Properties

Label 45.45.644...625.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $6.444\times 10^{102}$
Root discriminant $192.60$
Ramified primes $3, 5$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 135*x^43 - 45*x^42 + 8145*x^41 + 5076*x^40 - 290700*x^39 - 253620*x^38 + 6857235*x^37 + 7452610*x^36 - 113268978*x^35 - 144333495*x^34 + 1355213265*x^33 + 1957216455*x^32 - 11983335705*x^31 - 19266777171*x^30 + 79141746870*x^29 + 140783463765*x^28 - 391240008255*x^27 - 773615354895*x^26 + 1437267934764*x^25 + 3215872493700*x^24 - 3839971488165*x^23 - 10109340177300*x^22 + 7085017431465*x^21 + 23873005106874*x^20 - 7751347674075*x^19 - 41764000577760*x^18 + 1270029598110*x^17 + 52868417349600*x^16 + 10969424061639*x^15 - 46623586775670*x^14 - 19170786833010*x^13 + 26882974463550*x^12 + 16378966497285*x^11 - 8981328155022*x^10 - 7825331392520*x^9 + 1236586926825*x^8 + 1998991148400*x^7 + 84870189090*x^6 - 236319447555*x^5 - 31508573040*x^4 + 10090496085*x^3 + 1414058625*x^2 - 109748520*x - 10224199)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 135*x^43 - 45*x^42 + 8145*x^41 + 5076*x^40 - 290700*x^39 - 253620*x^38 + 6857235*x^37 + 7452610*x^36 - 113268978*x^35 - 144333495*x^34 + 1355213265*x^33 + 1957216455*x^32 - 11983335705*x^31 - 19266777171*x^30 + 79141746870*x^29 + 140783463765*x^28 - 391240008255*x^27 - 773615354895*x^26 + 1437267934764*x^25 + 3215872493700*x^24 - 3839971488165*x^23 - 10109340177300*x^22 + 7085017431465*x^21 + 23873005106874*x^20 - 7751347674075*x^19 - 41764000577760*x^18 + 1270029598110*x^17 + 52868417349600*x^16 + 10969424061639*x^15 - 46623586775670*x^14 - 19170786833010*x^13 + 26882974463550*x^12 + 16378966497285*x^11 - 8981328155022*x^10 - 7825331392520*x^9 + 1236586926825*x^8 + 1998991148400*x^7 + 84870189090*x^6 - 236319447555*x^5 - 31508573040*x^4 + 10090496085*x^3 + 1414058625*x^2 - 109748520*x - 10224199, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-10224199, -109748520, 1414058625, 10090496085, -31508573040, -236319447555, 84870189090, 1998991148400, 1236586926825, -7825331392520, -8981328155022, 16378966497285, 26882974463550, -19170786833010, -46623586775670, 10969424061639, 52868417349600, 1270029598110, -41764000577760, -7751347674075, 23873005106874, 7085017431465, -10109340177300, -3839971488165, 3215872493700, 1437267934764, -773615354895, -391240008255, 140783463765, 79141746870, -19266777171, -11983335705, 1957216455, 1355213265, -144333495, -113268978, 7452610, 6857235, -253620, -290700, 5076, 8145, -45, -135, 0, 1]);
 

\( x^{45} - 135 x^{43} - 45 x^{42} + 8145 x^{41} + 5076 x^{40} - 290700 x^{39} - 253620 x^{38} + 6857235 x^{37} + 7452610 x^{36} - 113268978 x^{35} - 144333495 x^{34} + 1355213265 x^{33} + 1957216455 x^{32} - 11983335705 x^{31} - 19266777171 x^{30} + 79141746870 x^{29} + 140783463765 x^{28} - 391240008255 x^{27} - 773615354895 x^{26} + 1437267934764 x^{25} + 3215872493700 x^{24} - 3839971488165 x^{23} - 10109340177300 x^{22} + 7085017431465 x^{21} + 23873005106874 x^{20} - 7751347674075 x^{19} - 41764000577760 x^{18} + 1270029598110 x^{17} + 52868417349600 x^{16} + 10969424061639 x^{15} - 46623586775670 x^{14} - 19170786833010 x^{13} + 26882974463550 x^{12} + 16378966497285 x^{11} - 8981328155022 x^{10} - 7825331392520 x^{9} + 1236586926825 x^{8} + 1998991148400 x^{7} + 84870189090 x^{6} - 236319447555 x^{5} - 31508573040 x^{4} + 10090496085 x^{3} + 1414058625 x^{2} - 109748520 x - 10224199 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(644\!