Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 2-s − 10·3-s + 4-s + 10·6-s − 2·8-s + 45·9-s − 10·12-s + 6·13-s + 5·16-s − 45·18-s − 12·19-s + 20·24-s + 20·25-s − 6·26-s − 110·27-s − 12·31-s − 11·32-s + 45·36-s + 12·38-s − 60·39-s + 12·41-s + 18·43-s + 36·47-s − 50·48-s + 58·49-s − 20·50-s + 6·52-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.707·2-s − 5.77·3-s + 1/2·4-s + 4.08·6-s − 0.707·8-s + 15·9-s − 2.88·12-s + 1.66·13-s + 5/4·16-s − 10.6·18-s − 2.75·19-s + 4.08·24-s + 4·25-s − 1.17·26-s − 21.1·27-s − 2.15·31-s − 1.94·32-s + 15/2·36-s + 1.94·38-s − 9.60·39-s + 1.87·41-s + 2.74·43-s + 5.25·47-s − 7.21·48-s + 58/7·49-s − 2.82·50-s + 0.832·52-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 19^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 19^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 19^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(160043.\) |
| Root analytic conductor: | \(1.34929\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 2^{40} \cdot 3^{20} \cdot 19^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.2652918313\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.2652918313\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 + T + T^{3} - p T^{4} + 3 T^{5} + 9 T^{6} + 3 p T^{7} + p^{4} T^{8} + 3 p^{2} T^{9} + p^{2} T^{10} + 3 p^{3} T^{11} + p^{6} T^{12} + 3 p^{4} T^{13} + 9 p^{4} T^{14} + 3 p^{5} T^{15} - p^{7} T^{16} + p^{7} T^{17} + p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) |
| 3 | \( ( 1 + T + T^{2} )^{10} \) | |
| 19 | \( 1 + 12 T + 62 T^{2} + 140 T^{3} - 303 T^{4} - 4312 T^{5} - 18880 T^{6} - 43352 T^{7} + 3446 T^{8} + 704080 T^{9} + 4426436 T^{10} + 704080 p T^{11} + 3446 p^{2} T^{12} - 43352 p^{3} T^{13} - 18880 p^{4} T^{14} - 4312 p^{5} T^{15} - 303 p^{6} T^{16} + 140 p^{7} T^{17} + 62 p^{8} T^{18} + 12 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| good | 5 | \( 1 - 4 p T^{2} - 24 T^{3} + 189 T^{4} + 544 T^{5} - 1028 T^{6} - 6156 T^{7} + 1509 T^{8} + 46824 T^{9} + 38132 T^{10} - 53596 p T^{11} - 489348 T^{12} + 231372 p T^{13} + 3575132 T^{14} - 3603044 T^{15} - 19920247 T^{16} + 7543564 T^{17} + 3927456 p^{2} T^{18} - 8563308 T^{19} - 479432039 T^{20} - 8563308 p T^{21} + 3927456 p^{4} T^{22} + 7543564 p^{3} T^{23} - 19920247 p^{4} T^{24} - 3603044 p^{5} T^{25} + 3575132 p^{6} T^{26} + 231372 p^{8} T^{27} - 489348 p^{8} T^{28} - 53596 p^{10} T^{29} + 38132 p^{10} T^{30} + 46824 p^{11} T^{31} + 1509 p^{12} T^{32} - 6156 p^{13} T^{33} - 1028 p^{14} T^{34} + 544 p^{15} T^{35} + 189 p^{16} T^{36} - 24 p^{17} T^{37} - 4 p^{19} T^{38} + p^{20} T^{40} \) |
| 7 | \( 1 - 58 T^{2} + 1595 T^{4} - 3982 p T^{6} + 349099 T^{8} - 3321716 T^{10} + 3481378 p T^{12} - 2683868 p^{2} T^{14} + 408075061 T^{16} + 660428106 T^{18} - 14893757303 T^{20} + 660428106 p^{2} T^{22} + 408075061 p^{4} T^{24} - 2683868 p^{8} T^{26} + 3481378 p^{9} T^{28} - 3321716 p^{10} T^{30} + 349099 p^{12} T^{32} - 3982 p^{15} T^{34} + 1595 p^{16} T^{36} - 58 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 11 | \( 1 - 104 T^{2} + 5342 T^{4} - 181952 T^{6} + 4659953 T^{8} - 96411688 