| L(s) = 1 | − 9·2-s + 18·4-s − 70·7-s − 74·8-s − 78·9-s − 605·11-s − 1.49e3·13-s + 630·14-s + 1.31e3·16-s − 3.87e3·17-s + 702·18-s + 882·19-s + 5.44e3·22-s + 5.34e3·23-s + 1.34e4·26-s + 720·27-s − 1.26e3·28-s + 5.31e3·29-s − 7.91e3·31-s − 4.99e3·32-s + 3.48e4·34-s − 1.40e3·36-s + 1.78e3·37-s − 7.93e3·38-s + 5.85e3·41-s + 4.36e3·43-s − 1.08e4·44-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.59·2-s + 9/16·4-s − 0.539·7-s − 0.408·8-s − 0.320·9-s − 1.50·11-s − 2.45·13-s + 0.859·14-s + 1.28·16-s − 3.25·17-s + 0.510·18-s + 0.560·19-s + 2.39·22-s + 2.10·23-s + 3.91·26-s + 0.190·27-s − 0.303·28-s + 1.17·29-s − 1.47·31-s − 0.861·32-s + 5.17·34-s − 0.180·36-s + 0.214·37-s − 0.891·38-s + 0.543·41-s + 0.359·43-s − 0.848·44-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 11^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 11^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | | \( 1 \) |
| 11 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 9 T + 63 T^{2} + 479 T^{3} + 633 p^{2} T^{4} + 3005 p^{2} T^{5} + 633 p^{7} T^{6} + 479 p^{10} T^{7} + 63 p^{15} T^{8} + 9 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 26 p T^{2} - 80 p^{2} T^{3} + 1763 p^{3} T^{4} + 9760 p^{4} T^{5} + 1763 p^{8} T^{6} - 80 p^{12} T^{7} + 26 p^{16} T^{8} + p^{25} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 10 p T + 61576 T^{2} + 551640 p T^{3} + 1792168915 T^{4} + 90634554340 T^{5} + 1792168915 p^{5} T^{6} + 551640 p^{11} T^{7} + 61576 p^{15} T^{8} + 10 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1498 T + 2098105 T^{2} + 2002424856 T^{3} + 1630512802050 T^{4} + 1074385252478012 T^{5} + 1630512802050 p^{5} T^{6} + 2002424856 p^{10} T^{7} + 2098105 p^{15} T^{8} + 1498 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 3874 T + 11261232 T^{2} + 21830490590 T^{3} + 36029060508991 T^{4} + 46039287410649504 T^{5} + 36029060508991 p^{5} T^{6} + 21830490590 p^{10} T^{7} + 11261232 p^{15} T^{8} + 3874 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 882 T + 5437832 T^{2} - 5624946284 T^{3} + 20560209907531 T^{4} - 13491920907009604 T^{5} + 20560209907531 p^{5} T^{6} - 5624946284 p^{10} T^{7} + 5437832 p^{15} T^{8} - 882 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 5344 T + 25283943 T^{2} - 75695508240 T^{3} + 240016188449486 T^{4} - 570121246900278304 T^{5} + 240016188449486 p^{5} T^{6} - 75695508240 p^{10} T^{7} + 25283943 p^{15} T^{8} - 5344 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 5318 T + 91216320 T^{2} - 381848145478 T^{3} + 3564720577058743 T^{4} - 11176974787922417784 T^{5} + 3564720577058743 p^{5} T^{6} - 381848145478 p^{10} T^{7} + 91216320 p^{15} T^{8} - 5318 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7916 T + 31364134 T^{2} + 96113921160 T^{3} + 827463872691529 T^{4} + 8236098992223378200 T^{5} + 827463872691529 p^{5} T^{6} + 96113921160 p^{10} T^{7} + 31364134 p^{15} T^{8} + 7916 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1788 T + 327386942 T^{2} - 465460195630 T^{3} + 44085796043114961 T^{4} - 47384854994774770108 T^{5} + 44085796043114961 p^{5} T^{6} - 465460195630 p^{10} T^{7} + 327386942 p^{15} T^{8} - 1788 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 5854 T + 259882517 T^{2} + 2611617176 p T^{3} + 34114857336283186 T^{4} + 68502313441291269708 T^{5} + 34114857336283186 p^{5} T^{6} + 2611617176 p^{11} T^{7} + 259882517 p^{15} T^{8} - 5854 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 4364 T + 580359271 T^{2} - 1809986456592 T^{3} + 147756717581005498 T^{4} - \)\(34\!\cdots\!16\)\( T^{5} + 147756717581005498 p^{5} T^{6} - 1809986456592 p^{10} T^{7} + 580359271 p^{15} T^{8} - 4364 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 46452 T + 1506609767 T^{2} + 35658711385920 T^{3} + 703265340758772118 T^{4} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( T^{5} + 703265340758772118 p^{5} T^{6} + 35658711385920 p^{10} T^{7} + 1506609767 p^{15} T^{8} + 46452 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 4412 T + 1547290278 T^{2} + 1596305649570 T^{3} + 1087228298009370761 T^{4} + 87076549202877355892 T^{5} + 1087228298009370761 p^{5} T^{6} + 1596305649570 p^{10} T^{7} + 1547290278 p^{15} T^{8} + 4412 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 17896 T + 2560986923 T^{2} - 41329566274640 T^{3} + 3183974835529411566 T^{4} - \)\(41\!