LMFDB - L-function 16-354e8-1.1-c5e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 32·2^-s + 72·3^-s + 576·4^-s + 40·5^-s − 2.30e3·6^-s + 181·7^-s − 7.68e3·8^-s + 2.91e3·9^-s − 1.28e3·10^-s − 349·11^-s + 4.14e4·12^-s + 121·13^-s − 5.79e3·14^-s + 2.88e3·15^-s + 8.44e4·16^-s + 437·17^-s − 9.33e4·18^-s + 1.31e3·19^-s + 2.30e4·20^-s + 1.30e4·21^-s + 1.11e4·22^-s + 1.22e3·23^-s − 5.52e5·24^-s − 6.90e3·25^-s − 3.87e3·26^-s + 8.74e4·27^-s + 1.04e5·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 5.65·2^-s + 4.61·3^-s + 18·4^-s + 0.715·5^-s − 26.1·6^-s + 1.39·7^-s − 42.4·8^-s + 12·9^-s − 4.04·10^-s − 0.869·11^-s + 83.1·12^-s + 0.198·13^-s − 7.89·14^-s + 3.30·15^-s + 82.5·16^-s + 0.366·17^-s − 67.8·18^-s + 0.835·19^-s + 12.8·20^-s + 6.44·21^-s + 4.91·22^-s + 0.482·23^-s − 195.·24^-s − 2.20·25^-s − 1.12·26^-s + 23.0·27^-s + 25.1·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{8} \cdot 59^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 3^{8} \cdot 59^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$2^{8} \cdot 3^{8} \cdot 59^{8}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.07971\times 10^{14}$
Root analytic conductor:	$7.53497$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 2^{8} \cdot 3^{8} \cdot 59^{8} ,\ ( \ : [5/2]^{8} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$42.39735958$
$L(\frac12)$	$\approx$	$42.39735958$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ ( 1 + p^{2} T )^{8} $
	3	$ ( 1 - p^{2} T )^{8} $
	59	$ ( 1 + p^{2} T )^{8} $
good	5	$ 1 - 8 p T + 8504 T^{2} - 104024 p T^{3} + 2386749 p^{2} T^{4} - 2798916964 T^{5} + 57941562426 p T^{6} - 12796594420536 T^{7} + 197688164553096 p T^{8} - 12796594420536 p^{5} T^{9} + 57941562426 p^{11} T^{10} - 2798916964 p^{15} T^{11} + 2386749 p^{22} T^{12} - 104024 p^{26} T^{13} + 8504 p^{30} T^{14} - 8 p^{36} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	7	$ 1 - 181 T + 67461 T^{2} - 9892052 T^{3} + 2423948973 T^{4} - 289231322385 T^{5} + 59118760030031 T^{6} - 6163059060934086 T^{7} + 1093950555545508924 T^{8} - 6163059060934086 p^{5} T^{9} + 59118760030031 p^{10} T^{10} - 289231322385 p^{15} T^{11} + 2423948973 p^{20} T^{12} - 9892052 p^{25} T^{13} + 67461 p^{30} T^{14} - 181 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	11	$ 1 + 349 T + 122126 T^{2} + 70703823 T^{3} + 33321533325 T^{4} + 1126998711420 T^{5} + 4669466302351938 T^{6} + 139937213293060958 T^{7} - $$37\!\cdots\!28$$ T^{8} + 139937213293060958 p^{5} T^{9} + 4669466302351938 p^{10} T^{10} + 1126998711420 p^{15} T^{11} + 33321533325 p^{20} T^{12} + 70703823 p^{25} T^{13} + 122126 p^{30} T^{14} + 349 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	13	$ 1 - 121 T + 846460 T^{2} + 112928157 T^{3} + 533561024677 T^{4} + 89208888643718 T^{5} + 114398412597198 p^{3} T^{6} + 48047483865079710548 T^{7} + $$10\!\cdots\!08$$ T^{8} + 48047483865079710548 p^{5} T^{9} + 114398412597198 p^{13} T^{10} + 89208888643718 p^{15} T^{11} + 533561024677 p^{20} T^{12} + 112928157 p^{25} T^{13} + 846460 p^{30} T^{14} - 121 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	17	$ 1 - 437 T + 6178475 T^{2} - 628998414 T^{3} + 16702414173175 T^{4} + 5321014955001245 T^{5} + 27784663529318999503 T^{6} + $$12\!\cdots\!30$$ p T^{7} + $$38\!\cdots\!08$$ T^{8} + $$12\!\cdots\!30$$ p^{6} T^{9} + 27784663529318999503 p^{10} T^{10} + 5321014955001245 p^{15} T^{11} + 16702414173175 p^{20} T^{12} - 628998414 p^{25} T^{13} + 6178475 p^{30} T^{14} - 437 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	19	$ 1 - 1314 T + 4486835 T^{2} - 4616460772 T^{3} + 10740206540335 T^{4} - 246771516185304 T^{5} + 28358212355592059749 T^{6} - $$61\!