| L(s) = 1 | + 8·3-s − 9·5-s + 13·7-s − 238·9-s + 1.22e3·11-s − 56·13-s − 72·15-s − 3.14e3·17-s − 1.08e3·19-s + 104·21-s + 3.21e3·23-s − 6.85e3·25-s + 1.13e3·27-s + 2.51e3·29-s + 1.07e4·31-s + 9.83e3·33-s − 117·35-s − 526·37-s − 448·39-s − 1.42e4·41-s + 77·43-s + 2.14e3·45-s − 2.89e3·47-s − 4.24e3·49-s − 2.51e4·51-s + 2.96e4·53-s − 1.10e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.513·3-s − 0.160·5-s + 0.100·7-s − 0.979·9-s + 3.06·11-s − 0.0919·13-s − 0.0826·15-s − 2.64·17-s − 0.688·19-s + 0.0514·21-s + 1.26·23-s − 2.19·25-s + 0.300·27-s + 0.555·29-s + 2.01·31-s + 1.57·33-s − 0.0161·35-s − 0.0631·37-s − 0.0471·39-s − 1.32·41-s + 0.00635·43-s + 0.157·45-s − 0.191·47-s − 0.252·49-s − 1.35·51-s + 1.44·53-s − 0.493·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 28094464 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 28094464 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(4.064988062\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(4.064988062\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 19 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 8 T + 302 T^{2} - 5458 T^{3} + 302 p^{5} T^{4} - 8 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 9 T + 6939 T^{2} + 28026 T^{3} + 6939 p^{5} T^{4} + 9 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 13 T + 4412 T^{2} - 4041265 T^{3} + 4412 p^{5} T^{4} - 13 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1229 T + 7341 p^{2} T^{2} - 426988730 T^{3} + 7341 p^{7} T^{4} - 1229 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 56 T + 753370 T^{2} + 113819548 T^{3} + 753370 p^{5} T^{4} + 56 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3149 T + 6698154 T^{2} + 542524789 p T^{3} + 6698154 p^{5} T^{4} + 3149 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3212 T + 19502952 T^{2} - 38346818168 T^{3} + 19502952 p^{5} T^{4} - 3212 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2514 T + 12293370 T^{2} + 25716500106 T^{3} + 12293370 p^{5} T^{4} - 2514 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10784 T + 117438253 T^{2} - 634433161024 T^{3} + 117438253 p^{5} T^{4} - 10784 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 526 T + 116708603 T^{2} - 99335908844 T^{3} + 116708603 p^{5} T^{4} + 526 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 14246 T + 250239387 T^{2} + 2879331741356 T^{3} + 250239387 p^{5} T^{4} + 14246 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 77 T + 202743301 T^{2} + 1376683552802 T^{3} + 202743301 p^{5} T^{4} - 77 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 2893 T + 359286261 T^{2} + 3082580772550 T^{3} + 359286261 p^{5} T^{4} + 2893 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 29600 T + 1222668138 T^{2} - 24185130249284 T^{3} + 1222668138 p^{5} T^{4} - 29600 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 2612 T + 617322774 T^{2} - 22206869633870 T^{3} + 617322774 p^{5} T^{4} - 2612 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 59895 T + 2524413243 T^{2} - 93178002577706 T^{3} + 2524413243 p^{5} T^{4} - 59895 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3050 T + 3461359258 T^{2} - 13054487134240 T^{3} + 3461359258 p^{5} T^{4} - 3050 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 33562 T + 3038829777 T^{2} - 95755703148484 T^{3} + 3038829777 p^{5} T^{4} - 33562 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 44027 T + 5776409198 T^{2} - 168217478920607 T^{3} + 5776409198 p^{5} T^{4} - 44027 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 24944 T + 4909460729 T^{2} + 181217116721408 T^{3} + 4909460729 p^{5} T^{4} + 24944 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 220156 T + 26696171637 T^{2} - 2052928996726744 T^{3} + 26696171637 p^{5} T^{4} - 220156 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 116120 T + 238491987 p T^{2} + 1354049292978992 T^{3} + 238491987 p^{6} T^{4} + 116120 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 171204 T + 23943063687 T^{2} - 2932642007275304 T^{3} + 23943063687 p^{5} T^{4} - 171204 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.522010020343460409229106268710, −9.070671960194115607908697560559, −9.050151816499377417499408366026, −8.742371012064333302885495896796, −8.418669895210568985920510832986, −8.132247033426187415240279964884, −7.963267415850256026326500913178, −6.96661021368512742748687186866, −6.90548443697540152059126281303, −6.76532489297293545644791735839, −6.43111917971982710298550432635, −6.02117380104013637401602635439, −5.79218856943591616170228970578, −4.91688325226580509303262040712, −4.77411123815812234958565905277, −4.41283139149911085274710396784, −3.93786488342519719425940647490, −3.59875689021839109671395549846, −3.42786937774409824814875560150, −2.46637974625245433870880123430, −2.39992351094900873856451736641, −1.96031668246587560185989490039, −1.29030925409214203572404076788, −0.829563930095432620119680981572, −0.36468416559037657363910680551,
0.36468416559037657363910680551, 0.829563930095432620119680981572, 1.29030925409214203572404076788, 1.96031668246587560185989490039, 2.39992351094900873856451736641, 2.46637974625245433870880123430, 3.42786937774409824814875560150, 3.59875689021839109671395549846, 3.93786488342519719425940647490, 4.41283139149911085274710396784, 4.77411123815812234958565905277, 4.91688325226580509303262040712, 5.79218856943591616170228970578, 6.02117380104013637401602635439, 6.43111917971982710298550432635, 6.76532489297293545644791735839, 6.90548443697540152059126281303, 6.96661021368512742748687186866, 7.963267415850256026326500913178, 8.132247033426187415240279964884, 8.418669895210568985920510832986, 8.742371012064333302885495896796, 9.050151816499377417499408366026, 9.070671960194115607908697560559, 9.522010020343460409229106268710
