↑

Properties

Label 45.45.6128231730...9361.2
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $19^{40}\cdot 31^{42}$
Root discriminant $337.76$
Ramified primes $19, 31$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-41375255409223, -188982008455311, 2157450208238069, 13728679761994291, 1085729582232621, -108665445375624767, -84978896124941141, 391206959917077021, 366583237428264281, -806963465857146307, -761460618965418508, 1037424822147848938, 964576831266629235, -874488484477366268, -820838645147121687, 499090604649422698, 493472883857683460, -195415107150230215, -215778352850326398, 51746278205740189, 69856914397011680, -8540738036656127, -16924499553622509, 543050556534416, 3085590659707098, 119398393643072, -423818446227377, -40714696131665, 43717109269229, 6331188200900, -3358835491849, -635782907317, 189383008643, 44352597779, -7643197650, -2188265684, 211594053, 75872296, -3710548, -1801054, 34148, 27766, -57, -250, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - x^44 - 250*x^43 - 57*x^42 + 27766*x^41 + 34148*x^40 - 1801054*x^39 - 3710548*x^38 + 75872296*x^37 + 211594053*x^36 - 2188265684*x^35 - 7643197650*x^34 + 44352597779*x^33 + 189383008643*x^32 - 635782907317*x^31 - 3358835491849*x^30 + 6331188200900*x^29 + 43717109269229*x^28 - 40714696131665*x^27 - 423818446227377*x^26 + 119398393643072*x^25 + 3085590659707098*x^24 + 543050556534416*x^23 - 16924499553622509*x^22 - 8540738036656127*x^21 + 69856914397011680*x^20 + 51746278205740189*x^19 - 215778352850326398*x^18 - 195415107150230215*x^17 + 493472883857683460*x^16 + 499090604649422698*x^15 - 820838645147121687*x^14 - 874488484477366268*x^13 + 964576831266629235*x^12 + 1037424822147848938*x^11 - 761460618965418508*x^10 - 806963465857146307*x^9 + 366583237428264281*x^8 + 391206959917077021*x^7 - 84978896124941141*x^6 - 108665445375624767*x^5 + 1085729582232621*x^4 + 13728679761994291*x^3 + 2157450208238069*x^2 - 188982008455311*x - 41375255409223)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - x^44 - 250*x^43 - 57*x^42 + 27766*x^41 + 34148*x^40 - 1801054*x^39 - 3710548*x^38 + 75872296*x^37 + 211594053*x^36 - 2188265684*x^35 - 7643197650*x^34 + 44352597779*x^33 + 189383008643*x^32 - 635782907317*x^31 - 3358835491849*x^30 + 6331188200900*x^29 + 43717109269229*x^28 - 40714696131665*x^27 - 423818446227377*x^26 + 119398393643072*x^25 + 3085590659707098*x^24 + 543050556534416*x^23 - 16924499553622509*x^22 - 8540738036656127*x^21 + 69856914397011680*x^20 + 51746278205740189*x^19 - 215778352850326398*x^18 - 195415107150230215*x^17 + 493472883857683460*x^16 + 499090604649422698*x^15 - 820838645147121687*x^14 - 874488484477366268*x^13 + 964576831266629235*x^12 + 1037424822147848938*x^11 - 761460618965418508*x^10 - 806963465857146307*x^9 + 366583237428264281*x^8 + 391206959917077021*x^7 - 84978896124941141*x^6 - 108665445375624767*x^5 + 1085729582232621*x^4 + 13728679761994291*x^3 + 2157450208238069*x^2 - 188982008455311*x - 41375255409223, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - x^{44} - 250 x^{43} - 57 x^{42} + 27766 x^{41} + 34148 x^{40} - 1801054 x^{39} - 3710548 x^{38} + 75872296 x^{37} + 211594053 x^{36} - 2188265684 x^{35} - 7643197650 x^{34} + 44352597779 x^{33} + 189383008643 x^{32} - 635782907317 x^{31} - 3358835491849 x^{30} + 6331188200900 x^{29} + 43717109269229 x^{28} - 40714696131665 x^{27} - 423818446227377 x^{26} + 119398393643072 x^{25} + 3085590659707098 x^{24} + 543050556534416 x^{23} - 16924499553622509 x^{22} - 8540738036656127 x^{21} + 69856914397011680 x^{20} + 51746278205740189 x^{19} - 215778352850326398 x^{18} - 195415107150230215 x^{17} + 493472883857683460 x^{16} + 499090604649422698 x^{15} - 820838645147121687 x^{14} - 874488484477366268 x^{13} + 964576831266629235 x^{12} + 1037424822147848938 x^{11} - 761460618965418508 x^{10} - 806963465857146307 x^{9} + 366583237428264281 x^{8} + 391206959917077021 x^{7} - 84978896124941141 x^{6} - 108665445375624767 x^{5} + 1085729582232621 x^{4} + 13728679761994291 x^{3} + 2157450208238069 x^{2} - 188982008455311 x - 41375255409223 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(612823173021751971297676000847719042376493061735873445231828455051262946540529457157884846548736505117837633099361=19^{40}\cdot 