LMFDB - L-function 16-14e8-1.1-c13e8-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

− 256·2^-s − 182·3^-s + 2.45e4·4^-s − 6.44e4·5^-s + 4.65e4·6^-s − 1.13e5·7^-s + 1.21e6·9^-s + 1.64e7·10^-s − 1.00e6·11^-s − 4.47e6·12^-s + 5.38e7·13^-s + 2.91e7·14^-s + 1.17e7·15^-s − 2.51e8·16^-s − 1.65e8·17^-s − 3.10e8·18^-s − 4.23e8·19^-s − 1.58e9·20^-s + 2.06e7·21^-s + 2.58e8·22^-s + 2.86e8·23^-s + 4.27e9·25^-s − 1.37e10·26^-s − 3.88e9·27^-s − 2.79e9·28^-s + 1.82e10·29^-s − 3.00e9·30^-s + ⋯

L(s) = 1

− 2.82·2^-s − 0.144·3^-s + 3·4^-s − 1.84·5^-s + 0.407·6^-s − 0.365·7^-s + 0.761·9^-s + 5.21·10^-s − 0.171·11^-s − 0.432·12^-s + 3.09·13^-s + 1.03·14^-s + 0.265·15^-s − 3.75·16^-s − 1.66·17^-s − 2.15·18^-s − 2.06·19^-s − 5.52·20^-s + 0.0526·21^-s + 0.485·22^-s + 0.403·23^-s + 3.50·25^-s − 8.74·26^-s − 1.92·27^-s − 1.09·28^-s + 5.68·29^-s − 0.751·30^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(14-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+13/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$2^{8} \cdot 7^{8}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$2.57979\times 10^{9}$
Root analytic conductor:	$3.87457$
Motivic weight:	$13$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 2^{8} \cdot 7^{8} ,\ ( \ : [13/2]^{8} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(7)$	$\approx$	$0.6854418617$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.6854418617$
$L(\frac{15}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ ( 1 + p^{6} T + p^{12} T^{2} )^{4} $
	7	$ 1 + 16248 p T + 107711924 p^{3} T^{2} - 5716640280 p^{8} T^{3} - 20909219190 p^{13} T^{4} - 5716640280 p^{21} T^{5} + 107711924 p^{29} T^{6} + 16248 p^{40} T^{7} + p^{52} T^{8} $
good	3	$ 1 + 182 T - 1180208 T^{2} + 1148428120 p T^{3} - 25485034301 p^{2} T^{4} - 64848767574836 p^{4} T^{5} + 9348143118724660 p^{6} T^{6} + 219482061877171478 p^{9} T^{7} - 19002836451041603312 p^{12} T^{8} + 219482061877171478 p^{22} T^{9} + 9348143118724660 p^{32} T^{10} - 64848767574836 p^{43} T^{11} - 25485034301 p^{54} T^{12} + 1148428120 p^{66} T^{13} - 1180208 p^{78} T^{14} + 182 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	5	$ 1 + 2576 p^{2} T - 131717534 T^{2} - 18469552348464 p T^{3} - 1271390721497581219 T^{4} + $$30\!\cdots\!28$$ p T^{5} - $$38\!\cdots\!26$$ p^{2} T^{6} + $$46\!\cdots\!84$$ p^{4} T^{7} + $$26\!\cdots\!04$$ p^{6} T^{8} + $$46\!\cdots\!84$$ p^{17} T^{9} - $$38\!\cdots\!26$$ p^{28} T^{10} + $$30\!\cdots\!28$$ p^{40} T^{11} - 1271390721497581219 p^{52} T^{12} - 18469552348464 p^{66} T^{13} - 131717534 p^{78} T^{14} + 2576 p^{93} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	11	$ 1 + 1008790 T - 99056291003072 T^{2} - 25923801408883395432 p T^{3} + $$36\!\cdots\!67$$ p^{4} T^{4} + $$12\!\cdots\!48$$ p^{3} T^{5} - $$12\!\cdots\!24$$ p^{4} T^{6} - $$19\!\cdots\!02$$ p^{5} T^{7} + $$30\!\cdots\!48$$ p^{6} T^{8} - $$19\!\cdots\!02$$ p^{18} T^{9} - $$12\!\cdots\!24$$ p^{30} T^{10} + $$12\!\cdots\!48$$ p^{42} T^{11} + $$36\!\cdots\!67$$ p^{56} T^{12} - 25923801408883395432 p^{66} T^{13} - 99056291003072 p^{78} T^{14} + 1008790 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	13	$ ( 1 - 26903632 T + 97747020241532 p T^{2} - $$22\!\cdots\!96$$ T^{3} + $$57\!\cdots\!98$$ T^{4} - $$22\!\cdots\!96$$ p^{13} T^{5} + 97747020241532 p^{27} T^{6} - 26903632 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	17	$ 1 + 165333028 T + 14301100946612206 T^{2} - $$30\!\cdots\!72$$ p T^{3} - $$14\!\cdots\!51$$ p T^{4} - $$33\!\cdots\!24$$ T^{5} - $$37\!