\cdots\!74$$ p T^{7} + $$71\!\cdots\!16$$ T^{8} - $$61\!\cdots\!74$$ p^{6} T^{9} + 28358212355592059749 p^{10} T^{10} - 246771516185304 p^{15} T^{11} + 10740206540335 p^{20} T^{12} - 4616460772 p^{25} T^{13} + 4486835 p^{30} T^{14} - 1314 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	23	$ 1 - 1224 T + 19682419 T^{2} - 59494382352 T^{3} + 232822981573843 T^{4} - 877742564623226318 T^{5} + $$24\!\cdots\!33$$ T^{6} - $$72\!\cdots\!94$$ T^{7} + $$19\!\cdots\!52$$ T^{8} - $$72\!\cdots\!94$$ p^{5} T^{9} + $$24\!\cdots\!33$$ p^{10} T^{10} - 877742564623226318 p^{15} T^{11} + 232822981573843 p^{20} T^{12} - 59494382352 p^{25} T^{13} + 19682419 p^{30} T^{14} - 1224 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	29	$ 1 - 5276 T + 120347145 T^{2} - 519562891984 T^{3} + 6685962672788573 T^{4} - 24951322159105668810 T^{5} + $$23\!\cdots\!53$$ T^{6} - $$76\!\cdots\!14$$ T^{7} + $$57\!\cdots\!16$$ T^{8} - $$76\!\cdots\!14$$ p^{5} T^{9} + $$23\!\cdots\!53$$ p^{10} T^{10} - 24951322159105668810 p^{15} T^{11} + 6685962672788573 p^{20} T^{12} - 519562891984 p^{25} T^{13} + 120347145 p^{30} T^{14} - 5276 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	31	$ 1 - 18332 T + 279390857 T^{2} - 2773929641840 T^{3} + 25138456105649665 T^{4} - $$18\!\cdots\!22$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!25$$ T^{6} - $$72\!\cdots\!10$$ T^{7} + $$41\!\cdots\!12$$ T^{8} - $$72\!\cdots\!10$$ p^{5} T^{9} + $$12\!\cdots\!25$$ p^{10} T^{10} - $$18\!\cdots\!22$$ p^{15} T^{11} + 25138456105649665 p^{20} T^{12} - 2773929641840 p^{25} T^{13} + 279390857 p^{30} T^{14} - 18332 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	37	$ 1 - 30331 T + 548674127 T^{2} - 6260413811688 T^{3} + 50261654595468395 T^{4} - $$20\!\cdots\!93$$ T^{5} - $$69\!\cdots\!09$$ T^{6} + $$24\!\cdots\!62$$ T^{7} - $$25\!\cdots\!96$$ T^{8} + $$24\!\cdots\!62$$ p^{5} T^{9} - $$69\!\cdots\!09$$ p^{10} T^{10} - $$20\!\cdots\!93$$ p^{15} T^{11} + 50261654595468395 p^{20} T^{12} - 6260413811688 p^{25} T^{13} + 548674127 p^{30} T^{14} - 30331 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	41	$ 1 - 203 p T + 440632323 T^{2} - 2080137597310 T^{3} + 83527120831659931 T^{4} - $$17\!\cdots\!13$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!31$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!34$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!68$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!34$$ p^{5} T^{9} + $$11\!\cdots\!31$$ p^{10} T^{10} - $$17\!\cdots\!13$$ p^{15} T^{11} + 83527120831659931 p^{20} T^{12} - 2080137597310 p^{25} T^{13} + 440632323 p^{30} T^{14} - 203 p^{36} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	43	$ 1 - 30851 T + 568988378 T^{2} - 6835447690989 T^{3} + 80161577163755029 T^{4} - $$94\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!14$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!54$$ T^{7} + $$13\!\cdots\!40$$ T^{8} - $$11\!\cdots\!54$$ p^{5} T^{9} + $$11\!\cdots\!14$$ p^{10} T^{10} - $$94\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{11} + 80161577163755029 p^{20} T^{12} - 6835447690989 p^{25} T^{13} + 568988378 p^{30} T^{14} - 30851 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	47	$ 1 + 5730 T + 1464206575 T^{2} + 6492511544740 T^{3} + 988007165486358391 T^{4} + $$34\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$40\!