Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 9·2-s + 36·4-s + 5·7-s − 75·8-s − 11-s + 13-s − 45·14-s + 45·16-s + 5·17-s + 9·19-s + 9·22-s + 2·23-s − 36·25-s − 9·26-s + 180·28-s − 18·29-s + 4·31-s + 198·32-s − 45·34-s + 20·37-s − 81·38-s + 2·41-s + 7·43-s − 36·44-s − 18·46-s + 38·47-s + 47·49-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 6.36·2-s + 18·4-s + 1.88·7-s − 26.5·8-s − 0.301·11-s + 0.277·13-s − 12.0·14-s + 45/4·16-s + 1.21·17-s + 2.06·19-s + 1.91·22-s + 0.417·23-s − 7.19·25-s − 1.76·26-s + 34.0·28-s − 3.34·29-s + 0.718·31-s + 35.0·32-s − 7.71·34-s + 3.28·37-s − 13.1·38-s + 0.312·41-s + 1.06·43-s − 5.42·44-s − 2.65·46-s + 5.54·47-s + 47/7·49-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 3^{54} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{18} \cdot 3^{54} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(2^{18} \cdot 3^{54} \cdot 19^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.76465\times 10^{16}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.86228\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 2^{18} \cdot 3^{54} \cdot 19^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.003892702466\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.003892702466\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T + T^{2} )^{9} \) |
| 3 | \( 1 \) | |
| 19 | \( 1 - 9 T + 21 T^{2} - 56 T^{3} + 681 T^{4} - 1680 T^{5} - 2773 T^{6} - 20712 T^{7} + 147222 T^{8} - 217310 T^{9} + 147222 p T^{10} - 20712 p^{2} T^{11} - 2773 p^{3} T^{12} - 1680 p^{4} T^{13} + 681 p^{5} T^{14} - 56 p^{6} T^{15} + 21 p^{7} T^{16} - 9 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} \) | |
| good | 5 | \( ( 1 + 18 T^{2} - 2 T^{3} + 147 T^{4} - 69 T^{5} + 738 T^{6} - 186 p T^{7} + 3009 T^{8} - 6323 T^{9} + 3009 p T^{10} - 186 p^{3} T^{11} + 738 p^{3} T^{12} - 69 p^{4} T^{13} + 147 p^{5} T^{14} - 2 p^{6} T^{15} + 18 p^{7} T^{16} + p^{9} T^{18} )^{2} \) |
| 7 | \( 1 - 5 T - 22 T^{2} + 143 T^{3} + 243 T^{4} - 2115 T^{5} - 1998 T^{6} + 22074 T^{7} + 14580 T^{8} - 188542 T^{9} - 51010 T^{10} + 1298509 T^{11} - 193 p^{4} T^{12} - 7009406 T^{13} + 10178816 T^{14} + 28905671 T^{15} - 111288663 T^{16} - 67556535 T^{17} + 901904796 T^{18} - 67556535 p T^{19} - 111288663 p^{2} T^{20} + 28905671 p^{3} T^{21} + 10178816 p^{4} T^{22} - 7009406 p^{5} T^{23} - 193 p^{10} T^{24} + 1298509 p^{7} T^{25} - 51010 p^{8} T^{26} - 188542 p^{9} T^{27} + 14580 p^{10} T^{28} + 22074 p^{11} T^{29} - 1998 p^{12} T^{30} - 2115 p^{13} T^{31} + 243 p^{14} T^{32} + 143 p^{15} T^{33} - 22 p^{16} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 + T - 54 T^{2} - 191 T^{3} + 1413 T^{4} + 8245 T^{5} - 1158 p T^{6} - 194144 T^{7} - 216636 T^{8} + 2372642 T^{9} + 8984218 T^{10} - 5747873 T^{11} - 120517313 T^{12} - 339370442 T^{13} + 352653112 T^{14} + 5801619433 T^{15} + 15095083351 T^{16} - 31841041049 T^{17} - 267037108708 T^{18} - 31841041049 p T^{19} + 