T^{10} + 1687847856 T^{12} - 2347145704 p T^{14} + 353243599422 T^{16} - 4397004679928 T^{18} + 50338164925668 T^{20} - 4397004679928 p^{2} T^{22} + 353243599422 p^{4} T^{24} - 2347145704 p^{7} T^{26} + 1687847856 p^{8} T^{28} - 96411688 p^{10} T^{30} + 4659953 p^{12} T^{32} - 181952 p^{14} T^{34} + 5342 p^{16} T^{36} - 104 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - 6 T + 93 T^{2} - 486 T^{3} + 4378 T^{4} - 22026 T^{5} + 147843 T^{6} - 731058 T^{7} + 4028898 T^{8} - 19403250 T^{9} + 93649059 T^{10} - 433273746 T^{11} + 1916139744 T^{12} - 8407217946 T^{13} + 35056326699 T^{14} - 144946280058 T^{15} + 578806618389 T^{16} - 2256501058764 T^{17} + 8669623680162 T^{18} - 32025250275348 T^{19} + 118111182917532 T^{20} - 32025250275348 p T^{21} + 8669623680162 p^{2} T^{22} - 2256501058764 p^{3} T^{23} + 578806618389 p^{4} T^{24} - 144946280058 p^{5} T^{25} + 35056326699 p^{6} T^{26} - 8407217946 p^{7} T^{27} + 1916139744 p^{8} T^{28} - 433273746 p^{9} T^{29} + 93649059 p^{10} T^{30} - 19403250 p^{11} T^{31} + 4028898 p^{12} T^{32} - 731058 p^{13} T^{33} + 147843 p^{14} T^{34} - 22026 p^{15} T^{35} + 4378 p^{16} T^{36} - 486 p^{17} T^{37} + 93 p^{18} T^{38} - 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 - 82 T^{2} + 208 T^{3} + 3103 T^{4} - 14760 T^{5} - 50570 T^{6} + 444880 T^{7} - 77425 T^{8} - 295128 p T^{9} + 9768628 T^{10} - 51534376 T^{11} + 342769530 T^{12} + 1687682304 T^{13} - 19159635764 T^{14} + 17121883320 T^{15} + 329533866621 T^{16} - 1099666405544 T^{17} - 1129838557046 T^{18} + 10994961808272 T^{19} - 29403821184775 T^{20} + 10994961808272 p T^{21} - 1129838557046 p^{2} T^{22} - 1099666405544 p^{3} T^{23} + 329533866621 p^{4} T^{24} + 17121883320 p^{5} T^{25} - 19159635764 p^{6} T^{26} + 1687682304 p^{7} T^{27} + 342769530 p^{8} T^{28} - 51534376 p^{9} T^{29} + 9768628 p^{10} T^{30} - 295128 p^{12} T^{31} - 77425 p^{12} T^{32} + 444880 p^{13} T^{33} - 50570 p^{14} T^{34} - 14760 p^{15} T^{35} + 3103 p^{16} T^{36} + 208 p^{17} T^{37} - 82 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 23 | \( 1 + 152 T^{2} + 12281 T^{4} + 372 p T^{5} + 689568 T^{6} + 1228356 T^{7} + 29788249 T^{8} + 94108524 T^{9} + 1075437204 T^{10} + 4986547080 T^{11} + 34806606152 T^{12} + 202116279012 T^{13} + 1064156547300 T^{14} + 6682855887576 T^{15} + 31040314528417 T^{16} + 8217675051864 p T^{17} + 840647694446596 T^{18} + 207023648221188 p T^{19} + 20506395805339985 T^{20} + 207023648221188 p^{2} T^{21} + 840647694446596 p^{2} T^{22} + 8217675051864 p^{4} T^{23} + 31040314528417 p^{4} T^{24} + 6682855887576 p^{5} T^{25} + 1064156547300 p^{6} T^{26} + 202116279012 p^{7} T^{27} + 34806606152 p^{8} T^{28} + 4986547080 p^{9} T^{29} + 1075437204 p^{10} T^{30} + 94108524 p^{11} T^{31} + 29788249 p^{12} T^{32} + 1228356 p^{13} T^{33} + 689568 p^{14} T^{34} + 372 p^{16} T^{35} + 12281 p^{16} T^{36} + 152 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 29 | \( 1 + 198 T^{2} + 20063 T^{4} - 14496 T^{5} + 1410190 T^{6} - 2524224 T^{7} + 78014503 T^{8} - 222328416 T^{9} + 3734598356 T^{10} - 13537179744 T^{11} + 163228254850 T^{12} - 