Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 8·3-s + 4·5-s + 2·7-s + 14·9-s + 12·11-s + 2·13-s + 32·15-s − 18·17-s + 5·19-s + 16·21-s + 21·23-s − 29·25-s − 58·27-s + 14·29-s + 15·31-s + 96·33-s + 8·35-s + 2·37-s + 16·39-s + 34·41-s + 21·43-s + 56·45-s + 69·47-s − 47·49-s − 144·51-s − 4·53-s + 48·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 4.61·3-s + 1.78·5-s + 0.755·7-s + 14/3·9-s + 3.61·11-s + 0.554·13-s + 8.26·15-s − 4.36·17-s + 1.14·19-s + 3.49·21-s + 4.37·23-s − 5.79·25-s − 11.1·27-s + 2.59·29-s + 2.69·31-s + 16.7·33-s + 1.35·35-s + 0.328·37-s + 2.56·39-s + 5.30·41-s + 3.20·43-s + 8.34·45-s + 10.0·47-s − 6.71·49-s − 20.1·51-s − 0.549·53-s + 6.47·55-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{36} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(2^{36} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.26323\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.66003\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 2^{36} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(11321.49856\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(11321.49856\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 17 | \( ( 1 + T )^{18} \) | |
| 59 | \( ( 1 + T )^{18} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 8 T + 50 T^{2} - 230 T^{3} + 920 T^{4} - 3187 T^{5} + 10085 T^{6} - 29170 T^{7} + 79079 T^{8} - 200978 T^{9} + 161866 p T^{10} - 1115098 T^{11} + 2454896 T^{12} - 5177071 T^{13} + 10519717 T^{14} - 20568850 T^{15} + 12953500 p T^{16} - 70812848 T^{17} + 124841396 T^{18} - 70812848 p T^{19} + 12953500 p^{3} T^{20} - 20568850 p^{3} T^{21} + 10519717 p^{4} T^{22} - 5177071 p^{5} T^{23} + 2454896 p^{6} T^{24} - 1115098 p^{7} T^{25} + 161866 p^{9} T^{26} - 200978 p^{9} T^{27} + 79079 p^{10} T^{28} - 29170 p^{11} T^{29} + 10085 p^{12} T^{30} - 3187 p^{13} T^{31} + 920 p^{14} T^{32} - 230 p^{15} T^{33} + 50 p^{16} T^{34} - 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 5 | \( 1 - 4 T + 9 p T^{2} - 29 p T^{3} + 937 T^{4} - 2417 T^{5} + 11954 T^{6} - 4852 p T^{7} + 106142 T^{8} - 163121 T^{9} + 731321 T^{10} - 818737 T^{11} + 897752 p T^{12} - 157586 p^{2} T^{13} + 27672889 T^{14} - 188582 p^{3} T^{15} + 168467946 T^{16} - 146318404 T^{17} + 914054586 T^{18} - 146318404 p T^{19} + 168467946 p^{2} T^{20} - 188582 p^{6} T^{21} + 27672889 p^{4} T^{22} - 157586 p^{7} T^{23} + 897752 p^{7} T^{24} - 818737 p^{7} T^{25} + 731321 p^{8} T^{26} - 163121 p^{9} T^{27} + 106142 p^{10} T^{28} - 4852 p^{12} T^{29} + 11954 p^{12} T^{30} - 2417 p^{13} T^{31} + 937 p^{14} T^{32} - 29 p^{16} T^{33} + 9 p^{17} T^{34} - 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 - 2 T + 51 T^{2} - 65 T^{3} + 1205 T^{4} - 802 T^{5} + 18544 T^{6} - 3658 T^{7} + 32139 p T^{8} + 12111 T^{9} + 2416962 T^{10} + 36595 p T^{11} + 3380585 p T^{12} + 2634873 T^{13} + 208225621 T^{14} + 4797116 p T^{15} + 1648391180 T^{16} + 356324386 T^{17} + 11975041192 T^{18} + 356324386 p T^{19} + 1648391180 p^{2} T^{20} + 4797116 p^{4} T^{21} + 208225621 p^{4} T^{22} + 2634873 p^{5} T^{23} + 