Properties

Label 45.45.999...561.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $9.995\times 10^{100}$
Root discriminant $175.57$
Ramified primes $19, 31$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_3\times C_{15}$ (as 45T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 12*x^44 - 68*x^43 + 1390*x^42 - 278*x^41 - 68270*x^40 + 176199*x^39 + 1808389*x^38 - 8154574*x^37 - 26005805*x^36 + 196321268*x^35 + 127187382*x^34 - 2913805970*x^33 + 2272631340*x^32 + 27669670927*x^31 - 52510157887*x^30 - 162002621792*x^29 + 526806359978*x^28 + 468745083598*x^27 - 3175101889498*x^26 + 532391340063*x^25 + 12135569776697*x^24 - 10651958891479*x^23 - 28871893561060*x^22 + 45196495080913*x^21 + 38272655903792*x^20 - 105664143365844*x^19 - 13349385343870*x^18 + 153132315545987*x^17 - 41028745873427*x^16 - 141811047613612*x^15 + 76543731297893*x^14 + 83515595010770*x^13 - 65499266094722*x^12 - 29808531214812*x^11 + 32918818373161*x^10 + 5404646072895*x^9 - 10084991417837*x^8 - 16286468525*x^7 + 1821205338619*x^6 - 180698614131*x^5 - 173451418339*x^4 + 28592722199*x^3 + 6396948952*x^2 - 1303357845*x - 3078919)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 12*x^44 - 68*x^43 + 1390*x^42 - 278*x^41 - 68270*x^40 + 176199*x^39 + 1808389*x^38 - 8154574*x^37 - 26005805*x^36 + 196321268*x^35 + 127187382*x^34 - 2913805970*x^33 + 2272631340*x^32 + 27669670927*x^31 - 52510157887*x^30 - 162002621792*x^29 + 526806359978*x^28 + 468745083598*x^27 - 3175101889498*x^26 + 532391340063*x^25 + 12135569776697*x^24 - 10651958891479*x^23 - 28871893561060*x^22 + 45196495080913*x^21 + 38272655903792*x^20 - 105664143365844*x^19 - 13349385343870*x^18 + 153132315545987*x^17 - 41028745873427*x^16 - 141811047613612*x^15 + 76543731297893*x^14 + 83515595010770*x^13 - 65499266094722*x^12 - 29808531214812*x^11 + 32918818373161*x^10 + 5404646072895*x^9 - 10084991417837*x^8 - 16286468525*x^7 + 1821205338619*x^6 - 180698614131*x^5 - 173451418339*x^4 + 28592722199*x^3 + 6396948952*x^2 - 1303357845*x - 3078919, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-3078919, -1303357845, 6396948952, 28592722199, -173451418339, -180698614131, 1821205338619, -16286468525, -10084991417837, 5404646072895, 32918818373161, -29808531214812, -65499266094722, 83515595010770, 76543731297893, -141811047613612, -41028745873427, 153132315545987, -13349385343870, -105664143365844, 38272655903792, 45196495080913, -28871893561060, -10651958891479, 12135569776697, 532391340063, -3175101889498, 468745083598, 526806359978, -162002621792, -52510157887, 27669670927, 2272631340, -2913805970, 127187382, 196321268, -26005805, -8154574, 1808389, 176199, -68270, -278, 1390, -68, -12, 1]);
 

\( x^{45} - 12 x^{44} - 68 x^{43} + 1390 x^{42} - 278 x^{41} - 68270 x^{40} + 176199 x^{39} + 1808389 x^{38} - 8154574 x^{37} - 26005805 x^{36} + 196321268 x^{35} + 127187382 x^{34} - 2913805970 x^{33} + 2272631340 x^{32} + 27669670927 x^{31} - 52510157887 x^{30} - 162002621792 x^{29} + 526806359978 x^{28} + 468745083598 x^{27} - 3175101889498 x^{26} + 532391340063 x^{25} + 12135569776697 x^{24} - 10651958891479 x^{23} - 28871893561060 x^{22} + 45196495080913 x^{21} + 38272655903792 x^{20} - 105664143365844 x^{19} - 13349385343870 x^{18} + 153132315545987 x^{17} - 41028745873427 x^{16} - 141811047613612 x^{15} + 76543731297893 x^{14} + 83515595010770 x^{13} - 65499266094722 x^{12} - 29808531214812 x^{11} + 32918818373161 x^{10} + 5404646072895 x^{9} - 10084991417837 x^{8} - 16286468525 x^{7} + 1821205338619 x^{6} - 180698614131 x^{5} - 173451418339 x^{4} + 28592722199 x^{3} + 6396948952 x^{2} - 1303357845 x - 3078919 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(999\!\cdots\!561\)\(\medspace = 19^{30}\cdot 31^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $175.57$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $19, 31$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(589=19\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{589}(1,·)$, $\chi_{589}(514,·)$, $\chi_{589}(134,·)$, $\chi_{589}(391,·)$, $\chi_{589}(267,·)$, $\chi_{589}(524,·)$, $\chi_{589}(258,·)$, $\chi_{589}(400,·)$, $\chi_{589}(273,·)$, $\chi_{589}(20,·)$, $\chi_{589}(410,·)$, $\chi_{589}(286,·)$, $\chi_{589}(543,·)$, $\chi_{589}(163,·)$, $\chi_{589}(39,·)$, $\chi_{589}(552,·)$, $\chi_{589}(7,·)$, $\chi_{589}(45,·)$, $\chi_{589}(49,·)$, $\chi_{589}(562,·)$, $\chi_{589}(438,·)$, $\chi_{589}(311,·)$, $\chi_{589}(87,·)$, $\chi_{589}(159,·)$, $\chi_{589}(444,·)$, $\chi_{589}(191,·)$, $\chi_{589}(64,·)$, $\chi_{589}(577,·)$, $\chi_{589}(324,·)$, $\chi_{589}(140,·)$, $\chi_{589}(330,·)$, $\chi_{589}(419,·)$, $\chi_{589}(343,·)$, $\chi_{589}(349,·)$, $\chi_{589}(144,·)$, $\chi_{589}(315,·)$, $\chi_{589}(448,·)$, $\chi_{589}(102,·)$, $\chi_{589}(235,·)$, $\chi_{589}(125,·)$, $\chi_{589}(467,·)$, $\chi_{589}(501,·)$, $\chi_{589}(505,·)$, $\chi_{589}(121,·)$, $\chi_{589}(381,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $\frac{1}{5} a^{39} + \frac{1}{5} a^{38} + \frac{1}{5} a^{37} + \frac{1}{5} a^{36} + \frac{2}{5} a^{35} + \frac{1}{5} a^{33} - \frac{1}{5} a^{32} + \frac{1}{5} a^{31} + \frac{2}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{25} - \frac{2}{5} a^{22} + \frac{2}{5} a^{21} - \frac{2}{5} a^{20} - \frac{2}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{40} + \frac{1}{5} a^{36} - \frac{2}{5} a^{35} + \frac{1}{5} a^{34} - \frac{2}{5} a^{33} + \frac{2}{5} a^{32} - \frac{1}{5} a^{31} + \frac{2}{5} a^{29} - \frac{2}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} + \frac{2}{5} a^{26} + \frac{1}{5} a^{25} - \frac{2}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} - \frac{2}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{41} + \frac{1}{5} a^{37} - \frac{2}{5} a^{36} + \frac{1}{5} a^{35} - \frac{2}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{33} - \frac{1}{5} a^{32} + \frac{2}{5} a^{30} - \frac{2}{5} a^{29} + \frac{2}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{24} - \frac{1}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} + \frac{2}{5} a^{20} - \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{42} + \frac{1}{5} a^{38} - \frac{2}{5} a^{37} + \frac{1}{5} a^{36} - \frac{2}{5} a^{35} + \frac{2}{5} a^{34} - \frac{1}{5} a^{33} + \frac{2}{5} a^{31} - \frac{2}{5} a^{30} + \frac{2}{5} a^{29} + \frac{2}{5} a^{28} + \frac{1}{5} a^{27} - \frac{2}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{24} + \frac{1}{5} a^{23} + \frac{2}{5} a^{21} - \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2}$, $\frac{1}{962545} a^{43} + \frac{78469}{962545} a^{42} + \frac{13438}{962545} a^{41} + \frac{7167}{962545} a^{40} - \frac{9391}{192509} a^{39} - \frac{471284}{962545} a^{38} - \frac{68393}{192509} a^{37} - \frac{441683}{962545} a^{36} - \frac{39624}{962545} a^{35} - \frac{327672}{962545} a^{34} + \frac{118222}{962545} a^{33} - \frac{97676}{962545} a^{32} + \frac{479673}{962545} a^{31} - \frac{79324}{192509} a^{30} + \frac{35613}{962545} a^{29} + \frac{195429}{962545} a^{28} + \frac{73139}{962545} a^{27} + \frac{62633}{962545} a^{26} - \frac{22906}{962545} a^{25} - \frac{48199}{962545} a^{24} - \frac{430023}{962545} a^{23} - \frac{16978}{192509} a^{22} - \frac{58918}{962545} a^{21} - \frac{42822}{192509} a^{20} - \frac{202204}{962545} a^{19} - \frac{168908}{962545} a^{18} - \frac{6755}{192509} a^{17} - \frac{238359}{962545} a^{16} + \frac{34096}{192509} a^{15} + \frac{382868}{962545} a^{14} + \frac{403944}{962545} a^{13} + \frac{13754}{192509} a^{12} - \frac{61531}{962545} a^{11} + \frac{361207}{962545} a^{10} + \frac{342012}{962545} a^{9} - \frac{35237}{962545} a^{8} + \frac{205486}{962545} a^{7} + \frac{84271}{962545} a^{6} + \frac{249694}{962545} a^{5} + \frac{15878}{962545} a^{4} + \frac{202902}{962545} a^{3} + \frac{178984}{962545} a^{2} - \frac{407646}{962545} a - \frac{275706}{962545}$, $\frac{1}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{44} - \frac{115174884553194289086037821198762096789321463358601927621953112671657242976414213798379134325262146537043180154467179555129812735365404903418473714071914486207277046455102103643923143554656424905936526821270371467432844527962844673257736}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{43} + \frac{1902101478341161704270286047034411649696204825700709828849089765431675110658988851238638211321031441923417731744953072209819725872082464375642931767645402284050876731379165692525051630405050412062199320098634683823655997857859860003647875437}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{42} - \frac{1092278275491446878177133086958086531006816613791375001534868698507666676515330009005812367885884773762083642359787818111996717214389338965631981236902168711551475071480021663930252223060139004488267603509276577623420054108841000998922871471}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{41} - \frac{942745815212948760744440678348272200851775619056344181476670534460582289633389220920161938055933511165389479613207559598578569748625470490637730328080899177079528539973625951436776514080145038061214520303451253390065435515701455401500254235}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{40} + \frac{12932953873285988078