Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 3·2-s − 19·3-s − 9·4-s − 12·5-s − 57·6-s + 19·7-s − 36·8-s + 190·9-s − 36·10-s + 11-s + 171·12-s − 25·13-s + 57·14-s + 228·15-s + 29·16-s − 9·17-s + 570·18-s − 29·19-s + 108·20-s − 361·21-s + 3·22-s + 18·23-s + 684·24-s + 26·25-s − 75·26-s − 1.33e3·27-s − 171·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.12·2-s − 10.9·3-s − 9/2·4-s − 5.36·5-s − 23.2·6-s + 7.18·7-s − 12.7·8-s + 63.3·9-s − 11.3·10-s + 0.301·11-s + 49.3·12-s − 6.93·13-s + 15.2·14-s + 58.8·15-s + 29/4·16-s − 2.18·17-s + 134.·18-s − 6.65·19-s + 24.1·20-s − 78.7·21-s + 0.639·22-s + 3.75·23-s + 139.·24-s + 26/5·25-s − 14.7·26-s − 255.·27-s − 32.3·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{19} \cdot 7^{19} \cdot 191^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{19} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{19} \cdot 7^{19} \cdot 191^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{19} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(38\) |
| Conductor: | \(3^{19} \cdot 7^{19} \cdot 191^{19}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(4.02777\times 10^{28}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.65932\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(19\) |
| Selberg data: | \((38,\ 3^{19} \cdot 7^{19} \cdot 191^{19} ,\ ( \ : [1/2]^{19} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + T )^{19} \) |
| 7 | \( ( 1 - T )^{19} \) | |
| 191 | \( ( 1 - T )^{19} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 3 T + 9 p T^{2} - 45 T^{3} + 5 p^{5} T^{4} - 351 T^{5} + 955 T^{6} - 1899 T^{7} + 4363 T^{8} - 8043 T^{9} + 16399 T^{10} - 28409 T^{11} + 52807 T^{12} - 86517 T^{13} + 148847 T^{14} - 115581 p T^{15} + 46459 p^{3} T^{16} - 136891 p^{2} T^{17} + 828681 T^{18} - 578847 p T^{19} + 828681 p T^{20} - 136891 p^{4} T^{21} + 46459 p^{6} T^{22} - 115581 p^{5} T^{23} + 148847 p^{5} T^{24} - 86517 p^{6} T^{25} + 52807 p^{7} T^{26} - 28409 p^{8} T^{27} + 16399 p^{9} T^{28} - 8043 p^{10} T^{29} + 4363 p^{11} T^{30} - 1899 p^{12} T^{31} + 955 p^{13} T^{32} - 351 p^{14} T^{33} + 5 p^{20} T^{34} - 45 p^{16} T^{35} + 9 p^{18} T^{36} - 3 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) |
| 5 | \( 1 + 12 T + 118 T^{2} + 838 T^{3} + 5242 T^{4} + 5613 p T^{5} + 137053 T^{6} + 24194 p^{2} T^{7} + 2482692 T^{8} + 9442234 T^{9} + 33797764 T^{10} + 113628263 T^{11} + 14490666 p^{2} T^{12} + 1093618653 T^{13} + 3146080821 T^{14} + 8612111773 T^{15} + 22534409538 T^{16} + 56268152608 T^{17} + 134527099514 T^{18} + 307335026456 T^{19} + 134527099514 p T^{20} + 56268152608 p^{2} T^{21} + 22534409538 p^{3} T^{22} + 8612111773 p^{4} T^{23} + 3146080821 p^{5} T^{24} + 1093618653 p^{6} T^{25} + 14490666 p^{9} T^{26} + 113628263 p^{8} T^{27} + 33797764 p^{9} T^{28} + 9442234 p^{10} T^{29} + 2482692 p^{11} T^{30} + 24194 p^{14} T^{31} + 137053 p^{13} T^{32} + 5613 p^{15} T^{33} + 5242 p^{15} T^{34} + 838 p^{16} T^{35} + 118 p^{17} T^{36} + 12 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 11 | \( 1 - T + 111 T^{2} - 127 T^{3} + 6295 T^{4} - 7660 T^{5} + 21950 p T^{6} - 