Abstract group 78732.mq: $C_3^3.C_3^5:D_6$

• Label: 78732.mq
• Order: \( 2^{2} \cdot 3^{9} \)
• Exponent: \( 2 \cdot 3^{2} \)
• Nilpotent: no
• Solvable: yes
• $\card{G^{\mathrm{ab}}}$: \( 2^{2} \)
• $\card{Z(G)}$: \( 3 \)
• $\card{\Aut(G)}$: \( 2^{3} \cdot 3^{10} \)
• $\card{\mathrm{Out}(G)}$: \( 2 \cdot 3^{2} \)
• Perm deg.: $81$
• Trans deg.: not computed
• Rank: $3$

Group information

Description:	$C_3^3.C_3^5:D_6$
Order:	\(78732\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3^{9} \)
Exponent:	\(18\)\(\medspace = 2 \cdot 3^{2} \)
Automorphism group:	$C_{250}:C_{20}$, of order \(472392\)\(\medspace = 2^{3} \cdot 3^{10} \)
Composition factors:	$C_2$ x 2, $C_3$ x 9
Derived length:	$4$

This group is nonabelian and supersolvable (hence solvable and monomial).

Group statistics

Order	1	2	3	6	9
Elements	1	1215	8990	57834	10692	78732
Conjugacy classes	1	3	96	40	11	151
Divisions	1	3	92	35	7	138
Autjugacy classes	1	3	45	22	7	78

Dimension	1	2	4	6	8	12	18	27	36	54	108	216
Irr. complex chars.	4	12	17	42	0	48	6	8	3	8	3	0	151
Irr. rational chars.	4	12	9	42	4	48	6	0	3	4	5	1	138

Minimal presentations

Permutation degree:	$81$
Transitive degree:	not computed
Rank:	$3$
Inequivalent generating triples:	not computed

Minimal degrees of faithful linear representations

	Over $\mathbb{C}$	Over $\mathbb{R}$	Over $\mathbb{Q}$
Irreducible	27	54	54
Arbitrary	not computed	not computed	not computed

Constructions

Presentation:	${\langle a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \mid a^{2}=b^{6}=c^{3}=d^{3}=e^{3}= \!\cdots\! \rangle}$
Permutation group:	Degree $81$ $\langle(1,2,9)(3,10,4)(6,12,37)(7,32,13)(8,14,15)(17,38,22)(19,23,39)(20,40,24) \!\cdots\! \rangle$
Direct product:	not isomorphic to a non-trivial direct product
Semidirect product:	not computed
Trans. wreath product:	not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product
Possibly split product:	$(C_3^3.C_3^5)$ . $D_6$	$(C_3^5.C_3^3)$ . $D_6$	$(C_3^5.C_3^3)$ . $D_6$	$(C_3^4.C_3^4)$ . $D_6$	all 43
Aut. group:	$\Aut(C_3^4.C_3)$	$\Aut(C_3^4.C_6)$

Elements of the group are displayed as words in the presentation generators from the presentation above.

Homology

Abelianization:	$C_{2}^{2} $
Schur multiplier:	$C_{6}$
Commutator length:	$1$

Subgroups

There are 5675574 subgroups in 38628 conjugacy classes, 93 normal (49 characteristic).

Characteristic subgroups are shown in this color. Normal (but not characteristic) subgroups are shown in this color.

Special subgroups

Center:	$Z \simeq$ $C_3$	$G/Z \simeq$ $C_3^4.C_3^3.D_6$
Commutator:	$G' \simeq$ $C_3^4.C_3^4.C_3$	$G/G' \simeq$ $C_2^2$
Frattini:	$\Phi \simeq$ $C_3^2\times \He_3$	$G/\Phi \simeq$ $C_3^2:S_3^2$
Fitting:	$\operatorname{Fit} \simeq$ $C_3^4.C_3^4.C_3$	$G/\operatorname{Fit} \simeq$ $C_2^2$
Radical:	$R \simeq$ $C_3^3.C_3^5:D_6$	$G/R \simeq$ $C_1$
Socle:	$\operatorname{soc} \simeq$ $C_3$	$G/\operatorname{soc} \simeq$ $C_3^4.C_3^3.D_6$
2-Sylow subgroup:	$P_{ 2 } \simeq$ $C_2^2$
3-Sylow subgroup:	$P_{ 3 } \simeq$ $C_3^4.C_3^4.C_3$

