Abstract group 5668704.km: $C_3^7.S_3^2\wr C_2$

• Label: 5668704.km
• Order: \( 2^{5} \cdot 3^{11} \)
• Exponent: \( 2^{2} \cdot 3^{2} \)
• Nilpotent: no
• Solvable: yes
• $\card{G^{\mathrm{ab}}}$: \( 2^{3} \)
• $\card{Z(G)}$: \( 1 \)
• $\card{\Aut(G)}$: \( 2^{6} \cdot 3^{13} \)
• $\card{\mathrm{Out}(G)}$: \( 2 \cdot 3^{2} \)
• Perm deg.: $36$
• Trans deg.: $36$
• Rank: $3$

Group information

Description:	$C_3^7.S_3^2\wr C_2$
Order:	\(5668704\)\(\medspace = 2^{5} \cdot 3^{11} \)
Exponent:	\(36\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3^{2} \)
Automorphism group:	$C_3^6.C_3^4.C_6^3.C_2^3$, of order \(102036672\)\(\medspace = 2^{6} \cdot 3^{13} \)
Composition factors:	$C_2$ x 5, $C_3$ x 11
Derived length:	$4$

This group is nonabelian and solvable. Whether it is monomial has not been computed.

Group statistics

Order	1	2	3	4	6	9	12	18	36
Elements	1	21411	54674	393660	1192374	122472	787320	2152008	944784	5668704
Conjugacy classes	1	10	71	3	131	53	3	135	6	413
Divisions	1	10	56	3	101	36	3	90	2	302
Autjugacy classes	1	7	27	2	59	19	2	54	1	172

Minimal presentations

Permutation degree:	$36$
Transitive degree:	$36$
Rank:	$3$
Inequivalent generating triples:	not computed

Minimal degrees of faithful linear representations

	Over $\mathbb{C}$	Over $\mathbb{R}$	Over $\mathbb{Q}$
Irreducible	24	not computed	not computed
Arbitrary	not computed	not computed	not computed

Constructions

Presentation:	${\langle a, b, c, d, e, f, g, h, i, j \mid d^{18}=f^{9}=g^{3}=h^{3}=i^{3}= \!\cdots\! \rangle}$
Permutation group:	Degree $36$ $\langle(1,8,26,20,14,31,3,7,27,21,15,33,2,9,25,19,13,32)(4,6)(10,12)(16,28,17,29,18,30) \!\cdots\! \rangle$
Transitive group:	36T54997				more information
Direct product:	not isomorphic to a non-trivial direct product
Semidirect product:	not computed
Trans. wreath product:	not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product
Possibly split product:	$C_3^6$ . $(S_3^4:S_3)$	$C_3^7$ . $(S_3^2\wr C_2)$	$(C_3^7.S_3^2:S_3^2)$ . $C_2$	$(C_3^7.C_3:S_3^3)$ . $C_2^2$	all 29

Elements of the group are displayed as permutations of degree 36.

Homology

Abelianization:	$C_{2}^{3} $
Schur multiplier:	$C_{2}^{4}$
Commutator length:	$1$

Subgroups

There are 60 normal subgroups (24 characteristic).

Characteristic subgroups are shown in this color. Normal (but not characteristic) subgroups are shown in this color.

Special subgroups

Center:	$Z \simeq$ $C_1$	$G/Z \simeq$ $C_3^7.S_3^2\wr C_2$
Commutator:	$G' \simeq$ $C_3^6.C_3^5.C_2^2$	$G/G' \simeq$ $C_2^3$
Frattini:	$\Phi \simeq$ $C_3^6$	$G/\Phi \simeq$ $S_3^4:S_3$
Fitting:	$\operatorname{Fit} \simeq$ $C_3^7.C_3^4$	$G/\operatorname{Fit} \simeq$ $C_2^2\wr C_2$
Radical:	$R \simeq$ $C_3^7.S_3^2\wr C_2$	$G/R \simeq$ $C_1$
Socle:	$\operatorname{soc} \simeq$ $C_3^4$	$G/\operatorname{soc} \simeq$ $C_3^5:D_6\wr C_2$
2-Sylow subgroup:	$P_{ 2 } \simeq$ $C_2^2\wr C_2$
3-Sylow subgroup:	$P_{ 3 } \simeq$ $C_3^7.C_3^4$