\cdots\!625\)\(\medspace = 3^{110}\cdot 5^{72}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $192.60$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 5$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(675=3^{3}\cdot 5^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{675}(256,·)$, $\chi_{675}(1,·)$, $\chi_{675}(646,·)$, $\chi_{675}(391,·)$, $\chi_{675}(136,·)$, $\chi_{675}(526,·)$, $\chi_{675}(271,·)$, $\chi_{675}(16,·)$, $\chi_{675}(661,·)$, $\chi_{675}(406,·)$, $\chi_{675}(151,·)$, $\chi_{675}(541,·)$, $\chi_{675}(286,·)$, $\chi_{675}(31,·)$, $\chi_{675}(421,·)$, $\chi_{675}(166,·)$, $\chi_{675}(556,·)$, $\chi_{675}(301,·)$, $\chi_{675}(46,·)$, $\chi_{675}(436,·)$, $\chi_{675}(181,·)$, $\chi_{675}(571,·)$, $\chi_{675}(316,·)$, $\chi_{675}(61,·)$, $\chi_{675}(451,·)$, $\chi_{675}(196,·)$, $\chi_{675}(586,·)$, $\chi_{675}(331,·)$, $\chi_{675}(76,·)$, $\chi_{675}(466,·)$, $\chi_{675}(211,·)$, $\chi_{675}(601,·)$, $\chi_{675}(346,·)$, $\chi_{675}(91,·)$, $\chi_{675}(481,·)$, $\chi_{675}(226,·)$, $\chi_{675}(616,·)$, $\chi_{675}(361,·)$, $\chi_{675}(106,·)$, $\chi_{675}(496,·)$, $\chi_{675}(241,·)$, $\chi_{675}(631,·)$, $\chi_{675}(376,·)$, $\chi_{675}(121,·)$, $\chi_{675}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{7} a^{36} + \frac{1}{7} a^{35} - \frac{1}{7} a^{34} + \frac{3}{7} a^{33} + \frac{1}{7} a^{32} - \frac{3}{7} a^{31} + \frac{1}{7} a^{30} - \frac{1}{7} a^{29} - \frac{2}{7} a^{28} + \frac{1}{7} a^{27} - \frac{3}{7} a^{26} - \frac{3}{7} a^{25} - \frac{2}{7} a^{23} + \frac{2}{7} a^{22} + \frac{3}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{20} + \frac{1}{7} a^{19} - \frac{1}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} - \frac{3}{7} a^{14} + \frac{3}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} - \frac{2}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a - \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{37} - \frac{2}{7} a^{35} - \frac{3}{7} a^{34} - \frac{2}{7} a^{33} + \frac{3}{7} a^{32} - \frac{3}{7} a^{31} - \frac{2}{7} a^{30} - \frac{1}{7} a^{29} + \frac{3}{7} a^{28} + \frac{3}{7} a^{27} + \frac{3}{7} a^{25} - \frac{2}{7} a^{24} - \frac{3}{7} a^{23} + \frac{1}{7} a^{22} + \frac{2}{7} a^{21} + \frac{3}{7} a^{20} - \frac{2}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} + \frac{1}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} + \frac{3}{7} a^{14} + \frac{3}{7} a^{13} + \frac{3}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} + \frac{3}{7} a^{5} + \frac{3}{7} a^{4} + \frac{2}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a^{2} + \frac{1}{7} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{749} a^{38} + \frac{2}{107} a^{37} + \frac{4}{107} a^{36} + \frac{356}{749} a^{35} + \frac{178}{749} a^{34} + \frac{338}{749} a^{33} - \frac{8}{749} a^{32} + \frac{13}{749} a^{31} - \frac{13}{749} a^{30} + \frac{92}{749} a^{29} - \frac{197}{749} a^{28} - \frac{320}{749} a^{27} - \frac{87}{749} a^{26} - \frac{365}{749} a^{25} + \frac{81}{749} a^{24} - \frac{276}{749} a^{23} + \frac{279}{749} a^{22} - \frac{327}{749} a^{21} + \frac{302}{749} a^{20} - \frac{366}{749} a^{19} + \frac{358}{749} a^{18} - \frac{254}{749} a^{17} + \frac{1}{749} a^{16} + \frac{113}{749} a^{15} - \frac{353}{749} a^{14} - \frac{109}{749} a^{13} + \frac{152}{749} a^{12} + \frac{277}{749} a^{11} - \frac{44}{749} a^{10} + \frac{52}{107} a^{9} + \frac{50}{107} a^{8} + \frac{93}{749} a^{7} + \frac{38}{749} a^{6} - \frac{69}{749} a^{5} - \frac{64}{749} a^{4} + \frac{111}{749} a^{3} + \frac{351}{749} a^{2} - \frac{348}{749} a - \frac{48}{749}$, $\frac{1}{749} a^{39} + \frac{46}{749} a^{37} - \frac{36}{749} a^{36} + \frac{9}{749} a^{35} + \frac{200}{749} a^{34} + \frac{75}{749} a^{33} + \frac{18}{749} a^{32} - \frac{88}{749} a^{31} - \frac{22}{107} a^{30} - \frac{201}{749} a^{29} + \frac{12}{107} a^{28} - \frac{208}{749} a^{27} + \frac{104}{749} a^{26} - \frac{159}{749} a^{25} - \frac{340}{749} a^{24} - \frac{244}{749} a^{23} - \frac{274}{749} a^{22} + \frac{65}{749} a^{21} - \frac{207}{749} a^{20} - \frac{27}{107} a^{19} - \frac{130}{749} a^{18} - \frac{295}{749} a^{17} + \frac{313}{749} a^{16} - \frac{116}{749} a^{15} + \frac{232}{749} a^{14} + \frac{73}{749} a^{13} + \frac{289}{749} a^{12} + \frac{358}{749} a^{11} + \frac{17}{749} a^{10} + \frac{176}{749} a^{9} + \frac{222}{749} a^{8} - \frac{87}{749} a^{7} - \frac{66}{749} a^{6} + \frac{46}{749} a^{5} + \frac{151}{749} a^{4} - \frac{26}{749} a^{3} - \frac{18}{107} a^{2} - \frac{205}{749} a - \frac{184}{749}$, $\frac{1}{749} a^{40} - \frac{38}{749} a^{37} + \frac{5}{749} a^{36} + \frac{302}{749} a^{35} - \frac{88}{749} a^{34} - \frac{229}{749} a^{33} - \frac{255}{749} a^{32} + \frac{211}{749} a^{31} - \frac{352}{749} a^{30} - \frac{82}{749} a^{29} - \frac{27}{749} a^{28} + \frac{58}{749} a^{27} - \frac{9}{749} a^{26} + \frac{293}{749} a^{25} - \frac{11}{749} a^{24} - \frac{311}{749} a^{23} + \frac{178}{749} a^{22} - \frac{36}{107} a^{21} + \frac{257}{749} a^{20} + \frac{228}{749} a^{19} + \frac{51}{107} a^{18} + \frac{13}{749} a^{17} + \frac{159}{749} a^{16} - \frac{44}{749} a^{15} + \frac{22}{107} a^{14} - \frac{261}{749} a^{13} - \frac{1}{7} a^{12} + \frac{47}{107} a^{11} - \frac{261}{749} a^{10} - \frac{365}{749} a^{9} - \frac{137}{749} a^{8} + \frac{52}{107} a^{7} - \frac{97}{749} a^{6} + \frac{222}{749} a^{5} - \frac{78}{749} a^{4} + \frac{225}{749} a^{3} - \frac{194}{749} a^{2} + \frac{95}{749} a + \frac{282}{749}$, $\frac{1}{749} a^{41} + \frac{2}{749} a^{37} - \frac{25}{749} a^{36} - \frac{363}{749} a^{35} - \frac{206}{749} a^{34} - \frac{251}{749} a^{33} - \frac{93}{749} a^{32} - \frac{72}{749} a^{31} - \frac{148}{749} a^{30} + \frac{152}{749} a^{29} - \frac{37}{107} a^{28} - \frac{185}{749} a^{27} - \frac{338}{749} a^{26} - \frac{78}{749} a^{25} + \frac{92}{749} a^{24} + \frac{69}{749} a^{23} + \frac{292}{749} a^{22} - \frac{185}{749} a^{21} + \frac{148}{749} a^{20} + \frac{359}{749} a^{19} - \frac{79}{749} a^{18} + \frac{351}{749} a^{17} - \frac{6}{749} a^{16} + \frac{24}{107} a^{15} + \frac{128}{749} a^{14} + \frac{138}{749} a^{13} + \frac{327}{749} a^{12} + \frac{207}{749} a^{11} - \frac{218}{749} a^{10} + \frac{320}{749} a^{9} - \frac{139}{749} a^{8} - \frac{94}{749} a^{7} - \frac{46}{749} a^{6} + \frac{82}{749} a^{5} + \frac{21}{107} a^{4} - \frac{256}{749} a^{3} - \frac{156}{749} a^{2} + \frac{326}{749} a - \frac{5}{749}$, $\frac{1}{749} a^{42} - \frac{53}{749} a^{37} + \frac{9}{749} a^{36} + \frac{37}{107} a^{35} - \frac{286}{749} a^{34} - \frac{234}{749} a^{33} + \frac{372}{749} a^{32} + \frac{40}{749} a^{31} - \frac{143}{749} a^{30} - \frac{122}{749} a^{29} + \frac{102}{749} a^{28} - \frac{19}{749} a^{27} + \frac{310}{749} a^{26} + \frac{41}{107} a^{25} - \frac{93}{749} a^{24} - \frac{12}{749} a^{23} + \frac{113}{749} a^{22} - \frac{23}{107} a^{21} - \frac{352}{749} a^{20} + \frac{332}{749} a^{19} - \frac{44}{749} a^{18} - \frac{20}{107} a^{17} + \frac{59}{749} a^{16} + \frac{223}{749} a^{15} + \frac{309}{749} a^{14} - \frac{204}{749} a^{13} - \frac{311}{749} a^{12} + \frac{298}{749} a^{11} + \frac{43}{107} a^{10} + \frac{96}{749} a^{9} + \frac{276}{749} a^{8} - \frac{339}{749} a^{7} + \frac{6}{749} a^{6} - \frac{143}{749} a^{5} - \frac{3}{107} a^{4} + \frac{264}{749} a^{3} + \frac{373}{749} a^{2} - \frac{272}{749} a + \frac{310}{749}$, $\frac{1}{80143} a^{43} + \frac{19}{80143} a^{42} + \frac{2}{80143} a^{41} + \frac{17}{80143} a^{40} - \frac{5}{80143} a^{39} - \frac{4}{80143} a^{38} - \frac{970}{80143} a^{37} - \frac{2691}{80143} a^{36} - \frac{7905}{80143} a^{35} - \frac{15262}{80143} a^{34} - \frac{24810}{80143} a^{33} - \frac{32670}{80143} a^{32} + \frac{5886}{80143} a^{31} - \frac{16369}{80143} a^{30} + \frac{15689}{80143} a^{29} + \frac{33134}{80143} a^{28} + \frac{584}{80143} a^{27} + \frac{31916}{80143} a^{26} + \frac{588}{11449} a^{25} - \frac{19760}{80143} a^{24} - \frac{19280}{80143} a^{23} - \frac{24517}{80143} a^{22} - \frac{33615}{80143} a^{21} + \frac{6973}{80143} a^{20} + \frac{16446}{80143} a^{19} + \frac{24732}{80143} a^{18} - \frac{34156}{80143} a^{17} + \frac{35368}{80143} a^{16} - \frac{27413}{80143} a^{15} - \frac{25859}{80143} a^{14} - \frac{5661}{11449} a^{13} - \frac{16502}{80143} a^{12} - \frac{18191}{80143} a^{11} + \frac{2092}{11449} a^{10} - \frac{37869}{80143} a^{9} - \frac{16865}{80143} a^{8} + \frac{24887}{80143} a^{7} + \frac{33913}{80143} a^{6} - \frac{25523}{80143} a^{5} + \frac{4016}{11449} a^{4} + \frac{5585}{11449} a^{3} - \frac{12029}{80143} a^{2} - \frac{283}{749} a + \frac{29251}{80143}$, $\frac{1}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{44} - \frac{6127519752018487337784635817976604033832852926366776045836039600104692788896966704199650025375866015800156764021658196814033702041782901197724950617191604216942510394546707585742393864080355859482073123581943145049965}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{43} + \frac{668085941137724036049948871342738958807002308693128782058308637798504114365997541457140222541882728656763388235887283674959525427129149209067283701520240816365752588172105736875350249659128730871320108718761149606633194}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{42} + \frac{57622129396250704704080728698190284892532561824941377759820609473196560202008866866295232176188521114728801083730200573643044849241471933005658014797318533629055486343776865044645256637287500799290111716210093465304515}{150787566928314522714424377854808757566183565400910806917995924667593449571859714714745002203415055244001098298914587506698413244028461325703785502226645224372224303874835942065127496294471073559159272903119119951693952993} a^{41} + \frac{465346792689620774729232213611744832839531501365536829862506024379092263989922711639600118674464418014936529456006790139131026363589264230368035101395957336843651755878429212236283743351978941629270638608985685049366744}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{40} + \frac{144902077257507018828302055473522016967536610546499638258183005734166627767550813774852744480773948992234687524356449426687990147626860739174213071240325683449763146004454123575171668374575391217141006324234348014738678}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{39} - \frac{13633458251061964133418621092719649006597395766766874080251775960583065630983977116342990216794487696666624434028076364329729078864488860860545980683572204349037880027804691605429060645179366393905149648650087830943839}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{38} - \frac{3718954622142379588080786256346699144884789800693070559285015172680746287499248676820988889130602519262790682777814817951784705968740117470320369445669820402092221074938277591093212848687696545236118755972931677393190986}{150787566928314522714424377854808757566183565400910806917995924667593449571859714714745002203415055244001098298914587506698413244028461325703785502226645224372224303874835942065127496294471073559159272903119119951693952993} a^{37} - \frac{55445656923279524522593453686911376239673763836431965863007766467834587432428851513141901229009461141697146398729632656884823941578062948924614881275532396624291664990236139470948150242159326025631627489628633870123046518}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{36} - \frac{13583846167847214385121086448091332442997768217031418689236250990183266987908582088634664178036776994322463798138609406052825466735717340276952372334420112539018266959532421635132695871254373584776821746426648162245403371}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{35} + \frac{475764814614505803483745439332392345599473154960324616052473253339302711461047096700014295243247680057003618928954032111967911308382083657942334492562578508319615641177970858359705581860603875281217020265014411767778468455}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{34} + \frac{237271424955664