Group information
Description: | $C_{78}.C_2^4$ | |
Order: | \(1248\)\(\medspace = 2^{5} \cdot 3 \cdot 13 \) |
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Exponent: | \(156\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13 \) |
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Automorphism group: | $C_{26}.(C_2^3\times C_6).C_2^5.\PSL(2,7)$, of order \(6709248\)\(\medspace = 2^{13} \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 13 \) |
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Composition factors: | $C_2$ x 5, $C_3$, $C_{13}$ |
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Derived length: | $2$ |
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This group is nonabelian, supersolvable (hence solvable and monomial), hyperelementary for $p = 2$, metabelian, and an A-group.
Group statistics
Order | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 | 13 | 26 | 39 | 78 | |
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Elements | 1 | 15 | 2 | 208 | 30 | 416 | 12 | 180 | 24 | 360 | 1248 |
Conjugacy classes | 1 | 15 | 2 | 16 | 30 | 32 | 6 | 90 | 12 | 180 | 384 |
Divisions | 1 | 15 | 1 | 8 | 15 | 8 | 1 | 15 | 1 | 15 | 80 |
Autjugacy classes | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 14 |
Dimension | 1 | 2 | 4 | 12 | 24 | |
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Irr. complex chars. | 96 | 288 | 0 | 0 | 0 | 384 |
Irr. rational chars. | 16 | 24 | 8 | 16 | 16 | 80 |
Minimal presentations
Permutation degree: | $26$ |
Transitive degree: | $1248$ |
Rank: | $4$ |
Inequivalent generating quadruples: | $109800$ |
Minimal degrees of faithful linear representations
Over $\mathbb{C}$ | Over $\mathbb{R}$ | Over $\mathbb{Q}$ | |
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Irreducible | none | none | none |
Arbitrary | not computed | not computed | not computed |
Constructions
Presentation: |
$\langle a, b, c, d \mid a^{2}=b^{2}=c^{4}=d^{78}=[a,b]=[a,c]=[a,d]=[b,c]=[b,d]=1, d^{c}=d^{25} \rangle$
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Permutation group: | Degree $26$
$\langle(2,3)(4,5)(6,7)(8,9)(10,11)(12,13)(14,15,16,17)(21,22)(23,24)(25,26), (14,16) \!\cdots\! \rangle$
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Matrix group: | $\left\langle \left(\begin{array}{rr} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr} 1 & 26 \\ 26 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr} 1 & 26 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr} 47 & 0 \\ 0 & 31 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr} 51 & 26 \\ 26 & 25 \end{array}\right) \right\rangle \subseteq \GL_{2}(\Z/52\Z)$ | |||||||||
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Direct product: | $C_2$ ${}^3$ $\, \times\, $ $C_3$ $\, \times\, $ $(C_{13}:C_4)$ | |||||||||
Semidirect product: | $(C_2^2\times C_{78})$ $\,\rtimes\,$ $C_4$ | $C_{78}$ $\,\rtimes\,$ $(C_2^2\times C_4)$ | $C_{39}$ $\,\rtimes\,$ $(C_2^3\times C_4)$ | $(C_2^2\times C_{26})$ $\,\rtimes\,$ $C_{12}$ | all 8 | |||||
Trans. wreath product: | not isomorphic to a non-trivial transitive wreath product | |||||||||
Non-split product: | $C_{78}$ . $C_2^4$ | $(C_2^3\times C_6)$ . $D_{13}$ | $(C_2^2\times C_6)$ . $D_{26}$ | $C_2^4$ . $(C_3\times D_{13})$ | all 16 |
Elements of the group are displayed as words in the presentation generators from the presentation above.
Homology
Abelianization: | $C_{2}^{3} \times C_{12} \simeq C_{2}^{3} \times C_{4} \times C_{3}$ |
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Schur multiplier: | $C_{2}^{6}$ |
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Commutator length: | $1$ |
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Subgroups
There are 1696 subgroups in 472 conjugacy classes, 370 normal (14 characteristic).
Characteristic subgroups are shown in this color. Normal (but not characteristic) subgroups are shown in this color.
Special subgroups
Center: | $Z \simeq$ $C_2^3\times C_6$ | $G/Z \simeq$ $D_{13}$ |
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Commutator: | $G' \simeq$ $C_{13}$ | $G/G' \simeq$ $C_2^3\times C_{12}$ |
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Frattini: | $\Phi \simeq$ $C_2$ | $G/\Phi \simeq$ $C_{78}:C_2^3$ |
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Fitting: | $\operatorname{Fit} \simeq$ $C_2^3\times C_{78}$ | $G/\operatorname{Fit} \simeq$ $C_2$ |
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Radical: | $R \simeq$ $C_{78}.C_2^4$ | $G/R \simeq$ $C_1$ |
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Socle: | $\operatorname{soc} \simeq$ $C_2^3\times C_{78}$ | $G/\operatorname{soc} \simeq$ $C_2$ |
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2-Sylow subgroup: | $P_{ 2 } \simeq$ $C_2^3\times C_4$ | ||
3-Sylow subgroup: | $P_{ 3 } \simeq$ $C_3$ | ||
13-Sylow subgroup: | $P_{ 13 } \simeq$ $C_{13}$ |
Subgroup diagram and profile
For the default diagram, subgroups are sorted vertically by the number of prime divisors (counted with multiplicity) in their orders.
To see subgroups sorted vertically by order instead, check this box.
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Subgroup information
Click on a subgroup in the diagram to see information about it.
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Series
Derived series | $C_{78}.C_2^4$ | $\rhd$ | $C_{13}$ | $\rhd$ | $C_1$ |
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Chief series | $C_{78}.C_2^4$ | $\rhd$ | $C_{78}.C_2^3$ | $\rhd$ | $C_2^2\times C_{78}$ | $\rhd$ | $C_2\times C_{78}$ | $\rhd$ | $C_{78}$ | $\rhd$ | $C_{39}$ | $\rhd$ | $C_{13}$ | $\rhd$ | $C_1$ |
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Lower central series | $C_{78}.C_2^4$ | $\rhd$ | $C_{13}$ |
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Upper central series | $C_1$ | $\lhd$ | $C_2^3\times C_6$ |
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Character theory
Complex character table
See the $384 \times 384$ character table (warning: may be slow to load). Alternatively, you may search for characters of this group with desired properties.
Rational character table
See the $80 \times 80$ rational character table.