31^{42}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $337.76$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $19, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(589=19\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{589}(1,·)$, $\chi_{589}(386,·)$, $\chi_{589}(5,·)$, $\chi_{589}(64,·)$, $\chi_{589}(140,·)$, $\chi_{589}(25,·)$, $\chi_{589}(537,·)$, $\chi_{589}(28,·)$, $\chi_{589}(541,·)$, $\chi_{589}(159,·)$, $\chi_{589}(163,·)$, $\chi_{589}(36,·)$, $\chi_{589}(422,·)$, $\chi_{589}(39,·)$, $\chi_{589}(555,·)$, $\chi_{589}(562,·)$, $\chi_{589}(180,·)$, $\chi_{589}(438,·)$, $\chi_{589}(567,·)$, $\chi_{589}(568,·)$, $\chi_{589}(441,·)$, $\chi_{589}(543,·)$, $\chi_{589}(320,·)$, $\chi_{589}(195,·)$, $\chi_{589}(454,·)$, $\chi_{589}(328,·)$, $\chi_{589}(329,·)$, $\chi_{589}(311,·)$, $\chi_{589}(206,·)$, $\chi_{589}(419,·)$, $\chi_{589}(462,·)$, $\chi_{589}(343,·)$, $\chi_{589}(348,·)$, $\chi_{589}(349,·)$, $\chi_{589}(479,·)$, $\chi_{589}(226,·)$, $\chi_{589}(484,·)$, $\chi_{589}(359,·)$, $\chi_{589}(423,·)$, $\chi_{589}(111,·)$, $\chi_{589}(467,·)$, $\chi_{589}(118,·)$, $\chi_{589}(503,·)$, $\chi_{589}(377,·)$, $\chi_{589}(125,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $\frac{1}{683} a^{42} + \frac{51}{683} a^{41} + \frac{237}{683} a^{40} + \frac{84}{683} a^{39} - \frac{112}{683} a^{38} - \frac{298}{683} a^{37} - \frac{273}{683} a^{36} - \frac{147}{683} a^{35} + \frac{238}{683} a^{34} + \frac{5}{683} a^{33} - \frac{81}{683} a^{32} + \frac{23}{683} a^{31} + \frac{215}{683} a^{30} + \frac{59}{683} a^{29} + \frac{158}{683} a^{28} - \frac{280}{683} a^{27} + \frac{15}{683} a^{26} + \frac{262}{683} a^{25} + \frac{323}{683} a^{24} + \frac{116}{683} a^{23} + \frac{9}{683} a^{22} + \frac{262}{683} a^{21} - \frac{37}{683} a^{20} - \frac{229}{683} a^{19} - \frac{140}{683} a^{18} + \frac{40}{683} a^{17} - \frac{96}{683} a^{16} + \frac{99}{683} a^{15} + \frac{98}{683} a^{14} + \frac{202}{683} a^{13} + \frac{224}{683} a^{12} - \frac{163}{683} a^{11} + \frac{192}{683} a^{10} + \frac{131}{683} a^{9} + \frac{134}{683} a^{8} - \frac{204}{683} a^{7} - \frac{56}{683} a^{6} + \frac{146}{683} a^{5} + \frac{274}{683} a^{4} - \frac{263}{683} a^{3} + \frac{307}{683} a^{2} + \frac{157}{683} a + \frac{318}{683}$, $\frac{1}{1574364859} a^{43} + \frac{333299}{1574364859} a^{42} + \frac{728769309}{1574364859} a^{41} - \frac{591194083}{1574364859} a^{40} - \frac{645346928}{1574364859} a^{39} + \frac{137860645}{1574364859} a^{38} - \frac{636292339}{1574364859} a^{37} - \frac{412591989}{1574364859} a^{36} - \frac{724952318}{1574364859} a^{35} + \frac{198926136}{1574364859} a^{34} - \frac{543752370}{1574364859} a^{33} + \frac{41449682}{1574364859} a^{32} + \frac{109190820}{1574364859} a^{31} + \frac{693938558}{1574364859} a^{30} - \frac{402673992}{1574364859} a^{29} - \frac{116285780}{1574364859} a^{28} + \frac{680468788}{1574364859} a^{27} - \frac{547552116}{1574364859} a^{26} - \frac{391147276}{1574364859} a^{25} - \frac{776346507}{1574364859} a^{24} - \frac{631773291}{1574364859} a^{23} - \frac{51178115}{1574364859} a^{22} - \frac{80340973}{1574364859} a^{21} - \frac{539634408}{1574364859} a^{20} + \frac{203026238}{1574364859} a^{19} - \frac{549169198}{1574364859} a^{18} - \frac{495481271}{1574364859} a^{17} - \frac{485285832}{1574364859} a^{16} + \frac{777681576}{1574364859} a^{15} + \frac{722271312}{1574364859} a^{14} - \frac{54359447}{1574364859} a^{13} - \frac{447374975}{1574364859} a^{12} + \frac{681982088}{1574364859} a^{11} - \frac{441100217}{1574364859} a^{10} - \frac{132506470}{1574364859} a^{9} + \frac{512390503}{1574364859} a^{8} - \frac{211235068}{1574364859} a^{7} - \frac{420491815}{1574364859} a^{6} - \frac{328763122}{1574364859} a^{5} - \frac{156655}{589429} a^{4} + \frac{515601490}{1574364859} a^{3} - \frac{472539657}{1574364859} a^{2} - \frac{483856602}{1574364859} a - \frac{314100139}{1574364859}$, $\frac{1}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{44} - \frac{4497910025405533019941391121926341685112137212410864823450270778781247705605198614044058038181835340691384656432692413847560617966876613461268231971422223300004160119486807468290978196129158174348085086217619108989534100483562401439469612217337112318238882649075528148117494506513379947193120942172967638237731743053618363217}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{43} + \frac{29087545780425775265111554153871883240669450233443964355696213045592793425827900290519976085815062967838722717791884654219515581833174731719820664902465243406961679618181259896394706999679414773924330590714721133423137227182041623779091295579810878658926227882739665485286296758171318060551164958432336101605848348648952534995640041}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{42} + \frac{1461556766428395013190899955081401