^{3} + 311308 T^{4} - 2712162 T^{5} + 76974664 T^{6} - 629792276 T^{7} + 13730712865 T^{8} - 105699207020 T^{9} + 1886594259951 T^{10} - 13662897292258 T^{11} + 207923730783386 T^{12} - 1413507235170852 T^{13} + 18866478320664413 T^{14} - 119872603061474562 T^{15} + 1432589356177920249 T^{16} - 8451451081131968888 T^{17} + 91851655642882122423 T^{18} - 8451451081131968888 p T^{19} + 1432589356177920249 p^{2} T^{20} - 119872603061474562 p^{3} T^{21} + 18866478320664413 p^{4} T^{22} - 1413507235170852 p^{5} T^{23} + 207923730783386 p^{6} T^{24} - 13662897292258 p^{7} T^{25} + 1886594259951 p^{8} T^{26} - 105699207020 p^{9} T^{27} + 13730712865 p^{10} T^{28} - 629792276 p^{11} T^{29} + 76974664 p^{12} T^{30} - 2712162 p^{13} T^{31} + 311308 p^{14} T^{32} - 7504 p^{15} T^{33} + 806 p^{16} T^{34} - 10 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 12 T + 601 T^{2} - 6357 T^{3} + 185011 T^{4} - 1783034 T^{5} + 38673670 T^{6} - 344747872 T^{7} + 6126365979 T^{8} - 50923126722 T^{9} + 778234792415 T^{10} - 6055009812184 T^{11} + 81923147047031 T^{12} - 9791877460957 p T^{13} + 7291939873870116 T^{14} - 49773018190147294 T^{15} + 555556610090038945 T^{16} - 3540150735723563762 T^{17} + 36470323829505081249 T^{18} - 3540150735723563762 p T^{19} + 555556610090038945 p^{2} T^{20} - 49773018190147294 p^{3} T^{21} + 7291939873870116 p^{4} T^{22} - 9791877460957 p^{6} T^{23} + 81923147047031 p^{6} T^{24} - 6055009812184 p^{7} T^{25} + 778234792415 p^{8} T^{26} - 50923126722 p^{9} T^{27} + 6126365979 p^{10} T^{28} - 344747872 p^{11} T^{29} + 38673670 p^{12} T^{30} - 1783034 p^{13} T^{31} + 185011 p^{14} T^{32} - 6357 p^{15} T^{33} + 601 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 52 T + 2186 T^{2} - 65055 T^{3} + 1682907 T^{4} - 36653915 T^{5} + 719490937 T^{6} - 12584283627 T^{7} + 202468196710 T^{8} - 2980405267259 T^{9} + 40866138902122 T^{10} - 520198667596683 T^{11} + 6217553896531906 T^{12} - 69589218829825075 T^{13} + 735064065361348967 T^{14} - 7308318222496708523 T^{15} + 68785213971862973988 T^{16} - \)\(61\!\cdots\!35\)\( T^{17} + \)\(51\!\cdots\!20\)\( T^{18} - \)\(61\!\cdots\!35\)\( p T^{19} + 68785213971862973988 p^{2} T^{20} - 7308318222496708523 p^{3} T^{21} + 735064065361348967 p^{4} T^{22} - 69589218829825075 p^{5} T^{23} + 6217553896531906 p^{6} T^{24} - 520198667596683 p^{7} T^{25} + 40866138902122 p^{8} T^{26} - 2980405267259 p^{9} T^{27} + 202468196710 p^{10} T^{28} - 12584283627 p^{11} T^{29} + 719490937 p^{12} T^{30} - 36653915 p^{13} T^{31} + 1682907 p^{14} T^{32} - 65055 p^{15} T^{33} + 2186 p^{16} T^{34} - 52 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - T + 487 T^{2} - 1190 T^{3} + 123928 T^{4} - 501636 T^{5} + 21819955 T^{6} - 122906704 T^{7} + 3013668594 T^{8} - 20944792403 T^{9} + 352244861735 T^{10} - 2719948660347 T^{11} + 36455331784224 T^{12} - 285991527466556 T^{13} + 3402647187321689 T^{14} - 25524968311466656 T^{15} + 286147212570404309 T^{16} - 2008735013783535941 T^{17} + 21522320063733661004 T^{18} - 2008735013783535941 p T^{19} + 286147212570404309 p^{2} T^{20} - 25524968311466656 p^{3} T^{21} + 3402647187321689 p^{4} T^{22} - 285991527466556 p^{5} T^{23} + 36455331784224 p^{6} T^{24} - 2719948660347 p^{7} T^{25} + 352244861735 p^{8} T^{26} - 20944792403 p^{9} T^{27} + 3013668594 