15095083351 p^{2} T^{20} + 5801619433 p^{3} T^{21} + 352653112 p^{4} T^{22} - 339370442 p^{5} T^{23} - 120517313 p^{6} T^{24} - 5747873 p^{7} T^{25} + 8984218 p^{8} T^{26} + 2372642 p^{9} T^{27} - 216636 p^{10} T^{28} - 194144 p^{11} T^{29} - 1158 p^{13} T^{30} + 8245 p^{13} T^{31} + 1413 p^{14} T^{32} - 191 p^{15} T^{33} - 54 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 - T - 50 T^{2} - 7 T^{3} + 1284 T^{4} + 1998 T^{5} - 20753 T^{6} - 76507 T^{7} + 197974 T^{8} + 1767950 T^{9} - 88869 T^{10} - 29148150 T^{11} - 42994659 T^{12} + 357130311 T^{13} + 1155725070 T^{14} - 3164819031 T^{15} - 20978463822 T^{16} + 14308899201 T^{17} + 301645600281 T^{18} + 14308899201 p T^{19} - 20978463822 p^{2} T^{20} - 3164819031 p^{3} T^{21} + 1155725070 p^{4} T^{22} + 357130311 p^{5} T^{23} - 42994659 p^{6} T^{24} - 29148150 p^{7} T^{25} - 88869 p^{8} T^{26} + 1767950 p^{9} T^{27} + 197974 p^{10} T^{28} - 76507 p^{11} T^{29} - 20753 p^{12} T^{30} + 1998 p^{13} T^{31} + 1284 p^{14} T^{32} - 7 p^{15} T^{33} - 50 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 - 5 T - 69 T^{2} + 140 T^{3} + 3562 T^{4} + 1570 T^{5} - 116591 T^{6} - 306929 T^{7} + 2598880 T^{8} + 13247093 T^{9} - 33610984 T^{10} - 361368947 T^{11} - 42866647 T^{12} + 7007105470 T^{13} + 15268486319 T^{14} - 94206862273 T^{15} - 473047994220 T^{16} + 611828371129 T^{17} + 9418588701322 T^{18} + 611828371129 p T^{19} - 473047994220 p^{2} T^{20} - 94206862273 p^{3} T^{21} + 15268486319 p^{4} T^{22} + 7007105470 p^{5} T^{23} - 42866647 p^{6} T^{24} - 361368947 p^{7} T^{25} - 33610984 p^{8} T^{26} + 13247093 p^{9} T^{27} + 2598880 p^{10} T^{28} - 306929 p^{11} T^{29} - 116591 p^{12} T^{30} + 1570 p^{13} T^{31} + 3562 p^{14} T^{32} + 140 p^{15} T^{33} - 69 p^{16} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 2 T - 114 T^{2} + 208 T^{3} + 6756 T^{4} - 8744 T^{5} - 266328 T^{6} + 9538 T^{7} + 7862385 T^{8} + 15644798 T^{9} - 178883837 T^{10} - 843163976 T^{11} + 2661486154 T^{12} + 24860967142 T^{13} + 9143196250 T^{14} - 462033062030 T^{15} - 2052332951951 T^{16} + 3965851272454 T^{17} + 66663634745963 T^{18} + 3965851272454 p T^{19} - 2052332951951 p^{2} T^{20} - 462033062030 p^{3} T^{21} + 9143196250 p^{4} T^{22} + 24860967142 p^{5} T^{23} + 2661486154 p^{6} T^{24} - 843163976 p^{7} T^{25} - 178883837 p^{8} T^{26} + 15644798 p^{9} T^{27} + 7862385 p^{10} T^{28} + 9538 p^{11} T^{29} - 266328 p^{12} T^{30} - 8744 p^{13} T^{31} + 6756 p^{14} T^{32} + 208 p^{15} T^{33} - 114 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( ( 1 + 9 T + 144 T^{2} + 1019 T^{3} + 11001 T^{4} + 67722 T^{5} + 575622 T^{6} + 3096732 T^{7} + 22045485 T^{8} + 103476353 T^{9} + 22045485 p T^{10} + 3096732 p^{2} T^{11} + 575622 p^{3} T^{12} + 67722 p^{4} T^{13} + 11001 p^{5} T^{14} + 1019 p^{6} T^{15} + 144 p^{7} T^{16} + 9 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 31 | \( 1 - 4 T - 146 T^{2} + 196 T^{3} + 11959 