942253129087469513903325064329769112580739980318240859982625776886314683017911691552719306536037008512601930266351555028573891524839577019561930573658173407824987669129346469402318593221574645780097086391814426554652813631150952677635482682323804873200633319563070401657060924686083370586915155263468}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{41} - \frac{19660847867281570495098564860463456717166471180018777917163453728610408620524497954985911670492491905353326975303956589881412503955268564046793494750994979437327631438270970048488444021641703786201229936938453079562971185727262116528879351304397922790823044724575702641831866262832323621798304353674433571724603414179182518852293328816}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{40} - \frac{14967053823196344785248680842721745518229649435244250540745070091803755988826937714906098886324310854241487668130481962771782257219477353066637408345771695484246128532263651951789435828566408986259548662204431592270937789830859711121658530552642596369829279620201914192643938964840595535360342975857407726934025252271093445771693902699}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{39} + \frac{20957907349285185987098090113629947869133815787840967089699070482413473366677467602006290003019202170287610204514304757522265121239110540163847590970421438320885691014217644751379214819410095307152536963741603427971007083518828159125802966921716326420621257854308006720316650248408349879266691548029194151777678145731948219163127814884}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{38} + \frac{4220541413978618723805406348838262339669214562324969399223135740958429711592644644750314434715008973907012627259622122720334029713435477319952443005080058790232935941815515546467113483315410444149288431543120057369828968478668717927540744012108436084837245220678673845942701400264420497723722006197353324450372001127668512621547627074}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{37} + \frac{12974792541610731422768615015335432664972915003052183265428370048527990181414976587682600464295853401533297323423389834239933935693818334516101176448135402935723986207788803480025850489567490380093104506862373259266855171174896343719689889747162376423997186797805731073560346325384818188978363058556576435352290222719919741753023013099}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{36} - \frac{12095739044552616041028913458069618729608060823144939091539139944635580403221052884568200145304746193009598273446527629579064492867668605437357738846817451138408371072932906155317534741848861238578952183432571437232291553283509125307655000047076876295374710174348919981988572276976431322047608400567458592811912567550740523560595424754}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{35} - \frac{19746332175743661766696247803600142773720938281968637233519471563527810499869656824895881578574426236284897967295525732308827184881623630992572379321932671110480398777668607608953051728104614756616930040560113001661347803167506713070652783721657088168123990030040327571820394139581279952036724468779695538620696276937018573513490571504}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{34} - \frac{334266032131465316298617759109030317812623781355812544532282694081121061852992140523304169017491860309653287046164037296615260804162040455777164506662122495503206589524419422088611290407661839529296779177959735566144166497115765535886361881532532857414186826831741768139134102093018989761862867835593672077318081952764991668389445157}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{33} - \frac{10529461858564647008616766829122989963699656612128039325197386661203688810955547369747291800949500101284055283726230981071346781067465727703717035948644979896308039648127438206379577629756277654339235382381341605544892922137730104977917382348571113788249792827265757694621094777651856685327714454685583121124777734439299934982233631493}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{32} - \frac{20761051205032311903442919875250362571610649370369092895866868079817188112546999366457497640237036069694798080058516067855787884923033889394487804191738158102073614447617005311863278522939225917759254709752508707085143897837677599307329777886013703042205840004381392192247663068968295265022037560024914218096959368223912167065284481847}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{31} + \frac{3141214327756375569786402537530881887283180073751023104134323760341169338440298631903812633628902779127968951940491833670614620523