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Properties

Label 96-3784e48-1.1-c0e48-0-1
Degree $96$
Conductor $5.516\times 10^{171}$
Sign $1$
Analytic cond. $1.79141\times 10^{13}$
Root an. cond. $1.37421$
Motivic weight $0$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 2·2-s − 2·3-s + 3·4-s − 4·6-s + 4·8-s + 9-s − 11-s − 6·12-s + 5·16-s + 17-s + 2·18-s − 2·19-s − 2·22-s − 8·24-s − 25-s + 2·27-s + 4·32-s + 2·33-s + 2·34-s + 3·36-s − 4·38-s − 2·41-s − 43-s − 3·44-s − 10·48-s + 6·49-s − 2·50-s + ⋯
L(s)  = 1  + 2·2-s − 2·3-s + 3·4-s − 4·6-s + 4·8-s + 9-s − 11-s − 6·12-s + 5·16-s + 17-s + 2·18-s − 2·19-s − 2·22-s − 8·24-s − 25-s + 2·27-s + 4·32-s + 2·33-s + 2·34-s + 3·36-s − 4·38-s − 2·41-s − 43-s − 3·44-s − 10·48-s + 6·49-s − 2·50-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{144} \cdot 11^{48} \cdot 43^{48}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{48} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{144} \cdot 11^{48} \cdot 43^{48}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{48} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(96\)
Conductor: \(2^{144} \cdot 11^{48} \cdot 43^{48}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(1.79141\times 10^{13}\)
Root analytic conductor: \(1.37421\)
Motivic weight: \(0\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((96,\ 2^{144} \cdot 11^{48} \cdot 43^{48} ,\ ( \ : [0]^{48} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(\frac{1}{2})\) \(\approx\) \(0.01139196136\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.01139196136\)
\(L(1)\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( ( 1 - T + T^{5} - T^{6} + T^{7} - T^{8} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{16} + T^{17} - T^{18} + T^{19} - T^{23} + T^{24} )^{2} \)
11 \( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} \)
43 \( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} \)
good3 \( ( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} )^{2} \)
5 \( ( 1 - T + T^{2} + T^{5} - T^{6} + 2 T^{7} - T^{8} + T^{9} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} - T^{31} + T^{32} - T^{33} + T^{34} - T^{35} + T^{36} + T^{39} - T^{40} + 2 T^{41} - T^{42} + T^{43} + T^{46} - T^{47} + T^{48} )( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
7 \( ( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{5} - T^{7} + T^{8} )^{6}( 1 + T - T^{3} - T^{4} - T^{5} + T^{7} + T^{8} )^{6} \)
13 \( ( 1 - T + T^{2} + T^{5} - T^{6} + 2 T^{7} - T^{8} + T^{9} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} - T^{31} + T^{32} - T^{33} + T^{34} - T^{35} + T^{36} + T^{39} - T^{40} + 2 T^{41} - T^{42} + T^{43} + T^{46} - T^{47} + T^{48} )( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
17 \( ( 1 - T + T^{5} - T^{6} + T^{7} - T^{8} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{16} + T^{17} - T^{18} + T^{19} - T^{23} + T^{24} )^{2}( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
19 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} )^{8}( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{5} - T^{7} + T^{8} )^{6} \)
23 \( ( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{8} + T^{9} - T^{11} + T^{12} )^{4}( 1 + T - T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{8} - T^{9} + T^{11} + T^{12} )^{4} \)
29 \( ( 1 - T + T^{2} + T^{5} - T^{6} + 2 T^{7} - T^{8} + T^{9} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} - T^{31} + T^{32} - T^{33} + T^{34} - T^{35} + T^{36} + T^{39} - T^{40} + 2 T^{41} - T^{42} + T^{43} + T^{46} - T^{47} + T^{48} )( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
31 \( ( 1 - T + T^{2} + T^{5} - T^{6} + 2 T^{7} - T^{8} + T^{9} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} - T^{31} + T^{32} - T^{33} + T^{34} - T^{35} + T^{36} + T^{39} - T^{40} + 2 T^{41} - T^{42} + T^{43} + T^{46} - T^{47} + T^{48} )( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
37 \( ( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{5} - T^{7} + T^{8} )^{6}( 1 + T - T^{3} - T^{4} - T^{5} + T^{7} + T^{8} )^{6} \)
41 \( ( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} )^{2} \)
47 \( ( 1 - T + T^{5} - T^{6} + T^{7} - T^{8} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{16} + T^{17} - T^{18} + T^{19} - T^{23} + T^{24} )^{2}( 1 + T - T^{5} - T^{6} - T^{7} - T^{8} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} - T^{16} - T^{17} - T^{18} - T^{19} + T^{23} + T^{24} )^{2} \)