T^{4} + 10097 T^{5} - 617174 T^{6} - 1678242 T^{7} + 21581040 T^{8} + 89080563 T^{9} - 528114354 T^{10} - 2423931258 T^{11} + 13140440291 T^{12} + 16909250110 T^{13} - 592288878508 T^{14} + 943569885311 T^{15} + 30694520004629 T^{16} - 20807674368503 T^{17} - 1147992340106852 T^{18} - 20807674368503 p T^{19} + 30694520004629 p^{2} T^{20} + 943569885311 p^{3} T^{21} - 592288878508 p^{4} T^{22} + 16909250110 p^{5} T^{23} + 13140440291 p^{6} T^{24} - 2423931258 p^{7} T^{25} - 528114354 p^{8} T^{26} + 89080563 p^{9} T^{27} + 21581040 p^{10} T^{28} - 1678242 p^{11} T^{29} - 617174 p^{12} T^{30} + 10097 p^{13} T^{31} + 11959 p^{14} T^{32} + 196 p^{15} T^{33} - 146 p^{16} T^{34} - 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( ( 1 - 10 T + 272 T^{2} - 1900 T^{3} + 29312 T^{4} - 143470 T^{5} + 1735586 T^{6} - 5945020 T^{7} + 71596709 T^{8} - 202111216 T^{9} + 71596709 p T^{10} - 5945020 p^{2} T^{11} + 1735586 p^{3} T^{12} - 143470 p^{4} T^{13} + 29312 p^{5} T^{14} - 1900 p^{6} T^{15} + 272 p^{7} T^{16} - 10 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 41 | \( ( 1 - T + 283 T^{2} - 10 p T^{3} + 37575 T^{4} - 64565 T^{5} + 3101359 T^{6} - 5500218 T^{7} + 176761382 T^{8} - 284815340 T^{9} + 176761382 p T^{10} - 5500218 p^{2} T^{11} + 3101359 p^{3} T^{12} - 64565 p^{4} T^{13} + 37575 p^{5} T^{14} - 10 p^{7} T^{15} + 283 p^{7} T^{16} - p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 43 | \( 1 - 7 T - 143 T^{2} + 622 T^{3} + 13351 T^{4} - 25702 T^{5} - 687317 T^{6} - 559503 T^{7} + 16016379 T^{8} + 89529945 T^{9} + 616589520 T^{10} - 3450422586 T^{11} - 63892481641 T^{12} - 31798232459 T^{13} + 2282710667360 T^{14} + 142788492557 p T^{15} - 10285502985418 T^{16} - 168391941163085 T^{17} - 1362917869638053 T^{18} - 168391941163085 p T^{19} - 10285502985418 p^{2} T^{20} + 142788492557 p^{4} T^{21} + 2282710667360 p^{4} T^{22} - 31798232459 p^{5} T^{23} - 63892481641 p^{6} T^{24} - 3450422586 p^{7} T^{25} + 616589520 p^{8} T^{26} + 89529945 p^{9} T^{27} + 16016379 p^{10} T^{28} - 559503 p^{11} T^{29} - 687317 p^{12} T^{30} - 25702 p^{13} T^{31} + 13351 p^{14} T^{32} + 622 p^{15} T^{33} - 143 p^{16} T^{34} - 7 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( ( 1 - 19 T + 397 T^{2} - 4998 T^{3} + 65230 T^{4} - 644748 T^{5} + 6458600 T^{6} - 52634204 T^{7} + 431143857 T^{8} - 2950248591 T^{9} + 431143857 p T^{10} - 52634204 p^{2} T^{11} + 6458600 p^{3} T^{12} - 644748 p^{4} T^{13} + 65230 p^{5} T^{14} - 4998 p^{6} T^{15} + 397 p^{7} T^{16} - 19 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 53 | \( 1 - 10 T - 216 T^{2} + 48 p T^{3} + 22961 T^{4} - 316501 T^{5} - 1553846 T^{6} + 24035358 T^{7} + 86028998 T^{8} - 1244942931 T^{9} - 4856034208 T^{10} + 49251026190 T^{11} + 247006904001 T^{12} - 36549201302 p T^{13} - 95495726726 p T^{14} + 79559855351799 T^{15} - 453971927873729 T^{16} - 1788817071354871 T^{17} + 44405892202638056 T^{18} - 