Hi

Subgroup diagram and profile

Classes of subgroups up to conjugation

No diagram available: inclusions not computed

Classes of subgroups up to automorphism

No diagram available: inclusions not computed

Normal subgroups

No diagram available: inclusions not computed

Normal subgroups up to automorphism

No diagram available: inclusions not computed

Classes of subgroups up to conjugation

All subgroups of index up to 24 (order at least 236196) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 5668704: $C_3^7.S_3^2\wr C_2$

Order 2834352: $C_3^7.S_3^2:S_3^2$ x 2, $C_3^6.(C_3^3\times S_3^2):C_4$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^4$, $C_3^7.(C_3^2\wr C_2.D_4)$, $C_3^6.C_3^5:(C_2\times D_4)$

Order 1889568: $C_3^4.C_3^4:D_6\wr C_2$

Order 1417176: $C_3^6.C_3^5.C_2^3$ x 3, $C_3^6.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6^2.C_2$ x 2, $C_3^6.C_3^4:(C_4\times S_3)$ x 2, $C_3^6.C_3^4:D_{12}$ x 2, $C_3^7.C_3\wr D_4$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3^5.D_4$, $C_3^5.\He_3^2:D_4$, $C_3^5.\He_3^2:(C_2\times C_4)$, $C_3^7.C_3:S_3^3$

Order 944784: $C_3^5.C_3^5.C_2^4$ x 2, $C_3^6.S_3^2:S_3^2$ x 2, $C_3^6.(C_3^2\times S_3^2):C_4$ x 2, $C_3^6.S_3^3:S_3$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^4$, $C_3^6.(C_3^2\wr C_2.D_4)$, $C_3^6.C_3^4:(C_2\times D_4)$

Order 708588: $C_3^5.C_3^4.C_6^2$ x 4, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ x 3, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^7.C_3\wr C_4$ x 2, $C_3^7.C_3\wr C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.D_6$, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$, $C_3^7.C_3^4.C_4$

Order 629856: $C_3^5.S_3^2\wr C_2$ x 2

Order 472392: $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 4, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 4, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 3, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 3, $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^6.C_3.S_3^3$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2.C_2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2.C_2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 2, $C_3^6.C_3^3:(C_4\times S_3)$ x 2, $C_3^6.C_3^3:D_{12}$ x 2, $C_3^6.C_3\wr D_4$ x 2, $C_3^6.C_3\wr D_4$ x 2, $C_3^6.C_3\wr D_4$ x 2, $C_3^7.S_3^2:S_3$ x 2, $C_3^4.C_3^5:(C_4\times S_3)$ x 2, $C_3^4.C_3^5:D_{12}$ x 2, $C_3^7.S_3^3$ x 2, $C_3^7.S_3^2:S_3$ x 2, $C_3^3.C_3^5.C_6^2.C_2$, $C_3^6.C_3.S_3^3$, $C_3^6.C_3.S_3^3$, $C_3^6.C_3^4.D_4$, $C_3^6.C_3^4:D_4$, $C_3^6.C_3^4:(C_2\times C_4)$, $C_3^6.C_3:S_3^3$

Order 354294: $C_3^6.C_3^5.C_2$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2$ x 2, $C_3^4.C_3^5.C_3.C_6$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3^7.C_3^4.C_2$, $C_3^6.C_3^5.C_2$, $C_3^6.C_3^5.C_2$

Order 314928: $C_3^4.C_3^5.C_2^4$ x 2, $C_3^4.C_3^5.C_2^4$ x 2, $C_3^6.C_3.D_6^2$ x 2, $C_3^4:D_9^2.D_6$ x 2, $C_3^7.C_6^2:C_4$ x 2, $C_3^4.C_{18}^2:D_6$ x 2, $C_3^7.S_3^2:C_4$ x 2, $C_3^7.S_3^2:C_4$ x 2, $C_3^4.D_9^2:D_6$ x 2, $C_3^4.D_9^2:D_6$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_2^4$, $C_3^4.C_3^5.C_2^4$

Order 236196: $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2$ x 4, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 4, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 4, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 4, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 4, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 4, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 4, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 3, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 3, $C_3^6.C_3^3.D_6$ x 3, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 3, $C_3^6.C_3^3.D_6$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^3.D_6$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$ x 2, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2$ x 2, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^3.D_6$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3\wr C_4$ x 2, $C_3^6.C_3\wr C_4$ x 2, $C_3^6.C_3\wr C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3\wr C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3\wr C_4$ x 2, $C_3^6.C_3^4:C_4$ x 2, $C_3^7.C_3:S_3^2$ x 2, $C_3^7.(C_3\times S_3^2)$ x 2, $C_3^7.(C_3\times S_3^2)$ x 2, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_4$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$

