Properties

Label 45.45.690...281.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $6.905\times 10^{104}$
Root discriminant $213.68$
Ramified primes $19, 31$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 4*x^44 - 146*x^43 + 698*x^42 + 8985*x^41 - 51888*x^40 - 296427*x^39 + 2177976*x^38 + 5305247*x^37 - 57476954*x^36 - 34012820*x^35 + 1002110429*x^34 - 626632964*x^33 - 11753633659*x^32 + 18688879395*x^31 + 91599636078*x^30 - 237738671647*x^29 - 440115277508*x^28 + 1861290436646*x^27 + 876346054868*x^26 - 9636797401413*x^25 + 3638557275086*x^24 + 33031864898329*x^23 - 35155604700368*x^22 - 70196515943930*x^21 + 133850962002890*x^20 + 68063148815178*x^19 - 296060971462243*x^18 + 63115875057640*x^17 + 386991855136149*x^16 - 292070548579474*x^15 - 252378957195025*x^14 + 393110942284862*x^13 - 3989425272418*x^12 - 248373295675609*x^11 + 116468486134606*x^10 + 55635812822046*x^9 - 63558461838326*x^8 + 10039317831256*x^7 + 9501878099079*x^6 - 4834005607020*x^5 + 527330092663*x^4 + 166660835109*x^3 - 51025747438*x^2 + 4407259697*x - 98524081)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 4*x^44 - 146*x^43 + 698*x^42 + 8985*x^41 - 51888*x^40 - 296427*x^39 + 2177976*x^38 + 5305247*x^37 - 57476954*x^36 - 34012820*x^35 + 1002110429*x^34 - 626632964*x^33 - 11753633659*x^32 + 18688879395*x^31 + 91599636078*x^30 - 237738671647*x^29 - 440115277508*x^28 + 1861290436646*x^27 + 876346054868*x^26 - 9636797401413*x^25 + 3638557275086*x^24 + 33031864898329*x^23 - 35155604700368*x^22 - 70196515943930*x^21 + 133850962002890*x^20 + 68063148815178*x^19 - 296060971462243*x^18 + 63115875057640*x^17 + 386991855136149*x^16 - 292070548579474*x^15 - 252378957195025*x^14 + 393110942284862*x^13 - 3989425272418*x^12 - 248373295675609*x^11 + 116468486134606*x^10 + 55635812822046*x^9 - 63558461838326*x^8 + 10039317831256*x^7 + 9501878099079*x^6 - 4834005607020*x^5 + 527330092663*x^4 + 166660835109*x^3 - 51025747438*x^2 + 4407259697*x - 98524081, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-98524081, 4407259697, -51025747438, 166660835109, 527330092663, -4834005607020, 9501878099079, 10039317831256, -63558461838326, 55635812822046, 116468486134606, -248373295675609, -3989425272418, 393110942284862, -252378957195025, -292070548579474, 386991855136149, 63115875057640, -296060971462243, 68063148815178, 133850962002890, -70196515943930, -35155604700368, 33031864898329, 3638557275086, -9636797401413, 876346054868, 1861290436646, -440115277508, -237738671647, 91599636078, 18688879395, -11753633659, -626632964, 1002110429, -34012820, -57476954, 5305247, 2177976, -296427, -51888, 8985, 698, -146, -4, 1]);
 

\( x^{45} - 4 x^{44} - 146 x^{43} + 698 x^{42} + 8985 x^{41} - 51888 x^{40} - 296427 x^{39} + 2177976 x^{38} + 5305247 x^{37} - 57476954 x^{36} - 34012820 x^{35} + 1002110429 x^{34} - 626632964 x^{33} - 11753633659 x^{32} + 18688879395 x^{31} + 91599636078 x^{30} - 237738671647 x^{29} - 440115277508 x^{28} + 1861290436646 x^{27} + 876346054868 x^{26} - 9636797401413 x^{25} + 3638557275086 x^{24} + 33031864898329 x^{23} - 35155604700368 x^{22} - 70196515943930 x^{21} + 133850962002890 x^{20} + 68063148815178 x^{19} - 296060971462243 x^{18} + 63115875057640 x^{17} + 386991855136149 x^{16} - 292070548579474 x^{15} - 252378957195025 x^{14} + 393110942284862 x^{13} - 3989425272418 x^{12} - 248373295675609 x^{11} + 116468486134606 x^{10} + 55635812822046 x^{9} - 63558461838326 x^{8} + 10039317831256 x^{7} + 9501878099079 x^{6} - 4834005607020 x^{5} + 527330092663 x^{4} + 166660835109 x^{3} - 51025747438 x^{2} + 4407259697 x - 98524081 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(690\!