482291497352110384119304999786458191367635543530659990031165277521964497860356041313856564124696539357453014250856103366876506738228746363424016178390313456901276047824818129963532969962600711166690748034309400142062404811}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{39} + \frac{370189849127348497001459025123700257040669601422673511649776150458904051078973417156674061849801666836626909503252500658014695050639275027022508642805150294120069046449249694090875652974328941398271183284126211614121344118367849891808526224}{803959013076485145996602431605534094696204652828517942433530240500731382479291039374860101947856623275252039615230588236467782398057538655761060190006436797099851336582024511265423660924123093501885157522610801218918249342249360991687173865} a^{38} + \frac{14736949851461643149303074194242256396581756791459519228709016562565323303731550602520192965587503609759531801498072346404138937618411521326662796767956662810430899462026496157549852714875848417002558576767100532619604396776939943284281676437}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{37} + \frac{69518284062416885540555642263575648776778670563289290565734009019107265832021536493839481919448675386237132478330931370644995707981293133657628136753639477653929366972627756800903571747735931272071069145432131596550781592255562424233626756934}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{36} + \frac{89733340708519161913297022125261968768802927669567149650470627792903579706964592096484850961234656916457675147736791685793980278297423265956958582181794022710442665053206680675545525490349640578002431098234250916546059163361775120640297160698}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{35} + \frac{17120895765956425831932496785699632492288445501942806598197982516983735612359303190152660455963695063462255369201122933264779949731704998833371222925805322895243446807465987784362606496551276420641785867994531876909630642285826581505002572184}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{34} - \frac{101341867884978669389702047952480276613539022941536705370449712828881312855727998422124965521811363021182346424390611969929869853865092034525341655071224148515307841788202660519455386618159039196294218272170288877149421954496551226019607071589}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{33} - \frac{10790904695334820374705568263121010545454484909200746937256703187072552067135315243141519713589732270588960258054405742510994688872585180740737146185392806991138966118024235476453029834510553146212446496446876532032558292556366479804494039556}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{32} + \frac{28281714639053424250233842745193767521912666596345548541803302548981666442883011709013539800448127452413926204495373929044581561594358742128739750833440349351787554199942564104049954396392588262425616101995445014833455704664210161131706268543}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{31} + \frac{97184548064340182519172221672461644351281853419297632314229079547793590809692490511858733486236858131487179913482077950904773560892666545078879054434116135921078751224649848387466054807544899550193940204372750321386712339148143038900227793301}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{30} - \frac{99595307008014931108588598388572185325634387914965445036957141703415769491477896072095333448131852740124234674705708402510101755836259434366514220158124757396091848448026569107263920658203798174285610044822398350885371959452381182267994852314}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{29} - \frac{70148624025609405916270541290394583933317273086530337198443150364875625656556653463069998455812910498126281343164538377764604551241238628388158872647569124983459853998153904737481811730995461626342368389141572348294028356243916115809176238312}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{28} - \frac{36157571491826018931065044602956391640801101307022910752627489724425587559729254161813693691920114340659508390984145458931559227019785412277566278567423137234303382233089242940280382720476694100379789909579618504374532317003614945822072934332}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{27} - \frac{22012361176727025731427995546643998795970212377837575297769154675838743311521316321484449508279658967686646488336913366780542919978801334756502819462596573997361186695404639951550303735117901524494460555423742939002996394671714042861928360373}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{26} - \frac{67880230126709163158143160578276448428379398427836934936645258