Abstract group 78732.ko: $C_3^6.(C_3\times S_3^2)$

• Label: 78732.ko
• Order: \( 2^{2} \cdot 3^{9} \)
• Exponent: \( 2 \cdot 3^{2} \)
• Nilpotent: no
• Solvable: yes
• $\card{G^{\mathrm{ab}}}$: \( 2^{2} \cdot 3 \)
• $\card{Z(G)}$: \( 3 \)
• $\card{\Aut(G)}$: \( 2^{2} \cdot 3^{12} \)
• $\card{\mathrm{Out}(G)}$: \( 3^{4} \)
• Perm deg.: $36$
• Trans deg.: $36$
• Rank: $3$

Group information

Description:	$C_3^6.(C_3\times S_3^2)$
Order:	\(78732\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3^{9} \)
Exponent:	\(18\)\(\medspace = 2 \cdot 3^{2} \)
Automorphism group:	$C_3\times C_3^3.C_3^5.C_3.C_6^2$, of order \(2125764\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3^{12} \)
Composition factors:	$C_2$ x 2, $C_3$ x 9
Derived length:	$3$

This group is nonabelian and supersolvable (hence solvable and monomial).

Group statistics

Order	1	2	3	6	9	18
Elements	1	567	728	10368	18954	48114	78732
Conjugacy classes	1	3	40	19	169	50	282
Divisions	1	3	26	12	73	16	131
Autjugacy classes	1	3	34	19	77	24	158

Dimension	1	2	3	4	6	8	12	18	24	36	54	72	216
Irr. complex chars.	12	36	24	51	24	0	60	30	0	45	0	0	0	282
Irr. rational chars.	4	16	0	21	0	21	0	8	27	23	2	4	5	131

Minimal presentations

Permutation degree:	$36$
Transitive degree:	$36$
Rank:	$3$
Inequivalent generating triples:	not computed

Minimal degrees of faithful linear representations

	Over $\mathbb{C}$	Over $\mathbb{R}$	Over $\mathbb{Q}$
Irreducible	12	24	24
Arbitrary	not computed	not computed	not computed

Constructions

Presentation:	${\langle a, b, c, d, e, f, g \mid b^{6}=c^{9}=d^{9}=e^{3}=f^{3}=g^{3}=[a,f]= \!\cdots\! \rangle}$
Permutation group:	Degree $36$ $\langle(1,17,13,6,26,30,3,18,15,4,25,28,2,16,14,5,27,29)(7,11,20,35,31,24,8,12,21,36,32,22,9,10,19,34,33,23) \!\cdots\! \rangle$
Transitive group:	36T18939				more information
Direct product:	not isomorphic to a non-trivial direct product
Semidirect product:	$(C_3^4.C_3^4)$ $\,\rtimes\,$ $D_6$	$(C_3^4.C_3^4)$ $\,\rtimes\,$ $D_6$	$(C_3^4.C_3^4)$ $\,\rtimes\,$ $D_6$	$(C_3^4.C_3^4)$ $\,\rtimes\,$ $D_6$	all 7
Trans. wreath product:	not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product
Non-split product:	$(C_3^6.S_3^2)$ . $C_3$	$C_3^6$ . $(C_3\times S_3^2)$	$(C_3^6.C_3^2)$ . $D_6$	$(C_3^5.C_3^3)$ . $D_6$	all 43

Elements of the group are displayed as words in the presentation generators from the presentation above.

Homology

Abelianization:	$C_{2} \times C_{6} \simeq C_{2}^{2} \times C_{3}$
Schur multiplier:	$C_{2}$
Commutator length:	$1$

Subgroups

There are 422618 subgroups in 7987 conjugacy classes, 91 normal, and all normal subgroups are characteristic.

Characteristic subgroups are shown in this color.