\cdots\!281\)\(\medspace = 19^{40}\cdot 31^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $213.68$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $19, 31$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(589=19\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{589}(256,·)$, $\chi_{589}(1,·)$, $\chi_{589}(4,·)$, $\chi_{589}(264,·)$, $\chi_{589}(140,·)$, $\chi_{589}(66,·)$, $\chi_{589}(16,·)$, $\chi_{589}(529,·)$, $\chi_{589}(404,·)$, $\chi_{589}(405,·)$, $\chi_{589}(283,·)$, $\chi_{589}(156,·)$, $\chi_{589}(157,·)$, $\chi_{589}(543,·)$, $\chi_{589}(35,·)$, $\chi_{589}(163,·)$, $\chi_{589}(39,·)$, $\chi_{589}(47,·)$, $\chi_{589}(560,·)$, $\chi_{589}(562,·)$, $\chi_{589}(435,·)$, $\chi_{589}(438,·)$, $\chi_{589}(311,·)$, $\chi_{589}(442,·)$, $\chi_{589}(159,·)$, $\chi_{589}(188,·)$, $\chi_{589}(574,·)$, $\chi_{589}(63,·)$, $\chi_{589}(64,·)$, $\chi_{589}(194,·)$, $\chi_{589}(481,·)$, $\chi_{589}(419,·)$, $\chi_{589}(343,·)$, $\chi_{589}(473,·)$, $\chi_{589}(218,·)$, $\chi_{589}(349,·)$, $\chi_{589}(225,·)$, $\chi_{589}(187,·)$, $\chi_{589}(101,·)$, $\chi_{589}(233,·)$, $\chi_{589}(498,·)$, $\chi_{589}(467,·)$, $\chi_{589}(500,·)$, $\chi_{589}(252,·)$, $\chi_{589}(125,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{37} a^{29} - \frac{5}{37} a^{28} - \frac{9}{37} a^{27} + \frac{3}{37} a^{26} + \frac{2}{37} a^{25} - \frac{12}{37} a^{24} - \frac{1}{37} a^{23} + \frac{6}{37} a^{21} - \frac{14}{37} a^{20} - \frac{11}{37} a^{19} - \frac{10}{37} a^{18} + \frac{11}{37} a^{17} - \frac{11}{37} a^{16} - \frac{3}{37} a^{15} + \frac{3}{37} a^{14} - \frac{2}{37} a^{13} + \frac{1}{37} a^{12} + \frac{8}{37} a^{11} + \frac{8}{37} a^{10} + \frac{9}{37} a^{9} + \frac{7}{37} a^{8} + \frac{13}{37} a^{7} - \frac{1}{37} a^{6} + \frac{5}{37} a^{5} + \frac{9}{37} a^{4} + \frac{5}{37} a^{3} - \frac{15}{37} a^{2} + \frac{3}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{30} + \frac{3}{37} a^{28} - \frac{5}{37} a^{27} + \frac{17}{37} a^{26} - \frac{2}{37} a^{25} + \frac{13}{37} a^{24} - \frac{5}{37} a^{23} + \frac{6}{37} a^{22} + \frac{16}{37} a^{21} - \frac{7}{37} a^{20} + \frac{9}{37} a^{19} - \frac{2}{37} a^{18} + \frac{7}{37} a^{17} + \frac{16}{37} a^{16} - \frac{12}{37} a^{15} + \frac{13}{37} a^{14} - \frac{9}{37} a^{13} + \frac{13}{37} a^{12} + \frac{11}{37} a^{11} + \frac{12}{37} a^{10} + \frac{15}{37} a^{9} + \frac{11}{37} a^{8} - \frac{10}{37} a^{7} - \frac{3}{37} a^{5} + \frac{13}{37} a^{4} + \frac{10}{37} a^{3} + \frac{2}{37} a^{2} + \frac{15}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{31} + \frac{10}{37} a^{28} + \frac{7}{37} a^{27} - \frac{11}{37} a^{26} + \frac{7}{37} a^{25} - \frac{6}{37} a^{24} + \frac{9}{37} a^{23} + \frac{16}{37} a^{22} + \frac{12}{37} a^{21} + \frac{14}{37} a^{20} - \frac{6}{37} a^{19} - \frac{17}{37} a^{17} - \frac{16}{37} a^{16} - \frac{15}{37} a^{15} - \frac{18}{37} a^{14} - \frac{18}{37} a^{13} + \frac{8}{37} a^{12} - \frac{12}{37} a^{11} - \frac{9}{37} a^{10} - \frac{16}{37} a^{9} + \frac{6}{37} a^{8} - \frac{2}{37} a^{7} - \frac{2}{37} a^{5} - \frac{17}{37} a^{4} - \frac{13}{37} a^{3} - \frac{14}{37} a^{2} - \frac{9}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{32} - \frac{17}{37} a^{28} + \frac{5}{37} a^{27} + \frac{14}{37} a^{26} + \frac{11}{37} a^{25} + \frac{18}{37} a^{24} - \frac{11}{37} a^{23} + \frac{12}{37} a^{22} - \frac{9}{37} a^{21} - \frac{14}{37} a^{20} - \frac{1}{37} a^{19} + \frac{9}{37} a^{18} - \frac{15}{37} a^{17} - \frac{16}{37} a^{16} + \frac{12}{37} a^{15} - \frac{11}{37} a^{14} - \frac{9}{37} a^{13} + \frac{15}{37} a^{12} - \frac{15}{37} a^{11} + \frac{15}{37} a^{10} - \frac{10}{37} a^{9} + \frac{2}{37} a^{8} + \frac{18}{37} a^{7} + \frac{8}{37} a^{6} + \frac{7}{37} a^{5} + \frac{8}{37} a^{4} + \frac{10}{37} a^{3} - \frac{7}{37} a^{2} + \frac{7}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{33} - \frac{6}{37} a^{28} + \frac{9}{37} a^{27} - \frac{12}{37} a^{26} + \frac{15}{37} a^{25} + \frac{7}{37} a^{24} - \frac{5}{37} a^{23} - \frac{9}{37} a^{22} + \frac{14}{37} a^{21} - \frac{17}{37} a^{20} + \frac{7}{37} a^{19} - \frac{14}{37} a^{17} + \frac{10}{37} a^{16} + \frac{12}{37} a^{15} + \frac{5}{37} a^{14} + \frac{18}{37} a^{13} + \frac{2}{37} a^{12} + \frac{3}{37} a^{11} + \frac{15}{37} a^{10} + \frac{7}{37} a^{9} - \frac{11}{37} a^{8} + \frac{7}{37} a^{7} - \frac{10}{37} a^{6} - \frac{18}{37} a^{5} + \frac{15}{37} a^{4} + \frac{4}{37} a^{3} + \frac{11}{37} a^{2} + \frac{14}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{34} + \frac{16}{37} a^{28} + \frac{8}{37} a^{27} - \frac{4}{37} a^{26} - \frac{18}{37} a