299929 T^{7} + 7004939 T^{8} - 8661064 T^{9} + 163163789 T^{10} - 17955451 p T^{11} + 3164523642 T^{12} - 3706931023 T^{13} + 52332381848 T^{14} - 58778861589 T^{15} + 749512397277 T^{16} - 800390195632 T^{17} + 9386137449680 T^{18} - 9444354941508 T^{19} + 9386137449680 p T^{20} - 800390195632 p^{2} T^{21} + 749512397277 p^{3} T^{22} - 58778861589 p^{4} T^{23} + 52332381848 p^{5} T^{24} - 3706931023 p^{6} T^{25} + 3164523642 p^{7} T^{26} - 17955451 p^{9} T^{27} + 163163789 p^{9} T^{28} - 8661064 p^{10} T^{29} + 7004939 p^{11} T^{30} - 299929 p^{12} T^{31} + 21950 p^{14} T^{32} - 7660 p^{14} T^{33} + 6295 p^{15} T^{34} - 127 p^{16} T^{35} + 111 p^{17} T^{36} - p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 13 | \( 1 + 25 T + 448 T^{2} + 5823 T^{3} + 63764 T^{4} + 45613 p T^{5} + 4916914 T^{6} + 36550883 T^{7} + 249354477 T^{8} + 1566640155 T^{9} + 9189144859 T^{10} + 3878958243 p T^{11} + 261186060049 T^{12} + 1278218944672 T^{13} + 5946225292960 T^{14} + 26297901544469 T^{15} + 111039598259202 T^{16} + 447337153226087 T^{17} + 1724599500564609 T^{18} + 6354072076642702 T^{19} + 1724599500564609 p T^{20} + 447337153226087 p^{2} T^{21} + 111039598259202 p^{3} T^{22} + 26297901544469 p^{4} T^{23} + 5946225292960 p^{5} T^{24} + 1278218944672 p^{6} T^{25} + 261186060049 p^{7} T^{26} + 3878958243 p^{9} T^{27} + 9189144859 p^{9} T^{28} + 1566640155 p^{10} T^{29} + 249354477 p^{11} T^{30} + 36550883 p^{12} T^{31} + 4916914 p^{13} T^{32} + 45613 p^{15} T^{33} + 63764 p^{15} T^{34} + 5823 p^{16} T^{35} + 448 p^{17} T^{36} + 25 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 17 | \( 1 + 9 T + 217 T^{2} + 1738 T^{3} + 22924 T^{4} + 166244 T^{5} + 1577432 T^{6} + 10469079 T^{7} + 79647934 T^{8} + 486984993 T^{9} + 3147784174 T^{10} + 17805343196 T^{11} + 101329893257 T^{12} + 531727462112 T^{13} + 2727097431585 T^{14} + 13300941878060 T^{15} + 62424944512915 T^{16} + 283306210639650 T^{17} + 1228312290280517 T^{18} + 5186801999982278 T^{19} + 1228312290280517 p T^{20} + 283306210639650 p^{2} T^{21} + 62424944512915 p^{3} T^{22} + 13300941878060 p^{4} T^{23} + 2727097431585 p^{5} T^{24} + 531727462112 p^{6} T^{25} + 101329893257 p^{7} T^{26} + 17805343196 p^{8} T^{27} + 3147784174 p^{9} T^{28} + 486984993 p^{10} T^{29} + 79647934 p^{11} T^{30} + 10469079 p^{12} T^{31} + 1577432 p^{13} T^{32} + 166244 p^{14} T^{33} + 22924 p^{15} T^{34} + 1738 p^{16} T^{35} + 217 p^{17} T^{36} + 9 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 19 | \( 1 + 29 T + 597 T^{2} + 9100 T^{3} + 116401 T^{4} + 1273550 T^{5} + 12368140 T^{6} + 107759642 T^{7} + 856541930 T^{8} + 6253387630 T^{9} + 42343639067 T^{10} + 267265504949 T^{11} + 1583657996870 T^{12} + 8849859253670 T^{13} + 46941873512681 T^{14} + 237499330727567 T^{15} + 1153531135207500 T^{16} + 5404344039577412 T^{17} + 24552852618340625 T^{18} + 108447425054993602 T^{19} + 24552852618340625 p T^{20} + 5404344039577412 p^{2} T^{21} + 1153531135207500 p^{3} T^{22} + 237499330727567 p^{4} T^{23} + 46941873512681 p^{5} T^{24} + 8849859253670 p^{6} T^{25} + 1583657996870 p^{7} T^{26} + 267265504949 