| L(s) = 1 | − 45·3-s + 16·5-s + 134·7-s + 1.21e3·9-s + 632·11-s + 326·13-s − 720·15-s − 1.04e3·17-s + 722·19-s − 6.03e3·21-s − 2.64e3·23-s − 9.94e3·25-s − 2.55e4·27-s − 7.82e3·29-s + 2.22e3·31-s − 2.84e4·33-s + 2.14e3·35-s − 1.88e4·37-s − 1.46e4·39-s − 4.55e3·41-s + 2.22e3·43-s + 1.94e4·45-s + 1.61e4·47-s − 4.53e4·49-s + 4.69e4·51-s − 8.97e3·53-s + 1.01e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.88·3-s + 0.286·5-s + 1.03·7-s + 5·9-s + 1.57·11-s + 0.535·13-s − 0.826·15-s − 0.876·17-s + 0.458·19-s − 2.98·21-s − 1.04·23-s − 3.18·25-s − 6.73·27-s − 1.72·29-s + 0.416·31-s − 4.54·33-s + 0.295·35-s − 2.25·37-s − 1.54·39-s − 0.422·41-s + 0.183·43-s + 1.43·45-s + 1.06·47-s − 2.69·49-s + 2.52·51-s − 0.438·53-s + 0.450·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 23^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| 23 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| good | 5 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 16 T + 10203 T^{2} - 142048 T^{3} + 53993896 T^{4} - 618315536 T^{5} + 53993896 p^{5} T^{6} - 142048 p^{10} T^{7} + 10203 p^{15} T^{8} - 16 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 134 T + 63277 T^{2} - 694284 p T^{3} + 1592968612 T^{4} - 86380106300 T^{5} + 1592968612 p^{5} T^{6} - 694284 p^{11} T^{7} + 63277 p^{15} T^{8} - 134 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 632 T + 694047 T^{2} - 344848312 T^{3} + 216414444178 T^{4} - 77857173585504 T^{5} + 216414444178 p^{5} T^{6} - 344848312 p^{10} T^{7} + 694047 p^{15} T^{8} - 632 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 326 T + 1740061 T^{2} - 453293952 T^{3} + 1251281366574 T^{4} - 19021586693476 p T^{5} + 1251281366574 p^{5} T^{6} - 453293952 p^{10} T^{7} + 1740061 p^{15} T^{8} - 326 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1044 T + 5915063 T^{2} + 302193232 p T^{3} + 15506248720336 T^{4} + 10341521897087480 T^{5} + 15506248720336 p^{5} T^{6} + 302193232 p^{11} T^{7} + 5915063 p^{15} T^{8} + 1044 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 2 p^{2} T + 6728273 T^{2} - 23975140 p^{2} T^{3} + 21932275966372 T^{4} - 34465441399931956 T^{5} + 21932275966372 p^{5} T^{6} - 23975140 p^{12} T^{7} + 6728273 p^{15} T^{8} - 2 p^{22} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7822 T + 86775377 T^{2} + 490132967256 T^{3} + 3287303119956826 T^{4} + 13524040892188661908 T^{5} + 3287303119956826 p^{5} T^{6} + 490132967256 p^{10} T^{7} + 86775377 p^{15} T^{8} + 7822 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 2228 T + 45898227 T^{2} + 40057067504 T^{3} + 2186671957682050 T^{4} - 2721873524319410296 T^{5} + 2186671957682050 p^{5} T^{6} + 40057067504 p^{10} T^{7} + 45898227 p^{15} T^{8} - 2228 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 18818 T + 407917217 T^{2} + 4796683111232 T^{3} + 59471758981001586 T^{4} + \)\(48\!\cdots\!20\)\( T^{5} + 59471758981001586 p^{5} T^{6} + 4796683111232 p^{10} T^{7} + 407917217 p^{15} T^{8} + 18818 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 4550 T + 372288181 T^{2} + 2710322229576 T^{3} + 66267685633198738 T^{4} + \)\(49\!\cdots\!88\)\( T^{5} + 66267685633198738 p^{5} T^{6} + 2710322229576 p^{10} T^{7} + 372288181 p^{15} T^{8} + 4550 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 2226 T + 244013017 T^{2} - 1063329376244 T^{3} + 49597474647575812 T^{4} - 40108766384384896436 T^{5} + 49597474647575812 p^{5} T^{6} - 1063329376244 p^{10} T^{7} + 244013017 p^{15} T^{8} - 2226 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 16164 T + 589275191 T^{2} + 1137550312848 T^{3} + 7946895649561766 T^{4} + \)\(25\!\cdots\!44\)\( T^{5} + 7946895649561766 p^{5} T^{6} + 1137550312848 p^{10} T^{7} + 589275191 p^{15} T^{8} - 16164 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 8972 T - 401196965 T^{2} - 10716960043944 T^{3} + 159400418604886520 T^{4} + \)\(66\!