↑

Properties

Label 46.46.1918871143...9536.1
Degree $46$
Signature $[46, 0]$
Discriminant $2^{46}\cdot 139^{45}$
Root discriminant $249.72$
Ramified primes $2, 139$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{46}$ (as 46T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-139, 0, 130521, 0, -15510176, 0, 672424037, 0, -14233979331, 0, 163194295520, 0, -1048304318076, 0, 3845124379063, 0, -8644736545611, 0, 12666923956314, 0, -12650666385793, 0, 8892362080602, 0, -4500353723805, 0, 1665672137532, 0, -455453785938, 0, 92518611975, 0, -13979518842, 0, 1565679459, 0, -128729568, 0, 7629154, 0, -315669, 0, 8618, 0, -139, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^46 - 139*x^44 + 8618*x^42 - 315669*x^40 + 7629154*x^38 - 128729568*x^36 + 1565679459*x^34 - 13979518842*x^32 + 92518611975*x^30 - 455453785938*x^28 + 1665672137532*x^26 - 4500353723805*x^24 + 8892362080602*x^22 - 12650666385793*x^20 + 12666923956314*x^18 - 8644736545611*x^16 + 3845124379063*x^14 - 1048304318076*x^12 + 163194295520*x^10 - 14233979331*x^8 + 672424037*x^6 - 15510176*x^4 + 130521*x^2 - 139)
 
gp: K = bnfinit(x^46 - 139*x^44 + 8618*x^42 - 315669*x^40 + 7629154*x^38 - 128729568*x^36 + 1565679459*x^34 - 13979518842*x^32 + 92518611975*x^30 - 455453785938*x^28 + 1665672137532*x^26 - 4500353723805*x^24 + 8892362080602*x^22 - 12650666385793*x^20 + 12666923956314*x^18 - 8644736545611*x^16 + 3845124379063*x^14 - 1048304318076*x^12 + 163194295520*x^10 - 14233979331*x^8 + 672424037*x^6 - 15510176*x^4 + 130521*x^2 - 139, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{46} - 139 x^{44} + 8618 x^{42} - 315669 x^{40} + 7629154 x^{38} - 128729568 x^{36} + 1565679459 x^{34} - 13979518842 x^{32} + 92518611975 x^{30} - 455453785938 x^{28} + 1665672137532 x^{26} - 4500353723805 x^{24} + 8892362080602 x^{22} - 12650666385793 x^{20} + 12666923956314 x^{18} - 8644736545611 x^{16} + 3845124379063 x^{14} - 1048304318076 x^{12} + 163194295520 x^{10} - 14233979331 x^{8} + 672424037 x^{6} - 15510176 x^{4} + 130521 x^{2} - 139 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $46$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[46, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(191887114399071203215261189008588517438068201371508106033923495851947481771314893971708476896923399559143489536=2^{46}\cdot 139^{45}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $249.72$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 139$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(556=2^{2}\cdot 139\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{556}(1,·)$, $\chi_{556}(555,·)$, $\chi_{556}(517,·)$, $\chi_{556}(129,·)$, $\chi_{556}(215,·)$, $\chi_{556}(369,·)$, $\chi_{556}(45,·)$, $\chi_{556}(145,·)$, $\chi_{556}(147,·)$, $\chi_{556}(529,·)$, $\chi_{556}(533,·)$, $\chi_{556}(23,·)$, $\chi_{556}(409,·)$, $\chi_{556}(461,·)$, $\chi_{556}(27,·)$, $\chi_{556}(411,·)$, $\chi_{556}(39,·)$, $\chi_{556}(427,·)$, $\chi_{556}(173,·)$, $\chi_{556}(223,·)$, $\chi_{556}(431,·)$, $\chi_{556}(59,·)$, $\chi_{556}(311,·)$, $\chi_{556}(57,·)$, $\chi_{556}(479,·)$, $\chi_{556}(383,·)$, $\chi_{556}(65,·)$, $\chi_{556}(453,·)$, $\chi_{556}(199,·)$, $\chi_{556}(75,·)$, $\chi_{556}(77,·)$, $\chi_{556}(333,·)$, $\chi_{556}(341,·)$, $\chi_{556}(87,·)$, $\chi_{556}(95,·)$, $\chi_{556}(481,·)$, $\chi_{556}(187,·)$, $\chi_{556}(357,·)$, $\chi_{556}(103,·)$, $\chi_{556}(491,·)$, $\chi_{556}(497,·)$, $\chi_{556}(499,·)$, $\chi_{556}(245,·)$, $\chi_{556}(511,·)$, $\chi_{556}(125,·)$, $\chi_{556}(469,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{43} a^{28} - \frac{13}{43} a^{26} + \frac{21}{43} a^{24} + \frac{6}{43} a^{22} - \frac{6}{43} a^{20} - \frac{20}{43} a^{18} + \frac{11}{43} a^{16} - \frac{17}{43} a^{14} + \frac{6}{43} a^{12} + \frac{7}{43} a^{