691867274741609307592779054422822985057818311064398771771724185506643539204649417421137030534029393175603686640174206149370311185579378790155712499309956769086691541107905159888366233334644957587654909471146}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{33} + \frac{425181532625873995543619704917813158223343160585448726285792117595378342483850609313182245420374809446227557833456655058804314788658318991314421324533575707209157554475861769984336417209458148866165297023246726527615374368}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{32} + \frac{360692026326775938781863818412191658750227372089585993471422412646531234808800418655296091377915399717093403346577759545264066859392692193552138859480830227248824916602468564269269341243429002121795901502383973725822697186}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{31} + \frac{385356076194466390885228472858471851258050227428688887978282819963099726814120446153440919276353195294499017019806006871151163967480120921899884795996915790105120660514430624435111013372032694957221930759344681407482147365}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{30} - \frac{96517308596982840171484973195734423417831544802696043434542557761542591197246061068468241019937896275653876510049257720609723118353403336779197230649315715060685271816185962816988415889939829169621774310660049113142287945}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{29} - \frac{516803416549767405352517999823795329304332202868579682311374914935787290114057894999565683925151737025913916865504564938885250480165325687548865926684202184988185409530651710766002775877291008903138489215989170915979341660}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{28} - \frac{38264219936466546176812411000087652302675552115786717717626728335445302328478215981616839773229273807525544794649404873951773484191666119038576312522804274835022677475533306254929331656799112741806402751240037156103345795}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{27} + \frac{95804817769435083279239484210830213687106138145673477639407139055586076566041604026102063472530576031439287093969255133250681906938757103978489754395872440427481973738048848872555822700527316365568184252092897975763101889}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{26} - \frac{307910482237927986691048082406371485105779262284994456940688296628789387241280715828270475775999417312477104743492213845714991524419374486937876349035566226409069747302741348306180815466653450858783720528297034163181046162}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{25} + \frac{281280862968646845228203326946199877645122225548085481734791529247579674244888465411891782234180415836350806318920915732912241048443782750309109244862853594432376196066481465982225425267336271298843612588784681520834811835}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{24} + \frac{133325184853755359205693332638854928455772897973317741979479734529737871064213175444602090448031962488048348008685351178001840320276156759154197548984154353349761687292533251720136535348926241318188101612676725571370857007}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{23} + \frac{467464944377620825500127173213841252083681385216932754104697064824948717151076937304282163642990720655675229959930687542961648362910695825178095561356886356423310860469425543518679988544646858844262039760910208902974453866}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{22} - \frac{479371654474531790156894986197929824038869615923345572042665651416142744127755886129197266122350758544932283223085728786547890531956824653424039296977924462519226474997542068993057908255589098979725712590294094542602460397}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{21} + \frac{127046093341732648230036505917089513347759443721562105083415475645393971294003460966927