Order 177147: $C_3^7.C_3^4$

Order 118098: $C_3^5.C_3.\He_3.C_6$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2$

Order 78732: $C_3^5.C_3^4.C_2^2$ x 2

Order 59049: $C_3^6.C_3^4$

Order 39366: $C_3^6.C_3^3.C_2$ x 2

Order 26244: $C_3^6.S_3^2$ x 2

Order 19683: $C_3^7.C_3^2$ x 2

Order 13122: $C_3^6.C_3.S_3$ x 2

Order 6561: $C_3^6.C_3^2$ x 2

Order 2187: $C_3^7$

Order 729: $C_3^6$

Order 243: $C_3^5$

Order 81: $C_3^4$

Order 32: $C_2^2\wr C_2$

Order 9: $C_3^2$ x 2

Order 1: $C_1$

Classes of subgroups up to automorphism

All subgroups of index up to 24 (order at least 236196) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 5668704: $C_3^7.S_3^2\wr C_2$

Order 2834352: $C_3^6.C_3^5.C_2^4$, $C_3^7.S_3^2:S_3^2$, $C_3^7.(C_3^2\wr C_2.D_4)$, $C_3^6.C_3^5:(C_2\times D_4)$, $C_3^6.(C_3^3\times S_3^2):C_4$

Order 1889568: $C_3^4.C_3^4:D_6\wr C_2$

Order 1417176: $C_3^6.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3^5.D_4$, $C_3^5.C_3^4.C_6^2.C_2$, $C_3^5.\He_3^2:D_4$, $C_3^5.\He_3^2:(C_2\times C_4)$, $C_3^6.C_3^4:(C_4\times S_3)$, $C_3^6.C_3^4:D_{12}$, $C_3^7.C_3:S_3^3$, $C_3^7.C_3\wr D_4$

Order 944784: $C_3^5.C_3^5.C_2^4$, $C_3^6.C_3^4.C_2^4$, $C_3^6.S_3^2:S_3^2$, $C_3^6.(C_3^2\wr C_2.D_4)$, $C_3^6.C_3^4:(C_2\times D_4)$, $C_3^6.(C_3^2\times S_3^2):C_4$, $C_3^6.S_3^3:S_3$

Order 708588: $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.D_6$, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$, $C_3^7.C_3^4.C_4$, $C_3^5.C_3^4.C_6^2$, $C_3^7.C_3\wr C_4$, $C_3^7.C_3\wr C_2^2$

Order 629856: $C_3^5.S_3^2\wr C_2$

Order 472392: $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$ x 2, $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3.S_3^3$, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2.C_2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2.C_2$, $C_3^6.C_3.S_3^3$, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2.C_2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3.S_3^3$, $C_3^5.C_3^5.C_2^3$, $C_3^6.C_3^4.D_4$, $C_3^6.C_3^4.C_2^3$, $C_3^6.C_3^4:D_4$, $C_3^6.C_3^4:(C_2\times C_4)$, $C_3^6.C_3^3:(C_4\times S_3)$, $C_3^6.C_3^3:D_{12}$, $C_3^6.C_3:S_3^3$, $C_3^6.C_3\wr D_4$, $C_3^6.C_3\wr D_4$, $C_3^6.C_3\wr D_4$, $C_3^7.S_3^2:S_3$, $C_3^4.C_3^5:(C_4\times S_3)$, $C_3^4.C_3^5:D_{12}$, $C_3^7.S_3^3$, $C_3^7.S_3^2:S_3$

Order 354294: $C_3^6.C_3^5.C_2$, $C_3^5.C_3^4.C_3.C_6$, $C_3^7.C_3^4.C_2$, $C_3^6.C_3^5.C_2$, $C_3^6.C_3^5.C_2$, $C_3^4.C_3^5.C_3.C_6$, $C_3^6.C_3^5.C_2$

Order 314928: $C_3^5.C_3^4.C_2^4$, $C_3^4.C_3^5.C_2^4$, $C_3^4.C_3^5.C_2^4$, $C_3^4.C_3^5.C_2^4$, $C_3^6.C_3.D_6^2$, $C_3^4:D_9^2.D_6$, $C_3^7.C_6^2:C_4$, $C_3^4.C_{18}^2:D_6$, $C_3^7.S_3^2:C_4$, $C_3^7.S_3^2:C_4$, $C_3^4.D_9^2:D_6$, $C_3^4.D_9^2:D_6$

