Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2-s − 17·3-s − 4·4-s − 4·5-s − 17·6-s − 17·7-s − 3·8-s + 153·9-s − 4·10-s + 4·11-s + 68·12-s + 17·13-s − 17·14-s + 68·15-s + 10·16-s − 17·17-s + 153·18-s + 13·19-s + 16·20-s + 289·21-s + 4·22-s + 8·23-s + 51·24-s − 16·25-s + 17·26-s − 969·27-s + 68·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.707·2-s − 9.81·3-s − 2·4-s − 1.78·5-s − 6.94·6-s − 6.42·7-s − 1.06·8-s + 51·9-s − 1.26·10-s + 1.20·11-s + 19.6·12-s + 4.71·13-s − 4.54·14-s + 17.5·15-s + 5/2·16-s − 4.12·17-s + 36.0·18-s + 2.98·19-s + 3.57·20-s + 63.0·21-s + 0.852·22-s + 1.66·23-s + 10.4·24-s − 3.19·25-s + 3.33·26-s − 186.·27-s + 12.8·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 7^{17} \cdot 13^{17} \cdot 17^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 7^{17} \cdot 13^{17} \cdot 17^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(3^{17} \cdot 7^{17} \cdot 13^{17} \cdot 17^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(4.68929\times 10^{26}\) |
| Root analytic conductor: | \(6.08757\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 3^{17} \cdot 7^{17} \cdot 13^{17} \cdot 17^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.9792359471\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.9792359471\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 7 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| 13 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| 17 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - T + 5 T^{2} - 3 p T^{3} + 13 T^{4} - 9 p T^{5} + 27 T^{6} - 11 p^{2} T^{7} + 23 p T^{8} - 85 T^{9} + 79 T^{10} - 19 p^{3} T^{11} + 219 T^{12} - 185 p T^{13} + 663 T^{14} - 423 p T^{15} + 1657 T^{16} - 827 p T^{17} + 1657 p T^{18} - 423 p^{3} T^{19} + 663 p^{3} T^{20} - 185 p^{5} T^{21} + 219 p^{5} T^{22} - 19 p^{9} T^{23} + 79 p^{7} T^{24} - 85 p^{8} T^{25} + 23 p^{10} T^{26} - 11 p^{12} T^{27} + 27 p^{11} T^{28} - 9 p^{13} T^{29} + 13 p^{13} T^{30} - 3 p^{15} T^{31} + 5 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 5 | \( 1 + 4 T + 32 T^{2} + 111 T^{3} + 552 T^{4} + 71 p^{2} T^{5} + 1394 p T^{6} + 4217 p T^{7} + 70918 T^{8} + 40264 p T^{9} + 603914 T^{10} + 1613671 T^{11} + 4426764 T^{12} + 2231107 p T^{13} + 28369234 T^{14} + 67400549 T^{15} + 160192711 T^{16} + 358539868 T^{17} + 160192711 p T^{18} + 67400549 p^{2} T^{19} + 28369234 p^{3} T^{20} + 2231107 p^{5} T^{21} + 4426764 p^{5} T^{22} + 1613671 p^{6} T^{23} + 603914 p^{7} T^{24} + 40264 p^{9} T^{25} + 70918 p^{9} T^{26} + 4217 p^{11} T^{27} + 1394 p^{12} T^{28} + 71 p^{14} T^{29} + 552 p^{13} T^{30} + 111 p^{14} T^{31} + 32 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 4 T + 72 T^{2} - 278 T^{3} + 2579 T^{4} - 9401 T^{5} + 62861 T^{6} - 211082 T^{7} + 1183027 T^{8} - 3615234 T^{9} + 18205635 T^{10} - 4633210 p T^{11} + 238798509 T^{12} - 622926343 T^{13} + 2819106211 T^{14} - 6986081858 T^{15} + 31660520059 T^{16} - 76555348820 T^{17} + 31660520059 p T^{18} - 6986081858 p^{2} T^{19} + 2819106211 p^{3} T^{20} - 622926343 p^{4} T^{21} + 238798509 p^{5} T^{22} - 4633210 p^{7} T^{23} + 18205635 p^{7} T^{24} - 3615234 p^{8} T^{25} + 1183027 p^{9} T^{26} - 211082 