Hi

Subgroup diagram and profile

Classes of subgroups up to conjugation

No diagram available: inclusions not computed

Classes of subgroups up to automorphism

No diagram available: inclusions not computed

Normal subgroups

No diagram available: inclusions not computed

Normal subgroups up to automorphism

No diagram available: inclusions not computed

Classes of subgroups up to conjugation

All subgroups of index up to 36 (order at least 2187) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 78732: $C_3^3.C_3^5:D_6$

Order 39366: $C_3^4.C_3^3.C_3.C_6$, $C_3^5.C_3^3.C_6$, $C_3^5.\He_3.C_6$

Order 26244: $C_3^4.C_3^3.D_6$ x 2, $C_3^3.C_3^4.D_6$, $C_3^6.S_3^2$, $C_3^5.C_3^2.D_6$, $C_3^4.C_3^3.D_6$

Order 19683: $C_3^4.C_3^4.C_3$

Order 13122: $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^4.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2$ x 2, $C_3^4.\He_3:S_3$, $C_3^4:C_3.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^3.C_3^5.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.\He_3.C_6$, $C_3^5.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$

Order 8748: $C_3^5:S_3^2$ x 12, $C_3^4.C_3^2.D_6$ x 5, $C_3^3.\He_3.D_6$ x 4, $C_3^4.C_3^2.D_6$ x 4, $C_3^3.C_3^3.D_6$ x 3, $C_3^4.C_3^2.D_6$ x 2, $C_3^5.S_3^2$ x 2, $C_3^5.S_3^2$ x 2, $C_3^6:D_6$ x 2, $C_3^5.C_3.D_6$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^3.C_3^3.D_6$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^6:D_6$

Order 6561: $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 3, $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 3, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^5.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 2, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^6.C_3^2$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^3.C_3^5$

Order 4374: $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 31, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 19, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 14, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 12, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 12, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 9, $C_3^4.\He_3.C_2$ x 8, $C_3^3.\He_3.C_6$ x 8, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 6, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 6, $C_3^3.\He_3.C_6$ x 5, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 5, $C_3^3.\He_3.C_6$ x 4, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 4, $C_3^5.C_3.S_3$ x 4, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 4, $C_3^3.C_3^3.C_6$ x 3, $C_3^3.C_3^3.C_6$ x 3, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 3, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 3, $C_3^5.C_3.C_6$ x 3, $\He_3.\He_3.C_6$ x 3, $C_3.C_3^5.C_6$ x 3, $C_3^4.\He_3.C_2$ x 3, $C_3^5.C_3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 2, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 2, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 2, $C_3^3.\He_3.C_6$ x 2, $C_3.C_3^5.C_6$ x 2, $C_3^6:C_6$ x 2, $C_3^5:C_3:S_3$ x 2, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^3.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^5.C_3.S_3$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^3.\He_3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3.C_3^5.C_6$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3.C_3^5.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^3.\He_3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^4:C_9:C_6$, $C_3\wr S_3$

Order 2916: $C_3^5:D_6$ x 40, $C_3^4:C_3.D_6$ x 36, $C_3^4:S_3^2$ x 21, $C_3^4:C_3.D_6$ x 18, $(C_3^2\times \He_3).D_6$ x 18, $C_3^4:S_3^2$ x 18, $C_3^4.S_3^2$ x 15, $C_3^4:C_3.D_6$ x 12, $C_3\times C_3^3:C_3^2:C_2^2$ x 9, $C_3^4.S_3^2$ x 6, $C_3^5:D_6$ x 6, $C_3^5:D_6$ x 6, $C_3^4:S_3^2$ x 6, $C_3.C_3^5.C_2^2$ x 3, $C_3^5:D_6$ x 3, $C_3^5:D_6$ x 2, $C_3^4.S_3^2$ x 2, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^5:D_6$, $C_3^5:D_6$

