Properties

Label 1.6.A.1.1a
  
Name \(\mathrm{USp}(6)\)
Weight $1$
Degree $6$
Real dimension $21$
Components $1$
Contained in \(\mathrm{USp}(6)\)
Identity component \(\mathrm{USp}(6)\)
Component group \(C_1\)

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Invariants

Weight:$1$
Degree:$6$
$\mathbb{R}$-dimension:$21$
Components:$1$
Contained in:$\mathrm{USp}(6)$
Rational:yes

Identity component

Name:$\mathrm{USp}(6)$
$\mathbb{R}$-dimension:$21$
Description:$\Bigl\{ A\in \mathrm{GL}_6(\mathbb{C}):A^{-1}=\bar{A^{\mathrm{t}}},\ A^{\mathrm{t}}\Omega A = \Omega\Bigr\}$ Symplectic form:$\Omega:=\begin{bmatrix}0&I_3\\-I_3&0\end{bmatrix}$
Hodge circle:$u\mapsto\mathrm{diag}(u,u,u,\bar u,\bar u,\bar u)$

Moment sequences

$x$ $\mathrm{E}[x^{0}]$ $\mathrm{E}[x^{1}]$ $\mathrm{E}[x^{2}]$ $\mathrm{E}[x^{3}]$ $\mathrm{E}[x^{4}]$ $\mathrm{E}[x^{5}]$ $\mathrm{E}[x^{6}]$ $\mathrm{E}[x^{7}]$ $\mathrm{E}[x^{8}]$ $\mathrm{E}[x^{9}]$ $\mathrm{E}[x^{10}]$ $\mathrm{E}[x^{11}]$ $\mathrm{E}[x^{12}]$
$a_1$ $1$ $0$ $1$ $0$ $3$ $0$ $15$ $0$ $104$ $0$ $909$ $0$ $9449$
$a_2$ $1$ $1$ $2$ $5$ $16$ $62$ $282$ $1459$ $8375$ $52323$ $350676$ $2493846$ $18659787$
$a_3$ $1$ $0$ $2$ $0$ $23$ $0$ $684$ $0$ $34760$ $0$ $2493096$ $0$ $228253267$

Moment simplex

$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=2\right)\colon$ $1$ $1$
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=4\right)\colon$ $2$ $1$ $2$ $3$
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=6\right)\colon$ $2$ $5$ $3$ $6$ $4$ $9$ $15$
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=8\right)\colon$ $5$ $16$ $10$ $7$ $22$ $15$ $35$ $24$ $59$ $104$
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=10\right)\colon$ $18$ $62$ $12$ $40$ $27$ $95$ $64$ $44$ $159$ $108$ $277$ $188$ $496$ $909$
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=12\right)\colon$ $23$ $76$ $282$ $51$ $184$ $123$ $467$ $83$ $311$ $209$ $816$ $545$ $367$ $1466$
$$ $979$ $2687$ $1791$ $5004$ $9449$

Moment matrix

$\mathrm{E}\left[\chi_i\chi_j\right] = \begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}$

$\ \ \ \mathrm{E}\left[\chi_i^2\right] = \begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\end{bmatrix}$

Event probabilities

$\mathrm{Pr}[a_i=n]=0$ for $i=1,2,3$ and $n\in\mathbb{Z}$.