p^{8} T^{27} + 42343639067 p^{9} T^{28} + 6253387630 p^{10} T^{29} + 856541930 p^{11} T^{30} + 107759642 p^{12} T^{31} + 12368140 p^{13} T^{32} + 1273550 p^{14} T^{33} + 116401 p^{15} T^{34} + 9100 p^{16} T^{35} + 597 p^{17} T^{36} + 29 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 23 | \( 1 - 18 T + 398 T^{2} - 4892 T^{3} + 2792 p T^{4} - 613841 T^{5} + 6067691 T^{6} - 48252757 T^{7} + 394273105 T^{8} - 2725668777 T^{9} + 19408728713 T^{10} - 120492958408 T^{11} + 774268731460 T^{12} - 4420855687478 T^{13} + 26219391659307 T^{14} - 139739265536697 T^{15} + 774159214014006 T^{16} - 3875822461862661 T^{17} + 20149576991910374 T^{18} - 94862140869342870 T^{19} + 20149576991910374 p T^{20} - 3875822461862661 p^{2} T^{21} + 774159214014006 p^{3} T^{22} - 139739265536697 p^{4} T^{23} + 26219391659307 p^{5} T^{24} - 4420855687478 p^{6} T^{25} + 774268731460 p^{7} T^{26} - 120492958408 p^{8} T^{27} + 19408728713 p^{9} T^{28} - 2725668777 p^{10} T^{29} + 394273105 p^{11} T^{30} - 48252757 p^{12} T^{31} + 6067691 p^{13} T^{32} - 613841 p^{14} T^{33} + 2792 p^{16} T^{34} - 4892 p^{16} T^{35} + 398 p^{17} T^{36} - 18 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 29 | \( 1 - 2 T + 292 T^{2} - 450 T^{3} + 43312 T^{4} - 50467 T^{5} + 4339620 T^{6} - 3701479 T^{7} + 329292790 T^{8} - 196407555 T^{9} + 20110849529 T^{10} - 7895917279 T^{11} + 1025399326530 T^{12} - 245567550763 T^{13} + 44670575740259 T^{14} - 6007637017768 T^{15} + 1687179814121103 T^{16} - 124646760351772 T^{17} + 55726251938707304 T^{18} - 2936252614133235 T^{19} + 55726251938707304 p T^{20} - 124646760351772 p^{2} T^{21} + 1687179814121103 p^{3} T^{22} - 6007637017768 p^{4} T^{23} + 44670575740259 p^{5} T^{24} - 245567550763 p^{6} T^{25} + 1025399326530 p^{7} T^{26} - 7895917279 p^{8} T^{27} + 20110849529 p^{9} T^{28} - 196407555 p^{10} T^{29} + 329292790 p^{11} T^{30} - 3701479 p^{12} T^{31} + 4339620 p^{13} T^{32} - 50467 p^{14} T^{33} + 43312 p^{15} T^{34} - 450 p^{16} T^{35} + 292 p^{17} T^{36} - 2 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 31 | \( 1 + 24 T + 633 T^{2} + 10085 T^{3} + 158929 T^{4} + 1927046 T^{5} + 22687476 T^{6} + 222914794 T^{7} + 2123641056 T^{8} + 17485114664 T^{9} + 140187527508 T^{10} + 985962416757 T^{11} + 6813298879970 T^{12} + 41461432003272 T^{13} + 252428812558230 T^{14} + 1353062728925431 T^{15} + 7551934578976773 T^{16} + 37491957981531947 T^{17} + 6741049383235626 p T^{18} + 1068750888378524668 T^{19} + 6741049383235626 p^{2} T^{20} + 37491957981531947 p^{2} T^{21} + 7551934578976773 p^{3} T^{22} + 1353062728925431 p^{4} T^{23} + 252428812558230 p^{5} T^{24} + 41461432003272 p^{6} T^{25} + 6813298879970 p^{7} T^{26} + 985962416757 p^{8} T^{27} + 140187527508 p^{9} T^{28} + 17485114664 p^{10} T^{29} + 2123641056 p^{11} T^{30} + 222914794 p^{12} T^{31} + 22687476 p^{13} T^{32} + 1927046 p^{14} T^{33} + 158929 p^{15} T^{34} + 10085 p^{16} T^{35} + 633 p^{17} T^{36} + 24 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 37 | \( 1 + 24 T + 732 T^{2} + 12046 T^{3} + 217058 T^{4} + 2771943 T^{5} + 37398757 T^{6} + 394481703 