Special subgroups

Center:	$Z \simeq$ $C_3$	$G/Z \simeq$ $C_3^4.C_3^4.C_2^2$
Commutator:	$G' \simeq$ $C_3^6.C_3^2$	$G/G' \simeq$ $C_2\times C_6$
Frattini:	$\Phi \simeq$ $C_3^4$	$G/\Phi \simeq$ $C_3^3:S_3^2$
Fitting:	$\operatorname{Fit} \simeq$ $C_3^5.C_3^4$	$G/\operatorname{Fit} \simeq$ $C_2^2$
Radical:	$R \simeq$ $C_3^6.(C_3\times S_3^2)$	$G/R \simeq$ $C_1$
Socle:	$\operatorname{soc} \simeq$ $C_3^4$	$G/\operatorname{soc} \simeq$ $C_3^3:S_3^2$
2-Sylow subgroup:	$P_{ 2 } \simeq$ $C_2^2$
3-Sylow subgroup:	$P_{ 3 } \simeq$ $C_3^5.C_3^4$

Hi

Subgroup diagram and profile

Classes of subgroups up to conjugation

No diagram available: subgroups only stored up to automorphism

Classes of subgroups up to automorphism

There are too many subgroups to show. See a full page version of the diagram.

Normal subgroups

No diagram available: subgroups only stored up to automorphism

Normal subgroups up to automorphism

For the default diagram, subgroups are sorted vertically by the number of prime divisors (counted with multiplicity) in their orders.
To see subgroups sorted vertically by order instead, check this box.

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Subgroup information

Click on a subgroup in the diagram to see information about it.

Classes of subgroups up to conjugation

All subgroups of index up to 81 (order at least 972) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 78732: $C_3^6.(C_3\times S_3^2)$

Order 39366: $C_3^4.C_3^5.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3^3.C_2$

Order 26244: $C_3^4.(C_9\times S_3^2)$, $C_3^4.(C_9\times S_3^2)$, $C_3^4.(C_9\times S_3^2)$, $(C_3^2\times C_9^2).S_3^2$, $C_3^6.C_6.C_6$, $C_3^5.(S_3\times C_{18})$, $C_3^6.S_3^2$

Order 19683: $C_3^5.C_3^4$

Order 13122: $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^4.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $(C_3\times C_9).C_9:C_9.C_6$, $C_9^2.C_3^2:C_9.C_2$, $C_3^6.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^3.C_3^3.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^5.C_6$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^5.C_3^3.C_2$, $(C_3\times C_9).C_9:C_9.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$

Order 8748: $C_3^4.(S_3\times C_{18})$ x 3, $C_3^5.S_3^2$ x 2, $C_3^2.C_3^4.C_6.C_2$, $C_3^3.(C_9\times S_3^2)$, $C_9^2:(S_3\times C_{18})$, $C_3^3.(C_9\times S_3^2)$, $C_3^3:(C_9\times D_{18})$, $(C_3\times C_9^2):S_3^2$, $C_3^5.S_3^2$, $C_3^3:D_9^2$, $C_3^5:D_{18}$, $C_3^5:D_{18}$, $C_3^4:(S_3\times C_{18})$

Order 6561: $C_3^4.C_3^4$ x 4, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^5.C_3^3$ x 2, $C_3^6.C_3^2$ x 2, $C_3^6.C_3^2$ x 2, $C_3\times C_3^4.C_3^3$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^5.C_3^3$

Order 4374: $C_3^2.C_3^4.C_6$ x 14, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 13, $C_3^5.C_3.C_6$ x 7, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 7, $C_3^4.C_3^2.C_6$ x 6, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 5, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 4, $C_3^2.C_3^4.C_6$ x 4, $C_3\times (C_3\times C_3.(C_3.C_3^3)):C_2$ x 4, $C_3.C_9^2.C_{18}$ x 3, $C_9.(S_3\times C_9:C_9)$ x 3, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 3, $C_3^5.C_3.C_6$ x 3, $C_3.C_9^2:C_{18}$ x 3, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^4.C_3^2):C_2$ x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 2, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 2, $(C_3^2\times C_9^2).C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^4.C_3^2):C_2$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^5.C_3):C_2$ x 2, $C_3.C_9^2.C_{18}$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^2.(C_9^2\times S_3)$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$, $C_3\times (C_3^5.C_3):C_2$, $C_3.C_9^2.C_{18}$, $C_3^3.C_3^3.C_6$, $C_3^3.C_3^3.C_6$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^2.(C_9^2\times S_3)$, $C_3.C_9^2.C_{18}$, $(C_3^2\times C_9^2).C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^2\times C_9:(D_9:C_3)$, $C_3\times (C_3\times C_3^4.C_3):C_2$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $C_3\times (C_3^5.C_3):C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^3.\He_3:S_3$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$