614375432644784748054068887319668601008076595564888158820858581550981577973133352498000234417076392398209109661273738275760990572537092339478381621480788704665620416980022563849833404783396116616288941861}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{30} - \frac{2146148782670317323059958321341691792387421452389202464885963059150009794962019481552551821556089349840925513640708654868166380195848267497758640204163445854697130014166021456223391585301760142113618397391576763677513036152479980218813394707255008973238528756482188293764815452605244592812390778791637202895563531722272041695867067831}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{29} - \frac{6594814207595260279586531727801473059571016268378782735144084610471717751863361642996257819117999804693685350501214391990317884561052652669645441788541481905536828757678699113759793673223682525314849562604566921093638459287103113714701666958102093720822275483363783190682053543996395653737593878676177739330453005254849853138754859912}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{28} + \frac{521910907107017225700451315360284903359161976032217912040140775358249147577340844854276627609015404270854173159054639102622209425507795907951215603138143924688033664156334395613675581523556068090833582059885523696044246968571862116932279788392821995301608338929012176945593824632275814918530353865257515538444031399084909234616827562}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{27} - \frac{11344706431880039473220366782928805706413159261763620640175321065684652334435865362847315160846494559969554338339970434056615346688793120313816536773694793188986221161846195605302526094466393428661923422018494866903070907474356245062457042936626072057961898373934819279801307423376838961663655237016263531481997893500567975291061249008}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{26} + \frac{2197589486115088632931716380886268812450025045990742480665072285799520270587529231501359701382639448597521342517808454866380796162227980813248087638709396775338367670615643923329312507044186160926595150889602083471802989079041744015039759125178464591597016385610185299058817610923406390238656681016230424262984333435238220556855893117}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{25} + \frac{6868019423165223740058102918188549842342603353269123496375726681927824237973655953046822313582089776492651074882841992664756769026659567883315531135293106183846055858087856246525817536673861362679180065870232189105674771698961126161363783146204316917631779714097721939888656672731202924720649976102645207215037036545179407108036612347}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{24} - \frac{20808661088562207854614792248304001087976104337425988079471391275827813175542050231274128560175593799065510250470563561631575236676884906137330451148053020263868454213452240578297395202048393270330827040490738461985106251800975401557909298245771668512132479140671332579824856020823971359247190689374146137100368203170341187900892007083}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{23} + \frac{1354808698331506520127974948162884306404939209004551698767657914525640687263056984083267994816860232691179553988930002645962165845127851751835660470753271416670334901872510547342516257479828796487490611237396076169655143954308606359943325468920395662519247897529815628512319159928837451601840654646682066414804679082393570726544460084}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{22} + \frac{18523300582701769854403901628822513527445407790240424788285910664744931249640222080374151782390565038948989000506754872093813884332568329199553530162456594240280691475177819659666229890734973487770483888890256639096873870380951989294745147974568883325133823252609696591958953924818189818492166732619951355727271689824793066580897565496}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{21} + \frac{4854806547765028739281314792672086858824119463873208444734506863986867417069823765392525327369552233920258034500692449627297551634436971535380965258243868022092600191562296305566985330426168186263976051412650913009072152689333145347365863811302498331017263646694520262737991926217286459940847032521760925038628436673911083986089053653}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{20} - \frac{15800072382327126860254135837190031279583016388314041332833997455130840413326763136728705411876141607910287068725297692693999313569347039028112145153338240824643401378107902917340636598451204707067978667327078223958163632000312119976