p^{10} T^{27} + 62861 p^{11} T^{28} - 9401 p^{12} T^{29} + 2579 p^{13} T^{30} - 278 p^{14} T^{31} + 72 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 13 T + 168 T^{2} - 1266 T^{3} + 9702 T^{4} - 53386 T^{5} + 318826 T^{6} - 1488197 T^{7} + 8113704 T^{8} - 36516182 T^{9} + 196039998 T^{10} - 902003821 T^{11} + 4705276886 T^{12} - 21654672782 T^{13} + 105539435322 T^{14} - 468673895572 T^{15} + 2137254293965 T^{16} - 9198951057354 T^{17} + 2137254293965 p T^{18} - 468673895572 p^{2} T^{19} + 105539435322 p^{3} T^{20} - 21654672782 p^{4} T^{21} + 4705276886 p^{5} T^{22} - 902003821 p^{6} T^{23} + 196039998 p^{7} T^{24} - 36516182 p^{8} T^{25} + 8113704 p^{9} T^{26} - 1488197 p^{10} T^{27} + 318826 p^{11} T^{28} - 53386 p^{12} T^{29} + 9702 p^{13} T^{30} - 1266 p^{14} T^{31} + 168 p^{15} T^{32} - 13 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 8 T + 111 T^{2} - 761 T^{3} + 279 p T^{4} - 36469 T^{5} + 243610 T^{6} - 1175509 T^{7} + 6790560 T^{8} - 28508784 T^{9} + 161107628 T^{10} - 641772187 T^{11} + 3908914276 T^{12} - 16336556611 T^{13} + 104768430507 T^{14} - 449992626583 T^{15} + 2751494341098 T^{16} - 11338598652768 T^{17} + 2751494341098 p T^{18} - 449992626583 p^{2} T^{19} + 104768430507 p^{3} T^{20} - 16336556611 p^{4} T^{21} + 3908914276 p^{5} T^{22} - 641772187 p^{6} T^{23} + 161107628 p^{7} T^{24} - 28508784 p^{8} T^{25} + 6790560 p^{9} T^{26} - 1175509 p^{10} T^{27} + 243610 p^{11} T^{28} - 36469 p^{12} T^{29} + 279 p^{14} T^{30} - 761 p^{14} T^{31} + 111 p^{15} T^{32} - 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 3 T + 179 T^{2} + 405 T^{3} + 16829 T^{4} + 22434 T^{5} + 1103586 T^{6} + 410297 T^{7} + 57164006 T^{8} - 28417324 T^{9} + 87151948 p T^{10} - 2919675225 T^{11} + 99724050658 T^{12} - 152086377872 T^{13} + 3564803607643 T^{14} - 5857859785309 T^{15} + 115142812705070 T^{16} - 184997795554914 T^{17} + 115142812705070 p T^{18} - 5857859785309 p^{2} T^{19} + 3564803607643 p^{3} T^{20} - 152086377872 p^{4} T^{21} + 99724050658 p^{5} T^{22} - 2919675225 p^{6} T^{23} + 87151948 p^{8} T^{24} - 28417324 p^{8} T^{25} + 57164006 p^{9} T^{26} + 410297 p^{10} T^{27} + 1103586 p^{11} T^{28} + 22434 p^{12} T^{29} + 16829 p^{13} T^{30} + 405 p^{14} T^{31} + 179 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 10 T + 247 T^{2} - 2 p^{2} T^{3} + 28587 T^{4} - 187919 T^{5} + 2195510 T^{6} - 12855458 T^{7} + 130824987 T^{8} - 708634042 T^{9} + 6571309277 T^{10} - 33547613618 T^{11} + 287916971700 T^{12} - 1389735818025 T^{13} + 11130079721433 T^{14} - 50813713828138 T^{15} + 383440364901832 T^{16} - 1660431871564552 T^{17} + 383440364901832 p T^{18} - 50813713828138 p^{2} T^{19} + 11130079721433 p^{3} T^{20} - 1389735818025 p^{4} T^{21} + 287916971700 p^{5} T^{22} - 33547613618 p^{6} T^{23} + 6571309277 p^{7} T^{24} - 708634042 p^{8} T^{25} + 130824987 p^{9} T^{26} - 12855458 p^{10} T^{27} + 2195510 p^{11} T^{28} - 187919 p^{12} T^{29} + 28587 p^{13} T^{30} - 2 p^{16} T^{31} + 247 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 + 275 T^{2} - 167 T^{3} + 41270 T^{4} - 31019 T^{5} + 4345710 T^{6} - 3140941 T^{7} + 353487670 T^{8} - 212706718 T^{9} + 23430302300 