Order 236196: $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^3.D_6$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^6.C_3^3.D_6$ x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$ x 2, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^6.C_3^3.D_6$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^4.C_6.C_2$, $C_3^3.C_3^5.C_6^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.C_4$, $C_3^4.C_3^4.C_6^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^5.C_2^2$, $C_3^6.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$, $C_3^6.C_3\wr C_4$, $C_3^6.C_3\wr C_4$, $C_3^6.C_3\wr C_2^2$, $C_3^6.C_3\wr C_2^2$, $C_3^6.C_3\wr C_4$, $C_3^6.C_3^4:C_4$, $C_3^7.C_3:S_3^2$, $C_3^7.(C_3\times S_3^2)$, $C_3^7.(C_3\times S_3^2)$

Order 177147: $C_3^7.C_3^4$

Order 118098: $C_3^5.C_3.\He_3.C_6$, $C_3^6.C_3^4.C_2$

Order 78732: $C_3^5.C_3^4.C_2^2$

Order 59049: $C_3^6.C_3^4$

Order 39366: $C_3^6.C_3^3.C_2$

Order 26244: $C_3^6.S_3^2$

Order 19683: $C_3^7.C_3^2$

Order 13122: $C_3^6.C_3.S_3$

Order 6561: $C_3^6.C_3^2$

Order 2187: $C_3^7$

Order 729: $C_3^6$

Order 243: $C_3^5$

Order 81: $C_3^4$

Order 32: $C_2^2\wr C_2$

Order 9: $C_3^2$

Order 1: $C_1$

Normal subgroups (quotient in parentheses)

Order 5668704: $C_3^7.S_3^2\wr C_2$ ($C_1$)

Order 2834352: $C_3^7.S_3^2:S_3^2$ ($C_2$) x 2, $C_3^6.(C_3^3\times S_3^2):C_4$ ($C_2$) x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^4$ ($C_2$), $C_3^7.(C_3^2\wr C_2.D_4)$ ($C_2$), $C_3^6.C_3^5:(C_2\times D_4)$ ($C_2$)

Order 1417176: $C_3^6.C_3^5.C_2^3$ ($C_2^2$) x 2, $C_3^6.C_3^4:(C_4\times S_3)$ ($C_2^2$) x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^3$ ($C_2^2$), $C_3^5.\He_3^2:(C_2\times C_4)$ ($C_2^2$), $C_3^7.C_3:S_3^3$ ($C_2^2$)

Order 944784: $C_3^6.C_3^4.C_2^4$ ($S_3$)

Order 708588: $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$) x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$) x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$), $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($C_2^3$), $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$)

Order 472392: $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ ($D_6$) x 2, $C_3^6.C_3.S_3^3$ ($D_6$)

Order 354294: $C_3^6.C_3^5.C_2$ ($C_2\times D_4$) x 2, $C_3^6.C_3^5.C_2$ ($C_2\times D_4$)

Order 236196: $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_3:D_4$) x 2, $C_3^5.C_3^3.C_6^2$ ($C_3:D_4$) x 2, $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_3:D_4$), $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_3:D_4$), $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_2\times D_6$)

Order 177147: $C_3^7.C_3^4$ ($C_2^2\wr C_2$)

Order 118098: $C_3^5.C_3.\He_3.C_6$ ($C_6:D_4$) x 2, $C_3^6.C_3^4.C_2$ ($C_6:D_4$)

Order 78732: $C_3^5.C_3^4.C_2^2$ ($\SOPlus(4,2)$) x 2

Order 59049: $C_3^6.C_3^4$ ($C_2^4:S_3$)

Order 39366: $C_3^6.C_3^3.C_2$ ($S_3^2:C_2^2$) x 2

Order 26244: $C_3^6.S_3^2$ ($S_3^2:S_3$) x 2

Order 19683: $C_3^7.C_3^2$ ($D_6\wr C_2$) x 2

Order 13122: $C_3^6.C_3.S_3$ ($S_3^2:D_6$) x 2

Order 6561: $C_3^6.C_3^2$ ($D_6^2:S_3$) x 2

Order 2187: $C_3^7$ ($S_3^2\wr C_2$)