^{25} - \frac{3}{37} a^{24} - \frac{15}{37} a^{23} + \frac{14}{37} a^{22} - \frac{18}{37} a^{21} - \frac{3}{37} a^{20} + \frac{8}{37} a^{19} + \frac{2}{37} a^{17} - \frac{17}{37} a^{16} - \frac{13}{37} a^{15} - \frac{1}{37} a^{14} - \frac{10}{37} a^{13} + \frac{9}{37} a^{12} - \frac{11}{37} a^{11} + \frac{18}{37} a^{10} + \frac{6}{37} a^{9} + \frac{12}{37} a^{8} - \frac{6}{37} a^{7} + \frac{13}{37} a^{6} + \frac{8}{37} a^{5} - \frac{16}{37} a^{4} + \frac{4}{37} a^{3} - \frac{2}{37} a^{2} + \frac{18}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{35} + \frac{14}{37} a^{28} - \frac{8}{37} a^{27} + \frac{8}{37} a^{26} + \frac{2}{37} a^{25} - \frac{8}{37} a^{24} - \frac{7}{37} a^{23} - \frac{18}{37} a^{22} + \frac{12}{37} a^{21} + \frac{10}{37} a^{20} - \frac{9}{37} a^{19} + \frac{14}{37} a^{18} - \frac{8}{37} a^{17} + \frac{15}{37} a^{16} + \frac{10}{37} a^{15} + \frac{16}{37} a^{14} + \frac{4}{37} a^{13} + \frac{10}{37} a^{12} + \frac{1}{37} a^{11} - \frac{11}{37} a^{10} + \frac{16}{37} a^{9} - \frac{7}{37} a^{8} - \frac{10}{37} a^{7} - \frac{13}{37} a^{6} + \frac{15}{37} a^{5} + \frac{8}{37} a^{4} - \frac{8}{37} a^{3} - \frac{1}{37} a^{2} - \frac{11}{37} a$, $\frac{1}{185} a^{36} + \frac{2}{185} a^{35} - \frac{1}{185} a^{34} - \frac{2}{185} a^{33} + \frac{1}{185} a^{32} + \frac{2}{185} a^{31} + \frac{2}{185} a^{29} + \frac{79}{185} a^{28} - \frac{18}{185} a^{27} + \frac{2}{185} a^{26} - \frac{52}{185} a^{25} + \frac{1}{37} a^{24} + \frac{49}{185} a^{23} + \frac{24}{185} a^{22} + \frac{41}{185} a^{21} + \frac{8}{185} a^{20} + \frac{19}{185} a^{19} + \frac{15}{37} a^{18} - \frac{82}{185} a^{17} - \frac{64}{185} a^{16} + \frac{16}{37} a^{15} + \frac{11}{37} a^{14} + \frac{9}{37} a^{13} - \frac{2}{37} a^{12} - \frac{28}{185} a^{11} + \frac{69}{185} a^{10} + \frac{3}{185} a^{9} - \frac{47}{185} a^{8} + \frac{39}{185} a^{7} - \frac{21}{185} a^{6} - \frac{13}{37} a^{5} - \frac{29}{185} a^{4} + \frac{6}{185} a^{3} - \frac{73}{185} a^{2} + \frac{33}{185} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{185} a^{37} + \frac{1}{185} a^{31} + \frac{2}{185} a^{30} - \frac{21}{185} a^{28} - \frac{77}{185} a^{27} - \frac{51}{185} a^{26} - \frac{71}{185} a^{25} - \frac{91}{185} a^{24} + \frac{36}{185} a^{23} + \frac{28}{185} a^{22} + \frac{81}{185} a^{21} - \frac{1}{5} a^{20} + \frac{12}{185} a^{19} + \frac{33}{185} a^{18} - \frac{8}{37} a^{17} + \frac{53}{185} a^{16} + \frac{7}{37} a^{15} + \frac{9}{37} a^{14} + \frac{15}{37} a^{13} - \frac{3}{185} a^{12} + \frac{2}{37} a^{11} + \frac{3}{37} a^{10} - \frac{23}{185} a^{9} + \frac{28}{185} a^{8} - \frac{59}{185} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{66}{185} a^{5} + \frac{9}{185} a^{4} - \frac{6}{37} a^{3} + \frac{64}{185} a^{2} + \frac{4}{37} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{185} a^{38} + \frac{1}{185} a^{32} + \frac{2}{185} a^{31} - \frac{1}{185} a^{29} + \frac{8}{185} a^{28} - \frac{46}{185} a^{27} - \frac{11}{185} a^{26} - \frac{51}{185} a^{25} - \frac{19}{185} a^{24} + \frac{8}{185} a^{23} + \frac{81}{185} a^{22} + \frac{83}{185} a^{21} - \frac{83}{185} a^{20} - \frac{2}{185} a^{19} - \frac{11}{37} a^{18} + \frac{88}{185} a^{17} - \frac{3}{37} a^{15} - \frac{10}{37} a^{14} - \frac{43}{185} a^{13} + \frac{6}{37} a^{12} - \frac{2}{37} a^{11} - \frac{48}{185} a^{10} + \frac{23}{185} a^{9} + \frac{81}{185} a^{8} - \frac{73}{185} a^{7} + \frac{46}{185} a^{6} - \frac{76}{185} a^{5} - \frac{7}{37} a^{4} - \frac{21}{185} a^{3} + \frac{18}{37} a^{2} + \frac{23}{185} a$, $\frac{1}{185} a^{39} + \frac{1}{185} a^{33} + \frac{2}{185} a^{32} - \frac{1}{185} a^{30} - \frac{2}{185} a^{29} + \frac{4}{185} a^{28} + \frac{79}{185} a^{27} - \frac{81}{185} a^{26} - \frac{39}{185} a^{25} - \frac{57}{185} a^{24} + \frac{91}{185} a^{23} + \frac{83}{185} a^{22} + \frac{42}{185} a^{21} - \frac{47}{185} a^{20} + \frac{11}{37} a^{19} + \frac{3}{185} a^{18} + \frac{15}{37} a^{17} - \frac{18}{37} a^{16} - \frac{4}{37} a^{15} - \frac{73}{185} a^{14} + \frac{10}{37} a^{13} - \frac{4}{37} a^{12} + \frac{57}{185} a^{11} - \frac{57}{185} a^{10} - \frac{9}{185} a^{9} + \frac{42}{185} a^{8} - \frac{84}{185} a^{7} - \frac{66}{185} a^{6} - \frac{17}{37} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{8}{37} a^{3} - \frac{12}{185} a^{2} - \frac{6}{37} a$, $\frac{1}{35335} a^{40} + \frac{91}{35335} a^{39} + \frac{26}{35335} a^{38} - \frac{26}{35335} a^{37} + \frac{59}{35335} a^{36} - \frac{92}{35335} a^{35} - \frac{53}{35335} a^{34} - \frac{27}{7067} a^{33} + \frac{252}{35335} a^{32} - \frac{117}{35335} a^{31} - \frac{36}{7067} a^{30} - \frac{251}{35335} a^{29} + \frac{12023}{35335} a^{28} - \frac{238}{35335} a^{27} + \frac{11763}{35335} a^{26} + \frac{5536}{35335} a^{25} - \frac{16054}{35335} a^{24} + \frac{7492}{35335} a^{23} + \frac{9199}{35335} a^{22} - \frac{15389}{35335} a^{21} - \frac{3476}{35335} a^{20} - \frac{72}{7067} a^{19} - \frac{3215}{7067} a^{18} + \frac{1542}{7067} a^{17} + \frac{10156}{35335} a^{16} + \frac{5452}{35335} a^{15} - \frac{11758}{35335} a^{14} - \frac{5873}{35335} a^{13} - \frac{710}{7067} a^{12} - \frac{622}{35335} a^{11} + \frac{12237}{35335} a^{10} + \frac{276}{35335} a^{9} + \frac{13793}{35335} a^{8} + \frac{642}{35335} a^{7} - \frac{3526}{35335} a^{6} - \frac{14403}{35335} a^{5} + \frac{4164}{35335} a^{4} + \frac{8456}{35335} a^{3} + \frac{9082}{35335} a^{2} - \frac{2316}{7067} a - \frac{282}{955}$, $\frac{1}{1307395} a^{41} + \frac{18}{1307395} a^{40} + \frac{663}{261479} a^{39} - \frac{423}{261479} a^{38} - \frac{640}{261479} a^{37} + \frac{419}{261479} a^{36} + \frac{5326}{1307395} a^{35} - \frac{552}{261479} a^{34} + \frac{14691}{1307395} a^{33} + \frac{12429}{1307395} a^{32} - \frac{1804}{261479} a^{31} + \frac{9833}{1307395} a^{30} - \frac{10719}{1307395} a^{29} - \frac{464784}{1307395} a^{28} + \frac{264258}{1307395} a^{27} - \frac{491409}{1307395} a^{26} - \frac{89690}{261479} a^{25} - \frac{421719}{1307395} a^{24} + \frac{90291}{1307395} a^{23} - \frac{550351}{1307395} a^{22} - \frac{486771}{1307395} a^{21} - \frac{493422}{1307395} a^{20} - \frac{324236}{1307395} a^{19} - \frac{71846}{261479} a^{18} - \frac{3040}{261479} a^{17} + \frac{942}{1307395} a^{16} + \frac{326551}{1307395} a^{15} + \frac{110098}{261479} a^{14} - \frac{568403}{1307395} a^{13} + \frac{539489}{1307395} a^{12} + \frac{37581}{261479} a^{11} + \frac{32259}{261479} a^{10} - \frac{440498}{1307395} a^{9} + \frac{467127}{1307395} a^{8} + \frac{531012}{1307395} a^{7} + \frac{635309}{1307395} a^{6} + \frac{525367}{1307395} a^{5} + \frac{585758}{1307395} a^{4} + \frac{361119}{1307395} a^{3} + \frac{95662}{261479} a^{2} + \frac{94363}{261479} a + \frac{1405}{7067}$, $\frac{1}{1307395} a^{42} - \frac{6}{1307395} a^{40} - \frac{2363}{1307395} a^{39} - \frac{130}{261479} a^{38} + \frac{3344}{1307395} a^{37} + \frac{2803}{1307395} a^{36} + \frac{421}{1307395} a^{35} + \frac{11202}{1307395} a^{34} - \frac{1991}{261479} a^{33} + \frac{1394}{1307395} a^{32} + \frac{14018}{1307395} a^{31} - \frac{1603}{1307395} a^{30} - \frac{2857}{261479} a^{29} - \frac{159276}{1307395} a^{28} + \frac{447468}{1307395} a^{27} - \frac{30467}{1307395} a^{26} - \frac{142596}{1307395} a^{25} + \frac{608868}{1307395} a^{24} - \frac{240896}{1307395} a^{23} - \frac{553026}{1307395} a^{22} + \frac{126124}{261479} a^{21} + \frac{31}{955} a^{20} + \frac{18963}{1307395} a^{19} - \frac{219272}{1307395} a^{18} - \frac{126057}{1307395} a^{17} - \frac{531341}{1307395} a^{16} - \frac{6717}{1307395} a^{15} - \frac{15399}{1307395} a^{14} + \frac{118258}{1307395} a^{13} + \frac{565227}{1307395} a^{12} + \frac{14137}{1307395} a^{11} + \frac{143664}{1307395} a^{10} + \frac{21363}{1307395} a^{9} - \frac{42709}{1307395} a^{8} - \frac{105141}{1307395} a^{7} + \frac{476999}{1307395} a^{6} + \frac{373343}{1307395} a^{5} + \frac{178511}{1307395} a^{4} + \frac{535974}{1307395} a^{3} + \frac{225826}{1307395} a^{2} - \frac{290214}{1307395} a + \frac{4937}{35335}$, $\frac{1}{1307395} a^{43} + \frac{2}{1307395} a^{40} - \frac{41}{35335} a^{39} - \frac{133}{1307395} a^{38} + \frac{2658}{1307395} a^{37} - \frac{2253}{1307395} a^{36} - \frac{389}{261479} a^{35} + \frac{2271}{1307395} a^{34} - \frac{17}{7067} a^{33} + \frac{7192}{1307395} a^{32} - \frac{1777}{1307395} a^{31} - \frac{15264}{1307395} a^{30} + \frac{15541}{1307395} a^{29} - \frac{639458}{1307395} a^{28} - \frac{29628}{261479} a^{27} + \frac{250013}{1307395} a^{26} + \frac{31497}{1307395} a^{25} - \frac{94186}{1307395} a^{24} - \frac{635063}{1307395} a^{23} - \frac{417816}{1307395} a^{22} - \frac{31212}{261479} a^{21} + \frac{202284}{1307395} a^{20} + \frac{287746}{1307395} a^{19} - \frac{139433}{1307395} a^{18} - \frac{351479}{1307395} a^{17} - \frac{527279}{1307395} a^{16} + \frac{503756}{1307395} a^{15} - \frac{389136}{1307395} a^{14} - \frac{17346}{261479} a^{13} + \frac{96487}{261479} a^{12} + \frac{531538}{1307395} a^{11} + \frac{453114}{1307395} a^{10} - \frac{359618}{1307395} a^{9} - \frac{69518}{261479} a^{8} - \frac{287123}{1307395} a^{7} + \frac{347076}{1307395} a^{6} + \frac{384403}{1307395} a^{5} - \frac{108798}{261479} a^{4} + \frac{213129}{1307395} a^{3} + \frac{647062}{1307395} a^{2} + \frac{417676}{1307395} a + \frac{13438}{35335}$, $\frac{1}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{44} + \frac{4599297693192072238690829094526131040322315442293370326341404333408724815335563708547883388231827909191899959011122611489548675931190218156405558134965065272499522496675156183987014148498648828132301350594347335897369}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{43} + \frac{2005572337077754118631495513258166687879936805567716293360471107475019312858339490951583016202019507020316857301065694009245456105044163482853420866791184589150809223477769890422353905144660772542038738205968140487467}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{42} + \frac{4347302313023817744264039211580020938923172705365434175445415158044531674424633828353292168827081049380389768142479252833234937080260451391852250255240599473875573170308587930578921211559611917809419603464104930726006}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{41} + \frac{36247018916969540529572235367673335116818784280459753574260126728870176428341426883232704433591617081716310954784339723950605402854061162280312338234595595234541568036369402693055777764107778507148125348135896966194893}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{40} - \frac{12296228291768827188285303078464687522794764558816989431768672002266637928408675788637267247234065718977391442665942444025457374053902970145780611094723716833320532207215948775629044428191762985839040807057430519415088757}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{39} + \frac{516511258777941593461593087880481526286496811063012334047899944222066015258781663434794497630506173831367391819699722467945645581357846374068600561277269106368715272524794883483471386465198615383272626630631036852448410}{2650629843575458080597379432574216370984779088114459945173845109792877960013894607560194572147643636582316287397400849029779767868670652512900383995931496500176850438810835194559816942914453662391223938975579543824668921219} a^{38} - \frac{27029524466951261410924851355091752150573564688831598494249836804198768852806876031125169453270404042832308173116936492803715954198685119917630021749128977590692589265898348425790480913829069039716763138223199711255467411}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{37} - \frac{19907837603426348320605631713642386785937037682011432520679962629581619852034847544648443904986645485072211685960383651612324429520112211172095169304670630371947994821806780083994829254570253485333109185071586302059289603}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{36} - \frac{108632006438507638891512871835511258551198828524903061530982331269561237289452585335335346027618317200932570246966230323475524799557210977510355335111939858933578709597548630248415842254638887955382572273030667533081780657}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{35} - \frac{75301301139373521953287635371213222428720631002014515090714586779309208516488745876248612618264897552410111148659040506810804762690160900777550852924340880532788352661979985889319423218842906202484930638029659567279522048}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{34} - \frac{177706166070479612417478877462021921229