10} + \frac{2}{43} a^{8} + \frac{10}{43} a^{6} + \frac{2}{43} a^{4} + \frac{17}{43} a^{2} + \frac{16}{43}$, $\frac{1}{43} a^{29} - \frac{13}{43} a^{27} + \frac{21}{43} a^{25} + \frac{6}{43} a^{23} - \frac{6}{43} a^{21} - \frac{20}{43} a^{19} + \frac{11}{43} a^{17} - \frac{17}{43} a^{15} + \frac{6}{43} a^{13} + \frac{7}{43} a^{11} + \frac{2}{43} a^{9} + \frac{10}{43} a^{7} + \frac{2}{43} a^{5} + \frac{17}{43} a^{3} + \frac{16}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{30} - \frac{19}{43} a^{26} + \frac{21}{43} a^{24} - \frac{14}{43} a^{22} - \frac{12}{43} a^{20} + \frac{9}{43} a^{18} - \frac{3}{43} a^{16} - \frac{1}{43} a^{12} + \frac{7}{43} a^{10} - \frac{7}{43} a^{8} + \frac{3}{43} a^{6} - \frac{21}{43} a^{2} - \frac{7}{43}$, $\frac{1}{43} a^{31} - \frac{19}{43} a^{27} + \frac{21}{43} a^{25} - \frac{14}{43} a^{23} - \frac{12}{43} a^{21} + \frac{9}{43} a^{19} - \frac{3}{43} a^{17} - \frac{1}{43} a^{13} + \frac{7}{43} a^{11} - \frac{7}{43} a^{9} + \frac{3}{43} a^{7} - \frac{21}{43} a^{3} - \frac{7}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{32} - \frac{11}{43} a^{26} - \frac{2}{43} a^{24} + \frac{16}{43} a^{22} - \frac{19}{43} a^{20} + \frac{4}{43} a^{18} - \frac{6}{43} a^{16} + \frac{20}{43} a^{14} - \frac{8}{43} a^{12} - \frac{3}{43} a^{10} - \frac{2}{43} a^{8} + \frac{18}{43} a^{6} + \frac{17}{43} a^{4} + \frac{15}{43} a^{2} + \frac{3}{43}$, $\frac{1}{43} a^{33} - \frac{11}{43} a^{27} - \frac{2}{43} a^{25} + \frac{16}{43} a^{23} - \frac{19}{43} a^{21} + \frac{4}{43} a^{19} - \frac{6}{43} a^{17} + \frac{20}{43} a^{15} - \frac{8}{43} a^{13} - \frac{3}{43} a^{11} - \frac{2}{43} a^{9} + \frac{18}{43} a^{7} + \frac{17}{43} a^{5} + \frac{15}{43} a^{3} + \frac{3}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{34} - \frac{16}{43} a^{26} - \frac{11}{43} a^{24} + \frac{4}{43} a^{22} - \frac{19}{43} a^{20} - \frac{11}{43} a^{18} + \frac{12}{43} a^{16} + \frac{20}{43} a^{14} + \frac{20}{43} a^{12} - \frac{11}{43} a^{10} - \frac{3}{43} a^{8} - \frac{2}{43} a^{6} - \frac{6}{43} a^{4} + \frac{18}{43} a^{2} + \frac{4}{43}$, $\frac{1}{43} a^{35} - \frac{16}{43} a^{27} - \frac{11}{43} a^{25} + \frac{4}{43} a^{23} - \frac{19}{43} a^{21} - \frac{11}{43} a^{19} + \frac{12}{43} a^{17} + \frac{20}{43} a^{15} + \frac{20}{43} a^{13} - \frac{11}{43} a^{11} - \frac{3}{43} a^{9} - \frac{2}{43} a^{7} - \frac{6}{43} a^{5} + \frac{18}{43} a^{3} + \frac{4}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{36} - \frac{4}{43} a^{26} - \frac{4}{43} a^{24} - \frac{9}{43} a^{22} - \frac{21}{43} a^{20} - \frac{7}{43} a^{18} - \frac{19}{43} a^{16} + \frac{6}{43} a^{14} - \frac{1}{43} a^{12} - \frac{20}{43} a^{10} - \frac{13}{43} a^{8} - \frac{18}{43} a^{6} + \frac{7}{43} a^{4} + \frac{18}{43} a^{2} - \frac{2}{43}$, $\frac{1}{43} a^{37} - \frac{4}{43} a^{27} - \frac{4}{43} a^{25} - \frac{9}{43} a^{23} - \frac{21}{43} a^{21} - \frac{7}{43} a^{19} - \frac{19}{43} a^{17} + \frac{6}{43} a^{15} - \frac{1}{43} a^{13} - \frac{20}{43} a^{11} - \frac{13}{43} a^{9} - \frac{18}{43} a^{7} + \frac{7}{43} a^{5} + \frac{18}{43} a^{3} - \frac{2}{43} a$, $\frac{1}{1849} a^{38} + \frac{14}{1849} a^{36} - \frac{5}{1849} a^{34} - \frac{12}{1849} a^{32} + \frac{18}{1849} a^{30} + \frac{19}{1849} a^{28} - \frac{446}{1849} a^{26} - \frac{286}{1849} a^{24} - \frac{19}{43} a^{22} - \frac{246}{1849} a^{20} - \frac{924}{1849} a^{18} - \frac{221}{1849} a^{16} + \frac{126}{1849} a^{14} + \frac{770}{1849} a^{12} + \frac{773}{1849} a^{10} + \frac{920}{1849} a^{8} - \frac{425}{1849} a^{6} - \frac{872}{1849} a^{4} + \frac{767}{1849} a^{2} + \frac{846}{1849}$, $\frac{1}{1849} a^{39} + \frac{14}{1849} a^{37} - \frac{5}{1849} a^{35} - \frac{12}{1849} a^{33} + \frac{18}{1849} a^{31} + \frac{19}{1849} a^{29} - \frac{446}{1849} a^{27} - \frac{286}{1849} a^