Abstract group 314928.hj: $C_3^8.(S_3\times D_4)$

• Label: 314928.hj
• Order: \( 2^{4} \cdot 3^{9} \)
• Exponent: \( 2^{2} \cdot 3^{2} \)
• Nilpotent: no
• Solvable: yes
• $\card{G^{\mathrm{ab}}}$: \( 2^{3} \cdot 3 \)
• $\card{Z(G)}$: \( 3 \)
• $\card{\Aut(G)}$: \( 2^{6} \cdot 3^{9} \)
• $\card{\mathrm{Out}(G)}$: \( 2^{2} \cdot 3 \)
• Perm deg.: $30$
• Trans deg.: $36$
• Rank: $3$

Group information

Description:	$C_3^8.(S_3\times D_4)$
Order:	\(314928\)\(\medspace = 2^{4} \cdot 3^{9} \)
Exponent:	\(36\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3^{2} \)
Automorphism group:	$C_3\times C_3^4.\He_3.D_6.C_2^4$, of order \(1259712\)\(\medspace = 2^{6} \cdot 3^{9} \)
Composition factors:	$C_2$ x 4, $C_3$ x 9
Derived length:	$3$

This group is nonabelian and solvable. Whether it is monomial has not been computed.

Group statistics

Order	1	2	3	4	6	9	12	18	36
Elements	1	963	10934	4860	171810	8748	56376	43740	17496	314928
Conjugacy classes	1	7	265	2	445	14	18	20	2	774
Divisions	1	7	146	2	239	7	10	10	1	423
Autjugacy classes	1	7	77	2	123	6	6	8	1	231

Minimal presentations

Permutation degree:	$30$
Transitive degree:	$36$
Rank:	$3$
Inequivalent generating triples:	not computed

Minimal degrees of faithful linear representations

	Over $\mathbb{C}$	Over $\mathbb{R}$	Over $\mathbb{Q}$
Irreducible	12	not computed	not computed
Arbitrary	not computed	not computed	not computed

Constructions

Presentation:	${\langle a, b, c, d, e, f, g, h, i \mid a^{6}=b^{6}=c^{12}=d^{3}=e^{3}=f^{3}= \!\cdots\! \rangle}$
Permutation group:	Degree $30$ $\langle(1,2,4,6)(3,7,12,16,17,5,8,13,9,11,14,18)(10,15)(19,20,23)(21,25,27)(22,24,26) \!\cdots\! \rangle$
Transitive group:	36T27513				more information
Direct product:	not isomorphic to a non-trivial direct product
Semidirect product:	not computed
Trans. wreath product:	not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product
Possibly split product:	$C_3^8$ . $(S_3\times D_4)$	$(C_3^7.D_6)$ . $D_6$	$C_3^7$ . $(D_6:D_6)$	$(C_3^8.D_{12})$ . $C_2$	all 96

Elements of the group are displayed as permutations of degree 30.

Homology

Abelianization:	$C_{2}^{2} \times C_{6} \simeq C_{2}^{3} \times C_{3}$
Schur multiplier:	$C_{2}^{3}$
Commutator length:	$1$

Subgroups

There are 114 normal subgroups, and all normal subgroups are characteristic.

Characteristic subgroups are shown in this color.

Special subgroups

Center:	$Z \simeq$ $C_3$	$G/Z \simeq$ $C_3^6.C_6.C_6.C_2^2$
Commutator:	$G' \simeq$ $C_3^7.C_6$	$G/G' \simeq$ $C_2^2\times C_6$
Frattini:	$\Phi \simeq$ $C_3^4$	$G/\Phi \simeq$ $C_3\wr D_4\times S_3$
Fitting:	$\operatorname{Fit} \simeq$ $C_3^6.C_3^3$	$G/\operatorname{Fit} \simeq$ $C_2\times D_4$
Radical:	$R \simeq$ $C_3^8.(S_3\times D_4)$	$G/R \simeq$ $C_1$
Socle:	$\operatorname{soc} \simeq$ $C_3^4$	$G/\operatorname{soc} \simeq$ $C_3^4.(C_6\times D_4)$
2-Sylow subgroup:	$P_{ 2 } \simeq$ $C_2\times D_4$
3-Sylow subgroup:	$P_{ 3 } \simeq$ $C_3^6.C_3^3$