861185527342416683262063224608728134927470123008549752444370276973383044906530924228743134414599421263}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{19} - \frac{5324839895685513917588936661335962252623481186739177207565786091710496049975258663220210592794788643020089098967340476848289692105525594548794428090493185735966607895406676455381060353247924303995492563756053062746075075532600253349084657394767939692374568014720654564335088951753133660597156334253397942254471746197166212043022445740}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{18} - \frac{12309348121018853377291684526123241614199687245593024048480004469427276396766116465658721223248222384847743038805374631866270361283528814086450034107938660778160015513479642668395587901558606967904001264111930382012845128396506279809624710853332039464747041866751531421476047892073280185908094553320930071927067228024206978724385854041}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{17} + \frac{15624431199005238553985614271037868540409113901821328709653518843841295774268900630286249091273890506227889418323988627651867486179809384460254016405194634127933363691272648289896138974753045990368830384340821447967272780758993024517453410245052327523547430176573355229114912413152065542466259081362607458099459215286084283066543698483}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{16} + \frac{19902036354932731467079022495401168685200973936842588426046045109937119310712778668236795014981939467982210496636102973726721821494053930476407214133684806132950453440161527924132141254920182141353013092101660537504174745577308856967536339239570278451882671694004463194443166359287936262392253787005799188328217471707965039502064922828}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{15} + \frac{20952765965243447207820718247062644256287883804341825077683351208098386175914494182910090892508645874478224234244069920220999659589469764731870370012186167831475023469963016731520279883797161723605332633943075930689120861733219907289164522513471120222806575458700796919172727829178333764959925906787775301217718287299384014739964133525}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{14} - \frac{19191016759402350933072204159048986179619895422611506080883592083759141379650117925524763884695216278627554715501967241289153725381676006543250660803390184865105732991315308196483048556470452506677590959107699556466360101160351897678980163125664516323559482030567542421282857499547466491833355692086829009674024753890310334775712416826}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{13} - \frac{14372188042682213794908525656107340144450182405535709832365570441715211203974566954826838951205712880483812069829773477220293404121552632376326212868755484328136186776284579736966206018232272120905233110765965262773310943325217684560167524153830843150992025887185714100249014771541103390509826282665875632389529541641902486053181376094}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{12} - \frac{11273797350086038447170502912841128198846982352161958448700842167067783961145586465730305736384118324594340364742707452491061767516957418238670897199219578892216805011197993917135480346361215775425904250168568352102387422648755149864712672912079269713146010002559646934120085630561423743271885294172325571592074315967165735831935811173}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{11} + \frac{16100684199051123843160336176455341803718287154435863011833036253904023694080620013029691617935879339295123393899704671672902585423109111297789248698273047276727243524894476194974167816742783401204470222092860425838731342376283629813835484623606831081259761141183216224974146007806057983491368607127736580398802257720120429870731333335}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{10} + \frac{7274183543055769417027217857114984163185256733531064682490411957005675877924827690419529873981517991372140305044715347532873504706517808210586571097320314748208835740046999821499102744644290136123395379632053686403471127182666064105523485077091792128884931058360492757692495228044174086327501183400049446821711580156171419501102276793}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{9} - \frac{8506501220662422540563956528500093980385056992497849296524351956276823966408657689777475674485437569444214029036934682662334587598691440337598499507589381739464224022238710326109978918724834084725725271619570472139609890494170049822943058596964597226431249540047739890322267814955065230740617551568245773182872086042599917233971