3380585 p^{7} T^{24} + 36595 p^{8} T^{25} + 2416962 p^{8} T^{26} + 12111 p^{9} T^{27} + 32139 p^{11} T^{28} - 3658 p^{11} T^{29} + 18544 p^{12} T^{30} - 802 p^{13} T^{31} + 1205 p^{14} T^{32} - 65 p^{15} T^{33} + 51 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 - 12 T + 161 T^{2} - 1301 T^{3} + 10576 T^{4} - 66635 T^{5} + 413157 T^{6} - 2178965 T^{7} + 11262499 T^{8} - 52010930 T^{9} + 235750895 T^{10} - 985721475 T^{11} + 4055381848 T^{12} - 15731416070 T^{13} + 60079018449 T^{14} - 219244348355 T^{15} + 786132762890 T^{16} - 2710197223729 T^{17} + 9159661384640 T^{18} - 2710197223729 p T^{19} + 786132762890 p^{2} T^{20} - 219244348355 p^{3} T^{21} + 60079018449 p^{4} T^{22} - 15731416070 p^{5} T^{23} + 4055381848 p^{6} T^{24} - 985721475 p^{7} T^{25} + 235750895 p^{8} T^{26} - 52010930 p^{9} T^{27} + 11262499 p^{10} T^{28} - 2178965 p^{11} T^{29} + 413157 p^{12} T^{30} - 66635 p^{13} T^{31} + 10576 p^{14} T^{32} - 1301 p^{15} T^{33} + 161 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 - 2 T + 87 T^{2} - 164 T^{3} + 3586 T^{4} - 5935 T^{5} + 94897 T^{6} - 129843 T^{7} + 1884148 T^{8} - 2115714 T^{9} + 31478368 T^{10} - 31635536 T^{11} + 472356619 T^{12} - 455403655 T^{13} + 6445148473 T^{14} - 5614565331 T^{15} + 81572613926 T^{16} - 61294787796 T^{17} + 1032214875838 T^{18} - 61294787796 p T^{19} + 81572613926 p^{2} T^{20} - 5614565331 p^{3} T^{21} + 6445148473 p^{4} T^{22} - 455403655 p^{5} T^{23} + 472356619 p^{6} T^{24} - 31635536 p^{7} T^{25} + 31478368 p^{8} T^{26} - 2115714 p^{9} T^{27} + 1884148 p^{10} T^{28} - 129843 p^{11} T^{29} + 94897 p^{12} T^{30} - 5935 p^{13} T^{31} + 3586 p^{14} T^{32} - 164 p^{15} T^{33} + 87 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 - 5 T + 178 T^{2} - 882 T^{3} + 16008 T^{4} - 77838 T^{5} + 966687 T^{6} - 4563465 T^{7} + 43947265 T^{8} - 199555023 T^{9} + 1600591839 T^{10} - 6942109298 T^{11} + 48599184196 T^{12} - 10547334983 p T^{13} + 1265081257684 T^{14} - 4945951234609 T^{15} + 28797125449257 T^{16} - 106526874277791 T^{17} + 580299754253631 T^{18} - 106526874277791 p T^{19} + 28797125449257 p^{2} T^{20} - 4945951234609 p^{3} T^{21} + 1265081257684 p^{4} T^{22} - 10547334983 p^{6} T^{23} + 48599184196 p^{6} T^{24} - 6942109298 p^{7} T^{25} + 1600591839 p^{8} T^{26} - 199555023 p^{9} T^{27} + 43947265 p^{10} T^{28} - 4563465 p^{11} T^{29} + 966687 p^{12} T^{30} - 77838 p^{13} T^{31} + 16008 p^{14} T^{32} - 882 p^{15} T^{33} + 178 p^{16} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 21 T + 479 T^{2} - 6876 T^{3} + 96142 T^{4} - 1076064 T^{5} + 11524829 T^{6} - 107178981 T^{7} + 952298573 T^{8} - 7627853519 T^{9} + 58483357007 T^{10} - 412453392385 T^{11} + 2790697724302 T^{12} - 17572144271241 T^{13} + 106354141132161 T^{14} - 603129985677831 T^{15} + 3291879942209978 T^{16} - 16895230001530308 T^{17} + 83510289963295008 T^{18} - 16895230001530308 p T^{19} + 3291879942209978 p^{2} T^{20} - 603129985677831 p^{3} T^{21} + 106354141132161 p^{4} T^{22} - 17572144271241 p^{5} T^{23} + 2790697724302 