p^{10} T^{28} - 122906704 p^{11} T^{29} + 21819955 p^{12} T^{30} - 501636 p^{13} T^{31} + 123928 p^{14} T^{32} - 1190 p^{15} T^{33} + 487 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 + 29 T + 992 T^{2} + 18360 T^{3} + 366882 T^{4} + 5068973 T^{5} + 76418881 T^{6} + 867983867 T^{7} + 11218067483 T^{8} + 113507324289 T^{9} + 1359455922226 T^{10} + 12850964724787 T^{11} + 145839138022505 T^{12} + 1297468704886489 T^{13} + 13903528336942927 T^{14} + 116369487963274895 T^{15} + 1181157661826705417 T^{16} + 9363709416175874639 T^{17} + 90526804351360913660 T^{18} + 9363709416175874639 p T^{19} + 1181157661826705417 p^{2} T^{20} + 116369487963274895 p^{3} T^{21} + 13903528336942927 p^{4} T^{22} + 1297468704886489 p^{5} T^{23} + 145839138022505 p^{6} T^{24} + 12850964724787 p^{7} T^{25} + 1359455922226 p^{8} T^{26} + 113507324289 p^{9} T^{27} + 11218067483 p^{10} T^{28} + 867983867 p^{11} T^{29} + 76418881 p^{12} T^{30} + 5068973 p^{13} T^{31} + 366882 p^{14} T^{32} + 18360 p^{15} T^{33} + 992 p^{16} T^{34} + 29 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 - 18 T + 859 T^{2} - 12865 T^{3} + 358886 T^{4} - 4669686 T^{5} + 98560168 T^{6} - 1143379907 T^{7} + 20105918880 T^{8} - 211487218873 T^{9} + 3253145668478 T^{10} - 31392212794714 T^{11} + 434555252221196 T^{12} - 3878866874226165 T^{13} + 49171757858232259 T^{14} - 408242006524373102 T^{15} + 4790300624026317441 T^{16} - 37104977849754462390 T^{17} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( T^{18} - 37104977849754462390 p T^{19} + 4790300624026317441 p^{2} T^{20} - 408242006524373102 p^{3} T^{21} + 49171757858232259 p^{4} T^{22} - 3878866874226165 p^{5} T^{23} + 434555252221196 p^{6} T^{24} - 31392212794714 p^{7} T^{25} + 3253145668478 p^{8} T^{26} - 211487218873 p^{9} T^{27} + 20105918880 p^{10} T^{28} - 1143379907 p^{11} T^{29} + 98560168 p^{12} T^{30} - 4669686 p^{13} T^{31} + 358886 p^{14} T^{32} - 12865 p^{15} T^{33} + 859 p^{16} T^{34} - 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 26 T + 1035 T^{2} - 20500 T^{3} + 483882 T^{4} - 7945324 T^{5} + 142503335 T^{6} - 2037231636 T^{7} + 30489910016 T^{8} - 391487730910 T^{9} + 61801181604 p T^{10} - 60351570709458 T^{11} + 711958194441678 T^{12} - 7770366824927186 T^{13} + 83960929121555084 T^{14} - 855504088223343840 T^{15} + 8556488718349460347 T^{16} - 81565272036379558090 T^{17} + \)\(75\!\cdots\!43\)\( T^{18} - 81565272036379558090 p T^{19} + 8556488718349460347 p^{2} T^{20} - 855504088223343840 p^{3} T^{21} + 83960929121555084 p^{4} T^{22} - 7770366824927186 p^{5} T^{23} + 711958194441678 p^{6} T^{24} - 60351570709458 p^{7} T^{25} + 61801181604 p^{9} T^{26} - 391487730910 p^{9} T^{27} + 30489910016 p^{10} T^{28} - 2037231636 p^{11} T^{29} + 142503335 p^{12} T^{30} - 7945324 p^{13} T^{31} + 483882 p^{14} T^{32} - 20500 p^{15} T^{33} + 1035 p^{16} T^{34} - 26 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 59 T + 2398 T^{2} - 71386 T^{3} + 1786338 T^{4} - 38337377 T^{5} + 8289095 p T^{6} - 12857233151 T^{7} + 207155348951 T^{8} - 3102967010253 T^{9} + 43694945431950 T^{10} - 580297216742919 T^{11} + 7316216892043221 T^{12} - 87720975594580101 T^{13} + 1004285765077963809 T^{14} - 10987355650094976075 T^{15} + \)\(11\!