355927774975055476885493452382851562903877458286145265880292554186005447061774309924079363426276571978216631638954631640825648690639320312366757469542372845158857960600931802037097}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{25} - \frac{123192093098948666333674374411862790607263022466503865482172678606499889854282549121459696061627808219635178492526566847880051341715649385252486110832082392056668990130567271719468798220466219701786208239525804716139929975198634766916442795003}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{24} + \frac{76747268948354750981800025178205593689660047639455598646765935513095324025385739797489052829717973734527749921501733525891054665718378016497821618758578106739252761555145463319732905358668080020752765891944736102504046324852760317693790356101}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{23} - \frac{9942599101850512626271546454397666466923824610132091798887329899261214826693366503634374962267671301465437749816348888766687722973373101384896198271342066976162473697588227072146076059892803308527156104269157659000542989427859280280040360951}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{22} + \frac{115313983581364707089206370747727006169393329739491466076492389003919141599010705704870479636661962960726134077736160317484871481906374843094179488901969930827037594867042197388438011351565105919453521363732094714956200896735247798694742959503}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{21} + \frac{67144895594327636740702796135355730162611687543703296150047833036063057410206620667993049749517860089128072014960084752317397066064824119917590771932623370901686984043568971752433273732829654014158334121862256891816517987766144270723266644223}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{20} + \frac{100846796135686816920426011181226893146534504455798684052453814879427058062207956868498742132922094609432782511448791704003566622540138486241518370533926303744133407061413527670196084027455396186423126500912200142767054445657436265934399253838}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{19} + \frac{68828547836974653172177826782180480776909242734305276922725993498995870132107034836659546965913871448661419788451360053064685993202343991245821708510175561729073745847369416374724172369416592651531904561065084360514603242842195490912132206189}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{18} + \frac{2009043739352038215215640588102845703916851815438985911130889077258314158954794331552926881022285479659751293988260041781356062489035100443661828063148613155644463899213918163696623574301169703855744413983189578259201783713746261906519195123}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{17} - \frac{15970507239529620328884448556450124060137122827650292978226284529714521205694023550669947387570768907284630993908882798730243537728623998949719170193636709703686141629553733014923240458114798879352595873950164457705257129613196357959264655089}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{16} + \frac{21130227615310891163310980341796690605046925964723348375096327368201670011980000027407739884743966409219581844265452668444924814048689424924688620119861749827338834541123535353106000502761252902015608647938863184718452025861914814288339928663}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{15} + \frac{54665820217217153653871216949770459425578194736512509993250743091423216583033535473047909265286884017096894662737824055526931126104552432412929159834679829177494383655967929543682052503452020165023500942553610653638745416595882048520251533031}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{14} - \frac{116042770113174281394653718892486160476388079616371330811408989602370511836244470435436716938472080289240782283420931220201386923746729671139020919076841558030616528907066384577174504502916158972611514265203989785154995974369081333949690372339}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{13} + \frac{91658516357639320753800771314253685483298771297865363798178964445163993935283811376120547864069482912814279925751294548979222380896149185980751092242352410204034249994706572009539907288715229952688132196638065036737386076369645801758034817718}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{12} + \frac{51723261684403082471218960722767101357907459740640018314388842788247818737733815399339617073376049235220986682868830564893250361236294753570471806338759016185748470970742584752038176462901954666967593819190510563878091697626521573477561357341}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