p^{6} T^{24} - 412453392385 p^{7} T^{25} + 58483357007 p^{8} T^{26} - 7627853519 p^{9} T^{27} + 952298573 p^{10} T^{28} - 107178981 p^{11} T^{29} + 11524829 p^{12} T^{30} - 1076064 p^{13} T^{31} + 96142 p^{14} T^{32} - 6876 p^{15} T^{33} + 479 p^{16} T^{34} - 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 - 14 T + 360 T^{2} - 3587 T^{3} + 54348 T^{4} - 423754 T^{5} + 4945609 T^{6} - 31908922 T^{7} + 322094293 T^{8} - 1787565388 T^{9} + 16675773046 T^{10} - 82069849851 T^{11} + 733625056412 T^{12} - 3284386344346 T^{13} + 28442479738949 T^{14} - 117993109212365 T^{15} + 983185311718844 T^{16} - 131676982210581 p T^{17} + 30253694091956980 T^{18} - 131676982210581 p^{2} T^{19} + 983185311718844 p^{2} T^{20} - 117993109212365 p^{3} T^{21} + 28442479738949 p^{4} T^{22} - 3284386344346 p^{5} T^{23} + 733625056412 p^{6} T^{24} - 82069849851 p^{7} T^{25} + 16675773046 p^{8} T^{26} - 1787565388 p^{9} T^{27} + 322094293 p^{10} T^{28} - 31908922 p^{11} T^{29} + 4945609 p^{12} T^{30} - 423754 p^{13} T^{31} + 54348 p^{14} T^{32} - 3587 p^{15} T^{33} + 360 p^{16} T^{34} - 14 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 - 15 T + 383 T^{2} - 4367 T^{3} + 62771 T^{4} - 573832 T^{5} + 5953341 T^{6} - 45137537 T^{7} + 371609344 T^{8} - 2416476089 T^{9} + 16816630942 T^{10} - 99316478823 T^{11} + 629101175373 T^{12} - 3696057736585 T^{13} + 22910045878845 T^{14} - 140226112843424 T^{15} + 847117926362703 T^{16} - 5086489323981278 T^{17} + 28474335222419506 T^{18} - 5086489323981278 p T^{19} + 847117926362703 p^{2} T^{20} - 140226112843424 p^{3} T^{21} + 22910045878845 p^{4} T^{22} - 3696057736585 p^{5} T^{23} + 629101175373 p^{6} T^{24} - 99316478823 p^{7} T^{25} + 16816630942 p^{8} T^{26} - 2416476089 p^{9} T^{27} + 371609344 p^{10} T^{28} - 45137537 p^{11} T^{29} + 5953341 p^{12} T^{30} - 573832 p^{13} T^{31} + 62771 p^{14} T^{32} - 4367 p^{15} T^{33} + 383 p^{16} T^{34} - 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - 2 T + 453 T^{2} - 976 T^{3} + 99954 T^{4} - 230136 T^{5} + 14341649 T^{6} - 34760092 T^{7} + 1506935873 T^{8} - 3769215366 T^{9} + 123701015387 T^{10} - 312196087532 T^{11} + 8251610947472 T^{12} - 20532487852350 T^{13} + 458470700045013 T^{14} - 1099967812490778 T^{15} + 21536513634648780 T^{16} - 48778927118631752 T^{17} + 862131251088710164 T^{18} - 48778927118631752 p T^{19} + 21536513634648780 p^{2} T^{20} - 1099967812490778 p^{3} T^{21} + 458470700045013 p^{4} T^{22} - 20532487852350 p^{5} T^{23} + 8251610947472 p^{6} T^{24} - 312196087532 p^{7} T^{25} + 123701015387 p^{8} T^{26} - 3769215366 p^{9} T^{27} + 1506935873 p^{10} T^{28} - 34760092 p^{11} T^{29} + 14341649 p^{12} T^{30} - 230136 p^{13} T^{31} + 99954 p^{14} T^{32} - 976 p^{15} T^{33} + 453 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 - 34 T + 1005 T^{2} - 20528 T^{3} + 374948 T^{4} - 5718724 T^{5} + 79935632 T^{6} - 993553553 T^{7} + 11504795328 T^{8} - 2976531898 p T^{9} + 1219519671986 T^{10} - 11352249769588 T^{11} + 100326858628779 T^{12} - 834454910428352 T^{13} + 6624290155120839 