649645290624 T^{13} + 6523202028860 T^{14} - 26746886436384 T^{15} + 235749057137197 T^{16} - 985708146747552 T^{17} + 7713187781120338 T^{18} - 32418014622088320 T^{19} + 232001088082460161 T^{20} - 32418014622088320 p T^{21} + 7713187781120338 p^{2} T^{22} - 985708146747552 p^{3} T^{23} + 235749057137197 p^{4} T^{24} - 26746886436384 p^{5} T^{25} + 6523202028860 p^{6} T^{26} - 649645290624 p^{7} T^{27} + 163228254850 p^{8} T^{28} - 13537179744 p^{9} T^{29} + 3734598356 p^{10} T^{30} - 222328416 p^{11} T^{31} + 78014503 p^{12} T^{32} - 2524224 p^{13} T^{33} + 1410190 p^{14} T^{34} - 14496 p^{15} T^{35} + 20063 p^{16} T^{36} + 198 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( ( 1 + 6 T + 153 T^{2} + 634 T^{3} + 10289 T^{4} + 30052 T^{5} + 479436 T^{6} + 1213748 T^{7} + 20139873 T^{8} + 51269258 T^{9} + 715030117 T^{10} + 51269258 p T^{11} + 20139873 p^{2} T^{12} + 1213748 p^{3} T^{13} + 479436 p^{4} T^{14} + 30052 p^{5} T^{15} + 10289 p^{6} T^{16} + 634 p^{7} T^{17} + 153 p^{8} T^{18} + 6 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 37 | \( 1 - 334 T^{2} + 50511 T^{4} - 4504438 T^{6} + 256231479 T^{8} - 9169352548 T^{10} + 172008696082 T^{12} + 193715274548 T^{14} - 51603994336819 T^{16} - 2739659643390506 T^{18} + 214085789566561409 T^{20} - 2739659643390506 p^{2} T^{22} - 51603994336819 p^{4} T^{24} + 193715274548 p^{6} T^{26} + 172008696082 p^{8} T^{28} - 9169352548 p^{10} T^{30} + 256231479 p^{12} T^{32} - 4504438 p^{14} T^{34} + 50511 p^{16} T^{36} - 334 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 - 12 T + 326 T^{2} - 3336 T^{3} + 51263 T^{4} - 474000 T^{5} + 5473518 T^{6} - 47314860 T^{7} + 461886703 T^{8} - 3786324864 T^{9} + 33253547268 T^{10} - 259468925688 T^{11} + 2116730590586 T^{12} - 15726852343488 T^{13} + 120792321739356 T^{14} - 855717412559424 T^{15} + 6221514512848573 T^{16} - 42144407635989516 T^{17} + 291186633383017138 T^{18} - 1890165286518882696 T^{19} + 12465244645763010329 T^{20} - 1890165286518882696 p T^{21} + 291186633383017138 p^{2} T^{22} - 42144407635989516 p^{3} T^{23} + 6221514512848573 p^{4} T^{24} - 855717412559424 p^{5} T^{25} + 120792321739356 p^{6} T^{26} - 15726852343488 p^{7} T^{27} + 2116730590586 p^{8} T^{28} - 259468925688 p^{9} T^{29} + 33253547268 p^{10} T^{30} - 3786324864 p^{11} T^{31} + 461886703 p^{12} T^{32} - 47314860 p^{13} T^{33} + 5473518 p^{14} T^{34} - 474000 p^{15} T^{35} + 51263 p^{16} T^{36} - 3336 p^{17} T^{37} + 326 p^{18} T^{38} - 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( 1 - 18 T + 415 T^{2} - 5526 T^{3} + 76388 T^{4} - 18522 p T^{5} + 8356183 T^{6} - 71295018 T^{7} + 616910812 T^{8} - 4451290710 T^{9} + 33513055625 T^{10} - 212459216778 T^{11} + 1498245608056 T^{12} - 9053442727854 T^{13} + 67089982431401 T^{14} - 433724735733330 T^{15} + 3510347288311363 T^{16} - 24083590810320804 T^{17} + 191599126759334136 T^{18} - 1259068979700151452 T^{19} + 9105031196094068296 T^{20} - 1259068979700151452 p T^{21} + 191599126759334136 p^{2} T^{22} - 24083590810320804 p^{3} T^{23} + 3510347288311363 p^{4} T^{24} - 433724735733330 p^{5} T^{25} + 