\cdots\!33$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!70$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!84$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{9} + $$40\!\cdots\!33$$ p^{10} T^{10} + $$34\!\cdots\!20$$ p^{15} T^{11} + 988007165486358391 p^{20} T^{12} + 6492511544740 p^{25} T^{13} + 1464206575 p^{30} T^{14} + 5730 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	53	$ 1 + 33524 T + 1747306888 T^{2} + 48715831517332 T^{3} + 1668053845032520149 T^{4} + $$36\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!70$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$47\!\cdots\!28$$ T^{8} + $$19\!\cdots\!44$$ p^{5} T^{9} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{10} + $$36\!\cdots\!32$$ p^{15} T^{11} + 1668053845032520149 p^{20} T^{12} + 48715831517332 p^{25} T^{13} + 1747306888 p^{30} T^{14} + 33524 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	61	$ 1 - 2692 T + 1133091389 T^{2} + 19410288614052 T^{3} + 1152654601890298913 T^{4} + $$27\!\cdots\!46$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!61$$ T^{6} + $$20\!\cdots\!02$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!92$$ T^{8} + $$20\!\cdots\!02$$ p^{5} T^{9} + $$14\!\cdots\!61$$ p^{10} T^{10} + $$27\!\cdots\!46$$ p^{15} T^{11} + 1152654601890298913 p^{20} T^{12} + 19410288614052 p^{25} T^{13} + 1133091389 p^{30} T^{14} - 2692 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	67	$ 1 - 56244 T + 8691271934 T^{2} - 378436126716392 T^{3} + 33134061431713851601 T^{4} - $$11\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$76\!\cdots\!18$$ T^{6} - $$22\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{9} + $$76\!\cdots\!18$$ p^{10} T^{10} - $$11\!\cdots\!24$$ p^{15} T^{11} + 33134061431713851601 p^{20} T^{12} - 378436126716392 p^{25} T^{13} + 8691271934 p^{30} T^{14} - 56244 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	71	$ 1 + 48473 T + 6111973610 T^{2} + 181218191676205 T^{3} + 13169627769687621105 T^{4} + $$28\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!70$$ T^{6} + $$59\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$41\!\cdots\!88$$ T^{8} + $$59\!\cdots\!96$$ p^{5} T^{9} + $$21\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{10} + $$28\!\cdots\!78$$ p^{15} T^{11} + 13169627769687621105 p^{20} T^{12} + 181218191676205 p^{25} T^{13} + 6111973610 p^{30} T^{14} + 48473 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	73	$ 1 + 30796 T + 9332221467 T^{2} + 230495673493944 T^{3} + 45125935310221121367 T^{4} + $$92\!\cdots\!50$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!93$$ T^{6} + $$26\!\cdots\!66$$ T^{7} + $$35\!\cdots\!72$$ T^{8} + $$26\!\cdots\!66$$ p^{5} T^{9} + $$14\!\cdots\!93$$ p^{10} T^{10} + $$92\!\cdots\!50$$ p^{15} T^{11} + 45125935310221121367 p^{20} T^{12} + 230495673493944 p^{25} T^{13} + 9332221467 p^{30} T^{14} + 30796 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	79	$ 1 - 135513 T + 18676864638 T^{2} - 1530707055977023 T^{3} + $$13\!\cdots\!41$$ T^{4} - $$88\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$63\!\cdots\!50$$ T^{6} - $$37\!\cdots\!74$$ T^{7} + $$22\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$37\!\cdots\!74$$ p^{5} T^{9} + $$63\!\cdots\!50$$ p^{10} T^{10} - $$88\!\cdots\!88$$ p^{15} T^{11} + $$13\!\cdots\!41$$ p^{20} T^{12} - 1530707055977023 p^{25} T^{13} + 18676864638 p^{30} T^{14} - 135513 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	83	$ 1 + 88111 T + 17697816553 T^{2} + 1222138870912344 T^{3} + $$13\!