T^{14} - 49804911709306802 T^{15} + 358608059604054218 T^{16} - 2454039700753445925 T^{17} + 16109159095203839388 T^{18} - 2454039700753445925 p T^{19} + 358608059604054218 p^{2} T^{20} - 49804911709306802 p^{3} T^{21} + 6624290155120839 p^{4} T^{22} - 834454910428352 p^{5} T^{23} + 100326858628779 p^{6} T^{24} - 11352249769588 p^{7} T^{25} + 1219519671986 p^{8} T^{26} - 2976531898 p^{10} T^{27} + 11504795328 p^{10} T^{28} - 993553553 p^{11} T^{29} + 79935632 p^{12} T^{30} - 5718724 p^{13} T^{31} + 374948 p^{14} T^{32} - 20528 p^{15} T^{33} + 1005 p^{16} T^{34} - 34 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 - 21 T + 519 T^{2} - 169 p T^{3} + 109313 T^{4} - 1198356 T^{5} + 13957551 T^{6} - 129619412 T^{7} + 1285896403 T^{8} - 10602139616 T^{9} + 94268250552 T^{10} - 710895850963 T^{11} + 5838466152734 T^{12} - 41062097173583 T^{13} + 317400515100395 T^{14} - 2110223160672891 T^{15} + 15538521143036709 T^{16} - 98608169677782665 T^{17} + 696306034517542542 T^{18} - 98608169677782665 p T^{19} + 15538521143036709 p^{2} T^{20} - 2110223160672891 p^{3} T^{21} + 317400515100395 p^{4} T^{22} - 41062097173583 p^{5} T^{23} + 5838466152734 p^{6} T^{24} - 710895850963 p^{7} T^{25} + 94268250552 p^{8} T^{26} - 10602139616 p^{9} T^{27} + 1285896403 p^{10} T^{28} - 129619412 p^{11} T^{29} + 13957551 p^{12} T^{30} - 1198356 p^{13} T^{31} + 109313 p^{14} T^{32} - 169 p^{16} T^{33} + 519 p^{16} T^{34} - 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 - 69 T + 2813 T^{2} - 83259 T^{3} + 1977829 T^{4} - 39575026 T^{5} + 688923872 T^{6} - 10652518865 T^{7} + 148590583135 T^{8} - 1890844183696 T^{9} + 22145465576619 T^{10} - 240338605574193 T^{11} + 2430280974430484 T^{12} - 22995879886692348 T^{13} + 204320195163910158 T^{14} - 1709199322459761645 T^{15} + 13488922699121350055 T^{16} - \)\(10\!\cdots\!15\)\( T^{17} + \)\(70\!\cdots\!44\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!15\)\( p T^{19} + 13488922699121350055 p^{2} T^{20} - 1709199322459761645 p^{3} T^{21} + 204320195163910158 p^{4} T^{22} - 22995879886692348 p^{5} T^{23} + 2430280974430484 p^{6} T^{24} - 240338605574193 p^{7} T^{25} + 22145465576619 p^{8} T^{26} - 1890844183696 p^{9} T^{27} + 148590583135 p^{10} T^{28} - 10652518865 p^{11} T^{29} + 688923872 p^{12} T^{30} - 39575026 p^{13} T^{31} + 1977829 p^{14} T^{32} - 83259 p^{15} T^{33} + 2813 p^{16} T^{34} - 69 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 + 4 T + 484 T^{2} + 2303 T^{3} + 119041 T^{4} + 615075 T^{5} + 19730544 T^{6} + 104020135 T^{7} + 2461306477 T^{8} + 12696580177 T^{9} + 245084819493 T^{10} + 1204914660498 T^{11} + 20257898789527 T^{12} + 93642219626884 T^{13} + 1433925290865274 T^{14} + 6216668515947622 T^{15} + 89238053661872786 T^{16} + 364921034572944308 T^{17} + 4977627118689745467 T^{18} + 364921034572944308 p T^{19} + 89238053661872786 p^{2} T^{20} + 6216668515947622 p^{3} T^{21} + 1433925290865274 p^{4} T^{22} + 93642219626884 p^{5} T^{23} + 20257898789527 p^{6} T^{24} + 1204914660498 p^{7} T^{25} + 245084819493 p^{8} T^{26} + 