\cdots\!60\)\( T^{5} + 159400418604886520 p^{5} T^{6} - 10716960043944 p^{10} T^{7} - 401196965 p^{15} T^{8} + 8972 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 952 p T + 3645621107 T^{2} - 115646724502576 T^{3} + 4406118762477085878 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!68\)\( T^{5} + 4406118762477085878 p^{5} T^{6} - 115646724502576 p^{10} T^{7} + 3645621107 p^{15} T^{8} - 952 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 61474 T + 3373780921 T^{2} + 138379413011408 T^{3} + 5358857028303101522 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{5} + 5358857028303101522 p^{5} T^{6} + 138379413011408 p^{10} T^{7} + 3373780921 p^{15} T^{8} + 61474 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 58270 T + 4687429377 T^{2} - 203460736298572 T^{3} + 11212564984329766788 T^{4} - \)\(37\!\cdots\!60\)\( T^{5} + 11212564984329766788 p^{5} T^{6} - 203460736298572 p^{10} T^{7} + 4687429377 p^{15} T^{8} - 58270 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 75920 T + 7833157875 T^{2} - 494332911998400 T^{3} + 26708871936225654170 T^{4} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{5} + 26708871936225654170 p^{5} T^{6} - 494332911998400 p^{10} T^{7} + 7833157875 p^{15} T^{8} - 75920 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 7970 T + 5109809029 T^{2} + 143777534767752 T^{3} + 8675131510601059810 T^{4} + \)\(64\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 8675131510601059810 p^{5} T^{6} + 143777534767752 p^{10} T^{7} + 5109809029 p^{15} T^{8} - 7970 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 64818 T + 7453790661 T^{2} - 126242554376636 T^{3} + 14709921551395032580 T^{4} + \)\(21\!\cdots\!84\)\( T^{5} + 14709921551395032580 p^{5} T^{6} - 126242554376636 p^{10} T^{7} + 7453790661 p^{15} T^{8} - 64818 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 92680 T + 16281766071 T^{2} - 13689453919128 p T^{3} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{4} - \)\(61\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{6} - 13689453919128 p^{11} T^{7} + 16281766071 p^{15} T^{8} - 92680 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 52256 T + 18004522975 T^{2} + 1184235654288552 T^{3} + \)\(15\!\cdots\!76\)\( T^{4} + \)\(98\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{6} + 1184235654288552 p^{10} T^{7} + 18004522975 p^{15} T^{8} + 52256 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 42230 T + 20386001941 T^{2} - 993571180258392 T^{3} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( T^{4} - \)\(12\!\cdots\!56\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( p^{5} T^{6} - 993571180258392 p^{10} T^{7} + 20386001941 p^{15} T^{8} - 42230 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.52037754168086558234792103836, −5.46481644047359851880228178497, −5.28550562477559540049012050099, −5.25297444711385945926594650002, −5.19044935326742514897775139150, −4.60983162059242957961025352211, −4.57172467623596361230951121844, −4.39355557070091514216978161608, −4.34673724463078859399409706669, −4.19810279511888086302184063902, −3.62923077516904684730522575637, −3.56148909383213214869398649467, −3.53892640403886468651776681312, −3.43946224629187010310182253181, −3.36700699438424627977170656340, −2.32024705112153518963807318353, −2.28658469297709571531054966718, −2.18025075536943646451569697142, −1.99678605014141346555659545861, −1.98907443092128395826139632250, −1.40057642707141298982316991519, −1.37536512109689944990901846274, −1.06956608748302156622597725754, −1.02561227625201023086468941613, −0.938362224141067885364088866963, 0, 0, 0, 0, 0,
0.938362224141067885364088866963, 1.02561227625201023086468941613, 1.06956608748302156622597725754, 1.37536512109689944990901846274, 1.40057642707141298982316991519, 1.98907443092128395826139632250, 1.99678605014141346555659545861, 2.18025075536943646451569697142, 2.28658469297709571531054966718, 2.32024705112153518963807318353, 3.36700699438424627977170656340, 3.43946224629187010310182253181, 3.53892640403886468651776681312, 3.56148909383213214869398649467, 3.62923077516904684730522575637, 4.19810279511888086302184063902, 4.34673724463078859399409706669, 4.39355557070091514216978161608, 4.57172467623596361230951121844, 4.60983162059242957961025352211, 5.19044935326742514897775139150, 5.25297444711385945926594650002, 5.28550562477559540049012050099, 5.46481644047359851880228178497, 5.52037754168086558234792103836