67089982431401 p^{6} T^{26} - 9053442727854 p^{7} T^{27} + 1498245608056 p^{8} T^{28} - 212459216778 p^{9} T^{29} + 33513055625 p^{10} T^{30} - 4451290710 p^{11} T^{31} + 616910812 p^{12} T^{32} - 71295018 p^{13} T^{33} + 8356183 p^{14} T^{34} - 18522 p^{16} T^{35} + 76388 p^{16} T^{36} - 5526 p^{17} T^{37} + 415 p^{18} T^{38} - 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 47 | \( 1 - 36 T + 854 T^{2} - 15192 T^{3} + 224591 T^{4} - 2853312 T^{5} + 31803038 T^{6} - 314847996 T^{7} + 2775041103 T^{8} - 21761338176 T^{9} + 149772226020 T^{10} - 878829781656 T^{11} + 4064805392026 T^{12} - 10705153023360 T^{13} - 40668707030468 T^{14} + 848264608809504 T^{15} - 7435276950504451 T^{16} + 46990322978575548 T^{17} - 232590584137702046 T^{18} + 973867568297063400 T^{19} - 4954211879493271223 T^{20} + 973867568297063400 p T^{21} - 232590584137702046 p^{2} T^{22} + 46990322978575548 p^{3} T^{23} - 7435276950504451 p^{4} T^{24} + 848264608809504 p^{5} T^{25} - 40668707030468 p^{6} T^{26} - 10705153023360 p^{7} T^{27} + 4064805392026 p^{8} T^{28} - 878829781656 p^{9} T^{29} + 149772226020 p^{10} T^{30} - 21761338176 p^{11} T^{31} + 2775041103 p^{12} T^{32} - 314847996 p^{13} T^{33} + 31803038 p^{14} T^{34} - 2853312 p^{15} T^{35} + 224591 p^{16} T^{36} - 15192 p^{17} T^{37} + 854 p^{18} T^{38} - 36 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 + 12 T + 280 T^{2} + 2784 T^{3} + 34301 T^{4} + 280212 T^{5} + 2296576 T^{6} + 11730288 T^{7} + 46217717 T^{8} - 489650988 T^{9} - 7150336564 T^{10} - 104689668552 T^{11} - 838888066788 T^{12} - 7231880259732 T^{13} - 40349744233556 T^{14} - 217898014198440 T^{15} - 72116188615335 T^{16} + 6485620250501604 T^{17} + 132572580738682684 T^{18} + 1121358179903436252 T^{19} + 10284109224404005257 T^{20} + 1121358179903436252 p T^{21} + 132572580738682684 p^{2} T^{22} + 6485620250501604 p^{3} T^{23} - 72116188615335 p^{4} T^{24} - 217898014198440 p^{5} T^{25} - 40349744233556 p^{6} T^{26} - 7231880259732 p^{7} T^{27} - 838888066788 p^{8} T^{28} - 104689668552 p^{9} T^{29} - 7150336564 p^{10} T^{30} - 489650988 p^{11} T^{31} + 46217717 p^{12} T^{32} + 11730288 p^{13} T^{33} + 2296576 p^{14} T^{34} + 280212 p^{15} T^{35} + 34301 p^{16} T^{36} + 2784 p^{17} T^{37} + 280 p^{18} T^{38} + 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 364 T^{2} + 40 T^{3} + 66865 T^{4} - 14784 T^{5} - 8348732 T^{6} + 2943076 T^{7} + 805546985 T^{8} - 393031368 T^{9} - 64664478044 T^{10} + 38447663588 T^{11} + 4515212759784 T^{12} - 3007494977004 T^{13} - 282065449526420 T^{14} + 194892792386604 T^{15} + 16222358955926769 T^{16} - 9531383794430204 T^{17} - 901254864515792744 T^{18} + 223521314322014916 T^{19} + 51550825463360138969 T^{20} + 223521314322014916 p T^{21} - 901254864515792744 p^{2} T^{22} - 9531383794430204 p^{3} T^{23} + 16222358955926769 p^{4} T^{24} + 194892792386604 p^{5} T^{25} - 282065449526420 p^{6} T^{26} - 3007494977004 p^{7} T^{27} + 4515212759784 p^{8} T^{28} + 38447663588 p^{9} T^{29} - 64664478044 p^{10} T^{30} - 393031368 p^{11} T^{31} + 805546985 p^{12} T^{32} + 2943076 p^{13} T^{33} - 8348732 