12696580177 p^{9} T^{27} + 2461306477 p^{10} T^{28} + 104020135 p^{11} T^{29} + 19730544 p^{12} T^{30} + 615075 p^{13} T^{31} + 119041 p^{14} T^{32} + 2303 p^{15} T^{33} + 484 p^{16} T^{34} + 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 11 T + 481 T^{2} - 3908 T^{3} + 106662 T^{4} - 665939 T^{5} + 15677275 T^{6} - 78271338 T^{7} + 1827212675 T^{8} - 7663617944 T^{9} + 183977297525 T^{10} - 675835228611 T^{11} + 16397805671619 T^{12} - 53865870554654 T^{13} + 1298473949014948 T^{14} - 3855780004224404 T^{15} + 91930862643429725 T^{16} - 251775224817831323 T^{17} + 5882200161266945018 T^{18} - 251775224817831323 p T^{19} + 91930862643429725 p^{2} T^{20} - 3855780004224404 p^{3} T^{21} + 1298473949014948 p^{4} T^{22} - 53865870554654 p^{5} T^{23} + 16397805671619 p^{6} T^{24} - 675835228611 p^{7} T^{25} + 183977297525 p^{8} T^{26} - 7663617944 p^{9} T^{27} + 1827212675 p^{10} T^{28} - 78271338 p^{11} T^{29} + 15677275 p^{12} T^{30} - 665939 p^{13} T^{31} + 106662 p^{14} T^{32} - 3908 p^{15} T^{33} + 481 p^{16} T^{34} - 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 34 T + 1256 T^{2} - 29610 T^{3} + 670616 T^{4} - 12426584 T^{5} + 216557435 T^{6} - 3352890195 T^{7} + 48781974726 T^{8} - 653572817240 T^{9} + 8263250492199 T^{10} - 97921163094028 T^{11} + 1100466341178743 T^{12} - 11699198515220201 T^{13} + 118457844867384795 T^{14} - 1140148189649309110 T^{15} + 10483428760965178506 T^{16} - 91845721016617428512 T^{17} + \)\(76\!\cdots\!42\)\( T^{18} - 91845721016617428512 p T^{19} + 10483428760965178506 p^{2} T^{20} - 1140148189649309110 p^{3} T^{21} + 118457844867384795 p^{4} T^{22} - 11699198515220201 p^{5} T^{23} + 1100466341178743 p^{6} T^{24} - 97921163094028 p^{7} T^{25} + 8263250492199 p^{8} T^{26} - 653572817240 p^{9} T^{27} + 48781974726 p^{10} T^{28} - 3352890195 p^{11} T^{29} + 216557435 p^{12} T^{30} - 12426584 p^{13} T^{31} + 670616 p^{14} T^{32} - 29610 p^{15} T^{33} + 1256 p^{16} T^{34} - 34 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - 37 T + 1155 T^{2} - 24903 T^{3} + 485171 T^{4} - 7896284 T^{5} + 120218449 T^{6} - 1635116928 T^{7} + 21236636002 T^{8} - 254709648948 T^{9} + 2953507339142 T^{10} - 32202301017074 T^{11} + 341744420320871 T^{12} - 3443858987512768 T^{13} + 33892860537735277 T^{14} - 318418018400167788 T^{15} + 2926118537495009523 T^{16} - 25737442969373370088 T^{17} + \)\(22\!\cdots\!46\)\( T^{18} - 25737442969373370088 p T^{19} + 2926118537495009523 p^{2} T^{20} - 318418018400167788 p^{3} T^{21} + 33892860537735277 p^{4} T^{22} - 3443858987512768 p^{5} T^{23} + 341744420320871 p^{6} T^{24} - 32202301017074 p^{7} T^{25} + 2953507339142 p^{8} T^{26} - 254709648948 p^{9} T^{27} + 21236636002 p^{10} T^{28} - 1635116928 p^{11} T^{29} + 120218449 p^{12} T^{30} - 7896284 p^{13} T^{31} + 485171 p^{14} T^{32} - 24903 p^{15} T^{33} + 1155 p^{16} T^{34} - 37 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 18 T + 693 T^{2} - 9358 T^{3} + 223991 T^{4} - 2507127 T^{5} + 47434428 T^{6} - 454465578 T^{7} + 7438072501 T^{8} - 61763079622 