Hi

Subgroup diagram and profile

Classes of subgroups up to conjugation

No diagram available: inclusions not computed

Classes of subgroups up to automorphism

No diagram available: inclusions not computed

Normal subgroups

No diagram available: inclusions not computed

Normal subgroups up to automorphism

No diagram available: inclusions not computed

Classes of subgroups up to conjugation

All subgroups of index up to 18 (order at least 17496) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 314928: $C_3^8.(S_3\times D_4)$

Order 157464: $C_3^6.C_3^3.C_2^3$, $C_3^5.C_3\wr D_4$, $C_3^8.(C_3\times D_4)$, $C_3^5.C_3\wr D_4$, $C_3^8.D_{12}$, $C_3^7.(S_3\times C_{12})$, $C_3^6.S_3^3$

Order 104976: $C_3\times C_3^6.C_6.C_2^3$, $C_3^7.(S_3\times D_4)$, $C_3^7.(S_3\times D_4)$

Order 78732: $C_3^4.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^4.C_2^2$, $C_3^7.C_6^2$, $C_3^5.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3\wr C_4$, $C_3^8.D_6$, $C_3^8.D_6$, $C_3^7.C_6^2$, $C_3^8.C_{12}$

Order 52488: $C_3^4.C_3\wr D_4$ x 3, $C_3^5.S_3^3$ x 3, $C_3^6.C_6^2.C_2$, $C_3^8.C_2^3$, $C_3^4.C_3^4.C_2^3$, $C_3^6.C_6^2.C_2$, $C_3^8.C_2^2.C_2$, $C_3^8.C_2^3$, $C_3^3.C_3^5.C_2^3$, $C_3^5.C_6.C_6^2$, $C_3^8:D_4$, $C_3^7.C_3:D_4$, $C_3^7.(C_3\times D_4)$, $C_3^7.(C_3\times D_4)$, $C_3^7.(C_3\times D_4)$, $C_3^5:C_6.S_3^2$, $C_3^7.D_{12}$, $C_3^7.D_{12}$, $C_3^7.(C_4\times S_3)$, $C_3^6.(S_3\times C_{12})$, $C_3^5.S_3^3$, $C_3^5.S_3^3$

Order 39366: $C_3^8.C_6$, $C_3^4.C_3^5.C_2$, $C_3^5.C_3^4.C_2$, $C_3^7.C_3.C_6$, $C_3^7.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^5.C_2$, $C_3^4.C_3^5.C_2$

Order 34992: $C_3^7:(C_2\times D_4)$ x 4, $C_3^4.C_6^3.C_2$, $C_3^5.C_6^2.C_2^2$, $C_3^6:(S_3\times D_4)$, $C_3^6:(S_3\times D_4)$, $C_3^6:(S_3\times D_4)$

Order 26244: $C_3^7.D_6$ x 8, $C_3^6.C_6^2$ x 5, $C_3^8.C_2^2$ x 4, $C_3^7.D_6$ x 4, $C_3^7.D_6$ x 3, $C_3^8.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3\wr C_4$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^6.(C_6\times S_3)$, $C_3^6.C_3.D_6$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^3.\He_3.C_6^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$, $C_3^5.C_3.C_6^2$, $C_3^2\times C_3^6.C_4$, $C_3^5.C_3.C_6^2$, $C_3^3.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^2\times C_3^6.C_2^2$, $C_3^3.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4\times C_3^4:C_2^2$, $C_3^8:C_4$, $C_3^2\wr C_2^2$, $C_3^7.C_3:C_4$, $C_3^7.D_6$, $C_3^7.D_6$, $C_3^7.D_6$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^7.C_{12}$, $C_3^7.C_{12}$, $C_3^7.C_{12}$