p^{14} T^{34} - 14784 p^{15} T^{35} + 66865 p^{16} T^{36} + 40 p^{17} T^{37} - 364 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 10 T - 291 T^{2} + 2110 T^{3} + 54546 T^{4} - 250870 T^{5} - 6902709 T^{6} + 19118658 T^{7} + 621971482 T^{8} - 1036385110 T^{9} - 40359121773 T^{10} + 904318698 p T^{11} + 1695830193376 T^{12} - 3723226200806 T^{13} - 13640781159029 T^{14} + 261252101954674 T^{15} - 5503216405293795 T^{16} - 13347775634388356 T^{17} + 646254020047242506 T^{18} + 311738572347360716 T^{19} - 46671593044068757460 T^{20} + 311738572347360716 p T^{21} + 646254020047242506 p^{2} T^{22} - 13347775634388356 p^{3} T^{23} - 5503216405293795 p^{4} T^{24} + 261252101954674 p^{5} T^{25} - 13640781159029 p^{6} T^{26} - 3723226200806 p^{7} T^{27} + 1695830193376 p^{8} T^{28} + 904318698 p^{10} T^{29} - 40359121773 p^{10} T^{30} - 1036385110 p^{11} T^{31} + 621971482 p^{12} T^{32} + 19118658 p^{13} T^{33} - 6902709 p^{14} T^{34} - 250870 p^{15} T^{35} + 54546 p^{16} T^{36} + 2110 p^{17} T^{37} - 291 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( 1 + 14 T - 253 T^{2} - 3558 T^{3} + 38896 T^{4} + 479322 T^{5} - 70595 p T^{6} - 52951210 T^{7} + 408847192 T^{8} + 5204538866 T^{9} - 24288190195 T^{10} - 445354559138 T^{11} + 1035638552936 T^{12} + 34127598053866 T^{13} - 13354295531019 T^{14} - 2206769735458410 T^{15} - 3633391621402553 T^{16} + 104104859322418716 T^{17} + 465916344762799684 T^{18} - 2428115016767590724 T^{19} - 35894118163105040816 T^{20} - 2428115016767590724 p T^{21} + 465916344762799684 p^{2} T^{22} + 104104859322418716 p^{3} T^{23} - 3633391621402553 p^{4} T^{24} - 2206769735458410 p^{5} T^{25} - 13354295531019 p^{6} T^{26} + 34127598053866 p^{7} T^{27} + 1035638552936 p^{8} T^{28} - 445354559138 p^{9} T^{29} - 24288190195 p^{10} T^{30} + 5204538866 p^{11} T^{31} + 408847192 p^{12} T^{32} - 52951210 p^{13} T^{33} - 70595 p^{15} T^{34} + 479322 p^{15} T^{35} + 38896 p^{16} T^{36} - 3558 p^{17} T^{37} - 253 p^{18} T^{38} + 14 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 71 | \( 1 + 8 T - 242 T^{2} - 112 T^{3} + 38799 T^{4} - 233832 T^{5} - 3724426 T^{6} + 38252904 T^{7} + 134746991 T^{8} - 3873615944 T^{9} + 2825368180 T^{10} + 296458864136 T^{11} - 872318637350 T^{12} - 19999746304960 T^{13} + 148434643292044 T^{14} + 1292639680774776 T^{15} - 15020071499424835 T^{16} - 45123678293099856 T^{17} + 1121166646730540778 T^{18} + 246948379590692752 T^{19} - 80857562701810461495 T^{20} + 246948379590692752 p T^{21} + 1121166646730540778 p^{2} T^{22} - 45123678293099856 p^{3} T^{23} - 15020071499424835 p^{4} T^{24} + 1292639680774776 p^{5} T^{25} + 148434643292044 p^{6} T^{26} - 19999746304960 p^{7} T^{27} - 872318637350 p^{8} T^{28} + 296458864136 p^{9} T^{29} + 2825368180 p^{10} T^{30} - 3873615944 p^{11} T^{31} + 134746991 p^{12} T^{32} + 38252904 p^{13} T^{33} - 3724426 p^{14} T^{34} - 233832 p^{15} T^{35} + 38799 p^{16} T^{36} - 112 p^{17} T^{37} - 242 p^{18} T^{38} + 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 + 6 T - 267 T^{2} - 2210 T^{3} + 390 p T^{4} + 366082 T^{5} - 951273 T^{6} - 37051694 T^{7} - 