\cdots\!06$$ T^{6} + $$28\!\cdots\!48$$ T^{7} + $$46\!\cdots\!76$$ T^{8} + $$28\!\cdots\!48$$ p^{13} T^{9} - $$37\!\cdots\!06$$ p^{26} T^{10} - $$33\!\cdots\!24$$ p^{39} T^{11} - $$14\!\cdots\!51$$ p^{53} T^{12} - $$30\!\cdots\!72$$ p^{66} T^{13} + 14301100946612206 p^{78} T^{14} + 165333028 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	19	$ 1 + 423405794 T + 5480059521660384 T^{2} - $$11\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!67$$ T^{4} + $$83\!\cdots\!40$$ T^{5} - $$20\!\cdots\!52$$ T^{6} - $$39\!\cdots\!70$$ T^{7} + $$92\!\cdots\!88$$ T^{8} - $$39\!\cdots\!70$$ p^{13} T^{9} - $$20\!\cdots\!52$$ p^{26} T^{10} + $$83\!\cdots\!40$$ p^{39} T^{11} + $$15\!\cdots\!67$$ p^{52} T^{12} - $$11\!\cdots\!36$$ p^{65} T^{13} + 5480059521660384 p^{78} T^{14} + 423405794 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	23	$ 1 - 286233866 T - 881189351639823284 T^{2} - $$24\!\cdots\!64$$ T^{3} + $$41\!\cdots\!39$$ T^{4} + $$26\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!80$$ T^{6} - $$10\!\cdots\!46$$ T^{7} - $$24\!\cdots\!20$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!46$$ p^{13} T^{9} + $$11\!\cdots\!80$$ p^{26} T^{10} + $$26\!\cdots\!72$$ p^{39} T^{11} + $$41\!\cdots\!39$$ p^{52} T^{12} - $$24\!\cdots\!64$$ p^{65} T^{13} - 881189351639823284 p^{78} T^{14} - 286233866 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	29	$ ( 1 - 9100337408 T + 63557643354325261932 T^{2} - $$29\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!82$$ T^{4} - $$29\!\cdots\!08$$ p^{13} T^{5} + 63557643354325261932 p^{26} T^{6} - 9100337408 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	31	$ 1 - 1507094246 T - 84905048460002200900 T^{2} + $$56\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$43\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!32$$ T^{5} - $$15\!\cdots\!68$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!50$$ T^{7} + $$43\!\cdots\!44$$ T^{8} + $$12\!\cdots\!50$$ p^{13} T^{9} - $$15\!\cdots\!68$$ p^{26} T^{10} - $$12\!\cdots\!32$$ p^{39} T^{11} + $$43\!\cdots\!95$$ p^{52} T^{12} + $$56\!\cdots\!56$$ p^{65} T^{13} - 84905048460002200900 p^{78} T^{14} - 1507094246 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	37	$ 1 + 18959705336 T - $$38\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$20\!\cdots\!04$$ T^{3} + $$17\!\cdots\!49$$ T^{4} - $$38\!\cdots\!24$$ T^{5} - $$47\!\cdots\!34$$ T^{6} - $$34\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$65\!\cdots\!60$$ T^{8} - $$34\!\cdots\!28$$ p^{13} T^{9} - $$47\!\cdots\!34$$ p^{26} T^{10} - $$38\!\cdots\!24$$ p^{39} T^{11} + $$17\!\cdots\!49$$ p^{52} T^{12} - $$20\!\cdots\!04$$ p^{65} T^{13} - $$38\!\cdots\!50$$ p^{78} T^{14} + 18959705336 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	41	$ ( 1 - 56825955312 T + $$21\!\cdots\!32$$ T^{2} - $$40\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!54$$ T^{4} - $$40\!\cdots\!08$$ p^{13} T^{5} + $$21\!\cdots\!32$$ p^{26} T^{6} - 56825955312 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	43	$ ( 1 + 45778809712 T + $$48\!\cdots\!88$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$17\!\cdots\!40$$ p^{13} T^{5} + $$48\!\cdots\!88$$ p^{26} T^{6} + 45778809712 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	47	$ 1 + 81351201078 T - $$58\!\cdots\!84$$ T^{2} + $$59\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$90\!\cdots\!83$$ T^{4} - $$40\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$97\!\cdots\!84$$ T^{6} + $$24\!\cdots\!18$$ T^{7} - $$13\!