Order 19683: $C_3^6.C_3^3$

Order 17496: $C_3^7.C_2^3$ x 13, $C_3^7:D_4$ x 11, $C_3^4.S_3^3$ x 5, $C_3^7:D_4$ x 4, $C_3^4:C_6^2:S_3$ x 4, $C_3^7:D_4$ x 4, $C_3^7:D_4$ x 4, $C_3^7:C_2^3$ x 4, $C_3^7:(C_2\times C_4)$ x 4, $C_3^7.C_2^3$ x 2, $C_3^4:S_3^3$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_2^3$, $C_3^7.C_2^2.C_2$, $C_3^7.C_2^2.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2^3$, $C_3^3.C_3^4.C_2^3$, $C_3^4.C_3^3.C_2^3$, $C_3^4.(C_3^3\times D_4)$, $C_3^5.C_6^2.C_2$, $C_3^7.C_2^3$, $C_3^5:\SOPlus(4,2)$, $\He_3:C_3\wr D_4$, $C_3^5:(D_4\times C_9)$, $C_3^5:\SOPlus(4,2)$, $C_3^6.(C_3\times D_4)$, $C_3^6:(C_3\times D_4)$, $C_3^6:(C_3\times D_4)$, $C_3^5:\SOPlus(4,2)$, $\He_3:C_3\wr D_4$, $C_3^6:D_{12}$, $C_3^6:D_{12}$, $C_3^6:D_{12}$, $C_3^6:(C_4\times S_3)$, $C_3^5:(S_3\times C_{12})$, $C_3^6:(C_4\times S_3)$, $C_3^4:S_3^3$, $C_3^4:S_3^3$, $C_3^4.S_3^3$

Order 13122: $C_3^8.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^7.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^7.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$

Order 8748: $C_3^7.C_2^2$ x 2, $C_3^6.D_6$, $C_3^7:C_4$, $C_3^7:C_2^2$, $C_3^6:D_6$, $C_3^5.C_6^2$

Order 6561: $C_3\times C_3^6.C_3$, $C_3^7.C_3$, $C_3^8$

Order 5832: $C_3^6:D_4$

Order 4374: $C_3^7.C_2$ x 2, $C_3^6.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3.C_3^5.C_6$

Order 2916: $C_3^4:C_6^2$ x 2, $C_3^5:C_{12}$, $C_3^5:D_6$

Order 2187: $C_3^7$ x 2, $C_3^3\times C_3\wr C_3$, $C_3^6.C_3$

Order 1944: $C_3^5:D_4$

Order 1458: $C_3^5:C_6$ x 2, $C_3^5:S_3$, $C_3^5:S_3$

Order 972: $C_3^3:S_3^2$ x 2, $C_3^3:S_3^2$, $C_3^5:C_4$

Order 729: $C_3^6$ x 3, $C_3^3\times \He_3$, $C_3^5:C_3$

Order 486: $C_3^4:C_6$ x 2, $C_3^4:S_3$

Order 324: $C_3^2:S_3^2$

Order 243: $C_3^5$ x 4, $C_3^2\times \He_3$

Order 162: $C_3^3:S_3$

Order 81: $C_3^4$ x 4

Order 27: $C_3^3$ x 4

Order 16: $C_2\times D_4$

Order 9: $C_3^2$ x 3

Order 3: $C_3$ x 2

Order 1: $C_1$

Classes of subgroups up to automorphism

All subgroups of index up to 18 (order at least 17496) are shown, as well as all normal subgroups of any index.

Order 314928: $C_3^8.(S_3\times D_4)$

Order 157464: $C_3^6.C_3^3.C_2^3$, $C_3^5.C_3\wr D_4$, $C_3^8.(C_3\times D_4)$, $C_3^5.C_3\wr D_4$, $C_3^8.D_{12}$, $C_3^7.(S_3\times C_{12})$, $C_3^6.S_3^3$

Order 104976: $C_3\times C_3^6.C_6.C_2^3$, $C_3^7.(S_3\times D_4)$, $C_3^7.(S_3\times D_4)$

Order 78732: $C_3^4.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^4.C_2^2$, $C_3^7.C_6^2$, $C_3^5.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3\wr C_4$, $C_3^8.D_6$, $C_3^8.D_6$, $C_3^7.C_6^2$, $C_3^8.C_{12}$

Order 52488: $C_3^4.C_3\wr D_4$ x 3, $C_3^5.S_3^3$ x 3, $C_3^6.C_6^2.C_2$, $C_3^8.C_2^3$, $C_3^4.C_3^4.C_2^3$, $C_3^6.C_6^2.C_2$, $C_3^8.C_2^2.C_2$, $C_3^8.C_2^3$, $C_3^3.C_3^5.C_2^3$, $C_3^5.C_6.C_6^2$, $C_3^8:D_4$, $C_3^7.C_3:D_4$, $C_3^7.(C_3\times D_4)$, $C_3^7.(C_3\times D_4)$, $C_3^7.(C_3\times D_4)$, $C_3^5:C_6.S_3^2$, $C_3^7.D_{12}$, $C_3^7.D_{12}$, $C_3^7.(C_4\times S_3)$, $C_3^6.(S_3\times C_{12})$, $C_3^5.S_3^3$, $C_3^5.S_3^3$