T^{7} + 4363571365 T^{8} + 39509687412 T^{9} + 376586352122 T^{10} + 3008577363232 T^{11} + 25543862202224 T^{12} + 184022752149896 T^{13} + 1426218208227676 T^{14} + 9433828962224298 T^{15} + 67946338326148778 T^{16} + 418615798448066778 T^{17} + 2833533065428623821 T^{18} + 16416396486366279140 T^{19} + 2833533065428623821 p T^{20} + 418615798448066778 p^{2} T^{21} + 67946338326148778 p^{3} T^{22} + 9433828962224298 p^{4} T^{23} + 1426218208227676 p^{5} T^{24} + 184022752149896 p^{6} T^{25} + 25543862202224 p^{7} T^{26} + 3008577363232 p^{8} T^{27} + 376586352122 p^{9} T^{28} + 39509687412 p^{10} T^{29} + 4363571365 p^{11} T^{30} + 394481703 p^{12} T^{31} + 37398757 p^{13} T^{32} + 2771943 p^{14} T^{33} + 217058 p^{15} T^{34} + 12046 p^{16} T^{35} + 732 p^{17} T^{36} + 24 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 41 | \( 1 + 14 T + 513 T^{2} + 5965 T^{3} + 128001 T^{4} + 1297923 T^{5} + 20974948 T^{6} + 190397212 T^{7} + 2544575815 T^{8} + 21006689528 T^{9} + 243316241487 T^{10} + 1845046735707 T^{11} + 19030482011871 T^{12} + 133377347065644 T^{13} + 1246002025893231 T^{14} + 8100346539575583 T^{15} + 69298807868561521 T^{16} + 418513917184595790 T^{17} + 3302476048960119659 T^{18} + 18520596802394168112 T^{19} + 3302476048960119659 p T^{20} + 418513917184595790 p^{2} T^{21} + 69298807868561521 p^{3} T^{22} + 8100346539575583 p^{4} T^{23} + 1246002025893231 p^{5} T^{24} + 133377347065644 p^{6} T^{25} + 19030482011871 p^{7} T^{26} + 1845046735707 p^{8} T^{27} + 243316241487 p^{9} T^{28} + 21006689528 p^{10} T^{29} + 2544575815 p^{11} T^{30} + 190397212 p^{12} T^{31} + 20974948 p^{13} T^{32} + 1297923 p^{14} T^{33} + 128001 p^{15} T^{34} + 5965 p^{16} T^{35} + 513 p^{17} T^{36} + 14 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 43 | \( 1 + 17 T + 601 T^{2} + 7936 T^{3} + 159262 T^{4} + 1723450 T^{5} + 25537300 T^{6} + 234706170 T^{7} + 2856715227 T^{8} + 22922661259 T^{9} + 243764326527 T^{10} + 1747812676494 T^{11} + 16923893905869 T^{12} + 110563796838529 T^{13} + 1002029741691199 T^{14} + 6061826048237843 T^{15} + 52295442475178206 T^{16} + 297221382898704169 T^{17} + 57240724228080038 p T^{18} + 13315578606855971538 T^{19} + 57240724228080038 p^{2} T^{20} + 297221382898704169 p^{2} T^{21} + 52295442475178206 p^{3} T^{22} + 6061826048237843 p^{4} T^{23} + 1002029741691199 p^{5} T^{24} + 110563796838529 p^{6} T^{25} + 16923893905869 p^{7} T^{26} + 1747812676494 p^{8} T^{27} + 243764326527 p^{9} T^{28} + 22922661259 p^{10} T^{29} + 2856715227 p^{11} T^{30} + 234706170 p^{12} T^{31} + 25537300 p^{13} T^{32} + 1723450 p^{14} T^{33} + 159262 p^{15} T^{34} + 7936 p^{16} T^{35} + 601 p^{17} T^{36} + 17 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 47 | \( 1 - 7 T + 415 T^{2} - 2450 T^{3} + 85751 T^{4} - 432248 T^{5} + 11818992 T^{6} - 51061501 T^{7} + 1232472041 T^{8} - 4586794159 T^{9} + 2228889944 p T^{10} - 339503715860 T^{11} + 7620069593282 T^{12} - 21897169458460 T^{13} + 488986942610167 T^{14} - 1273825844789734 T^{15} + 28135622743598589 T^{16} - 67882264819814857 T^{17} + 1461592330383037400 T^{18} - 