{25} - \frac{19}{43} a^{23} - \frac{246}{1849} a^{21} - \frac{924}{1849} a^{19} - \frac{221}{1849} a^{17} + \frac{126}{1849} a^{15} + \frac{770}{1849} a^{13} + \frac{773}{1849} a^{11} + \frac{920}{1849} a^{9} - \frac{425}{1849} a^{7} - \frac{872}{1849} a^{5} + \frac{767}{1849} a^{3} + \frac{846}{1849} a$, $\frac{1}{8992221361} a^{40} + \frac{1503124}{8992221361} a^{38} + \frac{12622}{8992221361} a^{36} + \frac{62005634}{8992221361} a^{34} - \frac{49914234}{8992221361} a^{32} + \frac{49175887}{8992221361} a^{30} - \frac{26142817}{8992221361} a^{28} - \frac{801600298}{8992221361} a^{26} + \frac{2686118999}{8992221361} a^{24} - \frac{1474922520}{8992221361} a^{22} - \frac{1891432569}{8992221361} a^{20} - \frac{3945122467}{8992221361} a^{18} + \frac{2579084386}{8992221361} a^{16} - \frac{721770920}{8992221361} a^{14} - \frac{331345969}{8992221361} a^{12} - \frac{1730671897}{8992221361} a^{10} + \frac{3703329932}{8992221361} a^{8} + \frac{1712876833}{8992221361} a^{6} - \frac{4185142215}{8992221361} a^{4} + \frac{2795583611}{8992221361} a^{2} - \frac{3856816701}{8992221361}$, $\frac{1}{8992221361} a^{41} + \frac{1503124}{8992221361} a^{39} + \frac{12622}{8992221361} a^{37} + \frac{62005634}{8992221361} a^{35} - \frac{49914234}{8992221361} a^{33} + \frac{49175887}{8992221361} a^{31} - \frac{26142817}{8992221361} a^{29} - \frac{801600298}{8992221361} a^{27} + \frac{2686118999}{8992221361} a^{25} - \frac{1474922520}{8992221361} a^{23} - \frac{1891432569}{8992221361} a^{21} - \frac{3945122467}{8992221361} a^{19} + \frac{2579084386}{8992221361} a^{17} - \frac{721770920}{8992221361} a^{15} - \frac{331345969}{8992221361} a^{13} - \frac{1730671897}{8992221361} a^{11} + \frac{3703329932}{8992221361} a^{9} + \frac{1712876833}{8992221361} a^{7} - \frac{4185142215}{8992221361} a^{5} + \frac{2795583611}{8992221361} a^{3} - \frac{3856816701}{8992221361} a$, $\frac{1}{13371433163807} a^{42} + \frac{302}{13371433163807} a^{40} - \frac{32369418}{137849826431} a^{38} - \frac{26921313922}{13371433163807} a^{36} - \frac{93471510741}{13371433163807} a^{34} + \frac{92055823829}{13371433163807} a^{32} - \frac{145172989379}{13371433163807} a^{30} - \frac{106351405767}{13371433163807} a^{28} - \frac{4659418161462}{13371433163807} a^{26} - \frac{4254858510446}{13371433163807} a^{24} - \frac{4129278922603}{13371433163807} a^{22} - \frac{3015218261349}{13371433163807} a^{20} + \frac{1406297592182}{13371433163807} a^{18} + \frac{6612015982326}{13371433163807} a^{16} - \frac{4799411282947}{13371433163807} a^{14} - \frac{1884924416802}{13371433163807} a^{12} - \frac{2021116761150}{13371433163807} a^{10} + \frac{6222866679194}{13371433163807} a^{8} - \frac{1616895262533}{13371433163807} a^{6} - \frac{2296133482436}{13371433163807} a^{4} + \frac{26262434312}{13371433163807} a^{2} - \frac{1063966035560}{13371433163807}$, $\frac{1}{13371433163807} a^{43} + \frac{302}{13371433163807} a^{41} - \frac{32369418}{137849826431} a^{39} - \frac{26921313922}{13371433163807} a^{37} - \frac{93471510741}{13371433163807} a^{35} + \frac{92055823829}{13371433163807} a^{33} - \frac{145172989379}{13371433163807} a^{31} - \frac{106351405767}{13371433163807} a^{29} - \frac{4659418161462}{13371433163807} a^{27} - \frac{4254858510446}{13371433163807} a^{25} - \frac{4129278922603}{13371433163807} a^{23} - \frac{3015218261349}{13371433163807} a^{21} + \frac{1406297592182}{13371433163807} a^{19} + \frac{6612015982326}{13371433163807} a^{17} - \frac{4799411282947}{13371433163807} a^{15} - \frac{1884924416802}{13371433163807} a^{13} - \frac{2021116761150}{13371433163807} a^{11} + \frac{6222866679194}{13371433163807} a^{9} - \frac{1616895262533}{13371433163807} a^{7} - \frac{2296133482436}{13371433163807} a^{5} + \frac{26262434312}{13371433163807} a^{3} - \frac{1063966035560}{