53 \( ( 1 - T + T^{2} + T^{5} - T^{6} + 2 T^{7} - T^{8} + T^{9} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} - T^{31} + T^{32} - T^{33} + T^{34} - T^{35} + T^{36} + T^{39} - T^{40} + 2 T^{41} - T^{42} + T^{43} + T^{46} - T^{47} + T^{48} )( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
59 \( ( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{8} + T^{9} - T^{11} + T^{12} )^{4}( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
61 \( ( 1 - T + T^{2} + T^{5} - T^{6} + 2 T^{7} - T^{8} + T^{9} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} - T^{31} + T^{32} - T^{33} + T^{34} - T^{35} + T^{36} + T^{39} - T^{40} + 2 T^{41} - T^{42} + T^{43} + T^{46} - T^{47} + T^{48} )( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
67 \( ( 1 - T + T^{5} - T^{6} + T^{7} - T^{8} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{16} + T^{17} - T^{18} + T^{19} - T^{23} + T^{24} )^{2}( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
71 \( ( 1 - T + T^{2} + T^{5} - T^{6} + 2 T^{7} - T^{8} + T^{9} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} - T^{31} + T^{32} - T^{33} + T^{34} - T^{35} + T^{36} + T^{39} - T^{40} + 2 T^{41} - T^{42} + T^{43} + T^{46} - T^{47} + T^{48} )( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
73 \( ( 1 - T + T^{5} - T^{6} + T^{7} - T^{8} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{16} + T^{17} - T^{18} + T^{19} - T^{23} + T^{24} )^{2}( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
79 \( ( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{5} - T^{7} + T^{8} )^{6}( 1 + T - T^{3} - T^{4} - T^{5} + T^{7} + T^{8} )^{6} \)
83 \( ( 1 + T + T^{2} )^{24}( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
89 \( ( 1 - T + T^{5} - T^{6} + T^{7} - T^{8} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{16} + T^{17} - T^{18} + T^{19} - T^{23} + T^{24} )^{2}( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
97 \( ( 1 - T + T^{3} - T^{4} + T^{6} - T^{8} + T^{9} - T^{11} + T^{12} )^{4}( 1 + T + T^{2} - T^{5} - T^{6} - 2 T^{7} - T^{8} - T^{9} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} - T^{20} - T^{22} - T^{24} - T^{26} - T^{28} + T^{31} + T^{32} + T^{33} + T^{34} + T^{35} + T^{36} - T^{39} - T^{40} - 2 T^{41} - T^{42} - T^{43} + T^{46} + T^{47} + T^{48} ) \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{96} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.15034554352431657229398237694, −1.10611294299795964064443849993, −1.07015010209296022190195014278, −1.06366630398032715131424892101, −1.01198446968279407674509350655, −0.969773478172485446110249965982, −0.930956196804128871843045669242, −0.913385082248014912748402965527, −0.912152393477188577142792055055, −0.840632917834484313705975893985, −0.795932765082718817607875871749, −0.78830810140148325343102624098, −0.77783811958200535991053458304, −0.77576755724583024369777781737, −0.77150329179822904775238817653, −0.66424884749977320237439109952, −0.61952235013291212279426804108, −0.54917114918491496339735544751, −0.47765031150392860214780028271, −0.40182636916930635103419014690, −0.34768822289567374866559002576, −0.32765444993406471542448969041, −0.30132369168494382303784312639, −0.05818632628192244816419573383, −0.03002010962885718822799540394, 0.03002010962885718822799540394, 0.05818632628192244816419573383, 0.30132369168494382303784312639, 0.32765444993406471542448969041, 0.34768822289567374866559002576, 0.40182636916930635103419014690, 0.47765031150392860214780028271, 0.54917114918491496339735544751, 0.61952235013291212279426804108, 0.66424884749977320237439109952, 0.77150329179822904775238817653, 0.77576755724583024369777781737, 0.77783811958200535991053458304, 0.78830810140148325343102624098, 0.795932765082718817607875871749, 0.840632917834484313705975893985, 0.912152393477188577142792055055, 0.913385082248014912748402965527, 0.930956196804128871843045669242, 0.969773478172485446110249965982, 1.01198446968279407674509350655, 1.06366630398032715131424892101, 1.07015010209296022190195014278, 1.10611294299795964064443849993, 1.15034554352431657229398237694

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.