3326629612935054004 T^{19} + 1461592330383037400 p T^{20} - 67882264819814857 p^{2} T^{21} + 28135622743598589 p^{3} T^{22} - 1273825844789734 p^{4} T^{23} + 488986942610167 p^{5} T^{24} - 21897169458460 p^{6} T^{25} + 7620069593282 p^{7} T^{26} - 339503715860 p^{8} T^{27} + 2228889944 p^{10} T^{28} - 4586794159 p^{10} T^{29} + 1232472041 p^{11} T^{30} - 51061501 p^{12} T^{31} + 11818992 p^{13} T^{32} - 432248 p^{14} T^{33} + 85751 p^{15} T^{34} - 2450 p^{16} T^{35} + 415 p^{17} T^{36} - 7 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 53 | \( 1 - 4 T + 525 T^{2} - 1734 T^{3} + 137846 T^{4} - 369007 T^{5} + 24340246 T^{6} - 52090415 T^{7} + 3265188510 T^{8} - 5540806959 T^{9} + 354776682419 T^{10} - 476920807791 T^{11} + 32399501688071 T^{12} - 34848726424870 T^{13} + 2543483093473710 T^{14} - 2245513762145827 T^{15} + 174028053658200126 T^{16} - 131740953769697311 T^{17} + 10460803335469231013 T^{18} - 7201937558598879997 T^{19} + 10460803335469231013 p T^{20} - 131740953769697311 p^{2} T^{21} + 174028053658200126 p^{3} T^{22} - 2245513762145827 p^{4} T^{23} + 2543483093473710 p^{5} T^{24} - 34848726424870 p^{6} T^{25} + 32399501688071 p^{7} T^{26} - 476920807791 p^{8} T^{27} + 354776682419 p^{9} T^{28} - 5540806959 p^{10} T^{29} + 3265188510 p^{11} T^{30} - 52090415 p^{12} T^{31} + 24340246 p^{13} T^{32} - 369007 p^{14} T^{33} + 137846 p^{15} T^{34} - 1734 p^{16} T^{35} + 525 p^{17} T^{36} - 4 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 59 | \( 1 + 23 T + 934 T^{2} + 15829 T^{3} + 372574 T^{4} + 5047475 T^{5} + 88669267 T^{6} + 1004760296 T^{7} + 14553886851 T^{8} + 141987603455 T^{9} + 1793915699670 T^{10} + 15384967834776 T^{11} + 176264740394372 T^{12} + 1352349468677930 T^{13} + 14476587033646707 T^{14} + 101161204945313192 T^{15} + 1034822476903386594 T^{16} + 6724463554068080670 T^{17} + 66542427486442305714 T^{18} + \)\(41\!\cdots\!04\)\( T^{19} + 66542427486442305714 p T^{20} + 6724463554068080670 p^{2} T^{21} + 1034822476903386594 p^{3} T^{22} + 101161204945313192 p^{4} T^{23} + 14476587033646707 p^{5} T^{24} + 1352349468677930 p^{6} T^{25} + 176264740394372 p^{7} T^{26} + 15384967834776 p^{8} T^{27} + 1793915699670 p^{9} T^{28} + 141987603455 p^{10} T^{29} + 14553886851 p^{11} T^{30} + 1004760296 p^{12} T^{31} + 88669267 p^{13} T^{32} + 5047475 p^{14} T^{33} + 372574 p^{15} T^{34} + 15829 p^{16} T^{35} + 934 p^{17} T^{36} + 23 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 61 | \( 1 + 38 T + 1392 T^{2} + 33762 T^{3} + 761422 T^{4} + 14072876 T^{5} + 243111205 T^{6} + 3698537264 T^{7} + 53042669625 T^{8} + 693121364163 T^{9} + 8602653049772 T^{10} + 99171832801353 T^{11} + 1092486313336998 T^{12} + 11312678205797277 T^{13} + 112463712043865500 T^{14} + 1059041829524115119 T^{15} + 9606370754556225830 T^{16} + 82926111435831790646 T^{17} + \)\(69\!\cdots\!56\)\( T^{18} + \)\(54\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(69\!