\cdots\!93$$ T^{4} + $$65\!\cdots\!47$$ T^{5} + $$56\!\cdots\!83$$ T^{6} + $$20\!\cdots\!02$$ T^{7} + $$20\!\cdots\!00$$ T^{8} + $$20\!\cdots\!02$$ p^{5} T^{9} + $$56\!\cdots\!83$$ p^{10} T^{10} + $$65\!\cdots\!47$$ p^{15} T^{11} + $$13\!\cdots\!93$$ p^{20} T^{12} + 1222138870912344 p^{25} T^{13} + 17697816553 p^{30} T^{14} + 88111 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	89	$ 1 + 112196 T + 40637731439 T^{2} + 3860370625219228 T^{3} + $$74\!\cdots\!47$$ T^{4} + $$59\!\cdots\!06$$ T^{5} + $$79\!\cdots\!69$$ T^{6} + $$52\!\cdots\!46$$ T^{7} + $$54\!\cdots\!32$$ T^{8} + $$52\!\cdots\!46$$ p^{5} T^{9} + $$79\!\cdots\!69$$ p^{10} T^{10} + $$59\!\cdots\!06$$ p^{15} T^{11} + $$74\!\cdots\!47$$ p^{20} T^{12} + 3860370625219228 p^{25} T^{13} + 40637731439 p^{30} T^{14} + 112196 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
	97	$ 1 - 551378 T + 180167225154 T^{2} - 42331218717830270 T^{3} + $$79\!\cdots\!29$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!60$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!70$$ T^{6} - $$18\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!00$$ T^{8} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{9} + $$16\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{10} - $$12\!\cdots\!60$$ p^{15} T^{11} + $$79\!\cdots\!29$$ p^{20} T^{12} - 42331218717830270 p^{25} T^{13} + 180167225154 p^{30} T^{14} - 551378 p^{35} T^{15} + p^{40} T^{16} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.27746453577740975986163600381, −3.57738351462937076435320000619, −3.49983333155034884118926646214, −3.28673411664643633230897586842, −3.26079474914030919012078921432, −3.21777056272658025209957139884, −3.16907539455355514408896799157, −3.08101222642242072085131275188, −2.82500372628891661381315243277, −2.36377428000811210231070817460, −2.33799920817072853031705980069, −2.25939083377184597495551563696, −2.17066755517710263296614070942, −2.06411370077768744735633129666, −2.01946004657108576300166964154, −1.84193995041294320823130051026, −1.72540796866835693752472301473, −1.35892464248783765430435506664, −1.09614368871244646810692162557, −1.00046571064026382839507143001, −0.907962163103421948068823382700, −0.840419447899868420277584153077, −0.64742747664962300051704188304, −0.54853685837184151296879069392, −0.30335750636737648542134154605, 0.30335750636737648542134154605, 0.54853685837184151296879069392, 0.64742747664962300051704188304, 0.840419447899868420277584153077, 0.907962163103421948068823382700, 1.00046571064026382839507143001, 1.09614368871244646810692162557, 1.35892464248783765430435506664, 1.72540796866835693752472301473, 1.84193995041294320823130051026, 2.01946004657108576300166964154, 2.06411370077768744735633129666, 2.17066755517710263296614070942, 2.25939083377184597495551563696, 2.33799920817072853031705980069, 2.36377428000811210231070817460, 2.82500372628891661381315243277, 3.08101222642242072085131275188, 3.16907539455355514408896799157, 3.21777056272658025209957139884, 3.26079474914030919012078921432, 3.28673411664643633230897586842, 3.49983333155034884118926646214, 3.57738351462937076435320000619, 4.27746453577740975986163600381

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(42.39735958\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(42.39735958\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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