Order 39366: $C_3^8.C_6$, $C_3^4.C_3^5.C_2$, $C_3^5.C_3^4.C_2$, $C_3^7.C_3.C_6$, $C_3^7.C_3.C_6$, $C_3^4.C_3^5.C_2$, $C_3^4.C_3^5.C_2$

Order 34992: $C_3^7:(C_2\times D_4)$ x 2, $C_3^4.C_6^3.C_2$, $C_3^5.C_6^2.C_2^2$, $C_3^6:(S_3\times D_4)$, $C_3^6:(S_3\times D_4)$, $C_3^6:(S_3\times D_4)$

Order 26244: $C_3^7.D_6$ x 6, $C_3^6.C_6^2$ x 5, $C_3^8.C_2^2$ x 4, $C_3^7.D_6$ x 4, $C_3^7.D_6$ x 3, $C_3^8.C_2^2$ x 2, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$ x 2, $C_3^4.C_3\wr C_4$ x 2, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^6.(C_6\times S_3)$, $C_3^6.C_3.D_6$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^3.\He_3.C_6^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^5.C_3.C_6^2$, $C_3^2\times C_3^6.C_4$, $C_3^5.C_3.C_6^2$, $C_3^3.C_3^5.C_2^2$, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^5.C_3^3.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^4.C_3^4.C_2^2$, $C_3^2\times C_3^6.C_2^2$, $C_3^3.C_3^5.C_2^2$, $C_3^4\times C_3^4:C_2^2$, $C_3^8:C_4$, $C_3^2\wr C_2^2$, $C_3^7.C_3:C_4$, $C_3^7.D_6$, $C_3^7.D_6$, $C_3^7.D_6$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^6.C_6^2$, $C_3^7.C_{12}$, $C_3^7.C_{12}$, $C_3^7.C_{12}$

Order 19683: $C_3^6.C_3^3$

Order 17496: $C_3^7.C_2^3$ x 9, $C_3^7:D_4$ x 9, $C_3^4:C_6^2:S_3$ x 4, $C_3^4.S_3^3$ x 4, $C_3^7.C_2^3$ x 2, $C_3^7:D_4$ x 2, $C_3^4:S_3^3$ x 2, $C_3^7:D_4$ x 2, $C_3^7:D_4$ x 2, $C_3^7:C_2^3$ x 2, $C_3^7:(C_2\times C_4)$ x 2, $C_3^4.C_3^3.C_2^3$, $C_3^7.C_2^2.C_2$, $C_3^7.C_2^2.C_2$, $C_3^3.C_3^4.C_2^3$, $C_3^3.C_3^4.C_2^3$, $C_3^4.C_3^3.C_2^3$, $C_3^4.(C_3^3\times D_4)$, $C_3^5.C_6^2.C_2$, $C_3^7.C_2^3$, $C_3^5:\SOPlus(4,2)$, $\He_3:C_3\wr D_4$, $C_3^5:(D_4\times C_9)$, $C_3^5:\SOPlus(4,2)$, $C_3^6.(C_3\times D_4)$, $C_3^6:(C_3\times D_4)$, $C_3^6:(C_3\times D_4)$, $C_3^5:\SOPlus(4,2)$, $\He_3:C_3\wr D_4$, $C_3^6:D_{12}$, $C_3^6:D_{12}$, $C_3^6:D_{12}$, $C_3^6:(C_4\times S_3)$, $C_3^5:(S_3\times C_{12})$, $C_3^6:(C_4\times S_3)$, $C_3^4:S_3^3$, $C_3^4:S_3^3$, $C_3^4.S_3^3$

Order 13122: $C_3^8.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^7.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$, $C_3^7.C_6$, $C_3^4.C_3^4.C_2$

Order 8748: $C_3^7.C_2^2$ x 2, $C_3^6.D_6$, $C_3^7:C_4$, $C_3^7:C_2^2$, $C_3^6:D_6$, $C_3^5.C_6^2$

Order 6561: $C_3\times C_3^6.C_3$, $C_3^7.C_3$, $C_3^8$

Order 5832: $C_3^6:D_4$

Order 4374: $C_3^7.C_2$ x 2, $C_3^6.C_6$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3^4.C_3^3.C_2$, $C_3.C_3^5.C_6$