T^{10} - 10504330923 T^{11} + 1307958232896 T^{12} - 399526663805 T^{13} + 62899662562252 T^{14} - 12879117022513 T^{15} + 2643535686382910 T^{16} - 432944413168532 T^{17} + 2643535686382910 p T^{18} - 12879117022513 p^{2} T^{19} + 62899662562252 p^{3} T^{20} - 399526663805 p^{4} T^{21} + 1307958232896 p^{5} T^{22} - 10504330923 p^{6} T^{23} + 23430302300 p^{7} T^{24} - 212706718 p^{8} T^{25} + 353487670 p^{9} T^{26} - 3140941 p^{10} T^{27} + 4345710 p^{11} T^{28} - 31019 p^{12} T^{29} + 41270 p^{13} T^{30} - 167 p^{14} T^{31} + 275 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 12 T + 380 T^{2} + 4113 T^{3} + 74247 T^{4} + 736766 T^{5} + 9884513 T^{6} + 90364226 T^{7} + 996806875 T^{8} + 8428173674 T^{9} + 80433986311 T^{10} + 630955266172 T^{11} + 5362680708343 T^{12} + 39091885009446 T^{13} + 301232734146077 T^{14} + 2040491870853969 T^{15} + 14418678245814349 T^{16} + 2209337056354508 p T^{17} + 14418678245814349 p T^{18} + 2040491870853969 p^{2} T^{19} + 301232734146077 p^{3} T^{20} + 39091885009446 p^{4} T^{21} + 5362680708343 p^{5} T^{22} + 630955266172 p^{6} T^{23} + 80433986311 p^{7} T^{24} + 8428173674 p^{8} T^{25} + 996806875 p^{9} T^{26} + 90364226 p^{10} T^{27} + 9884513 p^{11} T^{28} + 736766 p^{12} T^{29} + 74247 p^{13} T^{30} + 4113 p^{14} T^{31} + 380 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 29 T + 773 T^{2} - 13306 T^{3} + 211673 T^{4} - 2674458 T^{5} + 31847358 T^{6} - 324221617 T^{7} + 3174361274 T^{8} - 27658024710 T^{9} + 236862743054 T^{10} - 1857002820089 T^{11} + 14598710275248 T^{12} - 106958415331438 T^{13} + 793073503560823 T^{14} - 5503461809522852 T^{15} + 38552118985478868 T^{16} - 252010046135863146 T^{17} + 38552118985478868 p T^{18} - 5503461809522852 p^{2} T^{19} + 793073503560823 p^{3} T^{20} - 106958415331438 p^{4} T^{21} + 14598710275248 p^{5} T^{22} - 1857002820089 p^{6} T^{23} + 236862743054 p^{7} T^{24} - 27658024710 p^{8} T^{25} + 3174361274 p^{9} T^{26} - 324221617 p^{10} T^{27} + 31847358 p^{11} T^{28} - 2674458 p^{12} T^{29} + 211673 p^{13} T^{30} - 13306 p^{14} T^{31} + 773 p^{15} T^{32} - 29 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 4 T + 431 T^{2} + 1706 T^{3} + 91101 T^{4} + 351541 T^{5} + 12523832 T^{6} + 46176246 T^{7} + 1254804705 T^{8} + 4327387818 T^{9} + 97771186805 T^{10} + 309310796160 T^{11} + 6226600442600 T^{12} + 17877759522383 T^{13} + 340928252508237 T^{14} + 897883114571616 T^{15} + 16946417721993394 T^{16} + 905354758562596 p T^{17} + 16946417721993394 p T^{18} + 897883114571616 p^{2} T^{19} + 340928252508237 p^{3} T^{20} + 17877759522383 p^{4} T^{21} + 6226600442600 p^{5} T^{22} + 309310796160 p^{6} T^{23} + 97771186805 p^{7} T^{24} + 4327387818 p^{8} T^{25} + 1254804705 p^{9} T^{26} + 46176246 p^{10} T^{27} + 12523832 p^{11} T^{28} + 351541 p^{12} T^{29} + 91101 p^{13} T^{30} + 1706 p^{14} T^{31} + 431 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 8 T + 573 T^{2} + 4362 T^{3} + 164087 T^{4} + 1181431 T^{5} + 31111480 T^{6} + 210983104 T^{7} + 4368401065 T^{8} + 27813216858 T^{9} + 481719073593 T^{10} + 2871218463556 T^{11} + 43193269329502 T^{12} + 240220897067481 T^{13} + 3217005466098575 