1788817071354871 p T^{19} - 453971927873729 p^{2} T^{20} + 79559855351799 p^{3} T^{21} - 95495726726 p^{5} T^{22} - 36549201302 p^{6} T^{23} + 247006904001 p^{6} T^{24} + 49251026190 p^{7} T^{25} - 4856034208 p^{8} T^{26} - 1244942931 p^{9} T^{27} + 86028998 p^{10} T^{28} + 24035358 p^{11} T^{29} - 1553846 p^{12} T^{30} - 316501 p^{13} T^{31} + 22961 p^{14} T^{32} + 48 p^{16} T^{33} - 216 p^{16} T^{34} - 10 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( ( 1 + 5 T + 244 T^{2} - 187 T^{3} + 22409 T^{4} - 153826 T^{5} + 1806444 T^{6} - 13924390 T^{7} + 167310217 T^{8} - 773848957 T^{9} + 167310217 p T^{10} - 13924390 p^{2} T^{11} + 1806444 p^{3} T^{12} - 153826 p^{4} T^{13} + 22409 p^{5} T^{14} - 187 p^{6} T^{15} + 244 p^{7} T^{16} + 5 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 61 | \( ( 1 + 18 T + 555 T^{2} + 7350 T^{3} + 129777 T^{4} + 1360731 T^{5} + 17571765 T^{6} + 151292658 T^{7} + 1558078308 T^{8} + 11169089251 T^{9} + 1558078308 p T^{10} + 151292658 p^{2} T^{11} + 17571765 p^{3} T^{12} + 1360731 p^{4} T^{13} + 129777 p^{5} T^{14} + 7350 p^{6} T^{15} + 555 p^{7} T^{16} + 18 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 67 | \( 1 - 22 T + 109 T^{2} - 1116 T^{3} + 33326 T^{4} - 197255 T^{5} + 1022532 T^{6} - 37186606 T^{7} + 265272442 T^{8} - 968213471 T^{9} + 30707782786 T^{10} - 224826104257 T^{11} + 643501474227 T^{12} - 22377951332021 T^{13} + 175280127245240 T^{14} - 457311192757449 T^{15} + 14015949270371872 T^{16} - 110633075103581365 T^{17} + 230022859601231423 T^{18} - 110633075103581365 p T^{19} + 14015949270371872 p^{2} T^{20} - 457311192757449 p^{3} T^{21} + 175280127245240 p^{4} T^{22} - 22377951332021 p^{5} T^{23} + 643501474227 p^{6} T^{24} - 224826104257 p^{7} T^{25} + 30707782786 p^{8} T^{26} - 968213471 p^{9} T^{27} + 265272442 p^{10} T^{28} - 37186606 p^{11} T^{29} + 1022532 p^{12} T^{30} - 197255 p^{13} T^{31} + 33326 p^{14} T^{32} - 1116 p^{15} T^{33} + 109 p^{16} T^{34} - 22 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 + 11 T - 348 T^{2} - 4461 T^{3} + 59165 T^{4} + 863198 T^{5} - 6956978 T^{6} - 105402408 T^{7} + 740991347 T^{8} + 9313359321 T^{9} - 83682838318 T^{10} - 677094033669 T^{11} + 9132575329551 T^{12} + 44829683698928 T^{13} - 853017233306422 T^{14} - 2501296191619890 T^{15} + 67901737330170016 T^{16} + 70353853694050850 T^{17} - 4935864164191241884 T^{18} + 70353853694050850 p T^{19} + 67901737330170016 p^{2} T^{20} - 2501296191619890 p^{3} T^{21} - 853017233306422 p^{4} T^{22} + 44829683698928 p^{5} T^{23} + 9132575329551 p^{6} T^{24} - 677094033669 p^{7} T^{25} - 83682838318 p^{8} T^{26} + 9313359321 p^{9} T^{27} + 740991347 p^{10} T^{28} - 105402408 p^{11} T^{29} - 6956978 p^{12} T^{30} + 863198 p^{13} T^{31} + 59165 p^{14} T^{32} - 4461 p^{15} T^{33} - 348 p^{16} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 44 T + 752 T^{2} - 7084 T^{3} + 72447 T^{4} - 1006281 T^{5} + 9985908 