Order 2187: $C_3^3.C_3^4$ x 45, $C_3^3.C_3^4$ x 32, $C_3^4.C_3^3$ x 20, $C_3^4.C_3^3$ x 10, $C_3^4.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 6, $C_3^4.C_3^3$ x 4, $C_3^4.C_3^3$ x 4, $C_3^4.C_3^3$ x 4, $C_3\times C_3^3.\He_3$ x 4, $C_3^4.C_3^3$ x 3, $C_3^4.C_3^3$ x 3, $C_3^2\times C_3^4:C_3$ x 2, $C_3^5.C_3^2$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^6.C_3$, $C_3^5.C_3^2$, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^2\wr C_3$, $C_3^5.C_3^2$

Order 729: $C_3^4:C_3^2$ x 9, $C_3^5:C_3$ x 6, $C_3^6$, $C_3^3:C_3^3$, $C_3^3\times \He_3$

Order 243: $C_3^2\times \He_3$ x 10, $C_3^5$ x 5, $C_3^4:C_3$ x 5

Order 81: $C_3^4$ x 16, $C_3\times \He_3$

Order 27: $C_3^3$ x 6

Order 9: $C_3^2$ x 2

Order 4: $C_2^2$

Order 3: $C_3$

Order 1: $C_1$

Classes of subgroups up to automorphism

All subgroups of index up to 36 (order at least 2187) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 78732: $C_3^3.C_3^5:D_6$

Order 39366: $C_3^4.C_3^3.C_3.C_6$, $C_3^5.C_3^3.C_6$, $C_3^5.\He_3.C_6$

Order 26244: $C_3^4.C_3^3.D_6$, $C_3^3.C_3^4.D_6$, $C_3^6.S_3^2$, $C_3^5.C_3^2.D_6$, $C_3^4.C_3^3.D_6$

Order 19683: $C_3^4.C_3^4.C_3$

Order 13122: $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.\He_3:S_3$, $C_3^4:C_3.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^3.C_3^5.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.\He_3.C_6$, $C_3^5.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$

Order 8748: $C_3^5:S_3^2$ x 6, $C_3^3.C_3^3.D_6$ x 3, $C_3^4.C_3^2.D_6$ x 2, $C_3^3.\He_3.D_6$ x 2, $C_3^4.C_3^2.D_6$ x 2, $C_3^6:D_6$ x 2, $C_3^5.C_3.D_6$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^5.S_3^2$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^3.C_3^3.D_6$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^5.S_3^2$, $C_3^4.C_3^2.D_6$, $C_3^6:D_6$

Order 6561: $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_3$ x 2, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^6.C_3^2$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^3.C_3^5$

Order 4374: $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 9, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 9, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 7, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 6, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 6, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 6, $C_3^4.\He_3.C_2$ x 4, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 4, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 4, $C_3^3.\He_3.C_6$ x 4, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 4, $C_3^5.C_3.S_3$ x 3, $C_3^4.\He_3.C_2$ x 3, $C_3^3.\He_3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 2, $C_3^3.\He_3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 2, $C_3^5.C_3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^4.C_2$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_2$ x 2, $\He_3.\He_3.C_6$ x 2, $C_3.C_3^5.C_6$ x 2, $C_3^6:C_6$ x 2, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^3.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^5.C_3.S_3$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^3.\He_3.C_6$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^3.C_3^3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3.C_3^5.C_6$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3.C_3^5.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^3.\He_3.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^3.\He_3.C_6$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2$, $C_3.C_3^5.C_6$, $C_3^4.\He_3.C_2$, $C_3^5:C_3:S_3$, $C_3^4:C_9:C_6$, $C_3\wr S_3$