T^{14} + 16623073410271362 T^{15} + 201530350884842600 T^{16} + 961826919415905084 T^{17} + 201530350884842600 p T^{18} + 16623073410271362 p^{2} T^{19} + 3217005466098575 p^{3} T^{20} + 240220897067481 p^{4} T^{21} + 43193269329502 p^{5} T^{22} + 2871218463556 p^{6} T^{23} + 481719073593 p^{7} T^{24} + 27813216858 p^{8} T^{25} + 4368401065 p^{9} T^{26} + 210983104 p^{10} T^{27} + 31111480 p^{11} T^{28} + 1181431 p^{12} T^{29} + 164087 p^{13} T^{30} + 4362 p^{14} T^{31} + 573 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 25 T + 14 p T^{2} - 15344 T^{3} + 308294 T^{4} - 4673699 T^{5} + 72218678 T^{6} - 937703806 T^{7} + 12123806371 T^{8} - 138675715576 T^{9} + 1563265952073 T^{10} - 16031543987546 T^{11} + 161256379858284 T^{12} - 1499300957523917 T^{13} + 13642980893052636 T^{14} - 115773220156670056 T^{15} + 960622765877123003 T^{16} - 7462951422316693278 T^{17} + 960622765877123003 p T^{18} - 115773220156670056 p^{2} T^{19} + 13642980893052636 p^{3} T^{20} - 1499300957523917 p^{4} T^{21} + 161256379858284 p^{5} T^{22} - 16031543987546 p^{6} T^{23} + 1563265952073 p^{7} T^{24} - 138675715576 p^{8} T^{25} + 12123806371 p^{9} T^{26} - 937703806 p^{10} T^{27} + 72218678 p^{11} T^{28} - 4673699 p^{12} T^{29} + 308294 p^{13} T^{30} - 15344 p^{14} T^{31} + 14 p^{16} T^{32} - 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 5 T + 579 T^{2} + 2394 T^{3} + 171129 T^{4} + 592950 T^{5} + 33994983 T^{6} + 98642219 T^{7} + 5067243618 T^{8} + 12292533134 T^{9} + 601107474654 T^{10} + 1221669548451 T^{11} + 58827181133863 T^{12} + 101419682798062 T^{13} + 4860409230616957 T^{14} + 7303716894597936 T^{15} + 343873441737339444 T^{16} + 469215499354935666 T^{17} + 343873441737339444 p T^{18} + 7303716894597936 p^{2} T^{19} + 4860409230616957 p^{3} T^{20} + 101419682798062 p^{4} T^{21} + 58827181133863 p^{5} T^{22} + 1221669548451 p^{6} T^{23} + 601107474654 p^{7} T^{24} + 12292533134 p^{8} T^{25} + 5067243618 p^{9} T^{26} + 98642219 p^{10} T^{27} + 33994983 p^{11} T^{28} + 592950 p^{12} T^{29} + 171129 p^{13} T^{30} + 2394 p^{14} T^{31} + 579 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 15 T + 691 T^{2} - 9763 T^{3} + 242455 T^{4} - 3180193 T^{5} + 57010347 T^{6} - 688463275 T^{7} + 10013688560 T^{8} - 110988588204 T^{9} + 1388853663930 T^{10} - 14137674428413 T^{11} + 157073776968421 T^{12} - 1471673599666007 T^{13} + 14774476930024105 T^{14} - 127611434812717781 T^{15} + 1169566050955311880 T^{16} - 9308171370820600890 T^{17} + 1169566050955311880 p T^{18} - 127611434812717781 p^{2} T^{19} + 14774476930024105 p^{3} T^{20} - 1471673599666007 p^{4} T^{21} + 157073776968421 p^{5} T^{22} - 14137674428413 p^{6} T^{23} + 1388853663930 p^{7} T^{24} - 110988588204 p^{8} T^{25} + 10013688560 p^{9} T^{26} - 688463275 p^{10} T^{27} + 57010347 p^{11} T^{28} - 3180193 p^{12} T^{29} + 242455 p^{13} T^{30} - 9763 p^{14} T^{31} + 691 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 32 T + 875 T^{2} - 15181 T^{3} + 248746 T^{4} - 3178705 T^{5} + 41257930 T^{6} - 447983467 T^{7} + 5151472192 T^{8} - 50334977378 T^{9} + 535865969400 T^{10} - 4875806863041 T^{11} + 49802034827922 T^{12} - 434409897579583 T^{13} + 