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Elements of the group are displayed as words in the presentation of the abelian group $\langle a, b, c \mid a^{4}=b^{4}=c^{4}=1 \rangle$ .
| Group | Label | Order | Size | Centralizer | Powers | Representative |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2P | ||||||
| $C_4^3$ | 1A | $1$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $1$ |
| $C_4^3$ | 2A | $2$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 2B | $2$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $b^{2}$ |
| $C_4^3$ | 2C | $2$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $a^{2}$ |
| $C_4^3$ | 2D | $2$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $b^{2}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 2E | $2$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $a^{2}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 2F | $2$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $a^{2}b^{2}$ |
| $C_4^3$ | 2G | $2$ | $1$ | $C_4^3$ | 1A | $a^{2}b^{2}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4A1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $c$ |
| $C_4^3$ | 4A-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4B1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $b$ |
| $C_4^3$ | 4B-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $b^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4C1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $a$ |
| $C_4^3$ | 4C-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $a^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4D1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $b^{2}c$ |
| $C_4^3$ | 4D-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $b^{2}c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4E1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $bc^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4E-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $b^{3}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4F1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2D | $bc$ |
| $C_4^3$ | 4F-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2D | $b^{3}c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4G1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $a^{2}c$ |
| $C_4^3$ | 4G-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $a^{2}c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4H1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $a^{2}b$ |
| $C_4^3$ | 4H-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $a^{2}b^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4I1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $ac^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4I-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $a^{3}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4J1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2E | $ac$ |
| $C_4^3$ | 4J-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2E | $a^{3}c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4K1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $ab^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4K-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $a^{3}b^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4L1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2F | $ab$ |
| $C_4^3$ | 4L-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2F | $a^{3}b^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4M1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2D | $bc^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4M-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2D | $b^{3}c$ |
| $C_4^3$ | 4N1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $a^{2}b^{2}c$ |
| $C_4^3$ | 4N-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2A | $a^{2}b^{2}c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4O1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $a^{2}bc^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4O-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2B | $a^{2}b^{3}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4P1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2D | $a^{2}bc$ |
| $C_4^3$ | 4P-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2D | $a^{2}b^{3}c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4Q1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2E | $ac^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4Q-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2E | $a^{3}c$ |
| $C_4^3$ | 4R1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $ab^{2}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4R-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2C | $a^{3}b^{2}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4S1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2E | $ab^{2}c$ |
| $C_4^3$ | 4S-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2E | $a^{3}b^{2}c^{3}$ |
| $C_4^3$ | 4T1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2F | $abc^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4T-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2F | $a^{3}b^{3}c^{2}$ |
| $C_4^3$ | 4U1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2G | $abc$ |
| $C_4^3$ | 4U-1 | $4$ | $1$ | $C_4^3$ | 2G | $a^{3}b^{3}c^{3}$ |