Order 729: $C_3^6$ ($S_3^4:S_3$)

Order 243: $C_3^5$ ($C_3^4:D_6\wr C_2$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^5:D_6\wr C_2$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^4:S_3$) x 2

Order 1: $C_1$ ($C_3^7.S_3^2\wr C_2$)

Normal subgroups up to automorphism (quotient in parentheses)

Order 5668704: $C_3^7.S_3^2\wr C_2$ ($C_1$)

Order 2834352: $C_3^6.C_3^5.C_2^4$ ($C_2$), $C_3^7.S_3^2:S_3^2$ ($C_2$), $C_3^7.(C_3^2\wr C_2.D_4)$ ($C_2$), $C_3^6.C_3^5:(C_2\times D_4)$ ($C_2$), $C_3^6.(C_3^3\times S_3^2):C_4$ ($C_2$)

Order 1417176: $C_3^6.C_3^5.C_2^3$ ($C_2^2$), $C_3^6.C_3^5.C_2^3$ ($C_2^2$), $C_3^5.\He_3^2:(C_2\times C_4)$ ($C_2^2$), $C_3^6.C_3^4:(C_4\times S_3)$ ($C_2^2$), $C_3^7.C_3:S_3^3$ ($C_2^2$)

Order 944784: $C_3^6.C_3^4.C_2^4$ ($S_3$)

Order 708588: $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$), $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$), $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$), $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($C_2^3$), $C_3^6.C_3^5.C_2^2$ ($D_4$)

Order 472392: $C_3^6.C_3^4.C_2^3$ ($D_6$), $C_3^6.C_3.S_3^3$ ($D_6$)

Order 354294: $C_3^6.C_3^5.C_2$ ($C_2\times D_4$), $C_3^6.C_3^5.C_2$ ($C_2\times D_4$)

Order 236196: $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_3:D_4$), $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_3:D_4$), $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_2\times D_6$), $C_3^6.C_3^3.D_6$ ($C_3:D_4$), $C_3^5.C_3^3.C_6^2$ ($C_3:D_4$)

Order 177147: $C_3^7.C_3^4$ ($C_2^2\wr C_2$)

Order 118098: $C_3^5.C_3.\He_3.C_6$ ($C_6:D_4$), $C_3^6.C_3^4.C_2$ ($C_6:D_4$)

Order 78732: $C_3^5.C_3^4.C_2^2$ ($\SOPlus(4,2)$)

Order 59049: $C_3^6.C_3^4$ ($C_2^4:S_3$)

Order 39366: $C_3^6.C_3^3.C_2$ ($S_3^2:C_2^2$)

Order 26244: $C_3^6.S_3^2$ ($S_3^2:S_3$)

Order 19683: $C_3^7.C_3^2$ ($D_6\wr C_2$)

Order 13122: $C_3^6.C_3.S_3$ ($S_3^2:D_6$)

Order 6561: $C_3^6.C_3^2$ ($D_6^2:S_3$)

Order 2187: $C_3^7$ ($S_3^2\wr C_2$)

Order 729: $C_3^6$ ($S_3^4:S_3$)

Order 243: $C_3^5$ ($C_3^4:D_6\wr C_2$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^5:D_6\wr C_2$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3^4.C_3^4.C_2^4:S_3$)

Order 1: $C_1$ ($C_3^7.S_3^2\wr C_2$)

Series

Derived series

$C_3^7.S_3^2\wr C_2$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^5.C_2^2$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^4$

$\rhd$

$C_3^6$

$\rhd$

$C_1$

Chief series

$C_3^7.S_3^2\wr C_2$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^5.C_2^4$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^5.C_2^3$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^5.C_2^2$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^5.C_2$

$\rhd$

$C_3^7.C_3^4$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^4$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^2$

$\rhd$

$C_3^6$

$\rhd$

$C_3^4$

$\rhd$

$C_3^2$

$\rhd$

$C_1$

Lower central series

$C_3^7.S_3^2\wr C_2$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^5.C_2^2$

$\rhd$

$C_3^7.C_3^4$

Upper central series

$C_1$

Supergroups

This group is a maximal subgroup of 2 larger groups in the database.

This group is a maximal quotient of 0 larger groups in the database.

Character theory

Complex character table

The $413 \times 413$ character table is not available for this group.

Rational character table

The $302 \times 302$ rational character table is not available for this group.