Order 2916: $C_3^4:C_6^2$ x 2, $C_3^5:C_{12}$, $C_3^5:D_6$

Order 2187: $C_3^7$ x 2, $C_3^3\times C_3\wr C_3$, $C_3^6.C_3$

Order 1944: $C_3^5:D_4$

Order 1458: $C_3^5:C_6$ x 2, $C_3^5:S_3$, $C_3^5:S_3$

Order 972: $C_3^3:S_3^2$ x 2, $C_3^3:S_3^2$, $C_3^5:C_4$

Order 729: $C_3^6$ x 3, $C_3^3\times \He_3$, $C_3^5:C_3$

Order 486: $C_3^4:C_6$ x 2, $C_3^4:S_3$

Order 324: $C_3^2:S_3^2$

Order 243: $C_3^5$ x 4, $C_3^2\times \He_3$

Order 162: $C_3^3:S_3$

Order 81: $C_3^4$ x 4

Order 27: $C_3^3$ x 4

Order 16: $C_2\times D_4$

Order 9: $C_3^2$ x 3

Order 3: $C_3$ x 2

Order 1: $C_1$

Normal subgroups (quotient in parentheses)

Order 314928: $C_3^8.(S_3\times D_4)$ ($C_1$)

Order 157464: $C_3^6.C_3^3.C_2^3$ ($C_2$), $C_3^5.C_3\wr D_4$ ($C_2$), $C_3^8.(C_3\times D_4)$ ($C_2$), $C_3^5.C_3\wr D_4$ ($C_2$), $C_3^8.D_{12}$ ($C_2$), $C_3^7.(S_3\times C_{12})$ ($C_2$), $C_3^6.S_3^3$ ($C_2$)

Order 104976: $C_3^7.(S_3\times D_4)$ ($C_3$)

Order 78732: $C_3^4.C_3^5.C_2^2$ ($C_2^2$), $C_3^4.C_3^5.C_2^2$ ($C_2^2$), $C_3^7.C_6^2$ ($C_2^2$), $C_3^5.C_3\wr C_4$ ($C_2^2$), $C_3^8.D_6$ ($C_2^2$), $C_3^7.C_6^2$ ($C_2^2$), $C_3^8.C_{12}$ ($C_2^2$)

Order 52488: $C_3^4.C_3^4.C_2^3$ ($C_6$), $C_3^5.C_6.C_6^2$ ($S_3$), $C_3^7.C_3:D_4$ ($C_6$), $C_3^7.(C_3\times D_4)$ ($C_6$), $C_3^5:C_6.S_3^2$ ($C_6$), $C_3^7.D_{12}$ ($C_6$), $C_3^7.(C_4\times S_3)$ ($C_6$), $C_3^5.S_3^3$ ($S_3$), $C_3^5.S_3^3$ ($C_6$)

Order 39366: $C_3^8.C_6$ ($C_2^3$), $C_3^4.C_3^5.C_2$ ($D_4$), $C_3^4.C_3^5.C_2$ ($D_4$)

Order 26244: $C_3^4.C_3^4.C_2^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^6.(C_6\times S_3)$ ($C_2\times C_6$), $C_3^2\times C_3^6.C_4$ ($D_6$), $C_3^6.C_6^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^5.C_3^3.C_2^2$ ($D_6$), $C_3^2\times C_3^6.C_2^2$ ($D_6$), $C_3^4\times C_3^4:C_2^2$ ($D_6$), $C_3^7.C_3:C_4$ ($C_2\times C_6$), $C_3^7.D_6$ ($C_2\times C_6$), $C_3^7.D_6$ ($D_6$), $C_3^6.C_6^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^6.C_6^2$ ($D_6$), $C_3^7.C_{12}$ ($C_2\times C_6$)

Order 19683: $C_3^6.C_3^3$ ($C_2\times D_4$)

Order 17496: $C_3^7:D_4$ ($C_3\times S_3$), $C_3^4:S_3^3$ ($C_3\times S_3$)

Order 13122: $C_3^8.C_2$ ($C_2\times D_6$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3:D_4$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3\times D_4$), $C_3^7.C_6$ ($C_2\times D_6$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3:D_4$), $C_3^7.C_6$ ($C_2^2\times C_6$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3\times D_4$)