T^{6} - 86068104 T^{7} + 1024444338 T^{8} - 10137349519 T^{9} + 84367772582 T^{10} - 976931518082 T^{11} + 9611944324721 T^{12} - 69017539965692 T^{13} + 707643524024900 T^{14} - 7489395931635325 T^{15} + 54955568785505829 T^{16} - 486870108389069061 T^{17} + 4918265468377094676 T^{18} - 486870108389069061 p T^{19} + 54955568785505829 p^{2} T^{20} - 7489395931635325 p^{3} T^{21} + 707643524024900 p^{4} T^{22} - 69017539965692 p^{5} T^{23} + 9611944324721 p^{6} T^{24} - 976931518082 p^{7} T^{25} + 84367772582 p^{8} T^{26} - 10137349519 p^{9} T^{27} + 1024444338 p^{10} T^{28} - 86068104 p^{11} T^{29} + 9985908 p^{12} T^{30} - 1006281 p^{13} T^{31} + 72447 p^{14} T^{32} - 7084 p^{15} T^{33} + 752 p^{16} T^{34} - 44 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 - 2 T - 337 T^{2} + 508 T^{3} + 52856 T^{4} - 59345 T^{5} - 5616784 T^{6} + 7116628 T^{7} + 479626460 T^{8} - 815902489 T^{9} - 31131390576 T^{10} + 50699977953 T^{11} + 950127492987 T^{12} - 1444495182705 T^{13} + 76611254400516 T^{14} + 76848871251471 T^{15} - 14516515051611372 T^{16} - 56436591806097 p T^{17} + 1357570743393974211 T^{18} - 56436591806097 p^{2} T^{19} - 14516515051611372 p^{2} T^{20} + 76848871251471 p^{3} T^{21} + 76611254400516 p^{4} T^{22} - 1444495182705 p^{5} T^{23} + 950127492987 p^{6} T^{24} + 50699977953 p^{7} T^{25} - 31131390576 p^{8} T^{26} - 815902489 p^{9} T^{27} + 479626460 p^{10} T^{28} + 7116628 p^{11} T^{29} - 5616784 p^{12} T^{30} - 59345 p^{13} T^{31} + 52856 p^{14} T^{32} + 508 p^{15} T^{33} - 337 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 7 T - 312 T^{2} - 19 p T^{3} + 75631 T^{4} + 729839 T^{5} - 5033702 T^{6} - 174504640 T^{7} - 511290824 T^{8} + 15330861118 T^{9} + 219483292460 T^{10} - 101298415741 T^{11} - 21861058387249 T^{12} - 212411297678746 T^{13} + 656579778836516 T^{14} + 23989105932961939 T^{15} + 165360310599248409 T^{16} - 1087320424317599899 T^{17} - 20845447123594455860 T^{18} - 1087320424317599899 p T^{19} + 165360310599248409 p^{2} T^{20} + 23989105932961939 p^{3} T^{21} + 656579778836516 p^{4} T^{22} - 212411297678746 p^{5} T^{23} - 21861058387249 p^{6} T^{24} - 101298415741 p^{7} T^{25} + 219483292460 p^{8} T^{26} + 15330861118 p^{9} T^{27} - 511290824 p^{10} T^{28} - 174504640 p^{11} T^{29} - 5033702 p^{12} T^{30} + 729839 p^{13} T^{31} + 75631 p^{14} T^{32} - 19 p^{16} T^{33} - 312 p^{16} T^{34} - 7 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 + T - 516 T^{2} - 643 T^{3} + 137623 T^{4} + 198706 T^{5} - 25064444 T^{6} - 40660826 T^{7} + 3480534871 T^{8} + 6420061121 T^{9} - 386763490288 T^{10} - 827749111271 T^{11} + 35349924380471 T^{12} + 84308454507766 T^{13} - 2756021549448580 T^{14} - 6131122974739606 T^{15} + 200136698505492282 T^{16} + 210956117101182784 T^{17} - 16024388727119462168 T^{18} + 210956117101182784 p T^{19} + 200136698505492282 p^{2} T^{20} - 6131122974739606 p^{3} T^{21} - 2756021549448580 