Group information
| Description: | $C_{233}^2$ | |
| Order: | \(54289\)\(\medspace = 233^{2} \) |
|
| Exponent: | \(233\) |
|
| Automorphism group: | Group of order \(2934592128\)\(\medspace = 2^{7} \cdot 3^{2} \cdot 13 \cdot 29^{2} \cdot 233 \) |
|
| Composition factors: | $C_{233}$ x 2 |
|
| Nilpotency class: | $1$ |
|
| Derived length: | $1$ |
|
This group is abelian (hence nilpotent, solvable, supersolvable, monomial, metabelian, and an A-group), a $p$-group (hence elementary and hyperelementary), and metacyclic.
Group statistics
| Order | 1 | 233 | |
|---|---|---|---|
| Elements | 1 | 54288 | 54289 |
| Conjugacy classes | 1 | 54288 | 54289 |
| Divisions | 1 | 234 | 235 |
| Autjugacy classes | 1 | 1 | 2 |
Minimal presentations
| Permutation degree: | $466$ |
| Transitive degree: | $54289$ |
| Rank: | $2$ |
| Inequivalent generating pairs: | $1$ |
Minimal degrees of faithful linear representations
| Over $\mathbb{C}$ | Over $\mathbb{R}$ | Over $\mathbb{Q}$ | |
|---|---|---|---|
| Irreducible | none | not computed | none |
| Arbitrary | 2 | not computed | not computed |
Constructions
| Presentation: | Abelian group
$\langle a, b \mid a^{233}=b^{233}=1 \rangle$
| |||||||||
|
| ||||||||||
| Permutation group: | Degree $466$
$\langle(1,233,232,231,230,229,228,227,226,225,224,223,222,221,220,219,218,217,216,215,214,213,212,211,210,209,208,207,206,205,204,203,202,201,200,199,198,197,196,195,194,193,192,191,190,189,188,187,186,185,184,183,182,181,180,179,178,177,176,175,174,173,172,171,170,169,168,167,166,165,164,163,162,161,160,159,158,157,156,155,154,153,152,151,150,149,148,147,146,145,144,143,142,141,140,139,138,137,136,135,134,133,132,131,130,129,128,127,126,125,124,123,122,121,120,119,118,117,116,115,114,113,112,111,110,109,108,107,106,105,104,103,102,101,100,99,98,97,96,95,94,93,92,91,90,89,88,87,86,85,84,83,82,81,80,79,78,77,76,75,74,73,72,71,70,69,68,67,66,65,64,63,62,61,60,59,58,57,56,55,54,53,52,51,50,49,48,47,46,45,44,43,42,41,40,39,38,37,36,35,34,33,32,31,30,29,28,27,26,25,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2) \!\cdots\! \rangle$
| |||||||||
|
| ||||||||||
| Matrix group: | $\left\langle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr} 4 & 0 \\ 0 & 117 \end{array}\right) \right\rangle \subseteq \GL_{2}(\F_{467})$ | |||||||||
|
| ||||||||||
| Direct product: | $C_{233}$ ${}^2$ | |||||||||
| Semidirect product: | not isomorphic to a non-trivial semidirect product | |||||||||
| Trans. wreath product: | not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product | |||||||||
Elements of the group are displayed as words in the presentation generators from the presentation above.
Homology
| Primary decomposition: | $C_{233}^{2}$ |
|
| Schur multiplier: | $C_{233}$ |
|
| Commutator length: | $0$ |
|
Subgroups
There are 236 subgroups, all normal (2 characteristic).
Characteristic subgroups are shown in this color. Normal (but not characteristic) subgroups are shown in this color.
Special subgroups
| Center: | $Z \simeq$ $C_{233}^2$ | $G/Z \simeq$ $C_1$ |
|
| Commutator: | $G' \simeq$ $C_1$ | $G/G' \simeq$ $C_{233}^2$ |
|
| Frattini: | $\Phi \simeq$ $C_1$ | $G/\Phi \simeq$ $C_{233}^2$ |
|
| Fitting: | $\operatorname{Fit} \simeq$ $C_{233}^2$ | $G/\operatorname{Fit} \simeq$ $C_1$ |
|
| Radical: | $R \simeq$ $C_{233}^2$ | $G/R \simeq$ $C_1$ |
|
| Socle: | $\operatorname{soc} \simeq$ $C_{233}^2$ | $G/\operatorname{soc} \simeq$ $C_1$ |
|
| 233-Sylow subgroup: | $P_{ 233 } \simeq$ $C_{233}^2$ |
Subgroup diagram and profile
For the default diagram, subgroups are sorted vertically by the number of prime divisors (counted with multiplicity) in their orders.
To see subgroups sorted vertically by order instead, check this box.
To see subgroups sorted vertically by order instead, check this box.
Subgroup information
Click on a subgroup in the diagram to see information about it.
|
Series
| Derived series | $C_{233}^2$ | $\rhd$ | $C_{233}^2$ | $\rhd$ | $C_1$ | $\rhd$ | $C_1$ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Chief series | $C_{233}^2$ | $\rhd$ | $C_{233}^2$ | $\rhd$ | $C_{233}$ | $\rhd$ | $C_{233}$ | $\rhd$ | $C_1$ | $\rhd$ | $C_1$ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Lower central series | $C_{233}^2$ | $\rhd$ | $C_{233}^2$ | $\rhd$ | $C_1$ | $\rhd$ | $C_1$ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Upper central series | $C_1$ | $\lhd$ | $C_1$ | $\lhd$ | $C_{233}^2$ | $\lhd$ | $C_{233}^2$ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Supergroups
This group is a maximal subgroup of 2 larger groups in the database.
This group is a maximal quotient of 1 larger groups in the database.
Character theory
Complex character table
The $54289 \times 54289$ character table is not available for this group.
Rational character table
The $235 \times 235$ rational character table is not available for this group.