\cdots\!84\)\( T^{5} + 3183974835529411566 p^{5} T^{6} - 41329566274640 p^{10} T^{7} + 2560986923 p^{15} T^{8} - 17896 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 35930 T + 705293824 T^{2} + 22767019489770 T^{3} + 227943115989144951 T^{4} - \)\(18\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 227943115989144951 p^{5} T^{6} + 22767019489770 p^{10} T^{7} + 705293824 p^{15} T^{8} + 35930 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 73136 T + 6066265503 T^{2} + 319381037160256 T^{3} + 15710311017581929274 T^{4} + \)\(59\!\cdots\!72\)\( T^{5} + 15710311017581929274 p^{5} T^{6} + 319381037160256 p^{10} T^{7} + 6066265503 p^{15} T^{8} + 73136 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 43612 T + 1855828422 T^{2} + 10988894717880 T^{3} + 4211513169837397001 T^{4} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{5} + 4211513169837397001 p^{5} T^{6} + 10988894717880 p^{10} T^{7} + 1855828422 p^{15} T^{8} - 43612 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 142306 T + 15007569109 T^{2} + 14807823281112 p T^{3} + 65762566966274303250 T^{4} + \)\(31\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 65762566966274303250 p^{5} T^{6} + 14807823281112 p^{11} T^{7} + 15007569109 p^{15} T^{8} + 142306 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 46504 T + 11857366887 T^{2} + 460361105590592 T^{3} + 65442517830400156214 T^{4} + \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{5} + 65442517830400156214 p^{5} T^{6} + 460361105590592 p^{10} T^{7} + 11857366887 p^{15} T^{8} + 46504 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 81604 T + 9404114747 T^{2} + 305925335626016 T^{3} + 35377506770932372774 T^{4} + \)\(97\!\cdots\!08\)\( T^{5} + 35377506770932372774 p^{5} T^{6} + 305925335626016 p^{10} T^{7} + 9404114747 p^{15} T^{8} + 81604 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 8664 T + 21770658222 T^{2} - 398215809072590 T^{3} + \)\(20\!\cdots\!25\)\( T^{4} - \)\(39\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{6} - 398215809072590 p^{10} T^{7} + 21770658222 p^{15} T^{8} - 8664 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 22230 T + 30743836889 T^{2} - 981770551392160 T^{3} + \)\(42\!\cdots\!70\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!60\)\( p T^{5} + \)\(42\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{6} - 981770551392160 p^{10} T^{7} + 30743836889 p^{15} T^{8} - 22230 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.22047339803154514008774365038, −6.90492932542492783427624440536, −6.75608440165329873444287192361, −6.31353542416511591576769620160, −6.17741528481546177424537355979, −6.16318354325543341749570647034, −5.79703192981422467369314250342, −5.37029771404575218171198324463, −5.26949515399542769050049675001, −4.93122834522067887998314079052, −4.70922292731840008510768932825, −4.56666652804990685603416421395, −4.51026792286500587073809160267, −4.43336558404950498329940447773, −3.44252621982081726267962433895, −3.41575942757472917919305097486, −3.21350949986835524039839941641, −2.94092172588176036891634915881, −2.70140870381416969540530323544, −2.50644414076435969598423485384, −2.16690206236534219866099994590, −1.91669165112585612538513239819, −1.57752431330013787988580189549, −1.01088243852160808181502975262, −0.996376208789351546625887815333, 0, 0, 0, 0, 0,
0.996376208789351546625887815333, 1.01088243852160808181502975262, 1.57752431330013787988580189549, 1.91669165112585612538513239819, 2.16690206236534219866099994590, 2.50644414076435969598423485384, 2.70140870381416969540530323544, 2.94092172588176036891634915881, 3.21350949986835524039839941641, 3.41575942757472917919305097486, 3.44252621982081726267962433895, 4.43336558404950498329940447773, 4.51026792286500587073809160267, 4.56666652804990685603416421395, 4.70922292731840008510768932825, 4.93122834522067887998314079052, 5.26949515399542769050049675001, 5.37029771404575218171198324463, 5.79703192981422467369314250342, 6.16318354325543341749570647034, 6.17741528481546177424537355979, 6.31353542416511591576769620160, 6.75608440165329873444287192361, 6.90492932542492783427624440536, 7.22047339803154514008774365038