122707579634105188812264738675328193523402176240956766529902601006289465748771857251290483590256302244350845826065632175779089804999416}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{20} + \frac{192180888830326941848229524309729432588257843959051662740862118547109357076176654715422510239906928193636473592606126047778710060444231824857878008583976761817349952887949667848805286999354075647276648267777330793422029475}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{19} - \frac{281411060750842149492668200615400082733958566029174450283819149129693609329832773120299388129478113014242889790323801976811337079635435642434322222326178655243784049780871163564800463570598603955011510234713796468490018602}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{18} - \frac{3276403434187065889927810925737116066062027372072562426048818598843269581445189198648117005365309130177516546316419053822089050457963688886988872749295685408367136712336423625463244969082006602253867809333723304387404537}{150787566928314522714424377854808757566183565400910806917995924667593449571859714714745002203415055244001098298914587506698413244028461325703785502226645224372224303874835942065127496294471073559159272903119119951693952993} a^{17} - \frac{178204681028697163564793760624386194634321461187995923564278090751472208791766780823686908377785340046136902581044287400153573934590583694734301689049800374851432020092706095077516356245236187060074329080955226320629681469}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{16} - \frac{214222882115289185693552352812845800909837262519380479512503670017551713166504899754447909065263077441175191459622719281724978286001413864932204549426489870008958189028277952422202763742281410109684219933030162179718887571}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{15} - \frac{415752779085858860809039192984695257768031462872872259581995308145704530543735558112927080064664031508780409314995176442676443349230953178844494001087310835205478285975285509564703666033763950311787867587213056513456112363}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{14} - \frac{307954942127242780154672042618530103175015279321443724190710376903316816140574258868489877650427670179329438193859444464352379891908204499622796084027990929984520793208579362845122644828502201096056607249349549434631152631}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{13} + \frac{352835731925077209377668954923314388932969629824315591437645103393281005763696625293248920530239149613015689890313876007051244083483455176003298383982945482377809926067851672569980029873322377572126827894818973517250533820}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{12} + \frac{223513818231548800354923522642994456290055970462494013126399111189733875047609041521953467157970485322471737846201455946424510498093765643648130250697157460960441674733667746856683237022399998151644434062027279816779265377}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{11} + \frac{496280204750472859230329659476772113102851343796398144948883116834305233253004203093141168324519577976224908532378707830785765788865303693622780962620242290841199238766522747535310021252888213205464918127789912152059619601}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{10} - \frac{349815569773729330208944002048449423547230592384271891772517563045933722662049139135236730721119866572170729691642956673013280904235880341563157887948376831003851223278664750749882616943915123742452581588009195240215660155}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{9} + \frac{421008352239817353737176606902298062195812577168606436058782550001972210803720421310024728980205273569772409633134812938832915463805903635817156537368104518226535195613679489835992858889549031920005915428552738926659873255}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