{11} + \frac{18942763752183996781543355977808239399825048039947641632092318171765079361660278787705455590761475117252245038320420796707301193204875845658619122227798910365544469075154709712385173133956188110738207557062759043128871623854398640897530582212}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{10} + \frac{53725434185541954165268297564235919073882390901122112815120519074683338362682291382042883778691803218197256854016801394835942656538422404993842419536526384748828867181667957801285677994641755863722572078700481242420880642207940606371215248379}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{9} - \frac{28120206267025220774407140718861173268746857012205938806735750501678624074380954723985762781272741200577993172607590235959379458816611896424772515230317373003767114006587915475324824645339732812552509663484459151694411447035332639112338426114}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{8} - \frac{118671474635581288235505529054153439990431200467051046883989008659432570349944227603827095206320148476754071329799311878382825866372207810963510310121981687660674865223554227932040278462562253664542389309338348852075505022263610725670144478869}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{7} + \frac{22701639432033282420289388095461994040651156664265943385997818204852666186493870402613058164780868502020959030784390076963560672250695231863211358939795962778833880097200737557654895930926227193529032621319710387843767727394550355242193660589}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{6} + \frac{3965541744621346478394360956947839090928087657357850232731435141587867622873899683877620614818442676103540870829638511589377147342716417068764043294008581289024003965520263078133933203420545033315880485045761811789552926142611036949037735804}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403} a^{5} - \frac{23097507454839211709376406191973410204079910270095712054449377778758801519266794035691064548382120064507442227602390787457999613953084029362860152220483124838096390025492531290841568903884897109317328375126436205014219889710565359709667729087}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{4} - \frac{107372183569886505046454601043644837521292326749408515797423139669735994967208621000550857881036668398174340785788727133696669906459601031103491565329366961822419447406003839222151921710217602862213350539638531023218421451162700499716095721302}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{3} - \frac{119111263572407599496957845509764370657814700517893809286554760494241077008274475785206858710591281630323051731315387951647610020077820428922836331077654409631108374971751497019950772943390557707762860061672506857848432348249966854940881731412}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a^{2} + \frac{31478779330261411149108162500632794175401680536919615536774686991033399976832921692128529582156072307798434907989111248272739723247401681932842011857641893092762251217875989613338190670089756588676698171227876654723633893671941909674034474943}{250031253066786880404943356229321103450519647029669080096827904795727459951059513245581491705783409838603384320336712941541480325795894521941689719092001843898053765677009623003546758547402282079086283989531959179083575545439551268414711072015} a + \frac{12512222703737574794475976343471513284282223054811559233601315601939204597467103358768000527988887210303534772654964746598471834022159184579004583390988835832960834787272956810254558388932222397839055268049020231027965222535767939593592242881}{50006250613357376080988671245864220690103929405933816019365580959145491990211902649116298341156681967720676864067342588308296065159178904388337943818400368779610753135401924600709351709480456415817256797906391835816715109087910253682942214403}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$
Character table for $C_3\times C_{15}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.346921.2, 3.3.361.1, 3.3.961.1, 3.3.346921.1, 5.5.923521.1, 9.9.41753392563387961.1, 15.15.4640873420279330256301704361074121.2, 15.15.4829212716211581952447142935561.1, \(\Q(\zeta_{31})^+\), 15.15.4640873420279330256301704361074121.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/5.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ R $15^{3}$ $15^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed
$31$31.15.14.1$x^{15} - 31$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.1$x^{15} - 31$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.1$x^{15} - 31$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$