\cdots\!69\)\( T^{16} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( T^{17} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{18} - \)\(11\!\cdots\!71\)\( p T^{19} + \)\(11\!\cdots\!69\)\( p^{2} T^{20} - 10987355650094976075 p^{3} T^{21} + 1004285765077963809 p^{4} T^{22} - 87720975594580101 p^{5} T^{23} + 7316216892043221 p^{6} T^{24} - 580297216742919 p^{7} T^{25} + 43694945431950 p^{8} T^{26} - 3102967010253 p^{9} T^{27} + 207155348951 p^{10} T^{28} - 12857233151 p^{11} T^{29} + 8289095 p^{13} T^{30} - 38337377 p^{13} T^{31} + 1786338 p^{14} T^{32} - 71386 p^{15} T^{33} + 2398 p^{16} T^{34} - 59 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 - 70 T + 3426 T^{2} - 121667 T^{3} + 3604145 T^{4} - 90428161 T^{5} + 2010327277 T^{6} - 39952991771 T^{7} + 725539980244 T^{8} - 12107307652135 T^{9} + 188067969289674 T^{10} - 2728954714011517 T^{11} + 37300466293984916 T^{12} - 481182560093720553 T^{13} + 5891106408581493859 T^{14} - 68494570284577536955 T^{15} + \)\(75\!\cdots\!18\)\( T^{16} - \)\(80\!\cdots\!87\)\( T^{17} + \)\(80\!\cdots\!60\)\( T^{18} - \)\(80\!\cdots\!87\)\( p T^{19} + \)\(75\!\cdots\!18\)\( p^{2} T^{20} - 68494570284577536955 p^{3} T^{21} + 5891106408581493859 p^{4} T^{22} - 481182560093720553 p^{5} T^{23} + 37300466293984916 p^{6} T^{24} - 2728954714011517 p^{7} T^{25} + 188067969289674 p^{8} T^{26} - 12107307652135 p^{9} T^{27} + 725539980244 p^{10} T^{28} - 39952991771 p^{11} T^{29} + 2010327277 p^{12} T^{30} - 90428161 p^{13} T^{31} + 3604145 p^{14} T^{32} - 121667 p^{15} T^{33} + 3426 p^{16} T^{34} - 70 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.90111716177913568012586183281, −1.81946800122648601322388017471, −1.79261663620241562993709579782, −1.78803679866134883292509102214, −1.72653572819591008007101976933, −1.69144950114569621362003708363, −1.68309168014254553986298620470, −1.67859291364610611068076003361, −1.39019999580980756687601106464, −1.38783604197327974492164826229, −1.35634620906172762534059490032, −1.08492252271055040267965449810, −1.00489069790618117965673852959, −0.920174920991203539785511007162, −0.832286023540569262270989696263, −0.75570887969395105155343780250, −0.73301109848762315587861315795, −0.71523257515034794867668267328, −0.70557946481292519712589987466, −0.70171906767110451382213301773, −0.67987556077205515327023495810, −0.51961269890480018864313983236, −0.49379587398451890864035368181, −0.30041391895262980678562173516, −0.26435865773843751759405696383, 0.26435865773843751759405696383, 0.30041391895262980678562173516, 0.49379587398451890864035368181, 0.51961269890480018864313983236, 0.67987556077205515327023495810, 0.70171906767110451382213301773, 0.70557946481292519712589987466, 0.71523257515034794867668267328, 0.73301109848762315587861315795, 0.75570887969395105155343780250, 0.832286023540569262270989696263, 0.920174920991203539785511007162, 1.00489069790618117965673852959, 1.08492252271055040267965449810, 1.35634620906172762534059490032, 1.38783604197327974492164826229, 1.39019999580980756687601106464, 1.67859291364610611068076003361, 1.68309168014254553986298620470, 1.69144950114569621362003708363, 1.72653572819591008007101976933, 1.78803679866134883292509102214, 1.79261663620241562993709579782, 1.81946800122648601322388017471, 1.90111716177913568012586183281
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.