228982291273278404124952236436847344486764174561370801819241651642958620311658466893349808344524978811456281747161753974523112626585902854491873569170653223722483907189502007672669231}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{33} + \frac{144868643024405760511015096718159950850079239851821399350489599215520772526346286290654837015129207927723622417986661189619908338897876865109107307280778568091795301443054145478690332637685460766055801913642420098549434607}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{32} + \frac{95017715229583969447546181345181434682417058160715739621900961857179601765583248632447738810464544336600707658749111510322278762449326133934450148556915897574254354543067726336889427915198403441917216818419934089476605678}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{31} - \frac{151479282651639480066342398521244955710513482627635513590660105484074058238468040758037193029630072775307235080033741985839201475108267527677329401387153410029652619985331171778321285056923207305299752058961544756033139804}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{30} + \frac{12172451487693228278460557842060950543314358120772323805107201981545515321535750489511358765159455813854944327109860089153350210196366000997048140297064089873319033794458267023576761484013662779108910833359465135169212907}{2650629843575458080597379432574216370984779088114459945173845109792877960013894607560194572147643636582316287397400849029779767868670652512900383995931496500176850438810835194559816942914453662391223938975579543824668921219} a^{29} - \frac{385495910667966182769722279970050364702632655124321812992122709191079839141450079119849435228947627300069483034106218299551009575336264601361376385446639373629746624887782483181590590856575515839582084572829198764455270221}{2650629843575458080597379432574216370984779088114459945173845109792877960013894607560194572147643636582316287397400849029779767868670652512900383995931496500176850438810835194559816942914453662391223938975579543824668921219} a^{28} - \frac{4179599477270279357289516263700205602502940393741571791157453947414652729156443805722041427956712484236728030251015025363444021563547759894218565712922761764035828171374550326093915210990136337373934834576222261741614459828}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{27} - \frac{6140418559279634005118586363340289211746600707633892853576163644390622543895094398029870553346785391573197984167201422998674244978057478983520848240108058912926985879676629734502923223079243606726787331075950547084418999109}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{26} - \frac{4983310182583863659840461789538909587659843503496267279539444269788204595394771996770862186250204601296110307272690916035155495937269331694256395904707036359670152209599063141753303803384416263587592838555163778585947205281}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{25} - \frac{5342859065759039973176238261472800228870576560628786500420877349209663075696311424824460478903262091993777567886823467472825008620885893728801642419713563649693453098419660765008672134694098523160140273849832395712577081738}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{24} - \frac{4523430197827815350919571044766298839776768837206982436608786082416518928627342136968744627256729542454437467197349558755871731682631740268647024443708366061936613039083803129726337078446810294895235115685849476038985559814}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{23} - \frac{5231516949376458037732206586704509911146975753778201708410592498330269794651553774751568275194762312631948443983961885025451873137603647881173978014584491800097320311147256409242617208228359601869282813012748355902718555699}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{22} + \frac{6587900289763583021494563881604889202155572789129823364267844505538418694568344608007426751227993111018511716393023020120543538595994066278052124018445830689988328940387286418604498960071799374347120693279826427529246004798}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{21} + \frac{962631973230230003913672312811211060237