\cdots\!56\)\( p T^{20} + 82926111435831790646 p^{2} T^{21} + 9606370754556225830 p^{3} T^{22} + 1059041829524115119 p^{4} T^{23} + 112463712043865500 p^{5} T^{24} + 11312678205797277 p^{6} T^{25} + 1092486313336998 p^{7} T^{26} + 99171832801353 p^{8} T^{27} + 8602653049772 p^{9} T^{28} + 693121364163 p^{10} T^{29} + 53042669625 p^{11} T^{30} + 3698537264 p^{12} T^{31} + 243111205 p^{13} T^{32} + 14072876 p^{14} T^{33} + 761422 p^{15} T^{34} + 33762 p^{16} T^{35} + 1392 p^{17} T^{36} + 38 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 67 | \( 1 + 20 T + 1002 T^{2} + 16144 T^{3} + 463003 T^{4} + 6316092 T^{5} + 134579955 T^{6} + 1603004818 T^{7} + 28035657735 T^{8} + 297644937350 T^{9} + 4497783460536 T^{10} + 43183108423823 T^{11} + 581184526064392 T^{12} + 5099474931347460 T^{13} + 62307178882637023 T^{14} + 503465008640036287 T^{15} + 5652793533762147403 T^{16} + 42285464345230764305 T^{17} + \)\(43\!\cdots\!45\)\( T^{18} + \)\(30\!\cdots\!98\)\( T^{19} + \)\(43\!\cdots\!45\)\( p T^{20} + 42285464345230764305 p^{2} T^{21} + 5652793533762147403 p^{3} T^{22} + 503465008640036287 p^{4} T^{23} + 62307178882637023 p^{5} T^{24} + 5099474931347460 p^{6} T^{25} + 581184526064392 p^{7} T^{26} + 43183108423823 p^{8} T^{27} + 4497783460536 p^{9} T^{28} + 297644937350 p^{10} T^{29} + 28035657735 p^{11} T^{30} + 1603004818 p^{12} T^{31} + 134579955 p^{13} T^{32} + 6316092 p^{14} T^{33} + 463003 p^{15} T^{34} + 16144 p^{16} T^{35} + 1002 p^{17} T^{36} + 20 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 71 | \( 1 - 14 T + 851 T^{2} - 11315 T^{3} + 358922 T^{4} - 4501301 T^{5} + 99750160 T^{6} - 1176000815 T^{7} + 20514854935 T^{8} - 227008919645 T^{9} + 3324987352680 T^{10} - 34505515641109 T^{11} + 441414645464521 T^{12} - 4293110885694412 T^{13} + 49212096802575642 T^{14} - 448157398721506787 T^{15} + 4682438995010959345 T^{16} - 39867736913700026238 T^{17} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( T^{18} - \)\(30\!\cdots\!88\)\( T^{19} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( p T^{20} - 39867736913700026238 p^{2} T^{21} + 4682438995010959345 p^{3} T^{22} - 448157398721506787 p^{4} T^{23} + 49212096802575642 p^{5} T^{24} - 4293110885694412 p^{6} T^{25} + 441414645464521 p^{7} T^{26} - 34505515641109 p^{8} T^{27} + 3324987352680 p^{9} T^{28} - 227008919645 p^{10} T^{29} + 20514854935 p^{11} T^{30} - 1176000815 p^{12} T^{31} + 99750160 p^{13} T^{32} - 4501301 p^{14} T^{33} + 358922 p^{15} T^{34} - 11315 p^{16} T^{35} + 851 p^{17} T^{36} - 14 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 73 | \( 1 + 19 T + 981 T^{2} + 15002 T^{3} + 438627 T^{4} + 5598865 T^{5} + 121100518 T^{6} + 1318413717 T^{7} + 23499401532 T^{8} + 221201239134 T^{9} + 3460269928531 T^{10} + 28444686587656 T^{11} + 408909321837552 T^{12} + 2966043461806576 T^{13} + 556954865746047 p T^{14} + 264245955751427301 T^{15} + 3545740164606594988 T^{16} + 21151752643004144445 T^{17} + \)\(28\!\cdots\!92\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{19} + \)\(28\!