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Properties

Label 56-1416e28-1.1-c0e28-0-3
Degree $56$
Conductor $1.697\times 10^{88}$
Sign $1$
Analytic cond. $6.00026\times 10^{-5}$
Root an. cond. $0.840640$
Motivic weight $0$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 2-s − 3-s − 6-s − 2·11-s + 2·19-s − 2·22-s + 25-s + 2·33-s + 2·38-s − 49-s + 50-s − 2·57-s + 59-s + 2·66-s − 75-s + 2·83-s − 2·89-s − 98-s + 2·113-s − 2·114-s + 118-s + 121-s + 127-s + 131-s + 137-s + 139-s + 147-s + ⋯
L(s)  = 1  + 2-s − 3-s − 6-s − 2·11-s + 2·19-s − 2·22-s + 25-s + 2·33-s + 2·38-s − 49-s + 50-s − 2·57-s + 59-s + 2·66-s − 75-s + 2·83-s − 2·89-s − 98-s + 2·113-s − 2·114-s + 118-s + 121-s + 127-s + 131-s + 137-s + 139-s + 147-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{84} \cdot 3^{28} \cdot 59^{28}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{28} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{84} \cdot 3^{28} \cdot 59^{28}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{28} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(56\)
Conductor: \(2^{84} \cdot 3^{28} \cdot 59^{28}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(6.00026\times 10^{-5}\)
Root analytic conductor: \(0.840640\)
Motivic weight: \(0\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((56,\ 2^{84} \cdot 3^{28} \cdot 59^{28} ,\ ( \ : [0]^{28} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(\frac{1}{2})\) \(\approx\) \(0.4436803749\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.4436803749\)
\(L(1)\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} \)
3 \( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} \)
59 \( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} \)
good5 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
7 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
11 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} )^{2} \)
13 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
17 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
19 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )^{2} \)
23 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
29 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
31 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
37 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
41 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
43 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
47 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
53 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
61 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
67 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
71 \( 1 - T^{2} + T^{4} - T^{6} + T^{8} - T^{10} + T^{12} - T^{14} + T^{16} - T^{18} + T^{20} - T^{22} + T^{24} - T^{26} + T^{28} - T^{30} + T^{32} - T^{34} + T^{36} - T^{38} + T^{40} - T^{42} + T^{44} - T^{46} + T^{48} - T^{50} + T^{52} - T^{54} + T^{56} \)
73 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
79 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
83 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )^{2} \)
89 \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} )^{2} \)
97 \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} - T^{11} + T^{12} - T^{13} + T^{14} - T^{15} + T^{16} - T^{17} + T^{18} - T^{19} + T^{20} - T^{21} + T^{22} - T^{23} + T^{24} - T^{25} + T^{26} - T^{27} + T^{28} )( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} + T^{5} + T^{6} + T^{7} + T^{8} + T^{9} + T^{10} + T^{11} + T^{12} + T^{13} + T^{14} + T^{15} + T^{16} + T^{17} + T^{18} + T^{19} + T^{20} + T^{21} + T^{22} + T^{23} + T^{24} + T^{25} + T^{26} + T^{27} + T^{28} ) \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{56} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.99733729400420859091102188654, −1.90397308196788352354635955330, −1.72866233212358140736024228060, −1.67245218880436200628752385567, −1.64585635852233197759986957622, −1.57832469895611604911410639737, −1.52770009696434734873312001221, −1.52453859117318031800303082385, −1.50579760864892260937643319880, −1.44921385051581569792522353114, −1.36616246428464752657407127096, −1.32039899169302806524489319366, −1.29274987393429488136859602799, −1.28510560447307549733433306829, −1.23250104987664644355485813257, −1.18351132286945447889437350975, −1.09682482459092378248232467473, −1.04075193491918692553863320723, −1.03695250881912802684108020111, −0.862628317152917785630692334298, −0.73424546355266829030199524489, −0.66008378126205840339843200468, −0.49632244335918921395711326666, −0.46875625415446902749046336265, −0.42962937655430942213298818987, 0.42962937655430942213298818987, 0.46875625415446902749046336265, 0.49632244335918921395711326666, 0.66008378126205840339843200468, 0.73424546355266829030199524489, 0.862628317152917785630692334298, 1.03695250881912802684108020111, 1.04075193491918692553863320723, 1.09682482459092378248232467473, 1.18351132286945447889437350975, 1.23250104987664644355485813257, 1.28510560447307549733433306829, 1.29274987393429488136859602799, 1.32039899169302806524489319366, 1.36616246428464752657407127096, 1.44921385051581569792522353114, 1.50579760864892260937643319880, 1.52453859117318031800303082385, 1.52770009696434734873312001221, 1.57832469895611604911410639737, 1.64585635852233197759986957622, 1.67245218880436200628752385567, 1.72866233212358140736024228060, 1.90397308196788352354635955330, 1.99733729400420859091102188654

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.