131504274 T^{8} + 2544933010 T^{9} + 25307388835 T^{10} - 95456970390 T^{11} - 2444319079616 T^{12} - 4204204322886 T^{13} + 145798712782267 T^{14} + 1042792974162994 T^{15} - 3049881170992247 T^{16} - 83883155465177916 T^{17} - 387041731021113482 T^{18} + 2620016064096978268 T^{19} + 47388397581969955108 T^{20} + 2620016064096978268 p T^{21} - 387041731021113482 p^{2} T^{22} - 83883155465177916 p^{3} T^{23} - 3049881170992247 p^{4} T^{24} + 1042792974162994 p^{5} T^{25} + 145798712782267 p^{6} T^{26} - 4204204322886 p^{7} T^{27} - 2444319079616 p^{8} T^{28} - 95456970390 p^{9} T^{29} + 25307388835 p^{10} T^{30} + 2544933010 p^{11} T^{31} - 131504274 p^{12} T^{32} - 37051694 p^{13} T^{33} - 951273 p^{14} T^{34} + 366082 p^{15} T^{35} + 390 p^{17} T^{36} - 2210 p^{17} T^{37} - 267 p^{18} T^{38} + 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 6 T - 3 p T^{2} - 386 T^{3} + 39292 T^{4} + 200038 T^{5} - 3990677 T^{6} - 22564958 T^{7} + 280189428 T^{8} + 1870133422 T^{9} - 27931780331 T^{10} - 102509363022 T^{11} + 3042859494296 T^{12} + 4085472438286 T^{13} - 278033219674067 T^{14} - 611242450527966 T^{15} + 26528974550536523 T^{16} + 53120991857883580 T^{17} - 1993809851056218624 T^{18} - 1311284398309414812 T^{19} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{20} - 1311284398309414812 p T^{21} - 1993809851056218624 p^{2} T^{22} + 53120991857883580 p^{3} T^{23} + 26528974550536523 p^{4} T^{24} - 611242450527966 p^{5} T^{25} - 278033219674067 p^{6} T^{26} + 4085472438286 p^{7} T^{27} + 3042859494296 p^{8} T^{28} - 102509363022 p^{9} T^{29} - 27931780331 p^{10} T^{30} + 1870133422 p^{11} T^{31} + 280189428 p^{12} T^{32} - 22564958 p^{13} T^{33} - 3990677 p^{14} T^{34} + 200038 p^{15} T^{35} + 39292 p^{16} T^{36} - 386 p^{17} T^{37} - 3 p^{19} T^{38} - 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 - 844 T^{2} + 4330 p T^{4} - 102623052 T^{6} + 22091622525 T^{8} - 3824064164208 T^{10} + 554428198715112 T^{12} - 69219267283529136 T^{14} + 7587982240021099922 T^{16} - \)\(74\!\cdots\!04\)\( T^{18} + \)\(64\!\cdots\!96\)\( T^{20} - \)\(74\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{22} + 7587982240021099922 p^{4} T^{24} - 69219267283529136 p^{6} T^{26} + 554428198715112 p^{8} T^{28} - 3824064164208 p^{10} T^{30} + 22091622525 p^{12} T^{32} - 102623052 p^{14} T^{34} + 4330 p^{17} T^{36} - 844 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( 1 + 24 T + 608 T^{2} + 9984 T^{3} + 155021 T^{4} + 2204640 T^{5} + 27778104 T^{6} + 345650796 T^{7} + 3696078765 T^{8} + 38015596608 T^{9} + 353392834668 T^{10} + 2925759047988 T^{11} + 22061556707796 T^{12} + 107843453781060 T^{13} - 27732846192996 T^{14} - 11504756058245004 T^{15} - 212925120333757447 T^{16} - 2815051948698253860 T^{17} - 33334848264388233932 T^{18} - \)\(35\!\cdots\!56\)\( T^{19} - \)\(34\!\cdots\!23\)\( T^{20} - \)\(35\!