\cdots\!92\)\( p T^{20} + 21151752643004144445 p^{2} T^{21} + 3545740164606594988 p^{3} T^{22} + 264245955751427301 p^{4} T^{23} + 556954865746047 p^{6} T^{24} + 2966043461806576 p^{6} T^{25} + 408909321837552 p^{7} T^{26} + 28444686587656 p^{8} T^{27} + 3460269928531 p^{9} T^{28} + 221201239134 p^{10} T^{29} + 23499401532 p^{11} T^{30} + 1318413717 p^{12} T^{31} + 121100518 p^{13} T^{32} + 5598865 p^{14} T^{33} + 438627 p^{15} T^{34} + 15002 p^{16} T^{35} + 981 p^{17} T^{36} + 19 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 79 | \( 1 + 16 T + 940 T^{2} + 12666 T^{3} + 409101 T^{4} + 4677979 T^{5} + 110261759 T^{6} + 1073638073 T^{7} + 20866969895 T^{8} + 173233815838 T^{9} + 3007645872202 T^{10} + 21366437249098 T^{11} + 353943455484280 T^{12} + 2181796842766715 T^{13} + 36247507347614767 T^{14} + 199539720154431705 T^{15} + 3378719740356310266 T^{16} + 17181669711340356424 T^{17} + \)\(29\!\cdots\!38\)\( T^{18} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!38\)\( p T^{20} + 17181669711340356424 p^{2} T^{21} + 3378719740356310266 p^{3} T^{22} + 199539720154431705 p^{4} T^{23} + 36247507347614767 p^{5} T^{24} + 2181796842766715 p^{6} T^{25} + 353943455484280 p^{7} T^{26} + 21366437249098 p^{8} T^{27} + 3007645872202 p^{9} T^{28} + 173233815838 p^{10} T^{29} + 20866969895 p^{11} T^{30} + 1073638073 p^{12} T^{31} + 110261759 p^{13} T^{32} + 4677979 p^{14} T^{33} + 409101 p^{15} T^{34} + 12666 p^{16} T^{35} + 940 p^{17} T^{36} + 16 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 83 | \( 1 + 11 T + 989 T^{2} + 11047 T^{3} + 495488 T^{4} + 5462282 T^{5} + 165886271 T^{6} + 1771043392 T^{7} + 41387456685 T^{8} + 422528943620 T^{9} + 8146646969747 T^{10} + 78856831044073 T^{11} + 1309061144374449 T^{12} + 11943100435186317 T^{13} + 175505225682479834 T^{14} + 1502151233631615793 T^{15} + 19911815771636030082 T^{16} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( T^{18} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( p T^{20} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{21} + 19911815771636030082 p^{3} T^{22} + 1502151233631615793 p^{4} T^{23} + 175505225682479834 p^{5} T^{24} + 11943100435186317 p^{6} T^{25} + 1309061144374449 p^{7} T^{26} + 78856831044073 p^{8} T^{27} + 8146646969747 p^{9} T^{28} + 422528943620 p^{10} T^{29} + 41387456685 p^{11} T^{30} + 1771043392 p^{12} T^{31} + 165886271 p^{13} T^{32} + 5462282 p^{14} T^{33} + 495488 p^{15} T^{34} + 11047 p^{16} T^{35} + 989 p^{17} T^{36} + 11 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 89 | \( 1 + 19 T + 1049 T^{2} + 16011 T^{3} + 503683 T^{4} + 6454883 T^{5} + 152664760 T^{6} + 1701372504 T^{7} + 33891542206 T^{8} + 338325993738 T^{9} + 6018828324669 T^{10} + 55044182619687 T^{11} + 900208967522137 T^{12} + 7645427828576949 T^{13} + 116417481255355882 T^{14} + 924420503700069912 T^{15} + 13191888898699364822 T^{16} + 98342722268009821560 T^{17} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( T^{18} + \)\(92\!