{8} - \frac{3483190664487637717409545194680346102676194975756249118868446507945918441291589528529931882478930716380346563056378287229508708506008485330210914168584908539868599903380743426597825795393476899845014250761163523491246179}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{7} - \frac{4659716821487847907523420935404764692793533207472356033153404148453039462019383749244189336473304055795963575680526086461625153753428318141103298264215588950424193927070355499005860550120122708227646126351574595829977646}{9864607182226183728981034065267862644516681848657716340429639931524805112177738345824439396485097072037455028900954322868120492599992797008658864631649687575752991842278986864073761439825210419758083274035830277213623093} a^{6} - \frac{256704144448452449637882412844562084032201282776752719674484853047243471445784974362800545772460007854391172458044427339787141726238178467051853514296661724876729161955957303855390667072479506942626605854368482267280636702}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a^{5} - \frac{38914490966976445419612486907004667163276110218539704582429957283222829040044399099722155937450519817277812464347000154085321132998156529355153060636421060713606411140821932077318721152382770345537038092779123784000327022}{150787566928314522714424377854808757566183565400910806917995924667593449571859714714745002203415055244001098298914587506698413244028461325703785502226645224372224303874835942065127496294471073559159272903119119951693952993} a^{4} - \frac{70189160755602891147367188930576751919462664666594218938760433080559821911383906009367454503740272277514229356509478419239658574420464835460514513626361410443246471574754747602128934412561743679643570228307702561739301403}{150787566928314522714424377854808757566183565400910806917995924667593449571859714714745002203415055244001098298914587506698413244028461325703785502226645224372224303874835942065127496294471073559159272903119119951693952993} a^{3} - \frac{58223107312690091753962106277694041219456553463150560065692472389787513177353545787746773071152222371222238229458146888878358828512637862020814114778345470874888412058931585923316070834981690737334333865095389505231129320}{150787566928314522714424377854808757566183565400910806917995924667593449571859714714745002203415055244001098298914587506698413244028461325703785502226645224372224303874835942065127496294471073559159272903119119951693952993} a^{2} + \frac{128814759801265488856624132877820243395581155655693826635042819396820520387577239696510030858222419113751475905373413309423133459948594847321585461497185228699278354053571759563857578435720054823391488494974178039905923591}{1055512968498201659000970644983661302963284957806375648425971472673154147003018003003215015423905386708007688092402112546888892708199229279926498515586516570605570127123851594455892474061297514914114910321833839661857670951} a + \frac{190512658583496689167625654604830254105678911933312262402370923939841894053019418756621286021168983101494313787629980388921029472036715743057609407673634807811557836947512430139485713511356838247941994738928583858856791}{407062463747860261859225084837509179700456983342219687013486877236079501350951794447826847444622208526034588543155461838368257889779880169659274398606446807021045170506691706307710171253874861131552221489330443371329607}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.390625.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\), 15.15.207828545629978179931640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ R R ${\href{/LocalNumberField/7.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $15^{3}$ $15^{3}$ $45$ $45$ $45$ $15^{3}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/43.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/53.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed