Group information
Description: | $C_5^6:F_7$ | |
Order: | \(656250\)\(\medspace = 2 \cdot 3 \cdot 5^{6} \cdot 7 \) |
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Exponent: | \(210\)\(\medspace = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \) |
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Automorphism group: | $C_5^6:(C_4\times F_7)$, of order \(2625000\)\(\medspace = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{6} \cdot 7 \) |
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Composition factors: | $C_2$, $C_3$, $C_5$ x 6, $C_7$ |
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Derived length: | $3$ |
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This group is nonabelian, solvable, and an A-group. Whether it is monomial has not been computed.
Group statistics
Order | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 | 10 | 15 | 30 | |
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Elements | 1 | 875 | 8750 | 15624 | 43750 | 93750 | 108500 | 210000 | 175000 | 656250 |
Conjugacy classes | 1 | 1 | 2 | 402 | 2 | 1 | 44 | 28 | 8 | 489 |
Divisions | 1 | 1 | 1 | 106 | 1 | 1 | 11 | 4 | 1 | 127 |
Autjugacy classes | 1 | 1 | 2 | 106 | 2 | 1 | 11 | 8 | 2 | 134 |
Dimension | 1 | 2 | 6 | 7 | 14 | 21 | 28 | 42 | 56 | 84 | 112 | 168 | |
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Irr. complex chars. | 6 | 0 | 1 | 24 | 30 | 80 | 0 | 348 | 0 | 0 | 0 | 0 | 489 |
Irr. rational chars. | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 5 | 30 | 2 | 82 | 127 |
Minimal presentations
Permutation degree: | $35$ |
Transitive degree: | $35$ |
Rank: | $2$ |
Inequivalent generating pairs: | not computed |
Minimal degrees of faithful linear representations
Over $\mathbb{C}$ | Over $\mathbb{R}$ | Over $\mathbb{Q}$ | |
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Irreducible | 7 | 14 | 28 |
Arbitrary | not computed | not computed | not computed |
Constructions
Presentation: |
${\langle a, b, c, d, e, f, g, h \mid b^{7}=c^{5}=d^{5}=e^{5}=f^{5}=g^{5}= \!\cdots\! \rangle}$
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Permutation group: | Degree $35$
$\langle(1,28,11,6,16,33,2,29,12,7,17,34,3,30,13,8,18,35,4,26,14,9,19,31,5,27,15,10,20,32) \!\cdots\! \rangle$
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Transitive group: | 35T92 | 35T93 | more information | |||||
Direct product: | not isomorphic to a non-trivial direct product | |||||||
Semidirect product: | $C_5^6$ $\,\rtimes\,$ $F_7$ | $(C_5^6:D_7)$ $\,\rtimes\,$ $C_3$ | $(C_5^6:C_7)$ $\,\rtimes\,$ $C_6$ | $(C_5^6:C_7:C_3)$ $\,\rtimes\,$ $C_2$ | more information | |||
Trans. wreath product: | not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product |
Elements of the group are displayed as words in the presentation generators from the presentation above.
Homology
Abelianization: | $C_{6} \simeq C_{2} \times C_{3}$ |
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Schur multiplier: | $C_1$ |
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Commutator length: | $1$ |
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Subgroups
There are 6 normal subgroups, and all normal subgroups are characteristic.
Characteristic subgroups are shown in this color.
Special subgroups
Center: | $Z \simeq$ $C_1$ | $G/Z \simeq$ $C_5^6:F_7$ |
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Commutator: | $G' \simeq$ $C_5^6:C_7$ | $G/G' \simeq$ $C_6$ |
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Frattini: | $\Phi \simeq$ $C_1$ | $G/\Phi \simeq$ $C_5^6:F_7$ |
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Fitting: | $\operatorname{Fit} \simeq$ $C_5^6$ | $G/\operatorname{Fit} \simeq$ $F_7$ |
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Radical: | $R \simeq$ $C_5^6:F_7$ | $G/R \simeq$ $C_1$ |
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Socle: | $\operatorname{soc} \simeq$ $C_5^6$ | $G/\operatorname{soc} \simeq$ $F_7$ |
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2-Sylow subgroup: | $P_{ 2 } \simeq$ $C_2$ | ||
3-Sylow subgroup: | $P_{ 3 } \simeq$ $C_3$ | ||
5-Sylow subgroup: | $P_{ 5 } \simeq$ $C_5^6$ | ||
7-Sylow subgroup: | $P_{ 7 } \simeq$ $C_7$ |
Subgroup diagram and profile
Series
Derived series | $C_5^6:F_7$ | $\rhd$ | $C_5^6:C_7$ | $\rhd$ | $C_5^6$ | $\rhd$ | $C_1$ |
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Chief series | $C_5^6:F_7$ | $\rhd$ | $C_5^6:C_7:C_3$ | $\rhd$ | $C_5^6:C_7$ | $\rhd$ | $C_5^6$ | $\rhd$ | $C_1$ |
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Lower central series | $C_5^6:F_7$ | $\rhd$ | $C_5^6:C_7$ |
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Upper central series | $C_1$ |
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Supergroups
This group is a maximal subgroup of 5 larger groups in the database.
This group is a maximal quotient of 2 larger groups in the database.
Character theory
Complex character table
See the $489 \times 489$ character table (warning: may be slow to load). Alternatively, you may search for characters of this group with desired properties.
Rational character table
See the $127 \times 127$ rational character table.