13371433163807} a$, $\frac{1}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{44} - \frac{602688991116875610167983143792841570361572382305126515956824508057263653}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{42} - \frac{651349990336253594580105813066648937189715701371834688159534865382381747176}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{40} + \frac{9031784979838467024990863303847893209833682113220137639651840304637677527676104170}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{38} - \frac{507862733753181879239862600609582257660789461070187134690650605670720283987240228403}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{36} + \frac{520717621995382328273968528176627375095065217879874228993962034759311780096984371111}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{34} - \frac{285457355265032039364042895062729999217483789482268567659448185458665185138515077926}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{32} - \frac{601382059835873628213533858004957362774737626754762289914413622065466606208449430948}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{30} + \frac{39735186449219000919033303877734587076203812332605521238624673470783492051719808016}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{28} - \frac{1761517040888977742456354675125094360313516531056085156630602163625847665491706683655}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{26} + \frac{21203266466599008729663038744425837437012677369946841278857112501093116746730379055939}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{24} - \frac{17093129420099155122607582461090104408971438166369810451906064783900345869375431595551}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{22} + \frac{27054467907016289414373804459845791514777739583392069073744129271813517485296101470009}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{20} + \frac{16073864528184202197468375793172375571940300044352458338200944871769970432402234834342}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{18} + \frac{52748910409905632914858047877315146635894948608603590155948978734732017129633453356}{618179675170648540007727425542889970521810231749225083994490724060461549122245065111} a^{16} + \frac{15549315314345481931734340190666663503001073929168684517607623099684407243374495470425}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{14} - \frac{10158259858694301179204267515650449699676636408641106762205310272048917511086143165589}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{12} - \frac{3488766212402631465686094063104972091774131235607136097923156384156838590612751271182}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{10} + \frac{17143721465186127580466102273314138106247465693222849889553494313482712858175793202123}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{8} - \frac{9317555070198457503281637513146288265224772731664284040809337956434593653777584654892}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{6} - \frac{29475578439953678992073196818429882613786592313478588456298635144183561255079212838558}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{4} + \frac{8324704505834330772616128783138421458978897252603368837572270868541167842727399456159}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{2} + \frac{23665540915080940629173448798265749343746041150065265461816409440790258686966542590156}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767}$, $\frac{1}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{45} - \frac{602688991116875610167983143792841570361572382305126515956824508057263653}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{43} - \frac{651349990336253594580105813066648937189715701371834688159534865382381747176}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