\cdots\!84$$ T^{8} + $$24\!\cdots\!18$$ p^{13} T^{9} + $$97\!\cdots\!84$$ p^{26} T^{10} - $$40\!\cdots\!84$$ p^{39} T^{11} + $$90\!\cdots\!83$$ p^{52} T^{12} + $$59\!\cdots\!56$$ p^{65} T^{13} - $$58\!\cdots\!84$$ p^{78} T^{14} + 81351201078 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	53	$ 1 - 87497947440 T - $$25\!\cdots\!70$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!17$$ T^{4} + $$23\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!50$$ T^{6} - $$92\!\cdots\!40$$ T^{7} - $$12\!\cdots\!52$$ T^{8} - $$92\!\cdots\!40$$ p^{13} T^{9} + $$61\!\cdots\!50$$ p^{26} T^{10} + $$23\!\cdots\!80$$ p^{39} T^{11} + $$12\!\cdots\!17$$ p^{52} T^{12} - $$10\!\cdots\!60$$ p^{65} T^{13} - $$25\!\cdots\!70$$ p^{78} T^{14} - 87497947440 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	59	$ 1 + 194140265102 T - $$32\!\cdots\!76$$ T^{2} - $$39\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$64\!\cdots\!63$$ T^{4} + $$77\!\cdots\!04$$ p T^{5} - $$95\!\cdots\!92$$ T^{6} - $$19\!\cdots\!26$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!04$$ T^{8} - $$19\!\cdots\!26$$ p^{13} T^{9} - $$95\!\cdots\!92$$ p^{26} T^{10} + $$77\!\cdots\!04$$ p^{40} T^{11} + $$64\!\cdots\!63$$ p^{52} T^{12} - $$39\!\cdots\!44$$ p^{65} T^{13} - $$32\!\cdots\!76$$ p^{78} T^{14} + 194140265102 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	61	$ 1 - 175816313120 T - $$34\!\cdots\!66$$ T^{2} + $$45\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$61\!\cdots\!21$$ T^{4} - $$52\!\cdots\!84$$ T^{5} - $$53\!\cdots\!74$$ T^{6} + $$38\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$34\!\cdots\!84$$ T^{8} + $$38\!\cdots\!44$$ p^{13} T^{9} - $$53\!\cdots\!74$$ p^{26} T^{10} - $$52\!\cdots\!84$$ p^{39} T^{11} + $$61\!\cdots\!21$$ p^{52} T^{12} + $$45\!\cdots\!24$$ p^{65} T^{13} - $$34\!\cdots\!66$$ p^{78} T^{14} - 175816313120 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	67	$ 1 + 243815218758 T - $$13\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$11\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$93\!\cdots\!15$$ T^{4} - $$11\!\cdots\!12$$ T^{5} - $$39\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$60\!\cdots\!54$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!76$$ T^{8} + $$60\!\cdots\!54$$ p^{13} T^{9} - $$39\!\cdots\!60$$ p^{26} T^{10} - $$11\!\cdots\!12$$ p^{39} T^{11} + $$93\!\cdots\!15$$ p^{52} T^{12} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{65} T^{13} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{78} T^{14} + 243815218758 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	71	$ ( 1 + 1637697339536 T + $$40\!\cdots\!88$$ T^{2} + $$37\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$59\!\cdots\!54$$ T^{4} + $$37\!\cdots\!32$$ p^{13} T^{5} + $$40\!\cdots\!88$$ p^{26} T^{6} + 1637697339536 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	73	$ 1 + 3492491920596 T + $$28\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$48\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$38\!\cdots\!65$$ T^{4} + $$58\!\cdots\!16$$ T^{5} - $$55\!\cdots\!70$$ T^{6} + $$74\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$37\!\cdots\!36$$ T^{8} + $$74\!\cdots\!12$$ p^{13} T^{9} - $$55\!\cdots\!70$$ p^{26} T^{10} + $$58\!\cdots\!16$$ p^{39} T^{11} + $$38\!\cdots\!65$$ p^{52} T^{12} - $$48\!\cdots\!20$$ p^{65} T^{13} + $$28\!\cdots\!90$$ p^{78} T^{14} + 3492491920596 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	79	$ 1 + 1016380081246 T - $$18\!\cdots\!08$$ T^{2} - $$55\!\cdots\!60$$ T^{3} - $$37\!