$x$ |
$\mathrm{E}[x^{0}]$ |
$\mathrm{E}[x^{1}]$ |
$\mathrm{E}[x^{2}]$ |
$\mathrm{E}[x^{3}]$ |
$\mathrm{E}[x^{4}]$ |
$\mathrm{E}[x^{5}]$ |
$\mathrm{E}[x^{6}]$ |
$\mathrm{E}[x^{7}]$ |
$\mathrm{E}[x^{8}]$ |
$\mathrm{E}[x^{9}]$ |
$\mathrm{E}[x^{10}]$ |
$\mathrm{E}[x^{11}]$ |
$\mathrm{E}[x^{12}]$ |
$a_1$ |
$1$ |
$0$ |
$1$ |
$0$ |
$3$ |
$0$ |
$15$ |
$0$ |
$104$ |
$0$ |
$909$ |
$0$ |
$9449$ |
$a_2$ |
$1$ |
$1$ |
$2$ |
$5$ |
$16$ |
$62$ |
$282$ |
$1459$ |
$8375$ |
$52323$ |
$350676$ |
$2493846$ |
$18659787$ |
$a_3$ |
$1$ |
$0$ |
$2$ |
$0$ |
$23$ |
$0$ |
$684$ |
$0$ |
$34760$ |
$0$ |
$2493096$ |
$0$ |
$228253267$ |
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=2\right)\colon$ |
$1$ |
$1$ |
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=4\right)\colon$ |
$2$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=6\right)\colon$ |
$2$ |
$5$ |
$3$ |
$6$ |
$4$ |
$9$ |
$15$ |
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=8\right)\colon$ |
$5$ |
$16$ |
$10$ |
$7$ |
$22$ |
$15$ |
$35$ |
$24$ |
$59$ |
$104$ |
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=10\right)\colon$ |
$18$ |
$62$ |
$12$ |
$40$ |
$27$ |
$95$ |
$64$ |
$44$ |
$159$ |
$108$ |
$277$ |
$188$ |
$496$ |
$909$ |
$\left(\mathrm{E}\left[a_1^{e_1}a_2^{e_2}a_3^{e_3}\right]:\sum ie_i=12\right)\colon$ |
$23$ |
$76$ |
$282$ |
$51$ |
$184$ |
$123$ |
$467$ |
$83$ |
$311$ |
$209$ |
$816$ |
$545$ |
$367$ |
$1466$ |
$$ |
$979$ |
$2687$ |
$1791$ |
$5004$ |
$9449$ |
$\mathrm{E}\left[\chi_i\chi_j\right] = \begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}$
$\ \ \ \mathrm{E}\left[\chi_i^2\right] = \begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\end{bmatrix}$
$\mathrm{Pr}[a_i=n]=0$ for $i=1,2,3$ and $n\in\mathbb{Z}$.