582080}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{8} - \frac{11208015358355408941578441697127817411428020758483117569768473919428190762410669257915535256907272830351975257808059946390416549801170656303142235185663790901897635766944727943672430449514243256844101113985389966948074117445210766068332607404945903215805853588408747104464350465899609535466326057541567189276765385113755439772200584350}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{7} + \frac{18687014004054132119163227379602158010492915533271292071471089829983443277543035553910176918038619592592819331318884208653100243434960557615724995552393347829574788992521609516492210919961090025111743203395796265152414831315970358048795624512664726749253964831579083185751377035710547640149635698424265865395510138240865409325709211698}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{6} + \frac{19143071834114603663316419918488942262243074660754569031122497340270809941658837108787038162125638078254142776621964261772677441516799415681833328627319826662187519795676637604712660883359062963013185398656358639470899970743368802357604812967481299013974636754525677457119364207814224233429876752720156017367205575256729553158801736682}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{5} - \frac{13679091819331453064518311311163274539532866703308671023753639186864290338132758005703922118129257200873765050821972440516084195151499545641981915677400221606355232184589713412972678551697260541555752792982421670341228546874283990604821217439899858909937177222063457678210908075174697329859267989097388216375164272883286171490134287346}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{4} - \frac{5557060783996543992391808886417804807913887656032149535178716453266457536636586991904791162571827126392106259936720669555993393499850271473431740522186680799003714378908258440114365352865672315251312098033204061103254535484404737584709155240307323630976304558098429312556464230094149152806660522658469233631164990945850474539264827000}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a^{3} - \frac{25185060570976665711254209156247311837507949019868281997626842916614847969857953660609371220091024068077388339150655043092398613641059356922592820220149380373071333671583902645890810077482490903644582371863318290854871767813486267496949075141342159862862949405578999814717477033449203594382193581320407226317474937306875699090406452}{62156277840431603458781815766035893773533558985292679693109933475832608131537348128030470461896418545810789088073658811818779092194462322845537351322795322742943686522882135133015371077943749602282568672264712475932639386296486425716845903540742847952412019435098431336194051727157829783346996623885438239280022771440567055837501987} a^{2} - \frac{17208303441042702546116529717415312372639384826185512111314687922823643001644565982144132673794674205610053245874006023394402639104911435510457151711214842866373247690411979998180934761414450302237238252227000381932401758512926988048385065109387882511341541641580543878900503334300925491380490951969771419772602101882935309859703866419}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121} a - \frac{903809086241231438912443519899592323019569916526887207114909276359744038594816738688638099211217701144110590964781289442843636440788013687815035301278654777466189493125204070495480339855007495095304579038029477406432145880804442190256225439903468913442867583025574990391906216615947529842085527260560205818623098423096409326259679027}{42452737765014785162347980168202515447323420786954900230394084563993671353840008771444811325475253866788768947154308968472226119968817766503502010953469205433430537895128498295849498446235580978358994403156798621061992700840500228764605752118327365151497409274172228602620537329648797742025998694113754317428255552893907299137013857121}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.361.1, 5.5.923521.1, 9.9.15072974715383053921.1, 15.15.4829212716211581952447142935561.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/7.5.0.1}{5} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/11.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ $45$ R $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{15}$ $45$ $45$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed
$31$31.15.14.6$x^{15} + 521017$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.6$x^{15} + 521017$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.6$x^{15} + 521017$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$