Order 2916: $C_3^4:D_{18}$ x 5, $C_9:(C_9\times S_3^2)$ x 3, $C_9^2:S_3^2$ x 2, $C_3^4.S_3^2$ x 2, $C_3^3:(S_3\times C_{18})$ x 2, $C_3\times (C_3.C_9^2):C_2^2$, $D_9^2:C_9$, $C_9^2:S_3^2$, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^5:D_6$, $C_3^2.D_9^2$, $C_3^2:D_9^2$, $C_3^4:D_{18}$, $C_3^4:D_{18}$, $C_3^4:D_{18}$, $C_3^4:(C_2\times C_{18})$

Order 2187: $C_3^5.C_3^2$ x 64, $C_3^4.C_3^3$ x 59, $C_3^4.C_3^3$ x 33, $C_3^4.C_3^3$ x 28, $C_3^3.C_3^4$ x 27, $C_3^4.C_3^3$ x 27, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 15, $C_3^4.C_3^3$ x 15, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 10, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 9, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 8, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 7, $C_3^5.C_3^2$ x 7, $C_3^4.C_3^3$ x 7, $C_3^4.C_3^3$ x 5, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 4, $C_3\times C_3^5.C_3$ x 4, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 3, $C_3^4.C_3^3$ x 3, $C_3^5.C_3^2$ x 3, $C_3^2\times C_3.(C_3.C_3^3)$ x 2, $C_3^2\times C_3^4.C_3$ x 2, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 2, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^3\times C_3^2:C_9$, $C_3\times C_3^3.C_3^3$, $C_3\times C_3^3.C_3^3$, $C_3\times C_3^3.C_3^3$, $C_3\times C_9\times C_9:C_9$, $C_3\times C_9\times C_3^2:C_9$, $C_9\times C_3.C_9^2$

Order 1458: $(C_3^2\times C_9):C_{18}$ x 38, $C_3^4:C_{18}$ x 22, $(C_3^2\times C_9):C_{18}$ x 17, $C_3^4:D_9$ x 12, $C_3^4.(C_3\times S_3)$ x 8, $C_3.C_9^2:C_6$ x 7, $C_3\times C_9^2:S_3$ x 7, $C_3^4:D_9$ x 7, $C_3^4.(C_3\times S_3)$ x 6, $(C_3^2\times C_9):C_{18}$ x 6, $(C_3\times C_9)\wr C_2$ x 6, $(C_3^2\times C_9):D_9$ x 5, $(C_3\times C_9^2):S_3$ x 5, $C_9^2:C_{18}$ x 4, $C_3^4:D_9$ x 4, $C_3^4:C_{18}$ x 4, $C_3\times C_9^2:C_6$ x 4, $C_3^4.(C_3\times S_3)$ x 3, $(C_3\times C_9^2):C_6$ x 3, $(C_3\times C_9^2):C_6$ x 3, $C_3^3.(S_3\times C_9)$ x 3, $C_3^3.(C_3\times C_{18})$ x 3, $C_3^4:C_{18}$ x 3, $C_3^5.S_3$ x 3, $C_9^2:C_3\times S_3$ x 3, $C_3^5.S_3$ x 3, $C_3^5.C_6$ x 3, $C_3^4:C_{18}$ x 3, $C_3.C_9^2:C_6$ x 2, $C_3^4:D_9$ x 2, $C_3^3\wr C_2$ x 2, $C_3.C_9^2:C_6$, $C_9^2:C_{18}$, $C_9^2:C_{18}$, $C_3^5:C_6$, $C_3^5.C_6$, $C_3^4:C_{18}$, $C_3^5.S_3$, $C_3^5.C_6$, $C_3^4:C_{18}$, $C_3\times C_9^2:C_6$, $C_9\times C_3^2:C_{18}$

Order 972: $S_3\times C_9:C_{18}$ x 6, $C_3^3:D_{18}$ x 5, $C_3^3:D_{18}$ x 5, $C_3^3:S_3^2$ x 4, $C_3^3:D_{18}$ x 4, $S_3\times C_3^2:C_{18}$ x 4, $C_3.D_9^2$ x 2, $C_3^3:D_{18}$ x 2, $C_9^2:D_6$ x 2, $C_3^3:S_3^2$, $C_3^3:S_3^2$, $C_9\times C_3:S_3^2$, $C_9^2:D_6$, $C_9^2:D_6$, $C_3:D_9^2$, $C_3\times D_9^2$

Order 729: $C_3^4:C_9$ x 8, $C_3^2.C_3^4$ x 3, $C_3^2\times C_9^2$ x 2, $C_3^2.C_9^2$ x 2, $C_3^6$

Order 486: $C_3^3:D_9$

Order 243: $C_3^3\times C_9$ x 5, $C_3^5$ x 2, $C_3^3:C_9$

Order 81: $C_3^4$ x 3, $C_3^2\times C_9$ x 2

Order 36: $S_3^2$ x 3

Order 27: $C_3^3$ x 4

Order 12: $D_6$ x 2

Order 9: $C_3^2$ x 6

Order 6: $S_3$ x 8

Order 4: $C_2^2$

Order 3: $C_3$ x 4

Order 2: $C_2$ x 3

Order 1: $C_1$

Classes of subgroups up to automorphism

All subgroups of index up to 81 (order at least 972) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 78732: $C_3^6.(C_3\times S_3^2)$

Order 39366: $C_3^4.C_3^5.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3^3.C_2$

Order 26244: $C_3^4.(C_9\times S_3^2)$, $C_3^4.(C_9\times S_3^2)$, $C_3^4.(C_9\times S_3^2)$, $(C_3^2\times C_9^2).S_3^2$, $C_3^6.C_6.C_6$, $C_3^5.(S_3\times C_{18})$, $C_3^6.S_3^2$

Order 19683: $C_3^5.C_3^4$

Order 13122: $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ x 2, $C_3^3.C_3^4.C_6$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $(C_3\times C_9).C_9:C_9.C_6$, $C_9^2.C_3^2:C_9.C_2$, $C_3^6.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^3.C_3^3.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^5.C_6$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^5.C_3^3.C_2$, $(C_3\times C_9).C_9:C_9.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3^3.C_3^4.C_6$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3.C_9^2.C_9.C_6$, $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$, $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$

Order 8748: $C_3^4.(S_3\times C_{18})$ x 3, $C_3^5.S_3^2$ x 2, $C_3^2.C_3^4.C_6.C_2$, $C_3^3.(C_9\times S_3^2)$, $C_9^2:(S_3\times C_{18})$, $C_3^3.(C_9\times S_3^2)$, $C_3^3:(C_9\times D_{18})$, $(C_3\times C_9^2):S_3^2$, $C_3^5.S_3^2$, $C_3^3:D_9^2$, $C_3^5:D_{18}$, $C_3^5:D_{18}$, $C_3^4:(S_3\times C_{18})$

Order 6561: $C_3^4.C_3^4$ x 4, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^4.C_3^4$ x 2, $C_3^5.C_3^3$ x 2, $C_3^6.C_3^2$ x 2, $C_3^6.C_3^2$ x 2, $C_3\times C_3^4.C_3^3$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^5.C_3^3$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^4.C_3^4$, $C_3^5.C_3^3$

Order 4374: $C_3^2.C_3^4.C_6$ x 14, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 13, $C_3^5.C_3.C_6$ x 7, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 7, $C_3^4.C_3^2.C_6$ x 6, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 5, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 4, $C_3^2.C_3^4.C_6$ x 4, $C_3\times (C_3\times C_3.(C_3.C_3^3)):C_2$ x 4, $C_3.C_9^2.C_{18}$ x 3, $C_9.(S_3\times C_9:C_9)$ x 3, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 3, $C_3^5.C_3.C_6$ x 3, $C_3.C_9^2:C_{18}$ x 3, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^4.C_3^2):C_2$ x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ x 2, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$ x 2, $(C_3^2\times C_9^2).C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^4.C_3^2):C_2$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^5.C_3):C_2$ x 2, $C_3.C_9^2.C_{18}$ x 2, $C_3^4.C_3^2.C_6$ x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^2.(C_9^2\times S_3)$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $(C_3^3\times C_9).C_3.C_6$, $C_3\times (C_3^5.C_3):C_2$, $C_3.C_9^2.C_{18}$, $C_3^3.C_3^3.C_6$, $C_3^3.C_3^3.C_6$, $C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^2.(C_9^2\times S_3)$, $C_3.C_9^2.C_{18}$, $(C_3^2\times C_9^2).C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^2\times C_9:(D_9:C_3)$, $C_3\times (C_3\times C_3^4.C_3):C_2$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$, $C_3\times (C_3^5.C_3):C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^3.\He_3:S_3$, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$

Order 2916: $C_3^4:D_{18}$ x 5, $C_9:(C_9\times S_3^2)$ x 3, $C_9^2:S_3^2$ x 2, $C_3^4.S_3^2$ x 2, $C_3^3:(S_3\times C_{18})$ x 2, $C_3\times (C_3.C_9^2):C_2^2$, $D_9^2:C_9$, $C_9^2:S_3^2$, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^4.S_3^2$, $C_3^5:D_6$, $C_3^2.D_9^2$, $C_3^2:D_9^2$, $C_3^4:D_{18}$, $C_3^4:D_{18}$, $C_3^4:D_{18}$, $C_3^4:(C_2\times C_{18})$

Order 2187: $C_3^5.C_3^2$ x 64, $C_3^4.C_3^3$ x 59, $C_3^4.C_3^3$ x 33, $C_3^4.C_3^3$ x 28, $C_3^4.C_3^3$ x 27, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 15, $C_3^4.C_3^3$ x 15, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 10, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 9, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 8, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 8, $C_3^4.C_3^3$ x 7, $C_3^5.C_3^2$ x 7, $C_3^4.C_3^3$ x 7, $C_3^4.C_3^3$ x 5, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 4, $C_3\times C_3^5.C_3$ x 4, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 3, $C_3^4.C_3^3$ x 3, $C_3^5.C_3^2$ x 3, $C_3^2\times C_3.(C_3.C_3^3)$ x 2, $C_3^2\times C_3^4.C_3$ x 2, $C_3\times C_3^3.C_3^3$ x 2, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ x 2, $C_3^4.C_3^3$ x 2, $C_3^3\times C_3^2:C_9$, $C_3^3.C_3^4$, $C_3\times C_3^3.C_3^3$, $C_3\times C_3^3.C_3^3$, $C_3\times C_3^3.C_3^3$, $C_3\times C_9\times C_9:C_9$, $C_3\times C_9\times C_3^2:C_9$, $C_9\times C_3.C_9^2$

Order 1458: $(C_3^2\times C_9):C_{18}$ x 38, $C_3^4:C_{18}$ x 20, $(C_3^2\times C_9):C_{18}$ x 17, $C_3^4:D_9$ x 12, $C_3^4.(C_3\times S_3)$ x 8, $C_3.C_9^2:C_6$ x 7, $C_3\times C_9^2:S_3$ x 7, $C_3^4:D_9$ x 7, $(C_3^2\times C_9):C_{18}$ x 6, $(C_3\times C_9)\wr C_2$ x 6, $(C_3^2\times C_9):D_9$ x 5, $(C_3\times C_9^2):S_3$ x 5, $C_9^2:C_{18}$ x 4, $C_3^4:D_9$ x 4, $C_3^4:C_{18}$ x 4, $C_3\times C_9^2:C_6$ x 4, $C_3^4.(C_3\times S_3)$ x 3, $C_3^3.(S_3\times C_9)$ x 3, $C_3^4:C_{18}$ x 3, $C_3^5.S_3$ x 3, $C_9^2:C_3\times S_3$ x 3, $C_3^4:C_{18}$ x 3, $C_3.C_9^2:C_6$ x 2, $C_3^4.(C_3\times S_3)$ x 2, $C_3^4:D_9$ x 2, $C_3^3\wr C_2$ x 2, $C_3.C_9^2:C_6$, $(C_3\times C_9^2):C_6$, $(C_3\times C_9^2):C_6$, $C_3^3.(C_3\times C_{18})$, $C_9^2:C_{18}$, $C_9^2:C_{18}$, $C_3^5:C_6$, $C_3^5.C_6$, $C_3^4:C_{18}$, $C_3^5.S_3$, $C_3^5.S_3$, $C_3^5.C_6$, $C_3^5.C_6$, $C_3^4:C_{18}$, $C_3\times C_9^2:C_6$, $C_9\times C_3^2:C_{18}$

Order 972: $S_3\times C_9:C_{18}$ x 6, $C_3^3:D_{18}$ x 5, $C_3^3:D_{18}$ x 5, $C_3^3:S_3^2$ x 4, $C_3^3:D_{18}$ x 4, $S_3\times C_3^2:C_{18}$ x 4, $C_3.D_9^2$ x 2, $C_3^3:D_{18}$ x 2, $C_9^2:D_6$ x 2, $C_3^3:S_3^2$, $C_3^3:S_3^2$, $C_9\times C_3:S_3^2$, $C_9^2:D_6$, $C_9^2:D_6$, $C_3:D_9^2$, $C_3\times D_9^2$

Order 729: $C_3^4:C_9$ x 8, $C_3^2.C_3^4$ x 3, $C_3^2\times C_9^2$ x 2, $C_3^2.C_9^2$ x 2, $C_3^6$

Order 486: $C_3^3:D_9$

Order 243: $C_3^3\times C_9$ x 5, $C_3^5$ x 2, $C_3^3:C_9$

Order 81: $C_3^4$ x 3, $C_3^2\times C_9$ x 2

Order 36: $S_3^2$

Order 27: $C_3^3$ x 4

Order 12: $D_6$ x 2

Order 9: $C_3^2$ x 6

Order 6: $S_3$ x 6

Order 4: $C_2^2$

Order 3: $C_3$ x 4

Order 2: $C_2$ x 3

Order 1: $C_1$

Normal subgroups (quotient in parentheses)

Order 78732: $C_3^6.(C_3\times S_3^2)$ ($C_1$)

Order 39366: $C_3^4.C_3^5.C_2$ ($C_2$), $C_3^3.C_3^4.C_3.C_6$ ($C_2$), $C_3^4.C_3^2.C_3^3.C_2$ ($C_2$)

Order 26244: $C_3^6.S_3^2$ ($C_3$)

Order 19683: $C_3^5.C_3^4$ ($C_2^2$)

Order 13122: $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_6$), $C_3^4.C_3^3.C_6$ ($C_6$), $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^3.C_3^4.C_6$ ($C_6$), $C_3^3.C_3^4.C_6$ ($S_3$)

Order 6561: $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^6.C_3^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^6.C_3^2$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^5.C_3^3$ ($D_6$)

Order 4374: $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ ($C_3\times S_3$) x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ ($C_3\times S_3$), $C_3^2.C_3^4.C_6$ ($C_3:S_3$), $C_3^4.C_3^3.C_2$ ($C_3\times S_3$), $C_3\times (C_3\times C_3.(C_3.C_3^3)):C_2$ ($C_3\times S_3$), $C_3^3.\He_3:S_3$ ($C_3\times S_3$)

Order 2187: $C_3^5.C_3^2$ ($S_3^2$) x 3, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ ($C_6\times S_3$) x 2, $C_3\times C_3^5.C_3$ ($C_6\times S_3$) x 2, $C_3^2\times C_3.(C_3.C_3^3)$ ($C_6\times S_3$), $C_3^2\times C_3.(C_3.C_3^3)$ ($S_3^2$), $C_3\times C_3^3.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3\times C_3^5.C_3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3^5.C_3^2$ ($C_6:S_3$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($C_6\times S_3$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$)

Order 1458: $C_3^4:D_9$ ($C_3^2:C_6$)

Order 729: $C_3^4:C_9$ ($C_3\times S_3^2$) x 5, $C_3^2.C_3^4$ ($C_3:S_3^2$) x 2, $C_3^2.C_9^2$ ($C_3\times S_3^2$) x 2, $C_3^6$ ($C_3\times S_3^2$), $C_3^2.C_3^4$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^4:C_9$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^4:C_9$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^4:C_9$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^2\times C_9^2$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^2\times C_9^2$ ($C_3\times S_3^2$)

Order 486: $C_3^3:D_9$ ($\He_3.C_6$)

Order 243: $C_3^3\times C_9$ ($C_3\wr C_2^2$) x 3, $C_3^5$ ($C_3\wr C_2^2$), $C_3^5$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^3\times C_9$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^3\times C_9$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^3:C_9$ ($(C_3\times C_{18}):S_3$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^3:S_3^2$), $C_3^4$ ($C_3^3.S_3^2$), $C_3^4$ ($(C_3\times C_9):S_3^2$), $C_3^2\times C_9$ ($C_3^3:S_3^2$), $C_3^2\times C_9$ ($(C_3\times C_9):S_3^2$)

Order 27: $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$), $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$), $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$), $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3^2.C_3^5.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^2.C_3^5.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^5.(C_6\times S_3)$), $C_3^2$ ($C_3^2.C_3^5.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^3.C_3^4.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^3.C_3^4.C_2^2$)

Order 3: $C_3$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^3.C_3^5.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^2$)

Order 1: $C_1$ ($C_3^6.(C_3\times S_3^2)$)

Normal subgroups up to automorphism (quotient in parentheses)

Order 78732: $C_3^6.(C_3\times S_3^2)$ ($C_1$)

Order 39366: $C_3^4.C_3^5.C_2$ ($C_2$), $C_3^3.C_3^4.C_3.C_6$ ($C_2$), $C_3^4.C_3^2.C_3^3.C_2$ ($C_2$)

Order 26244: $C_3^6.S_3^2$ ($C_3$)

Order 19683: $C_3^5.C_3^4$ ($C_2^2$)

Order 13122: $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^2.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_6$), $C_3^4.C_3^3.C_6$ ($C_6$), $C_3^2.C_3^4.C_3.C_6$ ($S_3$), $C_3^3.C_3^4.C_6$ ($C_6$), $C_3^3.C_3^4.C_6$ ($S_3$)

Order 6561: $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^6.C_3^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^6.C_3^2$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^4.C_3^4$ ($D_6$), $C_3^5.C_3^3$ ($D_6$)

Order 4374: $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ ($C_3\times S_3$) x 2, $C_3\times (C_3^3.C_3^3):C_2$ ($C_3\times S_3$), $C_3^2.C_3^4.C_6$ ($C_3:S_3$), $C_3^4.C_3^3.C_2$ ($C_3\times S_3$), $C_3\times (C_3\times C_3.(C_3.C_3^3)):C_2$ ($C_3\times S_3$), $C_3^3.\He_3:S_3$ ($C_3\times S_3$)

Order 2187: $C_3^5.C_3^2$ ($S_3^2$) x 3, $C_3\times C_3^4.C_3^2$ ($C_6\times S_3$) x 2, $C_3\times C_3^5.C_3$ ($C_6\times S_3$) x 2, $C_3^2\times C_3.(C_3.C_3^3)$ ($C_6\times S_3$), $C_3^2\times C_3.(C_3.C_3^3)$ ($S_3^2$), $C_3\times C_3^3.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3\times C_3^5.C_3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3^5.C_3^2$ ($C_6:S_3$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$), $C_3^4.C_3^3$ ($C_6\times S_3$), $C_3^4.C_3^3$ ($S_3^2$)

Order 1458: $C_3^4:D_9$ ($C_3^2:C_6$)

Order 729: $C_3^4:C_9$ ($C_3\times S_3^2$) x 5, $C_3^2.C_3^4$ ($C_3:S_3^2$) x 2, $C_3^2.C_9^2$ ($C_3\times S_3^2$) x 2, $C_3^6$ ($C_3\times S_3^2$), $C_3^2.C_3^4$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^4:C_9$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^4:C_9$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^4:C_9$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^2\times C_9^2$ ($C_3:S_3^2$), $C_3^2\times C_9^2$ ($C_3\times S_3^2$)

Order 486: $C_3^3:D_9$ ($\He_3.C_6$)

Order 243: $C_3^3\times C_9$ ($C_3\wr C_2^2$) x 3, $C_3^5$ ($C_3\wr C_2^2$), $C_3^5$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^3\times C_9$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^3\times C_9$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^3:C_9$ ($(C_3\times C_{18}):S_3$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^3:S_3^2$), $C_3^4$ ($C_3^3.S_3^2$), $C_3^4$ ($(C_3\times C_9):S_3^2$), $C_3^2\times C_9$ ($C_3^3:S_3^2$), $C_3^2\times C_9$ ($(C_3\times C_9):S_3^2$)

Order 27: $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$), $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$), $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$), $C_3^3$ ($C_3.C_3^5.C_2^2$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3^2.C_3^5.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^2.C_3^5.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^5.(C_6\times S_3)$), $C_3^2$ ($C_3^2.C_3^5.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^3.C_3^4.C_2^2$), $C_3^2$ ($C_3^3.C_3^4.C_2^2$)

Order 3: $C_3$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^3.C_3^5.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^2$)

Order 1: $C_1$ ($C_3^6.(C_3\times S_3^2)$)

Series

Derived series

$C_3^6.(C_3\times S_3^2)$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^2$

$\rhd$

$C_3^4$

$\rhd$

$C_1$

Chief series

$C_3^6.(C_3\times S_3^2)$

$\rhd$

$C_3^3.C_3^4.C_3.C_6$

$\rhd$

$C_3^5.C_3^4$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^2$

$\rhd$

$C_3^2\times C_3.(C_3.C_3^3)$

$\rhd$

$C_3^4:C_9$

$\rhd$

$C_3^4:C_9$

$\rhd$

$C_3^2\times C_9^2$

$\rhd$

$C_3^3\times C_9$

$\rhd$

$C_3^3\times C_9$

$\rhd$

$C_3^4$

$\rhd$

$C_3^3$

$\rhd$

$C_3^3$

$\rhd$

$C_3^2$

$\rhd$

$C_3^2$

$\rhd$

$C_3^2$

$\rhd$

$C_3$

$\rhd$

$C_3$

$\rhd$

$C_1$

Lower central series

$C_3^6.(C_3\times S_3^2)$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^2$

Upper central series

$C_1$

$\lhd$

$C_3$

Supergroups

This group is a maximal subgroup of 3 larger groups in the database.

This group is a maximal quotient of 0 larger groups in the database.

Character theory

Complex character table

See the $282 \times 282$ character table (warning: may be slow to load). Alternatively, you may search for characters of this group with desired properties.

Rational character table

See the $131 \times 131$ rational character table (warning: may be slow to load).