Order 2916: $C_3^5:D_6$ x 20, $C_3^4:C_3.D_6$ x 15, $C_3^4.S_3^2$ x 8, $C_3^4:S_3^2$ x 8, $C_3^5:D_6$ x 6, $C_3^4:C_3.D_6$ x 4, $(C_3^2\times \He_3).D_6$ x 4, $C_3^4:S_3^2$ x 4, $C_3^4:C_3.D_6$ x 3, $C_3^5:D_6$ x 3, $C_3\times C_3^3:C_3^2:C_2^2$ x 2, $C_3.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^5:D_6$ x 2, $C_3^4:S_3^2$ x 2, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^5:D_6$, $C_3^5:D_6$, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^5:D_6$

Order 2187: $C_3^3.C_3^4$ x 18, $C_3^3.C_3^4$ x 16, $C_3^4.C_3^3$ x 10, $C_3^4.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 4, $C_3^4.C_3^3$ x 4, $C_3^4.C_3^3$ x 3, $C_3^2\times C_3^4:C_3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3\times C_3^3.\He_3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^5.C_3^2$, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^6.C_3$, $C_3^5.C_3^2$, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^4.C_3^3$, $C_3^2\wr C_3$, $C_3^5.C_3^2$

Order 729: $C_3^4:C_3^2$ x 6, $C_3^5:C_3$ x 4, $C_3^6$, $C_3^3:C_3^3$, $C_3^3\times \He_3$

Order 243: $C_3^2\times \He_3$ x 7, $C_3^5$ x 4, $C_3^4:C_3$ x 2

Order 81: $C_3^4$ x 10, $C_3\times \He_3$

Order 27: $C_3^3$ x 5

Order 9: $C_3^2$ x 2

Order 4: $C_2^2$

Order 3: $C_3$

Order 1: $C_1$

Normal subgroups (quotient in parentheses)

Order 78732: $C_3^3.C_3^5:D_6$ ($C_1$)

Order 39366: $C_3^4.C_3^3.C_3.C_6$ ($C_2$), $C_3^5.C_3^3.C_6$ ($C_2$), $C_3^5.\He_3.C_6$ ($C_2$)

Order 19683: $C_3^4.C_3^4.C_3$ ($C_2^2$)

Order 13122: $C_3^3.C_3^4.C_6$ ($S_3$) x 2, $C_3^4.\He_3:S_3$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^3.C_6$ ($S_3$), $C_3^5.C_3^3.C_2$ ($S_3$)

Order 6561: $C_3^5.C_3^3$ ($D_6$) x 2, $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^5.C_3^3$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^3.C_3$ ($D_6$), $C_3^3.C_3^5$ ($D_6$)

Order 4374: $C_3^3.C_3^4.C_2$ ($C_3:S_3$)

Order 2187: $C_3^3.C_3^4$ ($S_3^2$) x 3, $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$) x 2, $C_3^3.C_3^4$ ($S_3^2$), $C_3^3.C_3^4$ ($C_6:S_3$), $C_3^2\times C_3^4:C_3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$)

Order 729: $C_3^4:C_3^2$ ($C_3^2:D_6$) x 5, $C_3^5:C_3$ ($C_3^2:D_6$) x 5, $C_3^4:C_3^2$ ($C_3:S_3^2$) x 3, $C_3^6$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^3:C_3^3$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^3\times \He_3$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^4:C_3^2$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^5:C_3$ ($C_3:S_3^2$)

Order 243: $C_3^2\times \He_3$ ($C_3^2:S_3^2$) x 8, $C_3^5$ ($C_3^2:S_3^2$) x 4, $C_3^4:C_3$ ($C_3^3:D_6$) x 3, $C_3^4:C_3$ ($C_3^2:S_3^2$) x 2, $C_3^5$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^2\times \He_3$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^2\times \He_3$ ($C_3^2:S_3^2$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^4:D_6$) x 9, $C_3^4$ ($C_3^3:S_3^2$) x 4, $C_3^4$ ($C_3^3:S_3^2$) x 3, $C_3\times \He_3$ ($C_3^3:S_3^2$)

Order 27: $C_3^3$ ($C_3^5:D_6$) x 3, $C_3^3$ ($C_3^5.D_6$), $C_3^3$ ($C_3^5:D_6$), $C_3^3$ ($(C_3\times \He_3).S_3^2$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3.C_3^5.D_6$), $C_3^2$ ($C_3^6.D_6$)

Order 3: $C_3$ ($C_3^4.C_3^3.D_6$)

Order 1: $C_1$ ($C_3^3.C_3^5:D_6$)

Normal subgroups up to automorphism (quotient in parentheses)

Order 78732: $C_3^3.C_3^5:D_6$ ($C_1$)

Order 39366: $C_3^4.C_3^3.C_3.C_6$ ($C_2$), $C_3^5.C_3^3.C_6$ ($C_2$), $C_3^5.\He_3.C_6$ ($C_2$)

Order 19683: $C_3^4.C_3^4.C_3$ ($C_2^2$)

Order 13122: $C_3^4.\He_3:S_3$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^3.C_6$ ($S_3$), $C_3^3.C_3^4.C_6$ ($S_3$), $C_3^5.C_3^3.C_2$ ($S_3$)

Order 6561: $C_3^5.C_3^3$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^5.C_3^3$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^3.C_3$ ($D_6$), $C_3^3.C_3^5$ ($D_6$)

Order 4374: $C_3^3.C_3^4.C_2$ ($C_3:S_3$)

Order 2187: $C_3^3.C_3^4$ ($S_3^2$) x 2, $C_3^3.C_3^4$ ($S_3^2$), $C_3^3.C_3^4$ ($C_6:S_3$), $C_3^2\times C_3^4:C_3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$)

Order 729: $C_3^4:C_3^2$ ($C_3^2:D_6$) x 3, $C_3^5:C_3$ ($C_3^2:D_6$) x 3, $C_3^4:C_3^2$ ($C_3:S_3^2$) x 2, $C_3^6$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^3:C_3^3$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^3\times \He_3$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^4:C_3^2$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^5:C_3$ ($C_3:S_3^2$)

Order 243: $C_3^2\times \He_3$ ($C_3^2:S_3^2$) x 5, $C_3^5$ ($C_3^2:S_3^2$) x 3, $C_3^5$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^2\times \He_3$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^2\times \He_3$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^4:C_3$ ($C_3^3:D_6$), $C_3^4:C_3$ ($C_3^2:S_3^2$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^4:D_6$) x 6, $C_3^4$ ($C_3^3:S_3^2$) x 3, $C_3^4$ ($C_3^3:S_3^2$), $C_3\times \He_3$ ($C_3^3:S_3^2$)

Order 27: $C_3^3$ ($C_3^5:D_6$) x 2, $C_3^3$ ($C_3^5.D_6$), $C_3^3$ ($C_3^5:D_6$), $C_3^3$ ($(C_3\times \He_3).S_3^2$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3.C_3^5.D_6$), $C_3^2$ ($C_3^6.D_6$)

Order 3: $C_3$ ($C_3^4.C_3^3.D_6$)

Order 1: $C_1$ ($C_3^3.C_3^5:D_6$)

Series

Derived series

$C_3^3.C_3^5:D_6$

$\rhd$

$C_3^4.C_3^4.C_3$

$\rhd$

$C_3^2\times \He_3$

$\rhd$

$C_3$

$\rhd$

$C_1$

Chief series

$C_3^3.C_3^5:D_6$

$\rhd$

$C_3^4.C_3^3.C_3.C_6$

$\rhd$

$C_3^4.C_3^4.C_3$

$\rhd$

$C_3^3.C_3^5$

$\rhd$

$C_3^3.C_3^4$

$\rhd$

$C_3^3\times \He_3$

$\rhd$

$C_3^5$

$\rhd$

$C_3^4$

$\rhd$

$C_3^3$

$\rhd$

$C_3^2$

$\rhd$

$C_3$

$\rhd$

$C_1$

Lower central series

$C_3^3.C_3^5:D_6$

$\rhd$

$C_3^4.C_3^4.C_3$

Upper central series

$C_1$

$\lhd$

$C_3$

Character theory

Complex character table

See the $151 \times 151$ character table (warning: may be slow to load). Alternatively, you may search for characters of this group with desired properties.

Rational character table

See the $138 \times 138$ rational character table (warning: may be slow to load).