{41} + \frac{9031784979838467024990863303847893209833682113220137639651840304637677527676104170}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{39} - \frac{507862733753181879239862600609582257660789461070187134690650605670720283987240228403}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{37} + \frac{520717621995382328273968528176627375095065217879874228993962034759311780096984371111}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{35} - \frac{285457355265032039364042895062729999217483789482268567659448185458665185138515077926}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{33} - \frac{601382059835873628213533858004957362774737626754762289914413622065466606208449430948}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{31} + \frac{39735186449219000919033303877734587076203812332605521238624673470783492051719808016}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{29} - \frac{1761517040888977742456354675125094360313516531056085156630602163625847665491706683655}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{27} + \frac{21203266466599008729663038744425837437012677369946841278857112501093116746730379055939}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{25} - \frac{17093129420099155122607582461090104408971438166369810451906064783900345869375431595551}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{23} + \frac{27054467907016289414373804459845791514777739583392069073744129271813517485296101470009}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{21} + \frac{16073864528184202197468375793172375571940300044352458338200944871769970432402234834342}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{19} + \frac{52748910409905632914858047877315146635894948608603590155948978734732017129633453356}{618179675170648540007727425542889970521810231749225083994490724060461549122245065111} a^{17} + \frac{15549315314345481931734340190666663503001073929168684517607623099684407243374495470425}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{15} - \frac{10158259858694301179204267515650449699676636408641106762205310272048917511086143165589}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{13} - \frac{3488766212402631465686094063104972091774131235607136097923156384156838590612751271182}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{11} + \frac{17143721465186127580466102273314138106247465693222849889553494313482712858175793202123}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{9} - \frac{9317555070198457503281637513146288265224772731664284040809337956434593653777584654892}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{7} - \frac{29475578439953678992073196818429882613786592313478588456298635144183561255079212838558}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{5} + \frac{8324704505834330772616128783138421458978897252603368837572270868541167842727399456159}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a^{3} + \frac{23665540915080940629173448798265749343746041150065265461816409440790258686966542590156}{59963428491552908380749560277660327140615592479674833147465600233864770264857771315767} a$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $45$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{46}$ (as 46T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 46
The 46 conjugacy class representatives for $C_{46}$
Character table for $C_{46}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{139}) \), 23.23.140063703503689367173618364344202364099995564521.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $23^{2}$ $23^{2}$ $46$ $46$ $23^{2}$ $46$ $23^{2}$ $23^{2}$ $23^{2}$ $46$ $23^{2}$ $23^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{46}$ $46$ $46$ $23^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
139Data not computed