p^{4} T^{22} + 84308454507766 p^{5} T^{23} + 35349924380471 p^{6} T^{24} - 827749111271 p^{7} T^{25} - 386763490288 p^{8} T^{26} + 6420061121 p^{9} T^{27} + 3480534871 p^{10} T^{28} - 40660826 p^{11} T^{29} - 25064444 p^{12} T^{30} + 198706 p^{13} T^{31} + 137623 p^{14} T^{32} - 643 p^{15} T^{33} - 516 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 - 369 T^{2} - 1570 T^{3} + 64362 T^{4} + 555609 T^{5} - 4605616 T^{6} - 99462330 T^{7} - 283446702 T^{8} + 8727544113 T^{9} + 111891172464 T^{10} + 11340519489 T^{11} - 11889944338169 T^{12} - 113491306191477 T^{13} + 293592984053172 T^{14} + 14528129162988733 T^{15} + 95240456156775204 T^{16} - 659836446982628787 T^{17} - 14645857279808751917 T^{18} - 659836446982628787 p T^{19} + 95240456156775204 p^{2} T^{20} + 14528129162988733 p^{3} T^{21} + 293592984053172 p^{4} T^{22} - 113491306191477 p^{5} T^{23} - 11889944338169 p^{6} T^{24} + 11340519489 p^{7} T^{25} + 111891172464 p^{8} T^{26} + 8727544113 p^{9} T^{27} - 283446702 p^{10} T^{28} - 99462330 p^{11} T^{29} - 4605616 p^{12} T^{30} + 555609 p^{13} T^{31} + 64362 p^{14} T^{32} - 1570 p^{15} T^{33} - 369 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.32886877653753587136909986838, −2.31639596618050578442697909144, −2.23599691032790912163070761946, −2.04292832652012924306507821621, −1.89523146380273829635061516614, −1.82185712802391341095557805581, −1.81092989704929460594003594385, −1.74293728549179659870015684961, −1.66607719200342391391284409000, −1.60918442860091368127222181236, −1.58143305871256726777883315466, −1.34006363566200792462982457836, −1.30815276965792284354143459211, −1.18405052639344335446513426840, −1.14762319604530261772044536840, −1.10509416885776350909276633776, −0.971564047051862723733130158837, −0.932343658180221175794643731860, −0.797090123647957150134540244802, −0.74009863831703035381871314298, −0.64467937191633795626033418768, −0.43554905548780362270035463999, −0.40111128097749948750135162015, −0.31284946822614673504126268489, −0.01917820272853793805537006911, 0.01917820272853793805537006911, 0.31284946822614673504126268489, 0.40111128097749948750135162015, 0.43554905548780362270035463999, 0.64467937191633795626033418768, 0.74009863831703035381871314298, 0.797090123647957150134540244802, 0.932343658180221175794643731860, 0.971564047051862723733130158837, 1.10509416885776350909276633776, 1.14762319604530261772044536840, 1.18405052639344335446513426840, 1.30815276965792284354143459211, 1.34006363566200792462982457836, 1.58143305871256726777883315466, 1.60918442860091368127222181236, 1.66607719200342391391284409000, 1.74293728549179659870015684961, 1.81092989704929460594003594385, 1.82185712802391341095557805581, 1.89523146380273829635061516614, 2.04292832652012924306507821621, 2.23599691032790912163070761946, 2.31639596618050578442697909144, 2.32886877653753587136909986838
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.