T^{9} + 923573050490 T^{10} - 6677623153886 T^{11} + 95143153197465 T^{12} - 601588878507954 T^{13} + 8475520214804649 T^{14} - 47608376979440768 T^{15} + 680525784224168184 T^{16} - 3525807261135811289 T^{17} + 51025527266299755452 T^{18} - 3525807261135811289 p T^{19} + 680525784224168184 p^{2} T^{20} - 47608376979440768 p^{3} T^{21} + 8475520214804649 p^{4} T^{22} - 601588878507954 p^{5} T^{23} + 95143153197465 p^{6} T^{24} - 6677623153886 p^{7} T^{25} + 923573050490 p^{8} T^{26} - 61763079622 p^{9} T^{27} + 7438072501 p^{10} T^{28} - 454465578 p^{11} T^{29} + 47434428 p^{12} T^{30} - 2507127 p^{13} T^{31} + 223991 p^{14} T^{32} - 9358 p^{15} T^{33} + 693 p^{16} T^{34} - 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 - 11 T + 685 T^{2} - 6481 T^{3} + 225790 T^{4} - 1851053 T^{5} + 48873268 T^{6} - 351387947 T^{7} + 8014493255 T^{8} - 51360170663 T^{9} + 1080970410860 T^{10} - 6278269508005 T^{11} + 125611304688396 T^{12} - 670828362784983 T^{13} + 12898492496169612 T^{14} - 64144515705391504 T^{15} + 1187177355536698586 T^{16} - 5560084148732057379 T^{17} + 98624258252882862522 T^{18} - 5560084148732057379 p T^{19} + 1187177355536698586 p^{2} T^{20} - 64144515705391504 p^{3} T^{21} + 12898492496169612 p^{4} T^{22} - 670828362784983 p^{5} T^{23} + 125611304688396 p^{6} T^{24} - 6278269508005 p^{7} T^{25} + 1080970410860 p^{8} T^{26} - 51360170663 p^{9} T^{27} + 8014493255 p^{10} T^{28} - 351387947 p^{11} T^{29} + 48873268 p^{12} T^{30} - 1851053 p^{13} T^{31} + 225790 p^{14} T^{32} - 6481 p^{15} T^{33} + 685 p^{16} T^{34} - 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 28 T + 1084 T^{2} - 21171 T^{3} + 488774 T^{4} - 7444810 T^{5} + 129435425 T^{6} - 1607344142 T^{7} + 22867356485 T^{8} - 233351638512 T^{9} + 34019085424 p T^{10} - 22867332415791 T^{11} + 240239654651824 T^{12} - 1319571611951593 T^{13} + 12381897567975973 T^{14} - 4231523957468201 T^{15} + 140617753201218772 T^{16} + 6994569251833345554 T^{17} - 22994441467512066308 T^{18} + 6994569251833345554 p T^{19} + 140617753201218772 p^{2} T^{20} - 4231523957468201 p^{3} T^{21} + 12381897567975973 p^{4} T^{22} - 1319571611951593 p^{5} T^{23} + 240239654651824 p^{6} T^{24} - 22867332415791 p^{7} T^{25} + 34019085424 p^{9} T^{26} - 233351638512 p^{9} T^{27} + 22867356485 p^{10} T^{28} - 1607344142 p^{11} T^{29} + 129435425 p^{12} T^{30} - 7444810 p^{13} T^{31} + 488774 p^{14} T^{32} - 21171 p^{15} T^{33} + 1084 p^{16} T^{34} - 28 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 44 T + 1927 T^{2} - 54350 T^{3} + 1458139 T^{4} - 31487709 T^{5} + 646528570 T^{6} - 11538721311 T^{7} + 196722571112 T^{8} - 3023385309595 T^{9} + 44592288644567 T^{10} - 604941790914728 T^{11} + 7905187195967763 T^{12} - 96162134560435884 T^{13} + 1129892147851445700 T^{14} - 12447443779589877500 T^{15} + \)\(13\!\cdots\!37\)\( T^{16} - \)\(13\!\cdots\!67\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!67\)\( p T^{19} + \)\(13\!