4291424267678482 T^{14} - 35801907941522919 T^{15} + 337410840707730618 T^{16} - 2674049082049705628 T^{17} + 337410840707730618 p T^{18} - 35801907941522919 p^{2} T^{19} + 4291424267678482 p^{3} T^{20} - 434409897579583 p^{4} T^{21} + 49802034827922 p^{5} T^{22} - 4875806863041 p^{6} T^{23} + 535865969400 p^{7} T^{24} - 50334977378 p^{8} T^{25} + 5151472192 p^{9} T^{26} - 447983467 p^{10} T^{27} + 41257930 p^{11} T^{28} - 3178705 p^{12} T^{29} + 248746 p^{13} T^{30} - 15181 p^{14} T^{31} + 875 p^{15} T^{32} - 32 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 + 15 T + 659 T^{2} + 9113 T^{3} + 219337 T^{4} + 2790747 T^{5} + 48484818 T^{6} + 572843087 T^{7} + 8012385891 T^{8} + 88798858354 T^{9} + 1060027170243 T^{10} + 11111061245213 T^{11} + 117358271513892 T^{12} + 1167610680874645 T^{13} + 11176143105953193 T^{14} + 105352589858585883 T^{15} + 929098590683179206 T^{16} + 8245776026677633374 T^{17} + 929098590683179206 p T^{18} + 105352589858585883 p^{2} T^{19} + 11176143105953193 p^{3} T^{20} + 1167610680874645 p^{4} T^{21} + 117358271513892 p^{5} T^{22} + 11111061245213 p^{6} T^{23} + 1060027170243 p^{7} T^{24} + 88798858354 p^{8} T^{25} + 8012385891 p^{9} T^{26} + 572843087 p^{10} T^{27} + 48484818 p^{11} T^{28} + 2790747 p^{12} T^{29} + 219337 p^{13} T^{30} + 9113 p^{14} T^{31} + 659 p^{15} T^{32} + 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 27 T + 714 T^{2} - 12527 T^{3} + 201039 T^{4} - 2558005 T^{5} + 30125092 T^{6} - 286129549 T^{7} + 2523757824 T^{8} - 16645473294 T^{9} + 97928782950 T^{10} - 216220826191 T^{11} - 30506161078 T^{12} + 14203740769573 T^{13} + 176399115677205 T^{14} - 3294843184287733 T^{15} + 60157592791086175 T^{16} - 530911100878749198 T^{17} + 60157592791086175 p T^{18} - 3294843184287733 p^{2} T^{19} + 176399115677205 p^{3} T^{20} + 14203740769573 p^{4} T^{21} - 30506161078 p^{5} T^{22} - 216220826191 p^{6} T^{23} + 97928782950 p^{7} T^{24} - 16645473294 p^{8} T^{25} + 2523757824 p^{9} T^{26} - 286129549 p^{10} T^{27} + 30125092 p^{11} T^{28} - 2558005 p^{12} T^{29} + 201039 p^{13} T^{30} - 12527 p^{14} T^{31} + 714 p^{15} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 + 24 T + 846 T^{2} + 13301 T^{3} + 276383 T^{4} + 3203388 T^{5} + 51650818 T^{6} + 473857341 T^{7} + 6974185968 T^{8} + 55254709416 T^{9} + 828641066054 T^{10} + 6133582497713 T^{11} + 92604838888604 T^{12} + 638519899617504 T^{13} + 9222065970403245 T^{14} + 57999144630741869 T^{15} + 813846399497406899 T^{16} + 4852177402455270216 T^{17} + 813846399497406899 p T^{18} + 57999144630741869 p^{2} T^{19} + 9222065970403245 p^{3} T^{20} + 638519899617504 p^{4} T^{21} + 92604838888604 p^{5} T^{22} + 6133582497713 p^{6} T^{23} + 828641066054 p^{7} T^{24} + 55254709416 p^{8} T^{25} + 6974185968 p^{9} T^{26} + 473857341 p^{10} T^{27} + 51650818 p^{11} T^{28} + 3203388 p^{12} T^{29} + 276383 p^{13} T^{30} + 13301 p^{14} T^{31} + 846 p^{15} T^{32} + 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 8 T + 583 T^{2} + 2830 T^{3} + 163021 T^{4} + 411983 T^{5} + 32249530 T^{6} + 27781034 T^{7} + 5194498039 T^{8} - 2451207938 T^{9} + 706845860495 T^{10} - 1114791190770 T^{11} + 84563604995204 