921669087197696965394891780916043169196760329557300768704807105081919440136249211798162260916704908761808967490727460263847501311005289080938360116510523344261295131102078711838207691}{2650629843575458080597379432574216370984779088114459945173845109792877960013894607560194572147643636582316287397400849029779767868670652512900383995931496500176850438810835194559816942914453662391223938975579543824668921219} a^{20} - \frac{4406244703095560078284019595073639453362223878465834771488164064369295163630613435338833435385843871867750380743123424330207384811893600817179715420198836116140975888534771364156823610257614750398660827826951214220050089098}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{19} - \frac{599326069408276049015442752674528350549901732650400808617890745162564000236597507309372059224771390654956837782444208636809367153176842344080867722025054340586313444400491552799231020459653548437412155929622555288406098099}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{18} - \frac{513063782020482208949635783575549079685789949091669719554120823501667449774636119294277402742797252249047018039986627756309506321400700475170504553926243877084208628593679370296309793310119758187350946736145832314836299878}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{17} + \frac{307694232777634112057260464368405797104971453863604105525134985958564979841949411970833993593874753250935637522013360139156023740394193998876300636422296106735944095159277705879194797477077902485349390597072452890891806137}{2650629843575458080597379432574216370984779088114459945173845109792877960013894607560194572147643636582316287397400849029779767868670652512900383995931496500176850438810835194559816942914453662391223938975579543824668921219} a^{16} - \frac{2101456228744087475632197657838125960290470973817104580521646868798003742607314455698772512525451860647943731697945239138915249756068832440958718506438005319909081606170997720956691208838583281016449521469842523920460903443}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{15} - \frac{6081111014344049357026253937965651042871111619254148180752972804625251333119141282797787136829532309703963601704879657026327849040771940386135618748791258675050175263699813707414947016933646354598785085268277968965034718872}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{14} + \frac{3435869564826663966454726296294570633378942626282501324588358686799656537830263873300157263400833418203322884294357769448035167764651251587486988855660219760530132870232055545716290320298687368009712438804324353053569689507}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{13} + \frac{1128141461305609669410968226459841643043812515593890529472187391274773364664640302951741417950479263974047481982337696123908247316031492630564737190916514843962888443287451601483785331018596075602035698355354962144686024646}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{12} - \frac{5033826557214592712284082044902148427387003771330692623926720879847534265906536070333464721663994014369648527846157400876208175200525276272874195175697460564699592842178388166904446657235214615820364499061145855614355206238}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{11} - \frac{5992124353051112029375866851923404712990082538984624044868421644813572355440669175329137483671537584649195108127150948507948238634394346424415609945531329142271699751036533035984526312750326631048992883373669098877902362762}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{10} - \frac{2199183512494894109984462207066082784482969164282613943099270395337358785470434495013420767000856861719469067958751213719970396068508012038924995964904933725151754202873249885261388671102709078547307931314305404531322629839}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{9} - \frac{2978726239684298343279545099992652299198971809117619056181702228140365282541490568714706610902937961234332170543426110456242690897374165765357210241788935517090720838773079729410843069282240691824483922532212693574359438942}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{8} - \frac{337268977963002560331917587803540