\cdots\!37\)\( p^{2} T^{20} - 12447443779589877500 p^{3} T^{21} + 1129892147851445700 p^{4} T^{22} - 96162134560435884 p^{5} T^{23} + 7905187195967763 p^{6} T^{24} - 604941790914728 p^{7} T^{25} + 44592288644567 p^{8} T^{26} - 3023385309595 p^{9} T^{27} + 196722571112 p^{10} T^{28} - 11538721311 p^{11} T^{29} + 646528570 p^{12} T^{30} - 31487709 p^{13} T^{31} + 1458139 p^{14} T^{32} - 54350 p^{15} T^{33} + 1927 p^{16} T^{34} - 44 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 - 11 T + 946 T^{2} - 9538 T^{3} + 445273 T^{4} - 4196116 T^{5} + 140154954 T^{6} - 1253005376 T^{7} + 33279732560 T^{8} - 284872829736 T^{9} + 6352378052523 T^{10} - 52263727924621 T^{11} + 1012224836827266 T^{12} - 7998398413761741 T^{13} + 137908328989793822 T^{14} - 1041611363192867202 T^{15} + 16309719612276148602 T^{16} - \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!98\)\( T^{18} - \)\(11\!\cdots\!75\)\( p T^{19} + 16309719612276148602 p^{2} T^{20} - 1041611363192867202 p^{3} T^{21} + 137908328989793822 p^{4} T^{22} - 7998398413761741 p^{5} T^{23} + 1012224836827266 p^{6} T^{24} - 52263727924621 p^{7} T^{25} + 6352378052523 p^{8} T^{26} - 284872829736 p^{9} T^{27} + 33279732560 p^{10} T^{28} - 1253005376 p^{11} T^{29} + 140154954 p^{12} T^{30} - 4196116 p^{13} T^{31} + 445273 p^{14} T^{32} - 9538 p^{15} T^{33} + 946 p^{16} T^{34} - 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.95899489798693812717412020193, −1.95083684483585334010116150391, −1.91935929488330592453683447220, −1.86583601681734882667885909121, −1.74461237623775285126042267555, −1.71683039012169790916056596190, −1.50813504038994219856843287954, −1.47351982736592221634321188764, −1.30557374823205282487648539098, −1.28993669033450178955637233235, −1.22153228697956720081896544201, −1.07225959158841133850026181839, −1.04975034143147933996067275776, −1.00364702683528751090831781576, −0.912032461477659162657046760908, −0.77839752617304777074181101413, −0.77402734504339462006245372678, −0.75097642137035221348323705499, −0.67882651676847085878574165144, −0.62226671169180024425393638997, −0.47529978568712610206923928616, −0.44654559219192470235044776733, −0.43212362246445367874859929044, −0.42902599560941825951250899145, −0.29117593311715403109197463608, 0.29117593311715403109197463608, 0.42902599560941825951250899145, 0.43212362246445367874859929044, 0.44654559219192470235044776733, 0.47529978568712610206923928616, 0.62226671169180024425393638997, 0.67882651676847085878574165144, 0.75097642137035221348323705499, 0.77402734504339462006245372678, 0.77839752617304777074181101413, 0.912032461477659162657046760908, 1.00364702683528751090831781576, 1.04975034143147933996067275776, 1.07225959158841133850026181839, 1.22153228697956720081896544201, 1.28993669033450178955637233235, 1.30557374823205282487648539098, 1.47351982736592221634321188764, 1.50813504038994219856843287954, 1.71683039012169790916056596190, 1.74461237623775285126042267555, 1.86583601681734882667885909121, 1.91935929488330592453683447220, 1.95083684483585334010116150391, 1.95899489798693812717412020193
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.