T^{12} - 194176280917855 T^{13} + 9119279252929485 T^{14} - 24313889726531334 T^{15} + 888164629369446578 T^{16} - 2427802109638063788 T^{17} + 888164629369446578 p T^{18} - 24313889726531334 p^{2} T^{19} + 9119279252929485 p^{3} T^{20} - 194176280917855 p^{4} T^{21} + 84563604995204 p^{5} T^{22} - 1114791190770 p^{6} T^{23} + 706845860495 p^{7} T^{24} - 2451207938 p^{8} T^{25} + 5194498039 p^{9} T^{26} + 27781034 p^{10} T^{27} + 32249530 p^{11} T^{28} + 411983 p^{12} T^{29} + 163021 p^{13} T^{30} + 2830 p^{14} T^{31} + 583 p^{15} T^{32} + 8 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 22 T + 851 T^{2} + 16006 T^{3} + 346481 T^{4} + 5458619 T^{5} + 87429218 T^{6} + 1155767748 T^{7} + 15015987395 T^{8} + 167879620762 T^{9} + 1826706738443 T^{10} + 17214200021280 T^{11} + 157905126390916 T^{12} + 1215388424610565 T^{13} + 9375963788689849 T^{14} + 55357854891889430 T^{15} + 410740693114670766 T^{16} + 2563444546056796192 T^{17} + 410740693114670766 p T^{18} + 55357854891889430 p^{2} T^{19} + 9375963788689849 p^{3} T^{20} + 1215388424610565 p^{4} T^{21} + 157905126390916 p^{5} T^{22} + 17214200021280 p^{6} T^{23} + 1826706738443 p^{7} T^{24} + 167879620762 p^{8} T^{25} + 15015987395 p^{9} T^{26} + 1155767748 p^{10} T^{27} + 87429218 p^{11} T^{28} + 5458619 p^{12} T^{29} + 346481 p^{13} T^{30} + 16006 p^{14} T^{31} + 851 p^{15} T^{32} + 22 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.69060570155967681012360660644, −1.67011696253130322197536819554, −1.62390133290448349792078154656, −1.61035176151830357122656675132, −1.42361787893375763634752844376, −1.41948928377133065730427512723, −1.41121187595548950035013311989, −1.38086337888323543488504193088, −1.37402178490730580244937368499, −1.09909371068642563051316310069, −1.02012573402512829888297905998, −0.879970875836791185490791564694, −0.875409729144441319295821034857, −0.70139346451340843507785536294, −0.67115812978607115259123757182, −0.65916036811985708042404760525, −0.59300171631627552354047180578, −0.57349386693423489140298119893, −0.54217338156425413878732028785, −0.49415804255880779890921703391, −0.45716192867347071205589919832, −0.36624683740175755060249625716, −0.34726065561789998709713469791, −0.25707979054435399347567806311, −0.25141019262202061394028065403, 0.25141019262202061394028065403, 0.25707979054435399347567806311, 0.34726065561789998709713469791, 0.36624683740175755060249625716, 0.45716192867347071205589919832, 0.49415804255880779890921703391, 0.54217338156425413878732028785, 0.57349386693423489140298119893, 0.59300171631627552354047180578, 0.65916036811985708042404760525, 0.67115812978607115259123757182, 0.70139346451340843507785536294, 0.875409729144441319295821034857, 0.879970875836791185490791564694, 1.02012573402512829888297905998, 1.09909371068642563051316310069, 1.37402178490730580244937368499, 1.38086337888323543488504193088, 1.41121187595548950035013311989, 1.41948928377133065730427512723, 1.42361787893375763634752844376, 1.61035176151830357122656675132, 1.62390133290448349792078154656, 1.67011696253130322197536819554, 1.69060570155967681012360660644
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.