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Elements of the group are displayed as words in the presentation $\langle a, b \mid a^{18}=b^{3}=1, b^{a}=b^{2} \rangle$ .

Group Label Order Size Centralizer Powers Representative
2P 3P
$S_3\times C_9$ 1A $1$ $1$ $S_3\times C_9$ 1A 1A $1$
$S_3\times C_9$ 2A $2$ $3$ $C_{18}$ 1A 2A $a^{9}$
$S_3\times C_9$ 3A1 $3$ $1$ $S_3\times C_9$ 3A-1 1A $a^{6}$
$S_3\times C_9$ 3A-1 $3$ $1$ $S_3\times C_9$ 3A1 1A $a^{12}$
$S_3\times C_9$ 3B $3$ $2$ $C_3\times C_9$ 3B 1A $b$
$S_3\times C_9$ 3C1 $3$ $2$ $C_3\times C_9$ 3C-1 1A $a^{6}b$
$S_3\times C_9$ 3C-1 $3$ $2$ $C_3\times C_9$ 3C1 1A $a^{12}b$
$S_3\times C_9$ 6A1 $6$ $3$ $C_{18}$ 3A1 2A $a^{3}$
$S_3\times C_9$ 6A-1 $6$ $3$ $C_{18}$ 3A-1 2A $a^{15}$
$S_3\times C_9$ 9A1 $9$ $1$ $S_3\times C_9$ 9A2 3A1 $a^{2}$
$S_3\times C_9$ 9A-1 $9$ $1$ $S_3\times C_9$ 9A-2 3A-1 $a^{16}$
$S_3\times C_9$ 9A2 $9$ $1$ $S_3\times C_9$ 9A4 3A-1 $a^{4}$
$S_3\times C_9$ 9A-2 $9$ $1$ $S_3\times C_9$ 9A-4 3A1 $a^{14}$
$S_3\times C_9$ 9A4 $9$ $1$ $S_3\times C_9$ 9A-1 3A1 $a^{8}$
$S_3\times C_9$ 9A-4 $9$ $1$ $S_3\times C_9$ 9A1 3A-1 $a^{10}$
$S_3\times C_9$ 9B1 $9$ $2$ $C_3\times C_9$ 9B2 3A1 $a^{2}b$
$S_3\times C_9$ 9B-1 $9$ $2$ $C_3\times C_9$ 9B-2 3A-1 $a^{16}b$
$S_3\times C_9$ 9B2 $9$ $2$ $C_3\times C_9$ 9B4 3A-1 $a^{4}b$
$S_3\times C_9$ 9B-2 $9$ $2$ $C_3\times C_9$ 9B-4 3A1 $a^{14}b$
$S_3\times C_9$ 9B4 $9$ $2$ $C_3\times C_9$ 9B-1 3A1 $a^{8}b$
$S_3\times C_9$ 9B-4 $9$ $2$ $C_3\times C_9$ 9B1 3A-1 $a^{10}b$
$S_3\times C_9$ 18A1 $18$ $3$ $C_{18}$ 9A1 6A1 $a$
$S_3\times C_9$ 18A-1 $18$ $3$ $C_{18}$ 9A-1 6A-1 $a^{17}$
$S_3\times C_9$ 18A5 $18$ $3$ $C_{18}$ 9A-4 6A-1 $a^{5}$
$S_3\times C_9$ 18A-5 $18$ $3$ $C_{18}$ 9A4 6A1 $a^{13}$
$S_3\times C_9$ 18A7 $18$ $3$ $C_{18}$ 9A-2 6A1 $a^{7}$
$S_3\times C_9$ 18A-7 $18$ $3$ $C_{18}$ 9A2 6A-1 $a^{11}$
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