965856677070931429765498191662099155953286673412781790786529280671257074614599945671181124617649526531270286072836835549877915684206944142540036713976925293572422328939465751550083817764124}{2650629843575458080597379432574216370984779088114459945173845109792877960013894607560194572147643636582316287397400849029779767868670652512900383995931496500176850438810835194559816942914453662391223938975579543824668921219} a^{7} + \frac{3247540292669877799244210504074592961833821200895261217671555392977341538153091039563787014122947318917004708607729470082155168547488026043489053506252455989838582901482481114527447317843453357030422000754867404530323268611}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{6} - \frac{112240728635265856883323623855083486954990742015565021179564258827416706699459909415463817127383713744757229106241090209507833223809342605861208022550656812392561780164244815529215541475797201578430380390633813622005380418}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{5} + \frac{3575856326460921066362102209630218131311318231913628038283286865623383913051230117550121621626951308828932317647723598917878685180552225727122471720750257362457327694748441092479442880164201131440336449660352252647487057484}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{4} + \frac{4192239720416878347146393256668935785467593247499939398051855886812736598336896041208196917188301321360675235108495398252430150825761273447668217880090866038724551021614562193475026656991194051736080676333986464093254004752}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a^{3} - \frac{557093911874500472063571574426119907227376017635093565095288504016335150060464383353283918069495254000084890571927865636278918054396754424919906326934926513896078821547230585044148051561811261808410491968882039965722219533}{2650629843575458080597379432574216370984779088114459945173845109792877960013894607560194572147643636582316287397400849029779767868670652512900383995931496500176850438810835194559816942914453662391223938975579543824668921219} a^{2} - \frac{4577708061558895674040360604186157762976487887728056708082852631965974263744033201141355263170256933078298878157642936810947708339178975571024095543444057831278644786838215828658550188030610575287894770459753745369261643192}{13253149217877290402986897162871081854923895440572299725869225548964389800069473037800972860738218182911581436987004245148898839343353262564501919979657482500884252194054175972799084714572268311956119694877897719123344606095} a + \frac{31846607150994471659048600596828305073122933022958663277492637415488872302736394914290749057427355992545831638309874713918416482753707760483711164104935334145077396415649843356572429699533200352727755934607106001671755748}{358193222104791632513159382780299509592537714610062154753222312134172697299174946967593861101032923862475173972621736355375644306577115204445997837288040067591466275514977728994569857150601846269084316077781019435766070435}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 560427797213053600000000000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{45}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 560427797213053600000000000000000000000 \cdot 1}{2\sqrt{690502119755999041650933728181031670984689765738417760130764409811234288886886833270367975576584121365281}}\approx 0.375194937045846$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.361.1, 5.5.923521.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 15.15.4829212716211581952447142935561.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{5}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $45$ $45$ R $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/37.1.0.1}{1} }^{45}$ $45$ $45$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed
$31$31.15.12.1$x^{15} + 1395 x^{10} + 388244 x^{5} + 1759128759$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
31.15.12.1$x^{15} + 1395 x^{10} + 388244 x^{5} + 1759128759$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
31.15.12.1$x^{15} + 1395 x^{10} + 388244 x^{5} + 1759128759$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$