\cdots\!56\)\( p T^{21} - 33334848264388233932 p^{2} T^{22} - 2815051948698253860 p^{3} T^{23} - 212925120333757447 p^{4} T^{24} - 11504756058245004 p^{5} T^{25} - 27732846192996 p^{6} T^{26} + 107843453781060 p^{7} T^{27} + 22061556707796 p^{8} T^{28} + 2925759047988 p^{9} T^{29} + 353392834668 p^{10} T^{30} + 38015596608 p^{11} T^{31} + 3696078765 p^{12} T^{32} + 345650796 p^{13} T^{33} + 27778104 p^{14} T^{34} + 2204640 p^{15} T^{35} + 155021 p^{16} T^{36} + 9984 p^{17} T^{37} + 608 p^{18} T^{38} + 24 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 97 | \( 1 + 12 T + 626 T^{2} + 6936 T^{3} + 194307 T^{4} + 1827240 T^{5} + 37901362 T^{6} + 296705532 T^{7} + 5202307955 T^{8} + 34846077096 T^{9} + 569523042420 T^{10} + 3768300446256 T^{11} + 58931613530326 T^{12} + 479086834787616 T^{13} + 6462872830953428 T^{14} + 65675332628356632 T^{15} + 708391288722675429 T^{16} + 8105004929607287172 T^{17} + 72272516061002075110 T^{18} + \)\(87\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(70\!\cdots\!53\)\( T^{20} + \)\(87\!\cdots\!20\)\( p T^{21} + 72272516061002075110 p^{2} T^{22} + 8105004929607287172 p^{3} T^{23} + 708391288722675429 p^{4} T^{24} + 65675332628356632 p^{5} T^{25} + 6462872830953428 p^{6} T^{26} + 479086834787616 p^{7} T^{27} + 58931613530326 p^{8} T^{28} + 3768300446256 p^{9} T^{29} + 569523042420 p^{10} T^{30} + 34846077096 p^{11} T^{31} + 5202307955 p^{12} T^{32} + 296705532 p^{13} T^{33} + 37901362 p^{14} T^{34} + 1827240 p^{15} T^{35} + 194307 p^{16} T^{36} + 6936 p^{17} T^{37} + 626 p^{18} T^{38} + 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.13088719870176414529692359556, −3.05495659757054523802178032520, −2.92782179962625192825693719622, −2.75654818176666332565823666913, −2.75278906452905739886399366772, −2.62574342229929018343632162174, −2.61443711624762308120584302843, −2.42693195765409006065825487511, −2.32075261121880558289150527194, −2.28616195162581695129101072016, −2.26331659590616576869130870717, −2.06818502426862954239175819200, −2.00964977033252927542227999159, −1.86844497651739390911645525892, −1.84469056932887198272200286713, −1.65899540129549188933609323365, −1.46277034756984746741378173750, −1.32097880186265717011417774519, −1.10053880011454261575397823941, −0.875811056617356428311986756296, −0.836641805646777477256593194608, −0.822335052398757428501855899287, −0.72940443624574684165123386673, −0.72016904637395250179581286384, −0.29312375568422600040439261985, 0.29312375568422600040439261985, 0.72016904637395250179581286384, 0.72940443624574684165123386673, 0.822335052398757428501855899287, 0.836641805646777477256593194608, 0.875811056617356428311986756296, 1.10053880011454261575397823941, 1.32097880186265717011417774519, 1.46277034756984746741378173750, 1.65899540129549188933609323365, 1.84469056932887198272200286713, 1.86844497651739390911645525892, 2.00964977033252927542227999159, 2.06818502426862954239175819200, 2.26331659590616576869130870717, 2.28616195162581695129101072016, 2.32075261121880558289150527194, 2.42693195765409006065825487511, 2.61443711624762308120584302843, 2.62574342229929018343632162174, 2.75278906452905739886399366772, 2.75654818176666332565823666913, 2.92782179962625192825693719622, 3.05495659757054523802178032520, 3.13088719870176414529692359556
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.