\cdots\!01$$ T^{4} - $$52\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$39\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$22\!\cdots\!14$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!60$$ T^{8} + $$22\!\cdots\!14$$ p^{13} T^{9} + $$39\!\cdots\!04$$ p^{26} T^{10} - $$52\!\cdots\!44$$ p^{39} T^{11} - $$37\!\cdots\!01$$ p^{52} T^{12} - $$55\!\cdots\!60$$ p^{65} T^{13} - $$18\!\cdots\!08$$ p^{78} T^{14} + 1016380081246 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	83	$ ( 1 - 3513747871648 T + $$13\!\cdots\!36$$ T^{2} - $$57\!\cdots\!88$$ p T^{3} + $$22\!\cdots\!98$$ T^{4} - $$57\!\cdots\!88$$ p^{14} T^{5} + $$13\!\cdots\!36$$ p^{26} T^{6} - 3513747871648 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	89	$ 1 + 8034124428036 T + $$79\!\cdots\!34$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!37$$ T^{4} - $$59\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$84\!\cdots\!38$$ T^{6} + $$62\!\cdots\!20$$ p T^{7} - $$31\!\cdots\!12$$ T^{8} + $$62\!\cdots\!20$$ p^{14} T^{9} + $$84\!\cdots\!38$$ p^{26} T^{10} - $$59\!\cdots\!00$$ p^{39} T^{11} + $$13\!\cdots\!37$$ p^{52} T^{12} + $$17\!\cdots\!36$$ p^{65} T^{13} + $$79\!\cdots\!34$$ p^{78} T^{14} + 8034124428036 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	97	$ ( 1 - 27175565862816 T + $$47\!\cdots\!36$$ T^{2} - $$58\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$55\!\cdots\!86$$ T^{4} - $$58\!\cdots\!56$$ p^{13} T^{5} + $$47\!\cdots\!36$$ p^{26} T^{6} - 27175565862816 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−6.63587916801606017246658549903, −6.50638570272043917978182658438, −6.05699737678555855878012955656, −6.04154215806733234124604822645, −5.89733127094827693787108809787, −4.96156213248973379642376791800, −4.91606615038611288384673916043, −4.70834082828787489641643198600, −4.39681338548090048843719704097, −4.33351481157201291120707662118, −4.10061134584600035771671004563, −3.89457206319466965417972139925, −3.42693116673649309312866110859, −3.14885543660382024191752635163, −3.03472302068902300112381514241, −2.51517502295507405607491982020, −2.38626363067284149308425982890, −1.80194600749434751019646227686, −1.48837903889266847969132186989, −1.41975547149108629559314415842, −0.994437450618950455823993121946, −0.959219610675506980943954305121, −0.48378893604349312030422742868, −0.44854618777649585499647510590, −0.27951950575615446141902666651, 0.27951950575615446141902666651, 0.44854618777649585499647510590, 0.48378893604349312030422742868, 0.959219610675506980943954305121, 0.994437450618950455823993121946, 1.41975547149108629559314415842, 1.48837903889266847969132186989, 1.80194600749434751019646227686, 2.38626363067284149308425982890, 2.51517502295507405607491982020, 3.03472302068902300112381514241, 3.14885543660382024191752635163, 3.42693116673649309312866110859, 3.89457206319466965417972139925, 4.10061134584600035771671004563, 4.33351481157201291120707662118, 4.39681338548090048843719704097, 4.70834082828787489641643198600, 4.91606615038611288384673916043, 4.96156213248973379642376791800, 5.89733127094827693787108809787, 6.04154215806733234124604822645, 6.05699737678555855878012955656, 6.50638570272043917978182658438, 6.63587916801606017246658549903

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(7)\)	\(\approx\)	\(0.6854418617\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.6854418617\)
\(L(\frac{15}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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