\cdots\!26\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( p T^{20} + 98342722268009821560 p^{2} T^{21} + 13191888898699364822 p^{3} T^{22} + 924420503700069912 p^{4} T^{23} + 116417481255355882 p^{5} T^{24} + 7645427828576949 p^{6} T^{25} + 900208967522137 p^{7} T^{26} + 55044182619687 p^{8} T^{27} + 6018828324669 p^{9} T^{28} + 338325993738 p^{10} T^{29} + 33891542206 p^{11} T^{30} + 1701372504 p^{12} T^{31} + 152664760 p^{13} T^{32} + 6454883 p^{14} T^{33} + 503683 p^{15} T^{34} + 16011 p^{16} T^{35} + 1049 p^{17} T^{36} + 19 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 97 | \( 1 + 57 T + 2298 T^{2} + 69132 T^{3} + 1748851 T^{4} + 38189414 T^{5} + 744503667 T^{6} + 13155546723 T^{7} + 213894516060 T^{8} + 3231232082972 T^{9} + 45757289976412 T^{10} + 611649445284972 T^{11} + 7766317215836881 T^{12} + 94181348942928430 T^{13} + 1096120718309785125 T^{14} + 12296684666563469246 T^{15} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!73\)\( T^{18} + \)\(14\!\cdots\!12\)\( T^{19} + \)\(14\!\cdots\!73\)\( p T^{20} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( p^{2} T^{21} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{3} T^{22} + 12296684666563469246 p^{4} T^{23} + 1096120718309785125 p^{5} T^{24} + 94181348942928430 p^{6} T^{25} + 7766317215836881 p^{7} T^{26} + 611649445284972 p^{8} T^{27} + 45757289976412 p^{9} T^{28} + 3231232082972 p^{10} T^{29} + 213894516060 p^{11} T^{30} + 13155546723 p^{12} T^{31} + 744503667 p^{13} T^{32} + 38189414 p^{14} T^{33} + 1748851 p^{15} T^{34} + 69132 p^{16} T^{35} + 2298 p^{17} T^{36} + 57 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{38} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.10022450172496969522141760247, −2.09467915919088270325583373613, −2.08901106367220406529195571744, −2.08213167245585722149944743053, −2.03726901227061133177835443697, −2.01037092053020930249727277415, −1.86053017336685170931058770579, −1.84729957433951813175193460459, −1.71315917974455431122060910822, −1.69279817862073939112808726531, −1.63307911023408482948850208505, −1.55107077970091728369685884434, −1.38328464444007571668926395007, −1.35547536331347297933425115228, −1.31986307629126175437245866484, −1.19928568884703744993454074575, −1.19111714893783149069488610644, −1.17599795889672262652287376449, −1.16979389059452512586186423662, −1.14510638049066718860507590158, −1.11054011141728046053038876519, −1.08245765827069293603203256710, −1.06721238022831658861916417092, −0.959026291880646067242683438127, −0.800781904218305698635897359093, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.800781904218305698635897359093, 0.959026291880646067242683438127, 1.06721238022831658861916417092, 1.08245765827069293603203256710, 1.11054011141728046053038876519, 1.14510638049066718860507590158, 1.16979389059452512586186423662, 1.17599795889672262652287376449, 1.19111714893783149069488610644, 1.19928568884703744993454074575, 1.31986307629126175437245866484, 1.35547536331347297933425115228, 1.38328464444007571668926395007, 1.55107077970091728369685884434, 1.63307911023408482948850208505, 1.69279817862073939112808726531, 1.71315917974455431122060910822, 1.84729957433951813175193460459, 1.86053017336685170931058770579, 2.01037092053020930249727277415, 2.03726901227061133177835443697, 2.08213167245585722149944743053, 2.08901106367220406529195571744, 2.09467915919088270325583373613, 2.10022450172496969522141760247
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.