Order 8748: $C_3^6.D_6$ ($C_6\times S_3$), $C_3^7.C_2^2$ ($C_6\times S_3$), $C_3^7.C_2^2$ ($S_3^2$), $C_3^7:C_4$ ($C_6\times S_3$), $C_3^7:C_2^2$ ($C_6\times S_3$), $C_3^6:D_6$ ($C_6\times S_3$), $C_3^5.C_6^2$ ($C_6\times S_3$)

Order 6561: $C_3\times C_3^6.C_3$ ($C_6\times D_4$), $C_3^7.C_3$ ($C_6:D_4$), $C_3^8$ ($S_3\times D_4$)

Order 5832: $C_3^6:D_4$ ($C_3^2:C_6$)

Order 4374: $C_3^7.C_2$ ($C_6\times D_6$), $C_3^7.C_2$ ($S_3\times D_6$), $C_3^6.C_6$ ($C_6\times D_6$), $C_3^4.C_3^3.C_2$ ($C_6\wr C_2$), $C_3^4.C_3^3.C_2$ ($C_6\wr C_2$), $C_3.C_3^5.C_6$ ($\SOPlus(4,2)$)

Order 2916: $C_3^4:C_6^2$ ($C_3\times S_3^2$), $C_3^4:C_6^2$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^5:C_{12}$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^5:D_6$ ($C_3^2:D_6$)

Order 2187: $C_3^7$ ($C_{12}:D_6$), $C_3^7$ ($D_6:D_6$), $C_3^3\times C_3\wr C_3$ ($S_3^2:C_2^2$), $C_3^6.C_3$ ($C_6^2:C_2^2$)

Order 1944: $C_3^5:D_4$ ($C_3\wr S_3$)

Order 1458: $C_3^5:C_6$ ($C_6\times S_3^2$), $C_3^5:C_6$ ($C_6^2:C_6$), $C_3^5:S_3$ ($S_3^2:C_6$), $C_3^5:S_3$ ($S_3^2:S_3$)

Order 972: $C_3^3:S_3^2$ ($C_3^3:D_6$), $C_3^3:S_3^2$ ($C_3^3:D_6$), $C_3^3:S_3^2$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^5:C_4$ ($C_3^3:D_6$)

Order 729: $C_3^6$ ($S_3^3:C_2$), $C_3^6$ ($C_6^2:D_6$), $C_3^6$ ($C_6^2:D_6$), $C_3^3\times \He_3$ ($C_6\times \SOPlus(4,2)$), $C_3^5:C_3$ ($S_3^2:D_6$)

Order 486: $C_3^4:C_6$ ($S_3\times C_3^2:D_6$), $C_3^4:C_6$ ($C_2^2\times C_3\wr S_3$), $C_3^4:S_3$ ($C_3\wr D_4$)

Order 324: $C_3^2:S_3^2$ ($C_3^3:S_3^2$)

Order 243: $C_3^5$ ($S_3^3:S_3$), $C_3^5$ ($S_3^3:C_6$), $C_3^5$ ($C_6^2:S_3^2$), $C_3^5$ ($C_3\wr S_3\times D_4$), $C_3^2\times \He_3$ ($C_2\times C_3\wr D_4$)

Order 162: $C_3^3:S_3$ ($C_3\wr S_3\times D_6$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^4.(C_6\times D_4)$), $C_3^4$ ($C_3^4.D_{12}.C_2$), $C_3^4$ ($(C_3\times C_6^2):S_3^2$), $C_3^4$ ($C_3\wr D_4\times S_3$)

Order 27: $C_3^3$ ($C_3^5.C_6.C_2^3$), $C_3^3$ ($C_3^5:(S_3\times D_4)$), $C_3^3$ ($C_3^5:(S_3\times D_4)$), $C_3^3$ ($C_3^5:(S_3\times D_4)$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3^6:(S_3\times D_4)$), $C_3^2$ ($C_3^6:(S_3\times D_4)$), $C_3^2$ ($C_3^6:(S_3\times D_4)$)

Order 3: $C_3$ ($C_3^6.C_6.C_6.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^7.(S_3\times D_4)$)

Order 1: $C_1$ ($C_3^8.(S_3\times D_4)$)

Normal subgroups up to automorphism (quotient in parentheses)

Order 314928: $C_3^8.(S_3\times D_4)$ ($C_1$)

Order 157464: $C_3^6.C_3^3.C_2^3$ ($C_2$), $C_3^5.C_3\wr D_4$ ($C_2$), $C_3^8.(C_3\times D_4)$ ($C_2$), $C_3^5.C_3\wr D_4$ ($C_2$), $C_3^8.D_{12}$ ($C_2$), $C_3^7.(S_3\times C_{12})$ ($C_2$), $C_3^6.S_3^3$ ($C_2$)

Order 104976: $C_3^7.(S_3\times D_4)$ ($C_3$)

Order 78732: $C_3^4.C_3^5.C_2^2$ ($C_2^2$), $C_3^4.C_3^5.C_2^2$ ($C_2^2$), $C_3^7.C_6^2$ ($C_2^2$), $C_3^5.C_3\wr C_4$ ($C_2^2$), $C_3^8.D_6$ ($C_2^2$), $C_3^7.C_6^2$ ($C_2^2$), $C_3^8.C_{12}$ ($C_2^2$)

Order 52488: $C_3^4.C_3^4.C_2^3$ ($C_6$), $C_3^5.C_6.C_6^2$ ($S_3$), $C_3^7.C_3:D_4$ ($C_6$), $C_3^7.(C_3\times D_4)$ ($C_6$), $C_3^5:C_6.S_3^2$ ($C_6$), $C_3^7.D_{12}$ ($C_6$), $C_3^7.(C_4\times S_3)$ ($C_6$), $C_3^5.S_3^3$ ($S_3$), $C_3^5.S_3^3$ ($C_6$)

Order 39366: $C_3^8.C_6$ ($C_2^3$), $C_3^4.C_3^5.C_2$ ($D_4$), $C_3^4.C_3^5.C_2$ ($D_4$)

Order 26244: $C_3^4.C_3^4.C_2^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^6.(C_6\times S_3)$ ($C_2\times C_6$), $C_3^2\times C_3^6.C_4$ ($D_6$), $C_3^6.C_6^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^5.C_3^3.C_2^2$ ($D_6$), $C_3^2\times C_3^6.C_2^2$ ($D_6$), $C_3^4\times C_3^4:C_2^2$ ($D_6$), $C_3^7.C_3:C_4$ ($C_2\times C_6$), $C_3^7.D_6$ ($C_2\times C_6$), $C_3^7.D_6$ ($D_6$), $C_3^6.C_6^2$ ($C_2\times C_6$), $C_3^6.C_6^2$ ($D_6$), $C_3^7.C_{12}$ ($C_2\times C_6$)

Order 19683: $C_3^6.C_3^3$ ($C_2\times D_4$)

Order 17496: $C_3^7:D_4$ ($C_3\times S_3$), $C_3^4:S_3^3$ ($C_3\times S_3$)

Order 13122: $C_3^8.C_2$ ($C_2\times D_6$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3:D_4$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3\times D_4$), $C_3^7.C_6$ ($C_2\times D_6$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3:D_4$), $C_3^7.C_6$ ($C_2^2\times C_6$), $C_3^4.C_3^4.C_2$ ($C_3\times D_4$)

Order 8748: $C_3^6.D_6$ ($C_6\times S_3$), $C_3^7.C_2^2$ ($C_6\times S_3$), $C_3^7.C_2^2$ ($S_3^2$), $C_3^7:C_4$ ($C_6\times S_3$), $C_3^7:C_2^2$ ($C_6\times S_3$), $C_3^6:D_6$ ($C_6\times S_3$), $C_3^5.C_6^2$ ($C_6\times S_3$)

Order 6561: $C_3\times C_3^6.C_3$ ($C_6\times D_4$), $C_3^7.C_3$ ($C_6:D_4$), $C_3^8$ ($S_3\times D_4$)

Order 5832: $C_3^6:D_4$ ($C_3^2:C_6$)

Order 4374: $C_3^7.C_2$ ($C_6\times D_6$), $C_3^7.C_2$ ($S_3\times D_6$), $C_3^6.C_6$ ($C_6\times D_6$), $C_3^4.C_3^3.C_2$ ($C_6\wr C_2$), $C_3^4.C_3^3.C_2$ ($C_6\wr C_2$), $C_3.C_3^5.C_6$ ($\SOPlus(4,2)$)

Order 2916: $C_3^4:C_6^2$ ($C_3\times S_3^2$), $C_3^4:C_6^2$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^5:C_{12}$ ($C_3^2:D_6$), $C_3^5:D_6$ ($C_3^2:D_6$)

Order 2187: $C_3^7$ ($C_{12}:D_6$), $C_3^7$ ($D_6:D_6$), $C_3^3\times C_3\wr C_3$ ($S_3^2:C_2^2$), $C_3^6.C_3$ ($C_6^2:C_2^2$)

Order 1944: $C_3^5:D_4$ ($C_3\wr S_3$)

Order 1458: $C_3^5:C_6$ ($C_6\times S_3^2$), $C_3^5:C_6$ ($C_6^2:C_6$), $C_3^5:S_3$ ($S_3^2:C_6$), $C_3^5:S_3$ ($S_3^2:S_3$)

Order 972: $C_3^3:S_3^2$ ($C_3^3:D_6$), $C_3^3:S_3^2$ ($C_3^3:D_6$), $C_3^3:S_3^2$ ($C_3^2:S_3^2$), $C_3^5:C_4$ ($C_3^3:D_6$)

Order 729: $C_3^6$ ($S_3^3:C_2$), $C_3^6$ ($C_6^2:D_6$), $C_3^6$ ($C_6^2:D_6$), $C_3^3\times \He_3$ ($C_6\times \SOPlus(4,2)$), $C_3^5:C_3$ ($S_3^2:D_6$)

Order 486: $C_3^4:C_6$ ($S_3\times C_3^2:D_6$), $C_3^4:C_6$ ($C_2^2\times C_3\wr S_3$), $C_3^4:S_3$ ($C_3\wr D_4$)

Order 324: $C_3^2:S_3^2$ ($C_3^3:S_3^2$)

Order 243: $C_3^5$ ($S_3^3:S_3$), $C_3^5$ ($S_3^3:C_6$), $C_3^5$ ($C_6^2:S_3^2$), $C_3^5$ ($C_3\wr S_3\times D_4$), $C_3^2\times \He_3$ ($C_2\times C_3\wr D_4$)

Order 162: $C_3^3:S_3$ ($C_3\wr S_3\times D_6$)

Order 81: $C_3^4$ ($C_3^4.(C_6\times D_4)$), $C_3^4$ ($C_3^4.D_{12}.C_2$), $C_3^4$ ($(C_3\times C_6^2):S_3^2$), $C_3^4$ ($C_3\wr D_4\times S_3$)

Order 27: $C_3^3$ ($C_3^5.C_6.C_2^3$), $C_3^3$ ($C_3^5:(S_3\times D_4)$), $C_3^3$ ($C_3^5:(S_3\times D_4)$), $C_3^3$ ($C_3^5:(S_3\times D_4)$)

Order 9: $C_3^2$ ($C_3^6:(S_3\times D_4)$), $C_3^2$ ($C_3^6:(S_3\times D_4)$), $C_3^2$ ($C_3^6:(S_3\times D_4)$)

Order 3: $C_3$ ($C_3^6.C_6.C_6.C_2^2$), $C_3$ ($C_3^7.(S_3\times D_4)$)

Order 1: $C_1$ ($C_3^8.(S_3\times D_4)$)

Series

Derived series

$C_3^8.(S_3\times D_4)$

$\rhd$

$C_3^7.C_6$

$\rhd$

$C_3^5$

$\rhd$

$C_1$

Chief series

$C_3^8.(S_3\times D_4)$

$\rhd$

$C_3^6.C_3^3.C_2^3$

$\rhd$

$C_3^7.C_6^2$

$\rhd$

$C_3^8.C_6$

$\rhd$

$C_3^7.C_6$

$\rhd$

$C_3\times C_3^6.C_3$

$\rhd$

$C_3^7$

$\rhd$

$C_3^6$

$\rhd$

$C_3^5$

$\rhd$

$C_3^4$

$\rhd$

$C_3^2$

$\rhd$

$C_1$

Lower central series

$C_3^8.(S_3\times D_4)$

$\rhd$

$C_3^7.C_6$

$\rhd$

$C_3\times C_3^6.C_3$

Upper central series

$C_1$

$\lhd$

$C_3$

Supergroups

This group is a maximal subgroup of 4 larger groups in the database.

This group is a maximal quotient of 1 larger groups in the database.

Character theory

Complex character table

The $774 \times 774$ character table is not available for this group.

Rational character table

The $423 \times 423$ rational character table is not available for this group.